METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

Transkrypt

1 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl Marusz B. Bogack 1

2 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 2 z 14 LITERATURA 1. Atknson, A. C., A. N. Donev, Optmum Expermental Desgns, Oxford Scence Publcatons, Clarendon Press, Oxford, Draper, N. R., H. Smth, Analza Regresj Stosowana, PWN, Warszawa, Mańczak K., Technka Planowana Eksperymentu, WNT, Warszawa, Rafajłowcz, E., Algorytmy Planowana Eksperymentu z Implementacjam w Środowsku MATHEMATICA, Akademcka Ofcyna Wydawncza PLJ, Warszawa, Rafajłowcz, E., Optymalzacja Eksperymentu z Zastosowanam w Montorowanu Jakoścą Produkcj, Ofcyna Wydawncza Poltechnk Wrocławskej, Marusz B. Bogack 2

3 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 3 z 14 SPIS TREŚCI Metoda analzy regresj 3. Plany czynnkowe dwupozomowe 4. Plany czynnkowe welopozomowe 5. Plan optymalzacj Boxa - Wlsona 6. Plany D-optymalne (podstawowe założena, krytera optymalnośc; Plany D- T- optymalne) Marusz B. Bogack 3

4 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 4 z WSTĘP Planowane eksperymentu łączy ze sobą elementy teor z bezpośredną praktyką. Początk jej datowane są na lata dwudzeste trzydzeste zeszłego weku, a jej rozwój zwązany był z badanam eksperymentalnym w rolnctwe. Ze względu na długe okresy wegetacj rośln, złe zaplanowane eksperymentu mogło zostać naprawone najwcześnej dopero po roku. Stąd prawdłowo zaplanowany eksperyment był podstawą badań rozstrzygających o doborze gatunków czy sposobe upraw. Po drugej wojne śwatowej technk planowana eksperymentów przenesone zostały do nektórych gałęz przemysłu. Głównym mejscem zastosowań stał sę przemysł chemczny, gdze planowane eksperymentu służy mędzy nnym doborow optymalnych warunków prowadzena procesu technologcznego, czy też otrzymana substancj o pożądanych właścwoścach. Podjęto równeż próby zastosowana planowana w badanach laboratoryjnych w celach poznawczych. W ostatnm dwudzestolecu zeszłego weku nastąpł znaczny wzrost zanteresowana metodam planowana eksperymentu, zarówno w aspektach praktycznych jak też teoretycznych. Zwązane to było z jednej strony z gwałtownym rozwojem technk oblczenowych (dostępność tanch szybkch komputerów), z drugej natomast strony z powstanem nowych obszarów zastosowań takch jak chocażby sterowane jakoścą produkcj Zastosowana metod planowana eksperymentu Sterowane jakoścą produkcj. Badana te obejmują cały szereg zagadneń zwązanych ne tylko z klasyczną kontrolą jakośc czy sposobam prowadzena kart kontrolnych, ale równeż badana eksperymentalne stosowane na etape projektowana wdrażana wyrobów do produkcj. Celem tych badań jest poszukwane optymalnych warunków prowadzena procesu. Mnmalzacja zmennośc w jakośc produkcj. Obok badań zwązanych z sterowanem jakoścą wytwarzana stotnym zagadnenem jest utrzymane zadanych parametrów wyrobu, Marusz B. Bogack 4

5 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 5 z 14 przy jednoczesnej mnmalzacj ch rozrzutu wokół wartośc zadanych. Chodz tu o tak sposób produkcj, aby lczba produktów wadlwych oraz różnce pomędzy parametram charakteryzującym produkty dobre były jak najmnejsze. Eksperyment w systemach automatyk. Pomar odpowedz układu na skokową zmanę sygnału wejścowego jest ważnym elementem technk projektowana układów regulacj automatycznej. Celem takch badań jest budowa modelu matematycznego obektu na podstawe danych pomarowych. Pozwala to na właścwe zaprojektowane układu regulacj. Ważnym zagadnenem w takch badanach jest właścwy dobór wymuszeń. Planowane zadań oblczenowych. Przeprowadzając symulacje komputerowe obnżyć można koszty badań eksperymentalnych na rzeczywstych obektach. Dzęk znacznemu wzrostow mocy oblczenowej komputerów powstają coraz bardzej złożone modele opsujące badane zjawska. Jednakże prowadz to do paradoksalnej sytuacj. Coraz bardzej rozbudowane modele wymagają prowadzena oblczeń w coraz dłuższym czase przy wykorzystanu coraz wększych mocy oblczenowych, co zwększa koszty tego etapu badań. Równocześne mocno rozbudowane modele złożonych zjawsk ne poddają sę prostemu opsow matematycznemu, zaczynają wykorzystywać różne algorytmy przyblżone take jak stochastyczne czy heurystyczne. Wszystko to spowodowało, że modele take zaczęto traktować podobne jak podlegające badanom eksperymentalnym obekty fzyczne w efekce stosować technk planowana eksperymentu. Pojawł sę tutaj jednakże nowy problem. W klasycznym eksperymence wynk badań zakłócone są przez różne często ne zdentyfkowane czynnk, co oznacza, że dla tych samych warunków prowadzena dośwadczene otrzymujemy różne wynk. Odmenna sytuacja jest w przypadku eksperymentów komputerowych, w których dla tych samych danych wejścowych wynk powtórnych oblczeń jest dokładne tak sam. Wymagało to zastosowana nowych technk planowana eksperymentu. Dośwadczena w badanach leków. Badana klnczne nowych leków stanową ważną równocześne specyfczną grupę zastosowań technk planowana eksperymentu. Zwązane jest to zarówno ze specyfką badań badana prowadzone są na ludzach jak też z możlwoścą wystąpena szeregu zjawsk zarówno korzystnych (właścwośc terapeutyczne badanego specyfku) jak też nekorzystnych (efekty uboczne). Marusz B. Bogack 5

6 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 6 z Podstawowe pojęca W badanach eksperymentalnych dysponujemy pewnym obektem badań, który poddajemy dośwadczenom. Obekt ten traktować możemy jako czarną skrzynkę, która w wynku zastosowanych wymuszeń u generuje odpowedz y (rysunek 1.1). u 1 u 2 u M OBIEKT y 1 y 2 y T ε 1, ε 2,, ε T, Rys Schematyczna reprezentacja eksperymentu. u 1, u 2,..., u M czynnk lub zmenne objaśnające, y 1, y 2,..., y T wyjśca lub odpowedz obektu, ε 1, ε 2,, ε T błędy losowe zakłócające odpowedz obektu. Przedstawony na rysunku 1.1 obekt ma M wejść u 1, u 2,..., u M zwanych czynnkam lub zmennym objaśnającym oraz T wyjść y 1, y 2,..., y T zwanych równeż odpowedzam obektu. Badany obekt poddany jest neznanym nemerzalnym zakłócenom ε 1, ε 2,, ε T. Przyjmuje sę, że lczba zakłóceń odpowada lczbe wyjść T. Przeprowadzane badana mają doprowadzć do stworzena opsu matematycznego (modelu matematycznego) analzowanego obektu. W tym celu eksperymentator, w trakce badań, modyfkuje czynnk u obserwując odpowedz obektu y. Przy czym wszystke odpowedz obektu obarczone są neznanym błędam ε. Są one przypadkowe podlegają cągłym neprzewdywalnym zmanom. Dlatego też powtarzając eksperyment przy tych samych określonych wartoścach wejść x 1, x 2,..., x M możlwe jest otrzymane różnych wartośc wyjść y 1, y 2,..., y T. Marusz B. Bogack 6

7 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 7 z 14 Prawdzwy zwązek pomędzy odpowedzam obektu y a czynnkam u jest zwykle neznany. Oznacza to, że badany obekt opsuje neznana, ogólne nelnowa funkcja, której argumentam są zarówno określone przez eksperymentatora czynnk u, jak też nemerzalne zakłócena ε ( u1, u 2, Ku m, ε1, ε 2, K, ε t y = f ) (1) Poneważ rzeczywsta postać tej funkcj jest neznana, to oberamy model matematyczny będący funkcją aproksymującą odpowedz obektu w badanym obszarze. Model ten wyznaczmy na podstawe obserwacj wyjść obektu. Model matematyczny uzyskany albo w forme wzorów matematycznych, albo też w postac algorytmu spełnać pownen klka warunków 1. Być możlwe prosty. 2. Charakteryzować sę dużą dokładnoścą w punktach, gdze dokonano pomarów. 3. Zapewnać możlwość sensownej oceny (aproksymować) wartośc wyjśca w punktach, w których ne dokonano pomarów. Wymagane to ogranczone jest do obszaru badań. 4. Ops pownen odzwercedlać cechy jakoścowe badanego procesu. Oznacza to, że pownen na przykład zachować wypukłość zależnośc y od x, o le badany proces cechę taką posada. Opracowywany plan eksperymentu zależy od modelu opsującego badany obekt. Stąd stotny jest dobór właścwego modelu. W welu przypadkach na podstawe rozważań teoretycznych można zaproponować postać modelu opsującego badany obekt. Jednakże najczęścej ne jest to możlwe. W takch przypadkach dokonać tego należy na podstawe danych eksperymentalnych. Jak stąd wynka sprawa doboru postac modelu opsującego badany obekt jest bardzo stotna dla powodzena dentyfkacj właścwośc obektu jego ewentualnej dalszej optymalzacj. W prowadzonych badanach eksperymentalnych wyróżnć można klka etapów począwszy od decyzj dotyczących obektu badań, poprzez przyjęce stosowanych metod badaw- Marusz B. Bogack 7

8 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 8 z 14 czych, na analze uzyskanych wynków badań skończywszy. Celem uzyskana odpowedz na postawone pytana dotyczące badanego obektu kolejno należy 1. Wyodrębnć szeroko rozumany obekt badań eksperymentalnych. Obekt tak traktować można jako pewnego rodzaju czarną skrzynkę, która w wynku zastosowana wymuszeń x generuje odpowedź y (rysunek 1.1). 2. Wskazać pewne merzalne welkośc y charakteryzujące badany obekt, dalej zwane wyjścam lub odpowedzam obektu. Pomary tych welkośc odbywać sę mogą przy pomocy różnych przyrządów pomarowych. 3. Wyróżnć welkośc u, o których mamy podstawy przypuszczać, że oddzaływają na wskazane wcześnej welkośc y charakteryzujące aktualny stan obektu badań. Welkośc te nazywać będzemy welkoścam wejścowym, czynnkam lub zmennym objaśnającym. 4. Scharakteryzować pewen ops matematyczny zwany modelem matematycznym opsujący zależność pomędzy wejścam u a wyjścam y. Ops ten zwykle ne jest w pełn znany. Informacje o nm zdobywamy w trakce przeprowadzanego eksperymentu. Należy tutaj podkreślć, że przez eksperyment rozumemy serę dośwadczeń wykonywanych każdorazowo od początku do końca w sposób nezależny. 5. Określć plan eksperymentu, przez który rozumeć będzemy zestaw welkośc wejścowych u, które stosowane będą w trakce eksperymentu. W przyjętym tutaj ujęcu planowane eksperymentu ma na celu, uwzględnając wygodę eksperymentatora umożlwć wyznaczene pożądanego opsu matematycznego (modelu matematycznego) oraz ułatwć oblczena w faze opracowywana wynków badań. Dodatkowo przyjęty plan eksperymentu ma na celu zmnmalzować koszt badań. 6. Wykonać eksperyment przez który rozumemy serę dośwadczeń. 7. Opracować wynk badań. Tak węc przed przystąpenem do dentyfkacj obektu rozważyć należy, znane z wcześnejszych dośwadczeń, zwązk pomędzy rozpatrywanym zmennym. Przeanalzować należy równeż dzałane obektu uwzględnając cel jego stnena. Na tej podstawe określć należy ogólną strukturę modelu obektu, ustalając wejśca wyjśca. W końcu przyjąć należy Marusz B. Bogack 8

9 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 9 z 14 postać modelu matematycznego lub też klku jego warantów. Mając model przystąpć możemy do planowana eksperymentu. Poszukwane planu eksperymentu jest procesem złożonym realzowanym zgodne z pewnym algorytmem. Algorytm ten uwzględnając różne czynnk generuje oczekwany produkt w postac dobrego plany eksperymentu. Przy tym przystępując do planowana zastanowć sę należy nad celem przyjętego dzałana. W zasadze wskazać można dwa podstawowe cele, dla których podejmowane jest planowane eksperymentu 1. Modelowane powerzchn odpowedz systemu. Celem planowana jest możlwe dokładne, w określonym sense, oszacowane zależnośc funkcyjnej opsującej zwązek pomędzy wejścem u a wyjścem y. 2. Poszukwane ekstremum odpowedz obektu. W przypadku, gdy ops matematyczny obektu ne jest znany, należy najperw na podstawe przeprowadzonego eksperymentu oszacować funkcję opsującą obekt, a następne wykonać jej maksymalzację Krytera dobrego planu eksperymentu Istotnym zagadnenem jest opracowane dobrego planu eksperymentu. Podać możemy cały szereg różnych wymagań zwązanych z planam eksperymentu spośród, których wyróżnć można następujące: 1. Planowane ortogonalne. W czasach, gdy dostępność komputerów była znkoma lub żadna opracowane wynków eksperymentów było zajęcem bardzo pracochłonnym. Dlatego zaproponowano tak zwane plany ortogonalne, to znaczy take, w których kolumny macerzy zawerającej wynk pomarów spełnały warunek ortogonalnośc. Iloczyn takej macerzy X T X generuje macerz dagonalną, dla której w prosty sposób znajduje sę macerz odwrotną. Dodatkowo plany take charakteryzują sę szeregem zalet z punktu wdzena statystycznego. Przede wszystkm pomnęce w modelu pewnych członów ne powoduje konecznośc przelczana oszacowań pozostałych parametrów, o le pomary wykonane zostały zgodne z planem ortogonalnym dla tego nowego modelu. Inną ch cechą jest to, że dla welu model wskaźnków jakośc planowana, plany ortogonalne okazały sę optymalne. Marusz B. Bogack 9

10 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 10 z Rotatablność planu. Model matematyczny procesu tworzony jest często w otoczenu wybranego punktu, zwanego centrum eksperymentu. Pożądaną cechą planu jest zapewnene, by dokładność oszacowana wartośc wyjść modelu (merzona przy pomocy warancj) ne preferowała żadnego kerunku. Inaczej mówąc własność ta oznacza stałość warancj w stałej odległośc od centrum planu. 3. Optymalność planu. Wymagane optymalnośc oznacza, że przyjęty został pewen wskaźnk merzący jakość różnych planów. Plan uznajemy za optymalny, gdy zapewna najwyższą możlwą do osągnęca w danych warunkach wartość tego wskaźnka. Wskaźnkem takm może być przykładowo dokładność oszacowana parametrów modelu. 4. Zapobegane złemu uwarunkowanu problemu estymacj. Wymagane to zwązane jest ze zmnejszanem błędów numerycznych powstających przy oblczanu oszacowań parametrów modelu metodą najmnejszych kwadratów. Plany ortogonalne w pewnym stopnu spełnają ten wymóg. 5. Odporność na duże zakłócena. W trakce badań powstać mogą tak zwane błędy grube. Mogą one wystąpć na skutek chwlowej nesprawnośc układu pomarowego lub też błędów popełnonych przez człoweka (źle odczytane wynk pomarów, błędy popełnone przy wprowadzanu danych, tp., td.). Problem odpornośc oszacowana modelu na tak zwane błędy grube pomarów jest stosunkowo nowy. Oczekujemy takego zaplanowana eksperymentu, aby zmnmalzować skutk ewentualnych błędów grubych. 6. Odporność na neprawdłową specyfkację modelu. Jednym z założeń przyjętych w badanach planów optymalnych jest założene, że postać modelu znana jest przed dośwadczenem, z dokładnoścą do neznanych parametrów, a specyfkacja modelu jest dokładna. Założene to bardzo slne ograncza możlwośc planowana eksperymentu. W ostatnm okrese pojawają sę prace wskazujące na nowe możlwośc w tym zakrese 1.4. Standaryzacja zmennych Każdy z czynnków u, = 1, 2,..., M, których wpływ na obekt badamy, przyjmuje wartośc z pewnego przedzału zman Marusz B. Bogack 10

11 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 11 z 14 u,mn u u, = 1,2, K, M (2), max Grance górna u,max dolna u,mn w jakch zmenają sę poszczególne czynnk zależą zarówno od fzycznych ogranczeń badanego układu jak też od przedzału zman nteresujących eksperymentatora. Ogranczena te wynkać mogą na przykład z zakresu temperatur w jakch badane substancje są ceczam, względne są one stablne termczne. Inne ogranczena wynkać mogą z możlwośc aparaturowych. Bardzo często zdarza sę, że czynnk, których wpływ na obekt badamy, przyjmują wartośc z różnych zakresów lczbowych. Różnce te mogą być nawet klku rzędów. W takch przypadkach korzystna jest transformacja zmennych zwana równeż standaryzacją lub kodowanem zmennych. Polega to na takm ch przeskalowane, aby nowe zmenne, oznaczone dalej przez x, przyberały wartośc z przedzału [-1, 1], wówczas, gdy orygnalne zmenne zmenają sę w przedzałach [u,mn, u,max ], = 1, 2,..., M. Transformacja ta przekształca układ współrzędnych, w którym znajdują sę zmenne rzeczywste, do nowego układu współrzędnych z punktem centralnym (środkem układu) wyznaczonym przez punkt u 10, u 20,..., u M0, w którego otoczenu wykonuje sę eksperyment. Jednocześne skala nowego układu współrzędnych dobrana jest w tak sposób, aby planowane wartośc zman czynnków u, = 1, 2,..., M były jednostkowe w nowym układze współrzędnych. Take standaryzowane lub kodowane zmenne defnuje sę w sposób następujący x u u 0 =, = 1,2, K, M (3) u gdze u 0 u,max u,mn u,max + u,mn = u,mn + = (4) 2 2 jest punktem centralnym nowego układu współrzędnych, oraz u,max u,mn u = u,max u0 = u0 u,mn = (5) 2 jest planowaną wartoścą zman czynnka u (wartoścą bezwzględną kroku wzdłuż os OX w skal naturalnej. Marusz B. Bogack 11

12 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 12 z 14 W przypadku, gdy eksperyment opsywany jest przy pomocy zmennych kodowanych, konecznym jest powrót do orygnalnych zmennych, szczególne w przypadku nterpretacj uzyskanych wynków. Wtedy stosować należy transformację odwrotną u = u + x u (6) Obszar badań Jak już wcześnej wspomnano każdy z badanych czynnków przyjmuje wartośc z pewnego przedzału zman. W zależnośc od przyjętego charakteru ogranczeń wyróżnć można klka szczególnych przypadków. Nektóre z nch przedstawone zostały one na rysunku 1.2. (a) (b) x 2 (c) (d) x 1 Rys Przykłady nektórych obszarów badań: a) kwadrat (bryła dla M > 2); b) koło (sfera dla M > 2); c) sympleks, dla eksperymentów zwązanych z badanam nad skłądem meszann; d) z dodatkowym ogranczenam wykluczającym duże wartośc równocześne dla x 1 x 2. Marusz B. Bogack 12

13 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 13 z 14 Jeżel ogranczene (2) spełnone jest nezależne dla każdego z M czynnków, to obszar badań dla zmennych x jest M wymarową bryłą. W szczególnym przypadku dla M = 2 jest to kwadrat (rysunek 1.2a), natomast dla M = 3 sześcan. Ten typ ogranczeń jest najczęścej spotykanym obszarem badań. Czasam natura eksperymentu wymusza bardzej złożoną specyfkację przedzałów zman dla czynnków, a tym samym obszaru badań. Przykładem może być sferyczny obszar badań zdefnowany wyrażenem m 2 x = 1 R 2 (7) gdze R jest promenem sfery. W przypadku gdy M = 2 uzyskujemy koło (rys. 1.2b), natomast dla M = 3 obszar badań będze kulą. Przyjęce takego obszaru sugeruje równy pozom zanteresowana we wszystkch kerunkach wychodzących z punktu centralnego planu. Spora grupa badań zwązana jest z optymalnym doborem składu meszanny. W takm przypadku funkcja odpowedz ne zależy od całkowtej lośc poszczególnych składnków meszanny, a od proporcj w jakch one sę znajdują. Oznacza to, że jeżel w trakce badań zmenamy lość jednego ze składnków meszanny, to automatyczne musmy zmenć lośc pozostałych. Ogranczene to zapsujemy w postac M = 1 x = 1, x 0 (8) Oznacza ono, że meszanna M składnków generuje obszar badań będący (M 1) wymarowym sympleksem. Obszar badań w przypadka 3 składnkowej meszanny pokazuje rysunek 1.2c. Częstokroć obszary badań są bardze złożone, szczególne gdy występują specjalne ogranczena. Przykładowo sytuacja taka wystąpć może w przypadku badań nad reakcją następczą w której nteresuje nas produkt przejścowy B A B C (9) Prowadzene takej reakcj w długm czase lub też przy podwyższonej temperaturze jest nekorzystne. Obszar takch badań przedstawa rysunek 1.2d. Marusz B. Bogack 13

14 Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 14 z 14 Oznaczmy przez I określony przez eksperymentatora obszar badań. Algorytm postępowana mający na celu wygenerowane planu eksperymentu poszukwać będze, w zadanym obszarze I, planu eksperymentu spełnającego określone przez eksperymentatora oczekwana (krytera). Należy tu podkreślć, że postać tego obszaru determnować będze zarówno sposób w jak ten plan będzemy znajdować, jak też rodzaj uzyskanego planu Błąd losowy Wykonując eksperyment uzyskujemy obserwowane w N punktach planu zbudowanego na obszarze I wyjśca obektu y, = 1, 2,..., N. Przy czym wszystke obserwacje obcążone są pewnym błędem ε. Wyróżnć możemy tutaj dwa przypadk 5. Błąd systematyczny. Zwązany on może być na przykład z newłaścwym skalbrowanem aparatury, błędach popełnonych w trakce przygotowywana dośwadczena tp. Wystąpene jego jest najczęścej zwązane z błędam popełnanym przez eksperymentatora jest nekorzystne. Jednym ze sposobów postępowana mającym na celu elmnację takej sytuacj jest wykonywane dośwadczeń, w ramach planu, w sposób losowy. 6. Błąd losowy. Jest on reprezentowany przez wektor ε na rysunku 1.1. Błędy losowe są nezależne od eksperymentatora występują zawsze. W przypadku błędów losowych zakładamy, że wszystke zakłócena ε, = 1, 2,..., N są nezależnym zmennym losowym o wartośc oczekwanej zero skończonych, jednakowych dla wszystkch zakłóceń, warancjach σ 2, czyl N, 2 ( 0 σ ) ε = (10) Zakładamy równeż, że zakłócena te oddzaływują addytywne na obekt badań y = µ + ε, = 1,2, K, N (11) gdze µ są prawdzwym, neznanym wartoścam wyjść modelu. Marusz B. Bogack 14