KONSPEKT WYKŁADU. nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA. Piotr Konderla

Transkrypt

1 Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA Potr Konderla maj 2007

2 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej (wersja: maj 2007) 2 SPIS TREŚCI Ważnejsze oznaczena stosowane w konspekce I. Wprowadzene Czym są metody komputerowe mechank Proces rozwązywana zagadneń mechank metodam komputerowym Sformułowana zagadneń mechank ośrodków cągłych Klasyfkacja metod numerycznych... 9 II. Podstawowe równana mechank w ujęcu nelnowym Ops ruchu cała materalnego Ops stanu deformacj odkształcena Stacjonarny uaktualnony ops Lagrange a Przyrosty tensora odkształcena Ops stanu naprężena Równane ruchu - zasada zachowana pędu Równane konstytutywne Sformułowane zadana nelnowej mechank Sformułowane zadana lnowego dynamk Zaps macerzowy równań lnowej teor sprężystośc III. Przyblżone metody rozwązywana zagadneń brzegowych Sformułowane lokalne Metody ważonych resduów Metoda Galerkna (Bubnowa-Galerkna) Metoda najmnejszych kwadratów Słabe sformułowana ważonych metod resdualnych Metody waracyjne Metoda Rtza Metoda Galerkna w sformułowanu waracyjnym Poszerzona metoda Rtza IV. Wprowadzene do MES Sformułowane algorytmu MES dla przestrzennego/płaskego/lnowego zagadnena teor sprężystośc Sformułowane algorytmu MES dla zagadnena lnowej dynamk V. Wprowadzene do przestrzen funkcyjnych... 35

3 Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teora zastosowana 3 1. Zbór (np. lczb rzeczywstych) Funkcja F Grupa G Przestrzeń lnowa (wektorowa) V Norma przestrzen Przestrzeń Banacha Przestrzeń z loczynem skalarnym Przestrzeń Hlberta Przestrzeń funkcj całkowalnych w kwadrace L Przestrzene skończene wymarowe Przykład modelu MES dla zagadnena jednowymarowego Pochodna dystrybucyjna Przestrzeń Sobolewa rzędu H 1 (Ω) VI. Matematyczne podstawy MES Problem abstrakcyjny Abstrakcyjny problem w MES Istnene jednoznaczność rozwązana. Lemat Laxa Mlgrama Regularność rozwązana rzędu l Matematyczne pojęce elementu skończonego Skończene - wymarowy model obszaru Aproksymacyjna przestrzeń knetyczne dopuszczalna Regularna rodzna afnczna satek elementów skończonych Teora nterpolacj w przestrzenach Sobolewa Twerdzene o nterpolacj w przestrzenach Sobolewa Analza zbeżnośc dla elementów dostosowanych Całkowane numeryczne VII. Zagadnena dynamk Równane ruchu dla zagadnena dynamcznego Podzał zagadneń dynamcznych Zagadnene własne - problem matematyczny Zagadnene własne lnowego układu dynamcznego bez tłumena Normowane wektora własnego q Do czego służy analza zagadnena własnego? Zagadnene własne układów dynamcznych tłumonych... 52

4 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej (wersja: maj 2007) 4 8. Zagadnena dynamczne neustalone Całkowane numeryczne krok po kroku Całkowane metodą różnc skończonych Metoda Newmarka Metoda modalna VIII. Nelnowe zagadnena mechank Rodzaje nelnowośc Struktura nelnowośc. Macerz styczna Obcążene konstrukcj Metody rozwązywana nelnowych równań Metody przyrostowo-teracyjne przy sterowanu obcążenem Metoda Newtona Raphsona Modyfkacja metody Newtona Raphsona Metody quas newtonowske Metody przyrostowo teracyjne przy sterowanu parametrem śceżk IX. Zagadnena teor plastycznośc Zagadnene jednowymarowe Zagadnene trójwymarowe założena Powerzchna plastycznośc Równane konstytutywne Teora plastycznośc Prandtla Reuss a Powerzchne plastycznośc wyrażone przez nezmennk tensora naprężena Gradent funkcj plastycznośc Materał sprężysto plastyczny. Uogólnona teora Algorytmy oblczeń komputerowych X. Nelnowość geometryczna. Zagadnena statecznośc Sformułowane zagadnena nelnowo - geometrycznego w MES Zagadnene statecznośc początkowej Nelnowa stateczność Wodące stopne swobody Układy dealne mperfekcyjne Analza statecznośc poprzez zagadnene własne Zagadnene dużych przemeszczeń w płytach cenkch XI. Ustalone neustalone zagadnena pola... 92

5 Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teora zastosowana 5 1. Zagadnena przewodnctwa cepła Sformułowane waracyjne zagadnena przewodnctwa cepła Algorytm MES metoda Rtza Algorytm MES metoda ważonych resduów Zagadnene dynamczne neustalone zagadnena przewodnctwa cepła Lteratura

6 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej (wersja: maj 2007) 6 WAŻNIEJSZE OZNACZENIA STOSOWANE W KONSPEKCIE Oznaczena stosowane w zwązkach MOC (rozdz. II III) C 0 konfguracja odnesena, C, t C t+δt konfguracja aktualna w chwl t oraz w chwl t+δt, { z } kartezjańsk układ współrzędnych materalnych w E 3, { x } kartezjańsk układ współrzędnych przestrzennych, e wektory bazy układu kartezjańskego, z, x punkt materalny, położene punktu materalnego, B t cało materalne, czas, Ω, Ω obszar cała materalnego, brzeg obszaru, n jednostkowy wektor normalny do powerzchn u = u e wektor przemeszczena δ j 3 E delta Draca, przestrzeń Eukldesa, v = v e. wektor prędkośc, a = a e, wektor przyśpeszena, F j F, gradent deformacj, C,, tensor deformacj Greena, C j t B tensor deformacj Cauchy ego, ε, ε j, tensor odkształcena Greena, t ε tensor odkształcena Almasego-Hamela. t, ~ t wektory naprężena σ j tensor naprężena Cauchy ego, σ j, σ ~ j tensory naprężena Pol-Krchhoffa, I-szego II-go rodzaju, t t ˆ = tˆ t f ˆ = fˆ Δ(...) Δ t (...) ρ 0, ρ C jkl ( z, t) ( z, t) gęstość sł powerzchnowych, gęstość sł masowych, przyrosty w opse stacjonarnym, przyrosty w opse uaktualnonym, gęstość masy w konfguracj odnesena konfguracj aktualnej, tensor stałych materałowych cała sprężystego,

7 Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teora zastosowana 7 Oznaczena stosowane w równanach MES (rozdz. IV dalszych) Ω, Ω e analzowany obszar, obszar elementu skończonego, a =1,2,...,N punkty węzłowe obszaru, a α α=1,2,...,n e punkty węzłowe elementu skończonego, q, q α wektor parametrów węzłowych obszaru / elementu e tego, ϕ α (x) funkcja bazowe parametru α elementu e tego, u, u wektor przemeszczena obszaru / elementu e tego, ε, ε wektor odkształcene obszaru / elementu e tego, σ, σ wektor naprężena obszaru / elementu e tego, B, B, B α macerz geometryczna obszaru / elementu e tego, K, K j macerz sztywnośc dla obszaru, M, M j macerz mas dla obszaru, C Q, Q macerz tłumena dla obszaru, wektor równoważnków statycznych obcążena na obszarze, Q α wektor równoważnków statycznych obcążena na elemence, k αβ macerz sztywnośc elementu, m macerz mas elementu e tego, Λ, Λ α macerz ncydencj, Π p K K T energa potencjalna, energa knetyczna, macerz styczna, λ parametr obcążena, ( σ; κ ) F powerzchna plastycznośc, κ parametr wzmocnena,