Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)

Transkrypt

1 Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7.1. Twerdzene Bettego (o wzajemnośc prac) Nech na dowolny uład ramowy statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny, ale o nepodatnych podporach przy brau naprężeń termcznych, dzała uład sł momentów suponych. Obcążena te rozdzelć można, w sposób dowolny, na dwe grupy, z tórych jedną nazwemy uładem sł P a drugą uładem sł P (przez sły należy rozumeć sły uogólnone). Przeanalzujemy dwe metody obcążena uładu. I przypade: Najperw przyładamy grupę sł P, a następne do tego stanu wprowadzamy grupę sł P (rys. 7.1). I II Kolejność obcążana P Δ Δ P Δ Δ Rys Ugęce bel pod wpływem dzałana sł P, a następne P Objaśnena: P - uład sł (moment, sła supona td.) dzałający na punt, - przemeszczene puntu wywołane przyczyną w punce, - przemeszczene puntu wywołane przyczyną w punce, - przemeszczene puntu wywołane przyczyną w punce, - przemeszczene puntu wywołane przyczyną w punce. Praca sł zewnętrznych na przemeszczenach przez ne wywołanych wynos: L =[ 1 2 P ]P [ 1 2 P P ]P (7.1) II przypade: Uład obcążena jest ta sam ja w przypadu I z tą różncą, że najperw przyładamy grupę sł P, a Dobra D., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybylsa P., Sysa A., Wdowsa A.

2 Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 2 następne do tego stanu wprowadzamy grupę sł P (rys. 7.2). I II Kolejność obcążana P Δ Δ P Δ Δ Rys Ugęce bel pod dzałanem sł P, a potem P Praca sł zewnętrznych ma obecne postać: L =[ 1 2 P ]P [ 1 2 P P ]P (7.2) Po zrównoważenu prawych stron równań, zgodne z zasadą superpozycj, oraz fatem, że wartość pracy ne zależy od hstor obcążeń (olejnośc dzałana przyczyn) otrzymujemy: po uproszczenu: L =L P =P (7.3) Twerdzene Bettego (o wzajemnośc prac): Jeżel na ustrój sprężysty dzałają dwa ne zależne od sebe ułady obcążeń, spełnające warun równowag, to praca obcążeń jednego uładu wyonana na przemeszczenach wywołanych dzałanem drugego uładu równa sę pracy obcążeń drugego uładu wyonanej na przemeszczenach wywołanych dzałanem perwszego uładu obcążeń Twerdzene Maxwella (o wzajemnośc przemeszczeń) Rozważmy dowolny uład statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny. Załóżmy obcążena. Załóżmy że podpory ne osadają, a temperatura ne zmena sę, mamy węc do czynena wyłączne z naprężenam wywołanym obcążenem zewnętrznym. Dobra D., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybylsa P., Sysa A., Wdowsa A.

3 Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 3 Uład poddamy dzałanu dwóch typów obcążena zbadamy przemeszczena: typ I: dzała sła jednostowa P (w punce ), badamy przemeszczena w punce ( ), typ II: dzała sła jednostowa P (w punce ), merzymy przemeszczene w punce ( ). Pomędzy przemeszczenam zachodz szczególny zwąze. Poażemy to na dwóch przyładach. Przyład 1 Analze zostaną poddane przemeszczena w belce wolnopodpartej. a) φ P b) M Δ Rys Do bel zostaje: a) przyłożona jednostowa sła, b) przyłożony jednostowy moment Do danej bel przyładamy olejno jednostowe obcążena: w punce jednostową słę P, a w punce jednostowy moment M. Spowoduje to powstane odpowednch przemeszczeń φ Δ. Korzystając z twerdzena Bettego można zapsać zależność: P =M (7.4) Należy zwrócć uwagę na to, że teraz przesunęce we wzorze (7.3) ma wartość ąta w merze łuowej. Przyjmując, że ułady sł obcążających są jednostowe, zaps można uproścć: = (7.5) Przyład 2 Do ratowncy przyłożono słę jednostową w punce 1, tóra wywołała przemeszczene w punce 2. Następne do tej samej ratowncy przyłożono słę jednostową w punce 2, tóra wywołała przemeszczene puntu 1. Zgodne z wcześnejszym rozważanam przemeszczena w puntach 1 2 w odpowednch erunach wywołane odpowednm słam są sobe równe. Dobra D., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybylsa P., Sysa A., Wdowsa A.

4 Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 4 1 P 1 2 Δ 21 1 Δ 12 2 P 2 Rys Przemeszczena ratowncy wywołane dzałanem sł w puntach 1 2 Twerdzene Maxwella (o wzajemnośc przemeszczeń). Przemeszczene uogólnone odpowadające -tej sle uogólnonej (po erunu tej sły) wywołane dzałanem uogólnonej sły P, równe jest przemeszczenu uogólnonemu, odpowadającemu -tej sle uogólnonej wywołanemu przez dzałane jednostowej sły uogólnonej P Twerdzene Raylegha (o wzajemnośc reacj) Rozważmy pracę reacj na przemeszczenach w dowolnym uładze sprężystym (cało odształcalne) przedstawonym na rys R ' R B R Δ Rys Reacje powstałe na sute przemeszczena podpory Dobra D., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybylsa P., Sysa A., Wdowsa A.

5 Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 5 ' R Δ R B R Rys Reacje powstałe na sute przemeszczena podpory Załadamy ogólny przypade onstrucj statyczne newyznaczalnej. Rysune 7.5 przedstawa przypuszczalne (narzucone) wymuszene nematyczne, po erunu podpory w punce. Rysune 7.6 to postać odształcona reacje wywołane przesunęcem, po erunu podpory. Zgodne z twerdzenem Bettego można przyrównać pracę sł uładu perwszego na przemeszczenach uładu drugego do pracy sł uładu drugego na przemeszczenach uładu perwszego: R 0 R B 0 R =R 0 R B 0 R R =R (7.6) Jeżel przemeszczena podpór przyjmujemy jao jednostowe: (7.7) to ostateczne otrzymujemy: R =R r =r (7.8) Twerdzene Raylegha: Reacja uogólnona r odpowadająca -temu przemeszczenu uogólnonemu a wywołana jednostowym przemeszczenem -tego węzu równa jest uogólnonej reacj r odpowadającej -temu przemeszczenu uogólnonemu wywołana jednostowym przemeszczenem -tego węzu. Dobra D., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybylsa P., Sysa A., Wdowsa A.

6 Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twerdzene o wzajemnośc przemeszczeń reacj Nech na dowolny uład ramowy statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny, przy brau naprężeń termcznych, dzała najperw uład sł P. Zapszemy pracę tego uładu jao LI. Następne załóżmy podatność jednej z podpór np. ąta obrotu φ zapszmy jego pracę jao L II. H a) j P Δ M V R j H b) Δ =φ j M Δ V R j Rys Ugęce bel pod dzałanem: a) uogólnonej sły P b) uogólnonego przemeszczena φ Formułujemy równane pracy sł uładu I na przemeszczenach uładu II: M H 0 V 0 P R j 0=L I (7.9) oraz sł uładu II na przemeszczenach uładu I: M 0 H 0 V 0 R j 0=L II (7.10) Po porównanu obu prac: L I =L II (7.11) otrzymujemy zależność: M P =0 (7.12) Dalej przyjmujemy, że sła przemeszczene są jednostowe: Dobra D., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybylsa P., Sysa A., Wdowsa A.

7 Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7 P = (7.13) otrzymujemy zwąze pomędzy reacją przemeszczenem: M 1 1 =0 M = (7.14) Na symbolach ogólnych można zapsać: m = (7.15) Zgodne z twerdzenem Raylegha możemy posłużyć sę uogólnonym symbolem reacj: r = (7.16) Twerdzene: Jeżel na ustrój sprężysty w punce dzała uogólnona sła jednostowa P, wywołująca w podporze reację r nezależne od tego jeśl uogólnonemu przemeszczenu jednostowemu podpory -tej towarzyszy pojawene sę w punce -tym przemeszczena, to rzut reacj r na erune przemeszczena jest równy rzutow przemeszczena na erune uogólnony sły P z przecwnym znaem (-P ). Dobra D., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybylsa P., Sysa A., Wdowsa A.