Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń."

Amalia Tomczak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno przez x, x, x. x t S t x S u P Ω x Rozpatruemy obszar Ω z brzegem S podzelonym na dwe rozłączne częśc S u S t. Obszar ten wypełnony est cągłym ośrodkem materalnym M. Dowolny punkt P w obszarze Ω ma współrzędne x P. Wektor położena punktu P zapsywany est równeż przy użycu następuące konwenc: P P P ( x,x,x ) x P = P lub w zapse ndeksowym: x, gdze =,,. Na częśc brzegu S t. zadany est wektor naprężena t 0 o składowych t 0 (to znaczy: t 0,. t 0, t 0 ). Pod dzałanem tego obcążena punkty cała M zmena swoe położene w przestrzen. Obszar Ω zmena kształt. Nowe położena P' punktów cała M nazywamy ego konfguracą odkształconą. Dowolny punkt P zamue w konfgurac odkształcone nowe położene x P' : P' P' P' ( x,x,x ) x P' = Różnca wektorów tych dwóch położeń punktu P opsana est przez wektor przemeszczena u P (x P ): u P (x P )=x P '-x P W zdeformowanym obszarze Ω zdefnowane est tym samym pole wektora przemeszczena u(x) o składowych skalarnych (u (x), u (x), u (x)). Pole to pownno być "zgodne" z danym przemeszczenem u 0 (x) zadanym na częśc S u brzegu Ω. To znaczy, że: dla x S u u(x)=u 0 (x) gdze u 0 (x) est dane Odkształcene neskończene małego elementu dω opsane est polem tensora małego odkształcena :

2 () () () = u x u x x + lub zapsuąc skrótowo: = ( u ) Składowe tensora małego odkształcena reprezentowane są przez macerz pól skalarnych:,, = Myślowo wyodrębnony z obszaru Ω element dω oddzałue z resztą obszaru, poprzez element powerzchn ds, za pośrednctwem wektora naprężeń t. Składowe wektora naprężeń t zależą ne tylko od punktu M w położenu odkształconym P' ale także od orentac przestrzenne element powerzchn ds poprowadzone przez P'. Ta orentaca zadana est za pośrednctwem n - ednostkowego wektora normalnego do ds. Wektor ten ma współrzędne następuące: n={cos(n,ox ), cos(n,ox ), cos(n,ox )} Welkoścą charakteryzuącą stan naprężena w punkce cała M w ego położenu P' est tensor naprężena. Jest on zwązany z wektorem naprężena w punkce materalnym M zależnoścą: () x n () x = t ( x,n) = Interpretaca umowa o znakach dla macerzy składowych tensora naprężena znana est z dotychczasowego kursu wytrzymałośc materałów. = Warunk równowag zapsane dla element dω prowadzą do sześcu równań (b est wektorem sł masowych): = (symetra tensora naprężena) dla =,,: b = 0 lub skrótowo:, + = 0 b Zwązek pomędzy tensorem odkształcena a tensorem naprężena est właścwoścą materału pownen być określony dośwadczalne. Lnowa teora sprężystośc zakłada, że zwązek ten opsany est uogólnonym prawem Hooke'a. Zaps tego prawa konstytutywnego, dla przypadku materału zotropowego podany est ponże: = + ν = ν

3 pomocnczy symbol δ określa sę nastepuąco: δ = 0 dla dla = Zależność () można łatwo "odwrócć", oblczaąc w funkc : ν = + ν Ramka nr zawera sformulowane zadana lnowe teor spreżystośc: Ramka. Sformułowane lnowego problemu teor sprężystośc: Znaleźć wektorowe pole przemeszczeń u(x), oraz tensorowe pole naprężeń (x), take że: u(x)=u 0 (x) na częśc brzegu S u naprężena (x) spełnaą naprężenowe warunk brzegowe (równowaga elementu w sąsedztwe brzegu S t ): 0 () u n = t na częśc brzegu S t = oraz warunk równowag w całym obszarze Ω: = + b = 0 Ponadto spełnone est prawo Hooke'a, które wąże tensor naprężena z wektorem przemeszczena za pośrednctwem tensora małych odkształceń: = ν () u () u + ν gdze () ( ) u = u,, Prawo Hooke'a może być równe dobrze zadane wzorem: + ν ν = =, (we wszystkch równanach,,,,) Dwa sformułowana pochodne: przemeszczenowe naprężenowe - pozwalaą zredukować lczbę newadomych pól skalarnych. Zaps (u) w formułach w ramce nr. oznacza, że naprężena zostały wyrażone przez przemeszczena u. Podobne zaps (u) oznacza, że naprężena zostały wyrażone przez przemeszczena u w powyższym sformułowanu są tylko trzy newadome funkce skalarne: u (x), u (x), u (x), ne zaś 9, ak poprzedno.

4 Ramka. Przemeszczenowe sformułowane lnowego problemu teor sprężystośc: Znaleźć wektorowe pole przemeszczeń u(x), take że: u(x)=u 0 (x) na częśc brzegu S u take, że składowe tensora naprężena oblczone za pośrednctwem zwązku konstytutywnego: ν () u = () u () u gdze () u = ( u,, ) + ν k = spełnaą warunk równowag: w całym obszarze Ω: = + b = 0 oraz naprężenowe warunk brzegowe (równowaga elementu w sąsedztwe brzegu St): 0 () u n = t na częśc brzegu S t = =, Ponże przedstawono przykład sformułowana przemeszczenowego. Jest to układ równań Navera. Jego wyprowadzene wymaga wykonana następuących operac: u (u) prawo Hooke'a =( (u)) Podstawene ( (u)) do równań równowag. Otrzyma sę w ten sposób równana równowag wyrażone przez przemeszczena: =, () + b = 0 ν,, = + ν ν u + u + u,, + ν + ν u () u () u + b = 0 k,k = ( ) + b = 0 ν u + + u + b = 0, k,k = + ν + ν + ν (zauważmy, że ne ma to znaczena czy wskaźnk sumowana od do nazywa sę czy k) u + ( ) k, = = u k,k ( + ν ) + b = 0 Jest to układ trzech równań różnczkowych (koleno dla =,, ) z drugm pochodnym cząstkowym, określony w obszarze Ω z warunkam brzegowym na S u. Sformułowane to wygodne est stosować eśl warunk brzegowe zadane są edyne na S u. wentualne warunk brzegowe naprężenowe pownny być wyrażone w przemeszczenach w następuący sposób: ν ( u + u ) n + u n = p,, k,k + ν Problem lnowe teor sprężystośc w uęcu przemeszczenowym można teraz sformułować tak: 4

5 Ramka.. Przemeszczenowe sformułowane lnowego problemu teor sprężystośc - równana Navera: Znaleźć wektorowe pole przemeszczeń u(x), take że: u =u 0 na częśc brzegu S u ν u + u n + u n = p,, k,k na częśc brzegu S t + ν oraz ( ) take, że składowe wektora przemeszczena spełnaą układ równań różnczkowych o pochodnych cząstkowych (równana Navera): ( + ν ) u + u + b = 0, k,k ( ) = Składowe tensora naprężena można oblczyć za pośrednctwem zwązku konstytutywnego: ν () u = () u () u + ν u = u zaś u est rozwązanem równań różnczkowych Navera. gdze () ( ),, (Oczywśce naprężena take automatyczne spełnaą równana równowag oraz naprężenowe warunk brzegowe.) Aby uzyskać sformułowane naprężenowe lnowego problemu teor sprężystośc, należy wyelmnować przemeszczena ze sformułowana wyścowego. W tym celu należy zróżnczkować dwukrotne względem x zaś względem x następne dodać dodać stronam oba rownana: + = + = Podobne można uzyskać dwa kolene wzory:,, u, u,, =, +,, =, +,, Trzy następne otrzymue se przez wykonane podobnych przekształceń na równanach defnuących :,, u,,, u,,, u, +,,,, u, + = + =,,, u, u,, 5

6 podobne otrzymue sę dwa ponższe wzory: =, +,,, =, +,,, Równana powyższe nazywane są warunkam nerozdzelnośc odkształceń. Ich spełnene dae gwarance znalezena cągłego różnowartoścowego pola przemeszczeń u, takego, że: () u = ( u + u ),, Ramka nr. Naprężenowe sformułowane lnowego problemu teor sprężystośc: Znaleźć tensorowe pole naprężeń (x), take że: spełnone są warunk równowag: w całym obszarze Ω: = + b = 0 = oraz naprężenowe warunk brzegowe 0 () u n = t na częśc brzegu S t = Odkształcena wyznaczone dla tych naprężeń za pośrednctwem prawa Hooke'a: + ν ν () = pownny spełnać równana nerozdzelnośc w całym obszarze Ω: =, +,, =, +,, =, +,, =, +,,, =, +,,, =, +,,,, Zauważmy, że poneważ = (), w równanach nerozdzelnośc w ramce nr. występuą tylko pola naprężeń spełnaące równana równowag warunk naprężenowe na częśc brzegu S t (take pola naprężeń nazywamy statyczne dopuszczalnym). Cwczene: Przedstawć wszystke równana występuące w wykładze tak, aby występowały w nch awne welkośc σ x, σ y, σ z, xy, xz, zy, x, y, z, xy, xz, zy, u, v, w. Porównać otrzymany zaps z tym ak est podany w rozdzale 7 (Zadana podstawowe równana teor sprężystośc) podręcznka "Wytrzymałość Materałów" (A. Jakubowcz, Z. Orłoś). 6

Podobne dokumenty

u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele