OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH"

Transkrypt

1 Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH W metodze rozwązań podstawowych problem określana położena punktów osoblwych sprowadza sę do wyznaczena kształtu pseudobrzegu, na którym umeszcza sę punkty źródłowe. W perwszym sposobe pseudobrzeg jest okręgem, wewnątrz którego jest rozważany obszar, a w drugm konturem geometryczne podobnym do konturu brzegu rozważanego obszaru. Tematem artykułu są eksperymenty numeryczne mające odpowedzeć na pytane, który pseudobrzeg jest lepszy. Ponadto bada sę, jak pownen być promeń pseudobrzegu, jeśl jest on okręgem, lub jaka pownna być odległość od konturu obszaru pseudobrzegu geometryczne podobnego do nego oraz jak wpływ na wynk eksperymentów ma uwarunkowane układu równań lnowych. Aby odpowedzeć na te pytana, wybrano dwa problemy brzegowe, dla których są znane dokładne rozwązana: problem skręcana pręta o przekroju prostokątnym oraz problem testowy z necągłą funkcją na brzegu. Problemy te rozwązuje sę metodą rozwązań podstawowych, przy czym warunk brzegowe spełna metoda kolokacj z mnmalzacją średnokwadratową. Porównane rozwązań przyblżonych z dokładnym rozwązanem pozwala udzelć odpowedz na postawone pytana. Słowa kluczowe: kolokacja brzegowa, metoda rozwązań podstawowych 1. WPROWADZENIE Metoda rozwązań podstawowych (ang. method of fundamental solutons) należy do grupy metod bezsatkowych jest numeryczną metoda rozwązywana równań różnczkowych elptycznych parabolcznych [, 4 5]. Warunkem stosowana tej metody jest znajomość rozwązana podstawowego równana, które występuje w sformułowanu problemu brzegowego lub brzegowo początkowego. W metodze rozwązań podstawowych przyblżone rozwązane problemu zakłada sę w postac superpozycj rozwązań podstawowych, których punkty osoblwe są rozmeszczone na zewnątrz rozważanego obszaru. Punkty te, nazywane też punktam źródłowym, rozmeszcza sę na pseudobrzegu, wewnątrz którego jest rozważany obszar. Wspomnany pseudobrzeg ne ma punktów wspólnych z rzeczywstym brzegem obszaru. Poneważ rozwązane podstawowe spełna ścśle równane różnczkowe występujące w sformułowanu rozwa-

2 18 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej żanego problemu brzegowego, węc przyjęta postać przyblżonego rozwązana równeż to równane spełna. Z tego powodu metoda rozwązań podstawowych należy do grupy metod Trefftza, których stotą jest dokładne spełnene równana różnczkowego. Współczynnk wagowe występujące w przyblżonym rozwązanu wyznacza sę, spełnając w określony sposób warunk brzegowe występujące w probleme brzegowym. Metoda rozwązań podstawowych po raz perwszy została zaproponowana przez gruzńskch badaczy Kupradze Aleksdze [1 13] opsane w pracach opublkowanych w języku rosyjskm. Jej numeryczną mplementację opsal Mathon Johnston [14], a Bogomolny [1] przedstawł jej matematyczne uzasadnene łączne z badanem zbeżnośc rozwązana. Dzęk tej ostatnej publkacj metoda ta została rozpropagowana wśród specjalstów od metod numerycznych. Po tej publkacj ukazało sę bardzo wele prac, w których zastosowano tę metodę do rozwązywana problemów brzegowych w fzyce technce. Popularność tej metody wynka z prostoty jej numerycznej mplementacj. Szczegóły dotyczące różnych aspektów stosowana tej metody można znaleźć w pracach przeglądowych [, 4 5, 10]. Jednym z podstawowych problemów w metodze rozwązań podstawowych jest sposób określana położena punktów osoblwych (źródłowych). Wększość autorów położene tych punktów przyjmuje arbtralne przez określane ch współrzędnych w danych wejścowych do numerycznego rozwązywana problemu brzegowego. Jeśl jest rozwązywany lnowy problem brzegowy, to w takm podejścu neznane współczynnk wagowe rozwązań podstawowych wyznacza sę, rozwązując układ lnowych równań algebracznych. W nnym warance metody rozwązań podstawowych współrzędne położena punktów osoblwych są traktowane jako newdome wyznacza sę je w trakce numerycznego rozwązywana problemu brzegowego [3, 7 9, 15 18]. Jednak wówczas nawet w przypadku lnowego problemu brzegowego w realzacj numerycznej mamy do czynena z nelnowym układem równań. Z tego powodu prace z takm warantem metody rozwązań podstawowych są nelczne. Rozróżna sę dwa zasadncze sposoby arbtralnego określana punktów osoblwych, przy czym problem w zasadze sprowadza sę do określana kształtu pseudobrzegu, na którym umeszcza sę punkty źródłowe. W perwszym sposobe pseudobrzeg jest okręgem (patrz rys. 1), wewnątrz, którego jest rozważany obszar (np. [1]). W drugm przypadku pseudobrzeg jest konturem geometryczne podobnym do konturu brzegu rozważanego obszaru, jak na rys. (np. [11]). Nezależne od kształtu pseudobrzegu, punkty źródłowe są rozmeszczane na nm na ogół równomerne. Mając określony kształt pseudobrzegu, współrzędne punktów źródłowych przy założenu, że są równomerne rozmeszczone generuje sę według prostej nstrukcj w programe. W ten sposób danym wejścowym są w stoce promeń okręgu lub odległość oraz lczba punktów źródłowych. Powstaje jednak problem, jak pownen być promeń okręgu pseudobrzegu lub

3 Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam w jakej odległośc od brzegu obszaru pownen być umeszczony geometryczne do nego podobny kontur pseudobrzegu. Problem ten podjęto w tym artykule. Punkty kolokacj Punkty źródłowe Kontur obszaru Pseudobrzeg Rys. 1. Rozmeszczene punktów źródłowych na konturze podobnym Fg. 1. Arrangement of the sourced ponts on the smlar outlne Punkty kolokacj Punkty źródłowe Kontur obszaru Pseudobrzeg Rys.. Rozmeszczene punktów źródłowych na konturze okrągłym Fg.. Arrangement of the sourced ponts on the round outlne Wykonano eksperymenty numeryczne, które mały odpowedzeć na następujące pytana: 1. Jak pseudobrzeg jest lepszy: okrąg czy geometryczne podobny do brzegu konturu obszaru?. Jak pownen być promeń pseudobrzegu, jeśl jest on okręgem, lub jaka pownna być odległość od konturu obszaru pseudobrzegu geometryczne podobnego do nego?

4 0 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej 3. Jak wpływ mają parametry pseudobrzegu, tj. promeń lub odległość, na uwarunkowane układu równań lnowych? Wybrano dwa problemy brzegowe, dla których są znane dokładne rozwązana. Problemy te rozwązuje sę metodą rozwązań podstawowych, przy czym warunk brzegowe wyznacza sę metodą kolokacj z mnmalzacją średnokwadratową. Porównane rozwązań przyblżonych z dokładnym rozwązanem daje odpowedź na podstawone pytana.. PRZYKŁADY TESTOWE.1. Problem I skręcane pręta o przekroju prostokątnym Przykłady testowe mają dokładne rozwązane. Tutaj skupono sę na dwóch problemach. Skręcane prętów o przekroju okrągłym należy do kanonów wedzy z zakresu wytrzymałośc materałów. Jest to zadane mnej skomplkowane nż skręcane prętów o przekroju neokrągłym. Przekroje poprzeczne prętów neokrągłych podczas skręcana ulegają tzw. deplanacj, co unemożlwa przyjęce hpotezy płaskch przekrojów stosowanej w przypadku prętów kołowych. Podaje sę przy tym nformację o konecznośc wprowadzena współczynnków poprawkowych we wzorach wyprowadzonych dla prętów o przekroju kołowym na sztywność na skręcane oraz na maksymalne naprężena styczne [19] (ewentualne podaje sę te współczynnk dla przekroju prostokątnego). Rozważmy pręt o przekroju prostokątnym o bokach a b. Po oznaczenu przez E = b / a stosunku boków pręta bezwymarowe sformułowane zagadnena brzegowego przyjmuje następującą postać, jeśl ogranczymy sę do perwszej ćwartk ze względu na symetrę [19]: u u + = 0 X Y z warunkam brzegowym: u Y w 0 < X < 1, 0 < Y < E = 0 dla Y = 0, 0 X 1, u = 0 dla X = 0, 0 Y E, X (1) () (3) ( X + Y ) dla X = 1, 0 Y E, 1 u = (4)

5 Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 1 ( X + Y ) dla Y = E, u = X (5) Wyżej sformułowany problem brzegowy ma dokładne rozwązane w postac: cosh ( 1) 1 3 ( ) ( ) ( 1), 1 cos ( 1). 3 k k + πx u X Y = + X Y + 3 k + (6) π = 0 ( 1) π k k + E cosh ( k + 1) πy Rys. 3. Rysunek do zagadnena perwszego Fg. 3. Drawng of the frst ssue Rys. 4. Rysunek do zagadnena drugego Fg. 4. Drawng of the second ssue.. Problem II rozwązana dla problemu testowego z necągłą funkcją na brzegu Rozważmy równane różnczkowe (D równane Laplace a): u u + X Y = 0 z warunkam brzegowym: w 0 < X < 1, 0 < Y < 0,5 u = 0 dla Y = 0, 0 X 1, (8) u = 1 dla X = 0, 0 Y 0,5, u = 0 dla X = 1, 0 Y 0,5, (10) u Y = 0 dla Y = 0,5, 0 X 1. (11) (7) (9)

6 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej Wyżej sformułowany problem brzegowy ma dokładne rozwązane w postac: u 1 cosh kπ Y 1 π k= 1 k kπ cosh ( X, Y ) = 1 X sn( kπx ). (1) Tak sformułowany problem brzegowy ma necągłość poszukwanej funkcj na brzegu w punkce o współrzędnych (0,0). 3. ROZWIĄZANIE PRZYKŁADÓW TESTOWYCH METODĄ ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH 3.1. Problem I Ten sam problem chcemy jednak rozwązać w sposób przyblżony metodą rozwązań podstawowych. Zgodne z tą metodą, rozwązane przyjmujemy w postac (13). NC ( X, Y ) = c ( X, Y, Xs, Ys ), u ϕ (13) = 1 gdze c są chwlowo neznanym stałym, podczas gdy w tradycyjnym ujęcu tej metody funkcja ϕ ( X, Y, Xs, Ys ) jest rozwązanem podstawowym równana Laplace a z punktem osoblwym umeszczonym na zewnątrz rozważanego obszaru, tzn. ( X Y,, ) = ln[( X ) + ( Y Ys ) ]. ϕ, Xs Ys Xs (14) Równane (13) ma tę własność, że w sposób dokładny spełna równane (1). Spełnene w sposób przyblżony warunków brzegowych pozwala na wyznaczene neznanych stałych c. Mając na uwadze rozwązane wyżej sformułowanego problemu, funkcje ϕ ( X, Y, Xs, Ys ) możemy dobrać w tak sposób, aby warunk brzegowe symetr, tj, warunk () (3), były spełnone w sposób ścsły. Wykonujemy lustrzane odbce funkcj źródłowej umeszczonej w punkce Xs, względem os Y otrzymujemy: o współrzędnych ( ) Ys

7 ϕoy Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam ln[ ( X, Y, Xs, Ys ) = ln[ ( X Xs ) + ( Y Ys ) ( ) ( ) X + + Y ]. Xs Ys ] + (15) Jeśl następne odbjemy lustrzane tak otrzymaną funkcję względem os X, otrzymujemy: ( ) ( ) X, Y,, = ln X + ( Y ) ϕ s Xs Ys Xs + ln Xs Ys ( ) ( ) + ln = X + Xs + Y + Ys ( X + ) + ( Y ) + ln ( X ) + ( Y + ) ( ) ( ) ( ) X + Y X + + ( Y ) Xs Ys = ln Xs + Ys ( X ) + ( Y ) ( X + ) + ( Y + ) Xs Xs Ys + Xs Ys + Ys. Ys (16) Jeśl przyblżone rozwązane założymy w postac: Φ ( X, Y ) = NC c ϕs ( X, Y, Xs, Ys ), (17) = 1 to spełna ono w sposób ścsły równane różnczkowe (1) oraz warunk () (3). Po obranu na tej częśc brzegu rozważanego obszaru, gdze warunek brzegowy ne jest spełnony dokładne, tj. na brzegach X = 1, 0 Y E oraz Y = E, 0 X 1, N punktów kolokacj go spełnenu warunków brzegowych (4) (5) w tych punktach otrzymujemy N lnowych równań algebracznych w postac: 1 ( X,, ) = ( X Y ), NC s j 1, Y j Xs Ys j c ϕ + j j = 1,,3,..., N, (18) = gdze ( X j, Y j ) są współrzędnym punktów kolokacj. Układ równań zawera NC newadomych, których lczba mus być równa lczbe równań lub mnejsza od nej. Jeśl lczba ta jest mnejsza, tak układ nazywamy nadokreślonym rozwązuje sę go metodą najmnejszych kwadratów. Układ (18) zapszemy w sposób macerzowy: gdze: Ac = b, (19) ( X,,, ), j = 1,,.., N, 1,,.., NC, A j = ϕ s j Y j Xs Ys = (0)

8 4 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej 1 b j = ( X j + Y j ). (1) Metodą najmnejszych kwadratów układ równań (19) sprowadzamy do postac: T T A Ac = A b. () W tym układze lczba równań jest równa lczbe newadomych. Po rozwązanu tego układu metodą elmnacj Gaussa otrzymujemy poszukwane współczynnk c. Mając te współczynnk, mamy rozwązane w każdym punkce rozważanego obszaru. 3.. Problem II Ten sam problem chcemy jednak rozwązać w sposób przyblżony metodą rozwązań podstawowych (ang. method of fundamental soluton). Zgodne z tą metodą przyjmujemy rozwązane w postac: NC ( X, Y ) = c ϕ( X, Y, Xs, Ys ), Φ (3) = 1 gdze c są chwlowo neznanym stałym, podczas gdy w tradycyjnym ujęcu tej metody funkcja ϕ ( X, Y, Xs, Ys ) jest rozwązanem podstawowym równana Laplace a z punktem osoblwym umeszczonym na zewnątrz rozważanego obszaru, tzn. ( X, Y, Xs, Ys ) = ln[ ( X Xs ) + ( Y Ys ) ]. ϕ (4) Równane (3) ma tę własność, że w sposób dokładny spełna równane (7). Spełnene w sposób przyblżony warunków brzegowych pozwala na wyznaczene neznanych stałych c. Mając na uwadze rozwązane wyżej sformułowanego problemu, funkcje ϕ ( X, Y, Xs, Ys ) możemy dobrać w tak sposób, aby warunk brzegowe symetr, tj, warunk (8) (9) były spełnone w sposób dokładny. Po wykonanu lustrzanego odbca funkcj źródłowej umeszczonej w Xs, względem os Y otrzymujemy: punkce o współrzędnych ( ) Ys s ( X, Y, Xs, Ys ) = ln[ ( X Xs ) + ( Y Ys ) ] ln[ ( X Xs ) + ( Y + Ys ) ]. ϕ (5) Jeśl przyblżone rozwązane założymy w postac: NC ( X, Y ) = c ϕ ( X, Y, Xs, Ys ), = 1 s Φ (6)

9 Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 5 to spełna ono w sposób dokładny równane różnczkowe (7) oraz warunk (8) (9). Po obranu na tej częśc brzegu rozważanego obszaru, gdze warunek brzegowy ne jest spełnony ścśle, tj. na brzegach, X = 0 0 Y 0, 5 otrzymujemy N lnowych równań algebracznych w postac: NC = 1 dla X = 1, 0 Y 0, 5 dla Y = 0,5, 0 X 1 s ( X, Y, Xs, Ys ) = 1, c ϕ j = 1,,3,..., N, (7) NC = 1 j j s ( X, Y, Xs, Ys ) = 0, c ϕ (8) j NC 4Ys ( X j Xs X j Y j + Xs + Ys ) c j = 1 ( X j Xs X j + Y j + Ys Y j + Xs + Ys ) ( X Xs X + Y Ys Y + Xs + Ys j j j j ) j = 0, (9) gdze ( X j, Y j ) są współrzędnym punktów kolokacj. Układ równań zawera NC newadomych, których lczba mus być równa lczbe równań lub mnejsza od nej. Jeśl lczba ta jest mnejsza, tak układ nazywamy nadokreślonym rozwązuje sę go metoda najmnejszych kwadratów. Układ (6) zapszemy w sposób macerzowy: gdze: A Ac = b, (30) ( X, Y, Xs, Ys ), j = 1,,.., N, 1,,.., NC, = ϕ (31) j s j j = b = 0, b = 1. j Metodą najmnejszych kwadratów układ równań (7) sprowadzamy do postac: T A Ac = A b (3) W tym układze lczba równań jest równa lczbe newadomych. Po rozwązanu tego układu metodą elmnacj Gaussa otrzymujemy poszukwane współczynnk c. Mając te współczynnk, mamy rozwązane w każdym punkce rozważanego obszaru. j T

10 6 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej 4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH I WNIOSKI Zastosowana tutaj do rozwązana omawanych zagadneń metoda rozwązań podstawowych zależy od klku parametrów, takch jak: odległość konturu podobnego z punktam źródłowym od brzegu obszaru S, promeń okręgu źródłowego RZ, lczba punktów źródłowych MZ, lczba punktów kolokacj M. Na podstawe tych parametrów wyznaczamy lokalny błąd ERL oraz lczbę uwarunkowana układu UWA. W celu lustracj dokładnośc rozwązana opartego na metodze rozwązań podstawowych w tabelach 1 porównano rozwązana dla konturu źródłowego podobnego oraz konturu źródłowego umeszczonego na okręgu, natomast w tabelach 3 4 porównano wartośc lczby uwarunkowana dla obu konturów. Rozważmy wynk eksperymentów numerycznych dotyczących konturu geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu skręcana pręta o przekroju prostokątnym. Parametr E jest to wysokość pręta. W oblczenach przyjęto trzy różne wysokośc. Tabela 1 Wynk eksperymentów numerycznych dla problemu skręcana pręta o przekroju prostokątnym Results of numerc experments for the problem of twstng of a rectangular secton rod Kontur podobny Kontur na okręgu E M MZ S ERL NC RZ ERL 0, ,1750D+01 0,96995D ,158D+01 0,17887D-03 0, ,10500D+01 0,19187D ,1758D+01 0,3010D-04 0, ,500D+00 0,404D ,13558D+01 0,3334D-04 0, ,10000D+00 0,15849D ,11058D+01 0,604D-05 0, ,10000D+00 0,15735D ,1158D+01 0,1471D-04 0, ,1450D+01 0,84413D ,13880D+01 0,1678D-03 0, ,55000D+00 0,977D ,1380D+01 0,31375D-04 0, ,3500D+00 0,5988D ,1080D+01 0,1319D-04 0, ,500D+00 0,4338D ,130D+01 0,80948D-05 0, ,17500D+00 0,686D ,11480D+01 0,17584D ,1500D+01 0,35974D ,1914D+01 0,6664D ,5500D+00 0,7990D ,1734D+01 0,64463D ,30000D+00 0,43383D ,1479D+01 0,37770D ,0000D+00 0,5196D ,1914D+01 0,16605D ,45000D+00 0,438D ,1869D+01 0,809D+00 Z przedstawonych w tabel 1 wynków można wywnoskować, że w wększośc badanych przypadków błąd lokalny promena okręgu źródłowego jest znaczne mnejszy nż błąd odległośc konturu podobnego. Podczas zwększana lczby punktów źródłowych oraz lczby punktów kolokacj zmnejsza sę błąd lokalny. Można także zauważyć, że w wynku zwększana lczby E błąd lokalny

11 Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 7 najperw rośne, a późnej maleje. Optymalną wartość E otrzymuje sę dla E = 0,5. Mnmalne wartośc błędów dla, tej samej wartośc lczby E zostały w tabel pogrubone. Można także zaobserwować, że błąd lokalny jest mnejszy dla małej wartośc (S) (RZ). Podczas zwększana wartośc tych parametrów wartość błędu rośne. -1,5 -,5 log ERL -3,5-4,5 0,03 0,0 0,38 0,55 Rys. 5. Zależność błędu (ERL) od odległośc źródeł (S) E = 0,5 Fg. 5. Dependence of error (ERL) from the dstance of source (S) S -,9-3,3 log ERL -3,7-4,1-4,5 1,04 1,09 1,14 1,19 1,4 Rys. 6. Zależność błędu (ERL) od odległośc źródeł (RZ) E = 0,5 Fg. 6. Dependence of error (ERL) from the dstance of source (RZ) RZ

12 8 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej -1,5 - -,5 log ERL -3-3,5-4 -4,5 0,03 0,0 0,38 0,55 S Rys. 7. Zależność błędu (ERL) od odległośc źródeł (S) E = 0,5 Fg. 7. Dependence of error (ERL) from the dstance of source (S) - -,5 log ERL -3-3,5-4 -4,5 1,1 1,15 1,17 1,0 RZ Rys. 8. Zależność błędu (ERL) od odległośc źródeł (RZ) E = 0,5 Fg 8. Dependence of error (ERL) from the dstance of source (RZ) Rozważmy wynk eksperymentów numerycznych dotyczących konturu geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu testowego z necągłą funkcją na brzegu.

13 Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 9 Tabela Wynk eksperymentów numerycznych dla problemu testowego z necągłą funkcją na brzegu Results of numerc experments for the test wth uncontnuous functon on the shore problem Kontur podobny Kontur na okręgu M MZ S ERG NC RZ ERG ,16700D+01 0,4095D ,50180D+01 0,86148D ,17100D+01 0,40990D ,9680D+01 0,86133D ,16700D+01 0,4065D ,33680D+01 0,85389D ,13500D+01 0,3899D ,0680D+01 0,8304D ,18700D+01 0,39183D ,180D+01 0,84955D-01 Z przedstawonych w tabel wynków można wywnoskować, że w wększośc badanych przypadków błąd lokalny odległośc konturu podobnego jest znaczne mnejszy nż błąd promena okręgu źródłowego. Podczas zwększana lczby punktów źródłowych oraz lczby punktów kolokacj można zaobserwować zmnejszene wartośc błędu lokalnego. Można także zauważyć, że błąd lokalny jest mnejszy dla małej wartośc (S) oraz (RZ). Podczas zwększana wartośc tych parametrów wartość błędu rośne. Tabela 3 Wynk eksperymentów numerycznych dla problemu skręcana pręta o przekroju prostokątnym Results of numerc experments for the problem of twstng of a rectangular secton rod S UWA RZ UWA 0,5000D-01 0,64905D+03 0,1130D+01 0,97701D+0 0,17500D+00 0,33767D+03 0,11530D+01 0,94997D+0 0,3500D+00 0,1461D+03 0,11830D+01 0,9881D+0 0,47500D+00 0,765D+03 0,1130D+01 0,111D+03 0,6500D+00 0,46674D+03 0,1430D+01 0,14337D+03 0,77500D+00 0,67031D+03 0,1730D+01 0,1770D+03 0,9500D+00 0,8839D+03 0,13030D+01 0,1357D+03 0,10750D+01 0,11045D+04 0,13330D+01 0,539D+03 0,150D+01 0,1396D+04 0,13630D+01 0,9361D+03 0,13750D+01 0,15575D+04 0,13930D+01 0,3371D+03 0,1550D+01 0,17867D+04 0,1430D+01 0,3885D+03 0,16750D+01 0,0164D+04 0,14530D+01 0,43069D+03 0,1850D+01 0,457D+04 0,14830D+01 0,48055D+03 0,19750D+01 0,4740D+04 0,15130D+01 0,5333D+03 0,150D+01 0,7011D+04 0,15430D+01 0,58594D+03 0,750D+01 0,964D+04 0,15730D+01 0,6419D+03 0,450D+01 0,31499D+04 0,16030D+01 0,6988D+03 0,5000D+01 0,3689D+04 0,16180D+01 0,7736D+03 Rozważmy wynk eksperymentów numerycznych dotyczących konturu geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla pro-

14 30 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej blemu skręcana pręta o przekroju prostokątnym. W oblczenach przyjęto następujące wartośc parametrów oblczone metodą rozwązań podstawowych: M = 10, MZ = 5, NC = 10. Z przedstawonych w tabel 3 wynków można wywnoskować, że układ jest lepej uwarunkowany dla promena okręgu źródłowego nż dla konturu geometrycznego podobnego. Dla tych samych warunków początkowych różnca mędzy lczbą uwarunkowana obu przypadków sęga średno Można także zauważyć, że podczas zwększana odległośc konturu podobnego z punktam źródłowym od brzegu obszaru (S) odległośc pomędzy konturem źródłowym okrągłym a konturem kolokacj (RZ) lczba uwarunkowana rośne proporcjonalne. Rozważmy wynk eksperymentów numerycznych dotyczących konturu geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu testowego z necągłą funkcją na brzegu. W oblczenach przyjęto następujące wartośc parametrów oblczone metodą rozwązań podstawowych: M = 10, MZ = 5, NC = 10. Tabela 4 Wynk eksperymentów numerycznych dla problemu testowego necągłą funkcją na brzegu Results of numerc experments for the test wth uncontnuous functon on the shore problem S UWA RZ UWA 0,5000D+00 0,4584D+0 0,1130D+01 0,11808D+04 0,50000D+00 0,54155D+03 0,1180D+01 0,11115D+04 0,75000D+00 0,1054D+05 0,11330D+01 0,1046D+04 0,10000D+01 0,13887D+06 0,11380D+01 0,97541D+03 0,1500D+01 0,1373D+07 0,11430D+01 0,9178D+03 0,15000D+01 0,94093D+07 0,11480D+01 0,8766D+03 0,17500D+01 0,5379D+08 0,11530D+01 0,83414D+03 0,0000D+01 0,398D+09 0,11580D+01 0,79739D+03 0,500D+01 0,93634D+09 0,11630D+01 0,7650D+03 0,5000D+01 0,3060D+10 0,11680D+01 0,7948D+03 0,7500D+01 0,98375D+10 0,11730D+01 0,6983D+03 0,30000D+01 0,7517D+11 0,11780D+01 0,66898D+03 0,3500D+01 0,71113D+11 0,11830D+01 0,64137D+03 0,35000D+01 0,17166D+1 0,11880D+01 0,61788D+03 0,37500D+01 0,39045D+1 0,11930D+01 0,59985D+03 Z przedstawonych w tabel 4 wynków można wywnoskować, że dla bardzo małej wartośc (S) układ jest lepej uwarunkowany dla konturu geometrycznego podobnego nż dla konturu geometrycznego okrągłego. Dla wększych wartośc (S) wartość lczby uwarunkowana jest zblżona dla obu konturów. Można także zauważyć, że podczas zwększana odległośc konturu podobnego z

15 Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam punktam źródłowym od brzegu obszaru (S) wartość lczby uwarunkowana najperw rośne, a późnej sę stablzuje, natomast podczas zwększana promena okręgu źródłowego (RZ) lczba uwarunkowana jest stablna. LITERATURA [1] Bogomolny A., Fundamental soluton method for ellptc boundary value problems, SIAM J. Numer. Anal., 1985, vol., s [] Cho H.A., Golberg M.A., Muleshkov A.S., L X., Trefftz methods for tme dependent partal dfferental equatons, Comput. Math. Cont., 004, vol. 1, s [3] Cslno A.P., Applcaton of a smulated annealng algorthm n the optmal placement of source ponts n the method of the fundamental solutons, Comput, Mechancs, 00, vol. 8, s [4] Farweather G., Karageorghs A., The metod of fundamental solutons for ellptc boundary value problems, Adv. Comput. Math., 1998, vol. 9, s [5] Farweather G., Karageorghs A., Martn P.A., The method of fundamental solutons for scatterng and radaton problems, Engng. Analyss wth Boundary Elements, 003, vol. 7, s [6] Golberg M. A. Chen C. S., A mesh-free method for solvng nonlnear reacton-dffuson equatons, Computer Mothelng n Engneerng & Scences, 001, vol., s [7] Karageorghs A., Farweather G., The almans of fundamental solutons for solvng bharmonc problems, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 1988, vol. 6, s [8] Karageorghs A., Farweather G., The method of fundamental solutons for numercal soluton of the bharmonc equaton, J. Comput. Phys., 1987, vol. 69, s [9] Karageorghs A., Farweather G., The smple layer potental method of fundamental solutons for certan bharmonc equaton, Internat. J. Numer. Methods Fluds, 1989, vol. 9, s [10] Kołodzej J. A., Zastosowane metody kolokacj brzegowej w zagadnenach mechank, Poznań, Wyd. Poltechnk Poznańskej 001. [11] Kołodzej J. A., Kleber M., Boundary collocaton method vs FEM for some harmonc -D problems, Computer & Structures, 1989, vol. 33, s [1] Kupradze V.D., Aleksdze M.A., Approxmate method of solvng certan boundary-value problems (n Rusan), Soobsc. Akad. Nauk Gruzn. SSR, 1963, vol. 30, s [13] Kupradze V.D., Aleksdze M.A., The method of functonal equatons for the approxmate soluton of certan boundary-value problems (n Rusan), Z. Vycsl. Mat. Mat. Fz., 1964, vol. 4, s [14] Mathon R., Johnston R. L., The approxmate soluton of ellptc boundary-value problems by fundamental solutons, SIAM J. Numer. Anal., 1977, vol. 14, s [15] Mtc P., Rashed Y. F., Convergence and stablty of the method of meshless fundamental solutons usng an array of randomly dstrbuted sources, Engng. Analyss wth Boundary Elements, 004, vol. 8, s [16] Nshmura R., Nshmor K, Ishhara N., Determnng the arrangement of fctous charges n charge smulaton method usng genetc algorthms, J. Electrostatcs, 000, vol. 49, s [17] Nshmura R., Nshmor K, Ishhara N., Automatc arrangement of fcttous charges and contour ponts n charge smulaton method for polar coordnate system, J. Electrostatcs, 001, vol. 51 5, s [18] Nshmura R., Nshhara M., Nshmor K, Ishhara N., Automatc arrangement of fcttous charges and contour ponts n charge smulaton method for two sphercal electrodes, J. Electrostatcs, 003, vol. 57, s [19] Nowack W., Teora sprężystośc, Warszawa, PWN 1970.

16 3 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej Recenzent: prof. dr hab. nż. Krzysztof Magnuck DETERMINATION THE OPTIMAL BETWEEN THE OUTLINE WITH SOURCES AND SHORE OF AREA WITH USING THE BASIC SOLUTION METHOD S u m m a r y In method of fundamental soluton the problem of determnaton of poston of sngulartes leads to defnton of shape pseudo-shore, we place sources on whch. The pseudo-shore s a crcle n the frst method, area s consdered of whch. The pseudo-shore s an outlne geometrcally smlar to an outlne of the coast of consdered area n the second method. The purpose of ths elaboraton s the numerc experments, whch have to answer the questons whch pseudo-shore s better and what dstance wth or what radus from outlne of area wth and what nfluence on a system of lnear equatons. Two problem whch are know n strct solutons for have been chosen to answer these questons. We nclude to these problems: the problem of a rectangular secton rod and test problem wth uncontnuous functon on the shore. These problems are solved wth a method of fundamental solutons, but the shore condtons are satsfed by the collocaton method wth mddle quadratc mnmzaton. The comparson of approxmate solutons to the strct soluton allow to answer the questons. Key words: boundary collocaton, method of fundamental solutons Prof. dr hab. nż. Jan Adam Kołodzej Instytut Mechank Stosowanej, Poltechnk Poznańskej ul. Potrowo 3, Poznań tel. (061) , e-mal: jan.kolodzej@put.poznan.pl Mgr nż. Potr Gorzelańczyk Instytut Poltechnczny, Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Ple ul. Podchorążych 10, Pła e-mal: pgorzelanczyk@pwsz.pla.pl

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca

Bardziej szczegółowo

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI

OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 187-192, Glwce 2008 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI ZBIGNIEW KOSMA, BOGDAN NOGA Instytut Mechank Stosowane,

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń. Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 81 Electrcal Engneerng 015 Mkołaj KSIĄŻKIEWICZ* OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU

Bardziej szczegółowo

u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH

METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH RAFAŁ PALEJ, RENATA FILIPOWSKA METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH APPLICATION OF THE SHOOTING METHOD TO A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH AN EXCESSIVE

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

Ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie?

Ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie? 1 Ile wynos suma mar kątów wewnętrznych w pęcokące? 1 Narysuj pęcokąt foremny 2 Połącz środek okręgu opsanego na tym pęcokące ze wszystkm werzchołkam pęcokąta 3 Oblcz kąty każdego z otrzymanych trójkątów

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 ZESZYTY NAUKOWE NSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚC WZGLĘDEM OS PODŁUŻNEJ DLA SAMOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWE WZORÓW DOŚWADCZALNYCH 1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012 ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW (88)/01 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANIE ASOWEGO OENTU BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDE OSI PIONOWEJ DLA SAOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWIE WZORU EPIRYCZNEGO 1. Wstęp asowy moment

Bardziej szczegółowo

Egzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013

Egzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013 Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

Praca podkładu kolejowego jako konstrukcji o zmiennym przekroju poprzecznym zagadnienie ekwiwalentnego przekroju

Praca podkładu kolejowego jako konstrukcji o zmiennym przekroju poprzecznym zagadnienie ekwiwalentnego przekroju Praca podkładu kolejowego jako konstrukcj o zmennym przekroju poprzecznym zagadnene ekwwalentnego przekroju Work of a ralway sleeper as a structure wth varable cross-secton - the ssue of an equvalent cross-secton

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja belki wspornikowej

Optymalizacja belki wspornikowej Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja

Bardziej szczegółowo

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4 Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr

Bardziej szczegółowo

Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej

Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 29.03.2016 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Badane parametrów fotometrycznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA

APROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 73 Electrcal Engneerng 213 Jan PURCZYŃSKI* APROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA W pracy wykorzystano metodę aproksymacj średnokwadratowej welomanowej, przy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam

Bardziej szczegółowo

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.

Bardziej szczegółowo

Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej

Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej 60-965 Poznań ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, Studa stacjonarne, II stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej wersja z dn. 08.05.017 Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia, Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą

Bardziej szczegółowo

Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5

Bardziej szczegółowo

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych

Bardziej szczegółowo

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY. Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY. Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY Zakład Budowy Eksploatacj Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA Temat ćwczena: PRAKTYCZNA REALIZACJA PRZEMIANY ADIABATYCZNEJ.

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)

ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) Wojcech KRAJEWSKI ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) STRESZCZENIE W artykule przeprowadzono analzę dokładnośc metod:

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających

Bardziej szczegółowo

2. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI

2. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI.. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI W metodze sł w celu przyjęca układu podstawowego należało odrzucć węzy nadlczbowe. O lczbe odrzuconych węzów decydował

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka

METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu

Bardziej szczegółowo

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania Łukasz Kacprzak, Jarosław Rudy, Domnk Żelazny Instytut Informatyk, Automatyk Robotyk, Poltechnka Wrocławska Welokryteralny Trójwymarowy Problem Pakowana 1. Wstęp Problemy pakowana należą do klasy NP-trudnych

Bardziej szczegółowo

Metody analizy obwodów

Metody analizy obwodów Metody analzy obwodów Metoda praw Krchhoffa, która jest podstawą dla pozostałych metod Metoda transfguracj, oparte na przekształcenach analzowanego obwodu na obwód równoważny Metoda superpozycj Metoda

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KRZEPNIĘCIA OBJĘTOŚCIOWEGO METALI Z UWZGLĘDNIENIEM PRZECHŁODZENIA TEMPERATUROWEGO

SYMULACJA KRZEPNIĘCIA OBJĘTOŚCIOWEGO METALI Z UWZGLĘDNIENIEM PRZECHŁODZENIA TEMPERATUROWEGO 49/14 Archves of Foundry, Year 2004, Volume 4, 14 Archwum O dlewnctwa, Rok 2004, Rocznk 4, Nr 14 PAN Katowce PL ISSN 1642-5308 SYMULACJA KRZEPNIĘCIA OBJĘTOŚCIOWEGO METALI Z UWZGLĘDNIENIEM PRZECHŁODZENIA

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW

OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW Inżynera Rolncza 8(96)/2007 OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW Jolanta Królczyk, Marek Tukendorf Katedra Technk Rolnczej Leśnej,

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych

Zastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych NAFTA-GAZ styczeń 2011 ROK LXVII Anna Rembesa-Śmszek Instytut Nafty Gazu, Kraków Andrzej Wyczesany Poltechnka Krakowska, Kraków Zastosowane symulatora ChemCad do modelowana złożonych układów reakcyjnych

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej

1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn..03.013 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów fotometrycznych

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 11

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 11 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 11 1 1. Testowane hpotez łącznych 2. Testy dagnostyczne Testowane prawdłowośc formy funkcyjnej: test RESET Testowane normalnośc składnków losowych: test Jarque-Berra

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH

RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH Stansław KOWALIK e-mal: skowalk@wsb.edu.pl Wyższa Szkoła Bznesu Dąbrowa Górncza RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH Streszczene Praca dotyczy nekooperacynych sekwencynych ger dwuosobowych o sume

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej

1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 0.03.011 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów fotometrycznych Ŝarówek dod śwecących o ukerunkowanym

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie projektowe z Podstaw Inżynierii Komunikacyjnej

Ćwiczenie projektowe z Podstaw Inżynierii Komunikacyjnej Poltecnka ałostocka Wydzał udownctwa Inżyner Środowska Zakład Inżyner Drogowej Ćwczene projektowe z Podstaw Inżyner Komunkacyjnej Projekt tecnczny odcnka drog klasy tecncznej Z V p 50 km/. Założena do

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie lokalizacji obiektu logistycznego z zastosowaniem metody wyważonego środka ciężkości studium przypadku

Wyznaczanie lokalizacji obiektu logistycznego z zastosowaniem metody wyważonego środka ciężkości studium przypadku B u l e t y n WAT Vo l. LXI, Nr 3, 2012 Wyznaczane lokalzacj obektu logstycznego z zastosowanem metody wyważonego środka cężkośc studum przypadku Emla Kuczyńska, Jarosław Zółkowsk Wojskowa Akadema Technczna,

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr 0. Badanie rozkładu rzutu śnieżkami do celu

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr 0. Badanie rozkładu rzutu śnieżkami do celu WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORJNE Z FIZKI trzec termn wpsu zalczena do USOSu upływa...prowadząca(y)... grupa... podgrupa... zespół... semestr roku akademckego... student(ka)... SPRAWOZDANIE

Bardziej szczegółowo

AUTOMATYZACJA PROCESU POMIARU OBJĘTOŚCI ZBIORNIKÓW CYLINDRYCZNYCH W OPARCIU O NORMĘ ISO-7507

AUTOMATYZACJA PROCESU POMIARU OBJĘTOŚCI ZBIORNIKÓW CYLINDRYCZNYCH W OPARCIU O NORMĘ ISO-7507 Archwum Fotogrametr, Kartograf Teledetekcj, Vol. 19, 2009 ISBN 978-83-61576-09-9 AUTOMATYZACJA PROCESU POMIARU OBJĘTOŚCI ZBIORNIKÓW CYLINDRYCZNYCH W OPARCIU O NORMĘ ISO-7507 THE AUTOMATION OF CYLINDRICAL

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO ROZWIĄZANIA ZBILANSOWANEGO ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO

ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO ROZWIĄZANIA ZBILANSOWANEGO ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO Studa Materały. Mscellanea Oeconomcae Rok 6, Nr 2/22 Wydzał Zarządzana Admnstrac Unwersytetu Jana Kochanowskego w Kelcach Z a r z ą d z a n e f n a n s e Rafał Prońko ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI 1. WSTĘP... 4

SPIS TREŚCI 1. WSTĘP... 4 SPIS TREŚCI. WSTĘP... 4.. WAśNOŚĆ PROBLEMATYKI BĘDĄCEJ PRZEDMIOTEM PRACY....4.. CELE PRACY....4.3. ZAKRES PRACY...4.4. WYKORZYSTANE ŹRÓDŁA....5. OBLICZENIA DYNAMICZNE KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH... 6.. MACIERZOWE

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Stateczność układów ramowych

Stateczność układów ramowych tateczność układów ramowych PRZYPONIENIE IŁ KRYTYCZN DL POJEDYNCZYCH PRĘTÓW tateczność ustrou tateczność ustrou est to zdoność ustrou do zachowana nezmennego położena (kształtu) ub nacze mówąc układ po

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH

Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa.   PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy

Bardziej szczegółowo

MIĘDZYNARODOWE UNORMOWANIA WYRAśANIA ANIA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

MIĘDZYNARODOWE UNORMOWANIA WYRAśANIA ANIA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH MIĘDZYNARODOWE UNORMOWANIA WYRAśANIA ANIA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Adam Mchczyńsk W roku 995 grupa nstytucj mędzynarodowych: ISO Internatonal Organzaton for Standardzaton (Mędzynarodowa Organzacja Normalzacyjna),

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH

ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ Nr 83 Budownctwo Inżynera Środowska z. 59 (4/1) 01 Bożena BABIARZ Barbara ZIĘBA Poltechnka Rzeszowska ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr 0. Badanie rozkładu rzutu śnieżkami do celu

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr 0. Badanie rozkładu rzutu śnieżkami do celu WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORJNE Z FIZKI trzec termn wpsu zalczena do USOSu upływa...prowadząc(a/y)... grupa... podgrupa... zespół... semestr... roku akademckego... student(ka)... SPRAWOZDANIE

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE DWÓCH NIEOSOBLIWYCH METOD TREFFTZA NA PRZYKŁADZIE DWUWYMIAROWEGO ZAGADNIENIA LAPLACE A, CZ. 2

PORÓWNANIE DWÓCH NIEOSOBLIWYCH METOD TREFFTZA NA PRZYKŁADZIE DWUWYMIAROWEGO ZAGADNIENIA LAPLACE A, CZ. 2 Eksploatacja testy Dorota BORKOWSKA PORÓWNANIE DWÓCH NIEOSOBLIWYCH METOD TREFFTZA NA PRZYKŁADZIE DWUWYMIAROWEGO ZAGADNIENIA LAPLACE A CZ. 2 Celem pracy jest porównane dwóch wersj metody Trefftza zastosowanych

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA. Ops teoretyczny do ćwczena zameszczony jest na strone www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomarowego

Bardziej szczegółowo

7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH

7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH WYKŁAD 7 7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH 7.8.. Ogólne równane rucu Rucem zmennym w korytac otwartyc nazywamy tak przepływ, w którym parametry rucu take jak prędkość średna w przekroju

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA POZNAŃSKA ZAKŁAD CHEMII FIZYCZNEJ ĆWICZENIA PRACOWNI CHEMII FIZYCZNEJ

POLITECHNIKA POZNAŃSKA ZAKŁAD CHEMII FIZYCZNEJ ĆWICZENIA PRACOWNI CHEMII FIZYCZNEJ WPŁYW SIŁY JONOWEJ ROZTWORU N STŁĄ SZYKOŚI REKJI WSTĘP Rozpatrzmy reakcję przebegającą w roztworze mędzy jonam oraz : k + D (1) Gdy reakcja ta zachodz przez równowagę wstępną, w układze występuje produkt

Bardziej szczegółowo

1 Metody optymalizacji wielokryterialnej... 1 1.1 Ogólna charakterystyka problemu... 1 1.2 Tradycyjne metody optymalizacji wielokryterialnej...

1 Metody optymalizacji wielokryterialnej... 1 1.1 Ogólna charakterystyka problemu... 1 1.2 Tradycyjne metody optymalizacji wielokryterialnej... 1 Metody optymalzacj welokryteralnej.... 1 1.1 Ogólna charakterystyka problemu.... 1 1.2 Tradycyjne metody optymalzacj welokryteralnej.... 3 1.2.1 Metoda ważonych kryterów.... 3 1.2.2 Metoda optymalzacj

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sztywności zastępczej układu sprężyn

Wyznaczanie współczynnika sztywności zastępczej układu sprężyn Wyznaczane zastępczej sprężyn Ćwczene nr 10 Wprowadzene W przypadku klku sprężyn ze sobą połączonych, można mu przypsać tzw. współczynnk zastępczej k z. W skrajnych przypadkach sprężyny mogą być ze sobą

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie

Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie Jednym z podstawowych zagadnień mechaniki płynów jest analiza przepływu płynu przez przewody o dowolnym

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Janik. Instytut Kształtowania i Ochrony Środowiska, Akademia Rolnicza Pl. Grunwaldzki 24, 50-363 Wrocław e-mail: janik@miks.ar.wroc.

Grzegorz Janik. Instytut Kształtowania i Ochrony Środowiska, Akademia Rolnicza Pl. Grunwaldzki 24, 50-363 Wrocław e-mail: janik@miks.ar.wroc. Acta Agrophysca, 26, 8(), 3-7 DYNAMIKA WILGOTNOŚCI WIERZCHNIEJ WARSTWY GLEBY JAKO INFORMACJA O INTENSYWNOŚCI AROWANIA * Grzegorz Jank Instytut Kształtowana Ochrony Środowska, Akadema Rolncza l. Grunwaldzk

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00 Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo