APROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA

Transkrypt

1 POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 73 Electrcal Engneerng 213 Jan PURCZYŃSKI* APROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA W pracy wykorzystano metodę aproksymacj średnokwadratowej welomanowej, przy czym jako kryterum przyjęto welkość błędu maksymalnego uzyskanego przyblżena stąd proponowana nazwa metody aproksymacja quasjednostajna Wartość tego błędu zależy od lczby punktów aproksymacj w przedzale Zmenając lczbę punktów aproksymacj stwerdza sę, że wartość błędu maksymalnego posada mnmum dla określonej wartośc L lczby uwzględnonych punktów Dla welomanu stopna N wyznacza sę optymalną lczbę równoodległych punktów aproksymacj L oraz maksymalny błąd aproksymacj Proponowana metoda została porównana z metodą aproksymacj jednostajnej, jaką są welomany Czebyszewa Na rozpatrzonych przykładach wykazano, że metoda aproksymacj quasjednostajnej prowadz do mnejszych wartośc błędu maksymalnego, nż welomany Czebyszewa 1 IDEA METODY Zakłada sę, że dany jest cąg punktów x, x1,, xl oraz wartośc funkcj f(x) w tych punktach: f f x ;,1,, L (1) Wykorzystana zostane aproksymacja welomanowa: N fa j ( x ) a j x (2) j W wynku zastąpena funkcj f(x) funkcją aproksymującą fa(x) popełna sę błąd : fa( x ) f (3) Aproksymacja średnokwadratowa oznacza mnmalzację następującego wyrażena: L 2 mn (4) Korzystając z warunku konecznego stnena ekstremum funkcj welu zmennych, ze wzorów (1), (2), (3), (4), otrzymuje sę układ równań: * Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne

2 44 Jan Purczyńsk gdze: L c jk x j k N j c jk a L ; bk x j b k f k ; k,1,, N (5) Rozwązane układu równań (5) w postac macerzowej wyraża sę wzorem: 1 A C B (6) A - poszukwany wektor współczynnków welomanu fa(x) (wzór (2)) gdze a j C ; c jk B b k W przypadku, gdy lczba punktów x jest wększa od stopna welomanu N ( L N ) mamy do czynena z aproksymacją Natomast, dla L N występuje zagadnene nterpolacj Podane powyżej wzory są słuszne zarówno dla aproksymacj jak dla nterpolacj Oprócz aproksymacj średnokwadratowej (wzór (4)) wyróżna sę aproksymację jednostajną wyrażającą sę warunkem: max mn (7) L gdze wyraża sę wzorem (3) Zgodne ze wzorem (7) zadane polega na mnmalzacj maksymalnej wartośc błędu w rozpatrywanym przedzale Spośród metod stosowanych w aproksymacj jednostajnej wyróżna sę, mn algoytm Remeza [2, 3], przyblżena Padego, szereg Maclaurna oraz welomany Czebyszewa[1, 3] W nnejszej pracy ogranczono sę do welomanów Czebyszewa Rozpatruje sę zdane nterpolacj (L = N), przy czym węzły nterpolacj spełnają warunek: x cos gdze:,1,, N (8) N 1 tzn są mejscam zerowym welomanu Czebyszewa Rozwązane nadal wyraża sę wzorem (6) W nnejszej pracy proponowana jest metoda wykorzystująca fakt, że błąd maksymalny rozwązana uzyskanego metodą aproksymacj średnokwadratowej slne zależy od uwzględnonej lczby punktów L+1 Przy założonym stopnu welomanu N zmena sę lczbę L wyznacza wartość błędu maksymalnego Dla określonej wartośc optymalnej L, zapewnającej mnmum błędu maksymalnego, o wyznacza sę wartośc współczynnków a j welomanu (2) Metoda bazuje na wzorach (5) (6) odnoszących sę do aproksymacj średnokwadratowej, natomast odnos sę do mnmalzacj błędu maksymalnego, w zwązku z czym proponuje sę nazwę aproksymacja quasjednostajna Wynk proponowanej metody zostaną porównane z rezultatam uzyskanym dla welomanów Czebyszewa

3 Aproksymacja quasjednostajna 45 2 PRZYKŁADY OBLICZENIOWE Ze względu na stosowane welomanów Czebyszewa zakłada sę przedzał zmennośc x 1,1 (9) Funkcja f(x) wyraża sę wzorem: f ( x) ln( x 1,1) (1) Zgodne z opsem metody (pi) wyznaczono wartośc błędu maksymalnego w zależnośc od lczby punktów aproksymacj L Na rysunku 1 przedstawono zależność błędu BO od lczby uwzględnonych punktów dla welomanu czwartego stopna Błąd ten przyjmuje wartość mnmalną dla L = 19 BO m Rys 1 Wartośc błędu maksymalnego BO w funkcj lczby uwzględnonych punktów aproksymacj L dla welomanu czwartego stopna L m 16 bo bc x Rys 2 Wartośc modułu błędu dla welomanu stopna czwartego Lna kropkowana bc odpowada welomanow Czebyszewa, natomast lna cągła bo określa błąd welomanu optymalnego Na rysunku 2 przedstawono wartośc modułu błędu dla welomanu stopna czwartego Lna kropkowana bc odpowada welomanow Czebyszewa,

4 46 Jan Purczyńsk natomast lna cągła bo określa błąd welomanu optymalnego Błąd maksymalny występuje dla x = -1 wynos,149 dla welomanu Czebyszewa oraz,83 dla proponowanej metody Rysunek 3 lustruje zależność lczby optymalnych punktów LO od stopna welomanu N Na rysunku 4 zameszczono wartośc błędu maksymalnego dla poszczególnych metod: BC- welomany Czebyszewa (lna cągła z prostokątam),bo- weloman optymalny (lna przerywana z kółkam), BA- aproksymacja średnokwadratowa (lna kropkowana) 9 7 LO m N m Rys 3 Zależność lczby optymalnych punktów LO od stopna welomanu N Błąd BA odnos sę do klasycznej aproksymacj średnokwadratowej wykonanej dla L = 5 punktów, co odpowada w przyblżenu aproksymacj wykonanej dla funkcj cągłej 35 3 BC m BO m BA m Rys 4 Wartośc błędu maksymalnego dla poszczególnych metod: BC- welomany Czebyszewa (lna cągła z prostokątam), BO- weloman optymalny (lna przerywana z kółkam), BA- aproksymacja średnokwadratowa (lna kropkowana) N m

5 Aproksymacja quasjednostajna 47 Z rysunku 4 wynka najwększy błąd dla klasycznej metody aproksymacj średnokwadratowej Proponowana metoda welomanu optymalnego prowadz do wartośc błędu BO mnejszego nż błąd BC metody welomanów Czebyszewa Jako kolejny przykład rozpatrzono funkcję: f ( x) 1 x dla x 1, 1 (11) Rysunek 5 lustruje wartośc błędu maksymalnego uzyskanego dla welomanów Czebyszewa BC- lna cągła z prostokątam) oraz dla welomanu optymalnego (lna przerywana z kółkam) 3 25 BC m BO m N m Rys 5 Wartośc błędu maksymalnego: BC- weloman Czebyszewa (lna cągła z prostokątam), BO- weloman optymalny (lna przerywana z kółkam) Na podstawe rysunku 5 stwerdza sę, że weloman stopna parzystego zapewna mnejszy błąd nż weloman stopna neparzystego szczególne wdoczne dla błędu BC Wynka to z faktu, że funkcja opsana wzorem (11) jest funkcją parzystą, co pownno sę uwzględnć w stopnu welomanu N W zwązku z powyższym ogranczono sę do przypadku, gdy N przyjmuje wartośc parzyste Na rysunku 6 zameszczono zależność lczby optymalnych punktów LO od stopna welomanu N 2 16 LO m Rys 6 Zależność lczby optymalnych punktów LO od stopna welomanu N N m

6 48 Jan Purczyńsk Na rysunku 7 zameszczono wartośc błędu maksymalnego dla poszczególnych metod: BC- welomany Czebyszewa (lna cągła z prostokątam),bo- weloman optymalny (lna przerywana z kółkam), BA- aproksymacja średnokwadratowa (lna kropkowana) Błąd BA odnos sę do klasycznej aproksymacj średnokwadratowej wykonanej dla L = 5 punktów Na podstawe rysunku 7 stwerdza sę zblżone wartośc błędu maksymalnego dla aproksymacj średnokwadratowej oraz welomanów Czebyszewa Najmnejszym błędem maksymalnym obarczone są wynk proponowanej metody BC m BO m BA m N m Rys 7 Wartośc błędu maksymalnego dla poszczególnych metod: BC- weloman Czebyszewa (lna cągła z prostokątam), BO- weloman optymalny (lna przerywana z kółkam), BA- aproksymacja średnokwadratowa (lna kropkowana) 1 f' f( y) 5 Rys x y f -funkcja (11) (lna przerywana z kółkam); f(y)- wynk nterpolacj (lna cągła) W przypadku stosowana metody nterpolacj (wzory (5) (6); L = N) dla funkcj (11) obserwuje sę tzw zjawsko Rungego [1] zlustrowane na rysunku 8, wykonanym dla L = N = 1 Obserwuje sę bardzo duże błędy na końcach przedzału nterpolacj

7 Aproksymacja quasjednostajna 49 Jedną z metod elmnacj zjawska Rungego jest stosowane welomanów Czebyszewa, co zostało zlustrowane na rysunku 9 Nerównomerne rozmeszczene węzłów nterpolacj (wzór (8)) zdecydowane ogranczyło oscylacje występujące na końcach przedzału Na rysunku 1 przedstawono rezultat zastosowana welomanu optymalnego dla L=16, które równeż prowadz do elmnacj zjawska Rungego 1 f' fc( y) 5 Rys x y f -funkcja (11) (lna przerywana z kółkam); fc(y) - wynk nterpolacj welomanam Czebyszewa (lna cągła) 1 f' fo( y) 5 Rys x y f -funkcja (11) (lna przerywana z kółkam); fo(y) - wynk stosowana welomanu optymalnego (lna cągła) 3 PODSUMOWANIE W pracy wykorzystano metodę aproksymacj średnokwadratowej welomanowej, przy czym jako kryterum przyjęto welkość błędu maksymalnego uzyskanego przyblżena Zmenając lczbę punktów aproksymacj znajdowano wartość optymalną LO, dla której występuje mnmum wartośc błędu maksymalnego Dla obydwu rozpatrzonych przykładów stwerdzono (Rys 4 oraz

8 5 Jan Purczyńsk Rys5 Rys7), że metoda aproksymacj quasjednostajnej prowadz do mnejszych wartośc błędu maksymalnego, nż metoda wykorzystująca welomany Czebyszewa Autor przetestował proponowaną metodę na szeregu przykładach, mn, na następujących funkcjach: 1 f ( x) ; f ( x) arctg(4x) (12) x f ( x) sn x ; f ( x) cos x (13) 2 2 określonych na przedzale x 1, 1 Dla funkcj opsanych wzoram (12) (13), proponowana metoda prowadzła do błędu maksymalnego mnejszego, nż metoda welomanów Czebyszewa Należy zauważyć, że stosując metodę nterpolacj do funkcj opsanych wzorem (12) obserwuje sę zjawsko Rungego Zastosowane welomanów Czebyszewa, a także proponowanej metody, elmnuje powyższe zjawsko LITERATURA [1] Fortuna Z, Macukow B, Wąsowsk J, Metody numeryczne, Warszawa, WNT 1993 [2] Jankowscy J M, Przegląd metod algorytmów numerycznych Cz1, Warszawa, WNT 1981 [3] Ralston A R, Wstęp do analzy numerycznej, Warszawa, PWN 1983 QUASI-UNIFORM APPROXIMATION In the paper the polynomal mean-square approxmaton method was appled, where the appled crteron was the value of the maxmum error of the obtaned approxmaton - hence the proposed name for ths method quas-unform approxmaton The value of ths error depends on the number of approxmaton ponts wthn the range By changng the number of ponts wthn the range, t can be notced that the value of the maxmum error has the mnmum value for a partcular value of L number of consdered ponts For a polynomal of N degree, the optmum number of equdstant ponts of approxmaton L and the maxmum error of approxmaton are determned The proposed method was compared wth a unform approxmaton method, namely the Chebyshev polynomal The examples ncluded n the paper show that the quas-unform approxmaton method yelds smaller values of the maxmum error than Chebyshev polynomals