METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka"

Krzysztof Józef Smoliński
5 lat temu
Przeglądów:

METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka

zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P

przedzał czasu, [s] V q S(V) ds q gęstość mocy

ceplnej, [W/m 2 ] gęstość masy, [kg/m 3 ] c

1 METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V) ds q gęstość mocy ceplnej, [W/m 3 ] gęstość strumena mocy ceplnej, [W/m 2 ] gęstość masy, [kg/m 3 ] c cepło właścwe, [J/kg deg] przyrost temperatury względem otoczena 1

2 Przewodzene cepła Matematyczny ops ruchu cepła (2) l Prawo Fourer a - Krchoff a 1 0 S 0 x=l x W ogólnym przypadku Matematyczny ops ruchu cepła (3) Równane przewodnctwa ceplnego (dyfuzj) Objętość V jest dowolna Dla cał zotropowych x= y = z = Do rozwązana jest nezbędna znajomość warunku brzegowego oraz początkowego (t=0) (S) 2

3 Matematyczny ops ruchu cepła (4) Dowolność temperatury odnesena Nech podstawając do równana dyfuzj mamy Wnosek: Nezależne od rzeczywstego, czasoprzestrzennego rozkładu temperatury w analzowanym obekce, można ustalć za zerową (odnesena) temperaturę dowolnego jego punktu. Różnce temperatur pomędzy dowolnym punktam obektu, decydujące o rozpływe strumena mocy ceplnej, ne ulegają zmane. Matematyczny ops ruchu cepła (5) Naturalne warunk brzegowe 1. Warunek brzegowy Drchleta V q S D (V) ds Zwykle ustala sę Otoczene o bardzo dużej pojemnośc ceplnej 2. Warunek brzegowy Neumanna (dla częśc brzegu S N S) V q ds Zwykle ustala sę Brak wymany cepła poprzez część brzegu S N S N 3

4 Matematyczny ops ruchu cepła (6) Wykorzystane symetr obektu do redukcj modelu oblczenowego S D )=0 S D )=0 q q Płaszczyzna jednoczesnej symetr: - geometrycznej, - materałowej, - żródeł cepła. n =- n S N )=0 n =- n S N )=0 Matematyczny ops ruchu cepła (7) Oddawane cepła poprzez konwekcję promenowane 3. Warunek brzegowy Hankela V q S KP (V) ds KP= K+ P współczynnk konwekcj promenowana K = K0(1+1.2 v) v prędkość strug powetrza Konwekcja naturalna Dla odprowadzana w kerunku horyzontalnym ponowym do góry K0 K0 W/m 2 deg Dla odprowadzana w kerunku ponowym do dołu W/m 2 deg Promenowane Dla temperatur S= (80-120) o C Powerzchne matowe P W/m 2 deg Powerzchne błyszczące P W/m 2 deg 4

Własnośc fzyczne wybranych materałów Materał Przewodność ceplna [W/m deg]

230 2700 900 Stal 25-50 7850 500 Blacha elektrotechnczna 45-65 7800 500

24 1230 1250 Żywca poluretanowa modyfkowana 0.

5 Własnośc fzyczne wybranych materałów Materał Przewodność ceplna [W/m deg] Gęstość masy [kg/m 3 ] Cepło właścwe [J/kg deg] Medź Alumnum Stal Blacha elektrotechnczna Żywca polamdowa Żywca polestrowa Żywca poluretanowa modyfkowana Powetrze ( =75 o C) Przykładowe oblczena =100 =100 =0 =0 =100 x/ y=1 x/ y=10 x/ y=0.1 =0 5

6 Analza w przestrzenach lnowych Przestrzeną lnową rzeczywstą nazywamy pewen nepusty zbór elementów y, dla których określono operacje dodawana, mnożena przez lczbę rzeczywstą oraz wyróżnono element zerowy 0, jeśl dla dowolnych y k są spełnone następujące aksjomaty: y k +y m = y m + y k y k + (y m + y n ) = (y k + y m )+ y n y k + 0 = y k (y k + y m ) = y k + y m ( j y k = y k j y k ( j y k = ( j y k Przykłady przestrzen lnowych 1. Zbór wektorów na płaszczyźne E 2 (y 1 +y 2 ) y 2 y 1 2. Zbór funkcj lnowych y(x) w przedzale [a,b] y y 2 y 1 a b x (y 1 +y 2 ) 6

7 Wymar baza przestrzen lnowej Elementy y k (k=1...n) nazywamy lnowo nezależnym, jeżel żaden z tych elementów ne może być przedstawony za pomocą kombnacj lnowej z pozostałych. N y k y Lczbę N nazywamy wymarem przestrzen 1 k Bazą przestrzen lnowej {e } nazywamy zbór N lnowo nezależnych elementów należących do przestrzen, za pomocą którego można przedstawć dowolny element y z tej przestrzen. y N 1 e Przykłady baz przestrzen lnowych Dla każdej przestrzen lnowej rzeczywstej można znaleźć dowolne dużo układów elementów bazowych. 1. Przestrzeń wektorów na płaszczyźne E 2 y y = e 1 + e 2 = f 1 + f 2 f 1 f 1 f 2 e 2 2. Przestrzeń funkcj lnowych na przedzale [a, b] f 2 y f 1 f 2 e 1 y = e 1 + e 2 = f 1 + f 2 a e 1 e 2 b 7

8 Iloczyn skalarny norma przestrzen lnowej Iloczynem skalarnym dwu elementów y, z należących do przestrzen lnowej rzeczywstej nazywamy funkcję < y, z > o wartoścach rzeczywstych, jeżel spełnone są warunkł y, z+w = y, + y, w y, w = w, y z y, z = y, z y, y > 0 dla y 0 Norma przestrzen loczyn skalarny są powązane defncyjne jako Przestrzeń Eukldesowa n-wymarowa Bazą ortogonalną przestrzen n-wymarowej nazywamy tak zbór jej elementów{e k }jeżel dla dowolnej pary zachodz Jeśl dodatkowo norma każdego z wektorów bazowych jest równa jednośc to bazę taką nazywamy ortonormalną. Jeżel loczyn skalarny jest określony wyrażenem y, y N 1 2 ( ) y to normę ndukowaną przez ten loczyn nazywamy Eukldesową 2 8

9 Cosnusy kerunkowe Element przestrzen lnowej nazywamy unormowanym oznaczając go przez y N, jeżel jego norma jest równa jednośc. Ampltudę -tej składowej wektora y N nazywamy -tym cosnusem kerunkowym u n z własnoścą y 2 e 2 e 1 1 Iloczyn skalarny w przestrzenach funkcyjnych L 2 Jeżel dane są funkcje u, w określone całkowalne nad pewną dzedzną V (objętoścą, powerzchną, odcnkem), to loczyn skalarny tych elementów wynos Zadane aproksymacj: Wyznaczyć najlepsze przyblżene u a funkcj u za pomocą zboru funkcj bazowych e, =1,2...N 9

10 Przykłady zadań aproksymacj/nterpolacj 1. Szereg Fourera. Dana jest funkcja okresowa f(t) o okrese T. Wyznaczyć jej rozwnęce f a (t) w szereg funkcj cos, sn. Przykłady zadań aproksymacj/nterpolacj 2. Uogólnene ln łamanej. Dany jest zbór punktów y (x ), wyznaczyć funkcję y a cągłą, odcnkam lnową przechodzącą przez te punkty. y 1 x 4 x 5 x x 1 x 2 x 3 y ( x) y ( x) a y a (x) 10

11 Podstawy matematyczne metody elementu skończonego (pole skalarne) 1. Poszukujemy przyblżonego rozwązana pola temperaturowego (x), x=[x 1, x 2, x 3 ] w pewnym obszarze V o brzegu S spełnającego równane przewodnctwa ceplnego z warunkem brzegowym (x S)= S. 2. Zakładamy rozwązane w postac o neznanych ampltudach y 3. Równane przewodnctwa ceplnego mnożymy obustronne przez każdą z funkcj (x) całkujemy nad obszarem V. Podstawy matematyczne metody elementu skończonego (pole skalarne) 4. Otrzymana tożsamość całkowa, będąca formalne loczynem skalarnym funkcj równana przewodnctwa, przekształca sę do =1... N 5. Przedstawając poszukwany rozkład temperatury w postac kombnacj lnowej funkcj bazowych otrzymujemy układ N równań względem neznanych ampltud funkcj bazowych y j =1... N 11

12 Kształty elementów skończonych funkcj bazowych (perwszego rzędu) Zagadnene 1D elementem jest odcnek Zagadnene 2D elementem jest trójkąt lub czworokąt Zagadnene 3D elementem jest czworoścan lub sześcoścan (ntensywność koloru pokazuje wartość funkcj) Przekształcene tożsamośc całkowej MES do postac macerzowej 1. Całkowane odbywa sę oddzelne dla każdego elementu e k, k=1...m (dla uproszczena zapsu wprowadzono zotropową przewodność ) =1... N 2. Analtyczne wyrażena dla poszczególnych funkcj bazowych są znane, całk oblczane są na drodze numerycznej. Operatory sumowana całkowana mogą być wymenone mejscam. =1... N 12

Wektor wymuszeń równana macerzowego 1. Źródła mocy ceplnej 2. Warunk brzegowe a.

.. N Jeśl temperatura brzegu jest równa zeru - y j SD = 0,to Q SD = 0 =1.

Neumanna - znany jest na brzegu strumeń mocy ceplnej Se =1.

13 Wektor wymuszeń równana macerzowego 1. Źródła mocy ceplnej 2. Warunk brzegowe a. Drchleta - znana jest temperatura brzegu y j SD =1... N Jeśl temperatura brzegu jest równa zeru - y j SD = 0,to Q SD = 0 =1... N Wektor wymuszeń równana macerzowego 2. Warunk brzegowe b. Neumanna - znany jest na brzegu strumeń mocy ceplnej Se =1... N Jeśl strumeń ceplny ne przenka brzegu k SN = 0,to Q SN = 0, temperatura brzegu ne jest znana a pror. c. Hankela - znana jest na brzegu ntensywność wymany cepła przez konwekcję =1... N 13

14 Układ równań lnowych równoważny tożsamośc całkowej wymany cepła Tożsamość całkowa jest równoważna układow równań =1... N SD część brzegu z warunkem Drchleta, SN część brzegu z warunkem Neumanna, SH część brzegu z warunkem Hankela. =1... N 14

Podobne dokumenty

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :