u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH"

Henryk Jóźwiak
4 lat temu
Przeglądów:

1 METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele zawsk o dużym znaczenu w technce: staconarny przepływ cepła, staconarny bezwrowy przepływ neścślwe nelepke ceczy, proste pola magnetyczne elektryczne. W teor sprężystośc równane Possona opsue rozkłady naprężeń w przekrou pręta skręcanego. Dla f ( x, x) 0 stae sę równanem Laplace a u u f ( x, x) 0 x x Rozpatruemy warunk brzegowe Drchleta Neumanna u( x) u, x 0 u( x) q( x) q0, x n gdze u 0 q 0 są funkcam danym na fragmentach brzegu. u q W prostych przypadkach (kształt obszaru warunk brzegowe) równane może być rozwązane analtyczne.

2 Metoda różnc skończonych Metoda różnc skończonych przyblża rozwązane równana różnczkowego przez zastąpene pochodnych odpowednm lorazam różncowym. Poneważ perwsza pochodną funkc f(x) est z defnc: f f(a + h) f(a) (x) = lm h e rozsądnym przyblżenem będze: dla małe wartośc h. f (x) f(a + h) f(a) h Analogczne est możlwe przyblżane pochodnych cząstkowych przez trzy różne operatory różncowe:

3 Ilorazy różncowe odpowadaące wyższym pochodnym: u u u u u x x h u u u u u y y g, k, k, k, k, k, k,. u u u 4u 6u 4u u x x h 4 4,,,,, W każdym punkce (x, y) równane różnczkowe cząstkowe est przyblżane równanem algebracznym. W przypadku równana Possona ma ono postać: h u, u, + u, + g u, u, + u, + f(x, y ) = 0 Dla równana Laplace a eśl h=g dostaemy: u, = u, + u, + u, + u, 4 N punktów satk w obszarze, N równań, N newadomych Dyskretna postać warunków brzegowych Na neregularnym brzegu a.) u = b.) u =

5 Metoda elementów brzegowych Brzegowe równane całkowe równoważne równanu Possona z warunkam brzegowym ( ) c( ) u( ) u( x) q (, ) ( ) u x x d x u (, x) d( x) f ( x) u (, x) dr( x) n c( ) est współczynnkem o wartośc na brzegu wewnątrz obszaru u (, x) ln r gdze r ( x ) ( x ). Funkca q określona est przez pochodną kerunkową u : Dokonuąc różnczkowana otrzymamy u q (, x) u u q n n, x q (, x). (37) n x ( r n r n ), r Brzegowe równane całkowe wąże ze sobą neznane funkce u( x ) e pochodną normalną u( x) q( x) na konturze obszaru. n

6 Podeśce numeryczne. Dyskretyzaca brzegu (LE elementów). Aproksymaca u( x ) q( x) na brzegu (np. u(p ), q(p ) stałe) 3. Budowa układu równań lnowych u ( P ) u ( P, x ) q ( P ) d q ( P, x ) u ( P ) d LE LE f ( x) u ( P, x) dr,,.. LE LE LE u ( P ) U ( ) q P Q u ( P ) f,,... LE u U q Q n f LE równań lnowych z newadomym u(p ) lub q(p ) Ostateczne: [A]{y} = {b} x P r P x Rozwązane {y} reprezentue neznane wartośc brzegowe u q. Macerz A pełna, nesymetryczna. 4. Rozwązane dae pełną nformacę o u( x ) q( x) na brzegu Metoda elementów brzegowych zmnesza lczbę neznanych parametrów w porównanu z metoda różnc skończonych MES.

7 Równoważne zagadnene mnmalzac funkconału: u u I ( u) f ( x, x ) u d q0ud, x x q gdze funkca u spełna warunek Drchleta u( x), u0 x u Metoda elementów skończonych. Dyskretyzaca obszaru na elementy, =, LE połączone w węzłach LE e 0,. Aproksymaca funkc poszukwane u( x) wewnątrz element skończonego welomanem LWE u( x, x ) N ( x, x ) u LWE - lczba węzłów elementu, u, =,...,LWE są wartoścam poszukwane funkc w węzłach, N(x,x) funkce kształtu 3. Dyskretna postać funkconału LE LK u u I ( u) f ( x, x ) u d q0ud x x

8 W każdym elemence u x u x LWE LWE N x N x u, u. Funkconał I est zastępowany przez funkcę neznanych wartośc u, =,,,LW, gdze LW to lczba węzłów modelu. W postac macerzowe: k k k3 klw u b k k k 3 u b I ( u) u, u, u3,..., u k LW 3 k 3 u3 u, u, u3,, ulw b3 klw k LW LW ulw blw I uk u ub LW LW LW LW LW LW LW Warunek koneczny ( dostateczny) mnmum: I 0,,, LW u stąd K u b (+ warunk brzegowe) m elementy zerowe LW - lczba stopn swobody m - szerokość półpasma macerzy Układ równań z neznanym wartoścam węzłowym poszukwane funkc.

9 Zasada mnmum całkowte energ potencalne. METODA RITZA Całkowta energa potencalna cała sprężystego V=U-W z Energa odkształcena sprężystego Praca potencalna sł zewnętrznych spręzystego Ω obszar cała, Γ brzeg, σ tensor naprężena, ε tensor odkształcena, u wektor przemeszczeń, p obcążena powerzchnowe, X obcążena obętoścowe Całkowta energa potencalna est funkconałem, którego argumentem est funkca opsuąca przemeszczena cała odkształcalnego. Pod wpływem obcążena w cele powstae take pole przemeszczeń, dla którego V przymue wartość mnmalną. Wówczas układ odkształcalny pozostae w stane równowag. V=U-W z =mn!

10 Całkowta energa potencalna belk obcążone wydatkem p [N/m], słam skuponym P [N] momentam skuponym M [Nm]: l l V ( ) EI w dx pwdx Pw M 0 0 w(x) lna ugęca belk o długosc l, w, Θ ugęca kąty ugęca w mescu przyłożena sł momentów Metoda Rtza. Lnę ugęca przyblżamy lnową kombnacą w postac: n w ( x) a ( x), gdze a są neznanym parametram, a są z góry założonym funkcam. Funkce muszą być lnowo nezależne, a w ~ ( x ) spełnać pownna przemeszczenowe warunk brzegowe.. Funkconał V est przyblżany przez funkcę n zmennych a V=V(a, a, a 3, a n ) 3. Współczynnk a są wyznaczane z mnmalzac funkc welu zmennych V 0,,..., n a [A]{a}={b} 4. Z rozwązana otrzymuemy wartośc a przyblżone rozwązane oraz sły wewnętrzne n w ( x) a ( x) M ( x) EIw ( x), q T ( x) EIw ( x).

11 PRZYKŁAD w(x) x p 0 Rozwązane ścsłe M g ( x) w ( x) M (x) = (l x) EI w(x = 0) = 0, w (x = 0) = 0 Po scałkowanu w(x) = Maksymalne ugęce w(l) = Rozwązane przyblżone (6l 4lx + x )x w ~ ( x) x 3 a ax a3x a4 mus spełnać warunk brzegowe stąd w(x = 0) = 0, w (x = 0) = a3x a4 V (4a3l a3a4l a4l ) p( a3 a4 ) w ~ ( x) x EI l 3 l 4

12 Warunek mnmum energ potencalne: V a 3 V a 4 3 EI p0l 8la3 l a4 0, 3 4 EI 3 p0l l a3 4l a dae współczynnk: a 5 p l p l 4 EI EI 0 0 3, a4 ostateczne rozwązane przyblżone: 5 p l 0 p 0 3 w ( x) x x, 4 EI EI 5 p0l M q ( x) p0l x, p0l T ( x).

Podobne dokumenty

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń. Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno