Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja"

Angelika Brzezińska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja

2 Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest osągnęce możlwe dobrego rozwązana pod względem wybranego kryterum jakośc, np. ergonoma uchwytu, sprawność slnka, doskonałość proflu skrzydła, td. Jeżel kryterum jakośc można wyrazć w postac zależnośc funkcyjnej od parametrów projektu czy rozwązana, to możlwe jest zastosowane metod numerycznych w celu przeprowadzena optymalzacj.

3 Defncja optymalzacj Zazwyczaj kryterum jakośc defnuje sę jako funkcję kosztu (funkcję celu) lub błąd. Wówczas optymalzacja polega na mnmalzacj tego kryterum, czyl poszukwanu mnmum funkcj kosztu. Innym słowy, jeżel dana jest funkcja f : A R, A R n to optymalzacja polega na znalezenu takego punktu * * R n { } że dla każdego A \ zachodz nerównosc : f ( ) > f * 3

4 Przykład naturalnej optymalzacj mnmalzacja energ potencjalnej Układ fzyczny dąży do stan mnmalnej energ potencjalnej. Ne zawsze jest to możlwe (mnma lokalne). y f() Mnmum lokalne Mnmum globalne 4

5 Technczne zastosowana optymalzacj Projektowane konstrukcj archtektoncznych Projektowane maszyn narzędz Projektowane pojazdów nnych środków lokomocj Projektowane obwodów elektroncznych, np. komputerów Projektowane sec energetycznych, nformatycznych, telekomunkacyjnych td. Planowane trasy Logstyka Wele nnych. 5

6 Przykład optymalzacja narzędza Czy można zoptymalzować młotek? Parametry: - masa obucha, - długość trzonka Przykładowa funkcja kosztu: - zmęczene podczas wbjana 000 gwoźdz (trudna do pomerzena) Inna defncja czas wbca 000 gwoźdz. Zachodz koneczność ustalena nnych parametrów, np. rozmar gwoźdza, kondycja wytrenowane pracownka. 6

7 Przykładowe krytera optymalzacj Masa Wytrzymałość Trwałość Welkość Cena Sprawność Pozom wytwarzanego hałasu, zakłóceń, spaln td. Nektóre z kryterów należy maksymalzować, ale można zmenć znak funkcj kosztu zadane sprowadzć do mnmalzacj. 7

8 Ogranczene przestrzen poszukwana mnmum W zastosowanach techncznych często narzucane są wartośc granczne parametrów rozwązana, co prowadz do ogranczena zakresu poszukwana mnmum. Utworzony obszar może być skończony lub neskończony ogranczony. b b a a 8

9 Cele optymalzacj Optymalzacja lokalna poszukwane pojedynczego mnmum, zazwyczaj metody gradentowe (wykorzystujące pochodną albo jej numeryczne przyblżene) Optymalzacja globalna poszukwane mnmum globalnego w obecnośc welu mnmów lokalnych. Zazwyczaj wykorzystywane są metody bazujące na welokrotnym losowanu punktu startowego. 9

10 Metody optymalzacj Analtyczne - problemy lnowe (LP) kryterum jest lnową funkcją parametrów - problemy kwadratowe (QP) kwadratowe kryterum Numeryczne dotyczą problemów nelnowych (NP). Wykorzystują teracyjne technk poszukwana mnmum na podstawe analzy wartośc funkcj kosztu w welu punktach przestrzen parametrów. 0

11 Przykład rozwązywana równań nelnowych przez optymalzację Przykład poszukwana perwastka kwadratowego lczby f(y) y y równane nelnowe : funkcja kosztu : y y ( y ) 0 y Poszukwane perwastków równana można sprowadzć do poszukwana mnmum odpowedno zdefnowanej funkcj kosztu. Jeżel można wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcj kosztu, to zadane optymalzacj można sprowadzć do rozwązywana układów równań.

12 Optymalzacja jednowymarowa - metoda złotego podzału Jeżel w przedzale <a,b> wartość funkcj dla: a< < <b spełna nerówność: f( ), f( ) < f(a), f(b), to dla -tej teracj: f() a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5,,, dla,,, dla < > k k a b b b a a f f k a b a b b a f f k współczynnk złotego podzału.

13 Optymalzacja jednowymarowa - metoda nterpolacj kwadratowej Metoda polega na dopasowanu parabol f() ya bc do wartośc funkcj dla trzech punktów,, 3 Nowy punkt 4 jest mejscem mn mnmum parabol: mn -b/a mn 3 Wybór kolejnej trójk jest zależny od wartośc f( mn ). 3

14 Optymalzacja welowymarowa Funkcja kosztu często jest funkcją n parametrów. Wówczas optymalzacja sprowadza sę do poszukwana mnmum funkcj w n wymarach. Przykład dwuwymarowy 4

15 Optymalzacja welowymarowa - metody bezgradentowe Metody bezgradentowe ne wykorzystują nformacj o pochodnych cząstkowych funkcj (gradence). Często ne można wyznaczyć pochodnych, albo jest to kosztowne oblczenowo. Metoda Smple - w n-wymarowej przestrzen na baze n punktów (werzchołków) buduje sę fgurę nazywaną smpleem. Dla n jest to trójkąt. Optymalzacja polega na budowanu kolejnych przyblżeń, gdze punkt o najwększej wartośc jest symetryczne odbjany od naprzecwległej ścany. Jednocześne może nastąpć rozszerzene lub zawężene smpleu. Warunkem zakończena jest jego zmnejszene ponżej wartośc progowej. ma 5

16 Optymalzacja welowymarowa - metody gradentowe Metody gradentowe wykorzystują nformację o pochodnych cząstkowych funkcj (gradence). Metoda najwększego spadku - polega na tym, że mnmum funkcj jest poszukwane w kerunku przecwnym do gradentu: d f ( ) Metoda polega na wykonanu dwóch kroków w każdej teracj: -wyznaczene kerunku najwększego spadku w punkce, -poszukwane mnmum metodam jednowymarowym. Inne metody wykorzystujące perwsze pochodne to tzw. metody gradentów sprzężonych. 6

17 Nelnowa najmnejsza suma kwadratów (NLS) Metoda jest wykorzystywana przy dopasowanu funkcj do danych pomarowych, np. podczas dentyfkacj obektów dynamcznych. Nech kryterum mnmalzacj ma postać: T ( ) ( ) F( ) F( ) f F Metoda Gaussa-Newtona: kerunek d wyznacza sę z wzoru: J T T ( ) J( ) d J( ) F( ) Metoda Levenberga-Marquardta: kerunek d wyznacza sę z wzoru: [ ( ) ( ) ] T J J λi d J( ) F( ) J jest jakobanem wektora F, λ jest współczynnkem zbeżnośc. 7

18 Przykład dentyfkacja parametrów układu dynamcznego Identyfkacja parametrów transmtancj fltru pasmowo-przepustowego przez dopasowane jego odpowedz jednostkowej do cągu pomerzonych próbek. R C R 3 u I R C u O T ( s) U U O I śr śr ( s) Q ( s) ωśr s A Q ω s s ω śr W tym przypadku dobre efekty daje zastosowane metod gradentowych poszukwana optymalnych parametrów fltru. 8

19 Przykład problem komwojażera Problem polega na znalezenu najkrótszej trasy podróży przy założenu jednokrotnego odwedzena każdego z mast. lczba _ mozlwosc ( )! n Brak danej analtyczne, różnczkowalnej funkcj. Ne można zastosować gradentowych metod optymalzacj. 9

20 Unkane zatrzymana optymalzacj w mnmum lokalnym W przypadku występowana welu mnmów lokalnych stneje nebezpeczeństwo utknęca algorytmu optymalzacj w jednym z nch. Istneje szereg metod skuteczne unkających tego problemu przez generowane dodatkowych punktów startowych, np.: Symulowane wyżarzane Algorytmy ewolucyjne Algorytmy genetyczne 0

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe