Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji"

Transkrypt

1 Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej Metody dla problemów sumy kwadratów Mnmalzacja z ogranczenam Problem mnmalzacj globalnej

2 Postawene zadana Optymalzacja to ulepszane rozwązana (techncznego). Np. optymalzacja kształtu kerowncy samochodu zadane z dzedzny ergonom, optymalzacja sec przesyłu energ dla zmnejszena strat problem technczno-ekonomczny, optymalzacja rozdzału zadań do wykonana (wypełnane grafka zadań) problem logstyczny. Zapsane problemu optymalzacj w postac kryterum jakośc zależnego od parametrów defnuje zadane mnmalzacj lub maksymalzacj kryterum (funkcj) w przestrzen parametrów. Ze względu na łatwość zmany zadana maksymalzacj na zadane mnmalzacj przez zmanę znaku kryterum, w dalszej częśc mowa będze o zadanu mnmalzacj. Standardowe matematyczne sformułowane zadana mnmalzacj brzm: Dla danej funkcj f dla danego obszaru S E k znaleźć punkt x * S tak, że f(x * ) f(x) dla wszystkch x S. E k jest k-wymarową przestrzeną eukldesową, x jest punktem tej przestrzen. Przestrzeń poszukwana wartośc parametrów może być ogranczona. Ogranczena mają charakter przedzałów (a), ogranczeń równoścowych (b) lub nerównoścowych (c). x x x b) g ( x ) = 0 c) g ( x ) 0 a) l u

3 Podstawowe dee rozwązań problemu mnmalzacj Przypadk rozwązywalne analtyczne: problemy LP (Lnear Programmng) - kryterum ogranczena są lnowym funkcjam parametrów problemy QP (Quadratc Programmng) - kwadratowe kryterum lnowe ogranczena Problemy NP (Nonlnear Programmng) wymagają użyca teracyjnych metod poszukwana opartych na nformacj o wartoścach kryterum w wybranych punktach przestrzen parametrów. Mnmalzacja lokalna: poszukwane pojedynczego mnmum funkcj. Najbardzej efektywne metody wykorzystują numeryczne przyblżena pochodnych funkcj. W trudnych przypadkach (np. necągłośc) stosowane są metody, które wykorzystują tylko wartośc funkcj. Mnmalzacja globalna: poszukwane jednego punktu mnmalnego przy welu mnmach lokalnych. Jest to trudne zadane oblczenowe. Pomysły na rozwązane to welokrotne starty metody lokalnej z różnych punktów lub zasada błądzena wokół beżącego oszacowana mnmum w nadze znalezena sąsadującego lepszego rozwązana (np. Smulated Annealng). Dobre wprowadzene do metod mnmalzacj można znaleźć w Buchanan, Turner Numercal Methods and Analyss w dokumentacj do Optmzaton Toolbox Matlaba.

4 Proste metody mnmalzacj jednowymarowej Przez analogę do poszukwana zera metodą połowena (bsekcj) możemy podać sposób poszukwana mnmum metodą jego otoczena sukcesywnego zawężana przedzału. Dysponując trzema kolejnym punktam a, b, c które spełnają warunek f ( a) f ( b) f ( c), tzn. punkt środkowy leży najnżej, możemy wnoskować że mnmum leży gdześ pomędzy a b. Metoda złotego podzału (golden secton) podaje receptę na dobór położena następnego punktu wybór nowej trójk punktów. Najkorzystnejszy dla szybkośc zbeżnośc jest podzał w stosunku Błąd oszacowana położena mnmum maleje lnowo. f(x) a b d c x Jeśl dopuścmy zmenność stosunku podzału, to cąg optymalnych (dla szybkośc zbeżnośc) podzałów jest zwązany z cągem Fbonaccego (Fbonacc search) zdefnowanym jako: Fk+ 1 = Fk + Fk 1, F1 = F0 = 1 Kolejne stosunk podzału są równe: F F, F 3 F 1,, F0 F n n n n

5 Kontynuując analoge do metod poszukwana zera, dysponując klkoma punktam możemy poszukwać mnmum funkcj przyblżającej (nterpolującej) funkcję mnmalzującą. Metoda nterpolacj kwadratowej (quadratc search) bazuje w każdym kroku na trzech punktach buduje na nch weloman nterpolujący p( x) ax bx c = + + o mnmum w punkce xmn w kategorach trzech punktów bazowych x 1, x, x 3 daje rozwązane na nowy punkt: x = x 4 1 ( x x1) f ( x) f ( x3) ( x x3) f ( x) f ( x1) ( x x ) f ( x ) f ( x ) ( x x ) f ( x ) f ( x ) b = co a Metoda nterpolacj sześcennej (cubc search) jest często wykorzystywana wtedy kedy dostępna jest nformacja o pochodnej funkcj. Wtedy współczynnk welomanu nterpolującego p x = ax + bx + cx+ d można wyznaczyć z wartośc funkcj jej pochodnej w dwóch punktach. ( ) 3 Implementacja Matlaba fmnbnd to kombnacja metody złotego podzału nterpolacj kwadratowej Metody mnmalzacj jednowymarowej są powszechne wykorzystywane w algorytmach welowymarowych, które po oszacowanu kerunku poszukwana mnmum stosują metodę jednowymarową wzdłuż kerunku (zob. temat lne search w Optmzaton Toolbox User s Gude).

6 Mnmalzacja welowymarowa bez użyca nformacj różnczkowej Metoda Smplex autorstwa Nelder-Mead (1965) [zob. Numercal Recpes]. Wykorzystuje ona w dzałanu zestaw N+1 punktów w przestrzen N-wymarowej, które tworzą najprostszą fgurę geometryczną w tej przestrzen (nazywaną smpleksem). Krok metody polega na wyznaczenu następnego punktu przyblżena mnmum w kerunku wyznaczonym przez symetryczne odbce punktu najwyżej położonego względem naprzecwległej ścany smpleksu. Może być przy tym wykonane zawężene lub rozszerzene smpleksu. Warunkem zakończena w metodze jest zmnejszene rozmarów smpleksu ponżej wartośc grancznej. odbce odbce+ skurczene odbce+ rozszerzene skurczene Implementacja w Matlabe to fmnsearch.(w starszej wersj fmns)

7 Mnmalzacja z użycem nformacj różnczkowej metody gradentowe Metoda najwększego spadku (steepest descent) Następne przyblżene mnmum jest poszukwane w kerunku przecwnym do gradentu: d= f ( x ) Zamplementowana w fmnunc ale ne polecana, bo w szczególnych przypadkach, jak np. funkcja Rosenbrocka (popularna funkcja testowa, nazywana też funkcją bananową) f ( x ) = 100( x x1 ) + ( 1 x1), metoda jest bardzo wolno zbeżna do rozwązana (wyjaśnć problem na tablcy). Wyznaczene kerunku poszukwana mnmum jest perwszym etapem pojedynczego kroku metody mnmalzacj welowymarowej. Drugm etapem jest jednowymarowe poszukwane mnmum wzdłuż wyznaczonego kerunku, tzn. mnmalzacja względem α zależnośc: x = x + k+ 1 k α d Dokonuje sę tego omówonym poprzedno metodam złotego podzału, cągu Fbonaccego, metodam nterpolacj/ekstrapolacj. Metody kerunków/gradentów sprzężonych Fletchera-Reevesa, Polaka-Rbere a [zobacz szczegóły w ksążce Fletchera 1987]. Są to metody mnej popularne (słabsze rozpowszechnene źródeł gotowych procedur) ale zachowujące sę porównywalne z metodam dalej omawanym.

8 Metody różnczkowe drugego rzędu metody Newtona quas-newtona Metoda gradentowa używała modelu perwszego rzędu (lnowego) zachowana sę funkcj w okolcy beżącego punktu. Dokładnejsze wyznaczene kerunku poszukwana mnmum otrzymuje sę przy uwzględnenu nformacj różnczkowej drugego rzędu. Model otoczena beżącego punktu ma wtedy postać kwadratową, z zastępczym problemem mnmalzacj: 1 T T mn xhx+ bx + c, n x R gdze H jest symetryczną dodatno określoną macerzą hesjanu aproksymowanej funkcj, b wektorem gradentu w beżącym punkce, c stałą. Z przyrównana pochodnej modelu względem x do 0 otrzymuje sę kerunek d poszukwana mnmum (kerunek Newtona): 1 d= H b Metody z bezpośrednm wyznaczanem hesjanu są nazywane metodam Newtona. Wyznaczane macerzy hesjanu jest jednak kosztowne oblczenowo. Z tego względu opracowano metody z teracyjną aktualzacją tej macerzy nazywane metodam quas-newtona (lub metodam zmennej metryk). Najpopularnejsze formuły aktualzacj to BFGS (pokazana dla przykładu): T T T = + qq k k HssH k k k k H + H sk = xk+ 1 x k q = f ( x ) f ( x ) qs shs k 1 k T T k k k k k k k+ 1 k DFP aktualzująca bezpośredno odwrotność macerzy hesjanu. Obydwe są do wyboru w Matlabe w funkcjach fmnunc, fmncon.

9 Mnmalzacja z ogranczenam - wprowadzene Stosowana do nedawna metoda uwzględnana ogranczeń przez stosowane funkcj kary (czyl gwałtownego zwększena wartośc kryterum po przekroczenu ogranczeń) jest przestarzała. Obecne defnuje sę problem mnmalzacj z ogranczenam z użycem mnożnków Lagrange a w postac: (,λ) ( ) λ ( ) = + m L x f x g x = 1 Warunkam konecznym optymalnośc rozwązana zadana z ogranczenam równoścowym nerównoścowym są równana Kuhna-Tuckera, które są warunkam wystarczającym dla problemu wypukłego, tj. przy funkcj celu ogranczenach w postac funkcj wypukłych. ( ) λ ( ) f x + g x = 0 ( ) m = 1 λg x = 0, = 1,, m λ 0, = me + 1,, m Poszukujemy rozwązana w przestrzen x dodatkowo λ. Perwsze równane ma być spełnone z nezerowym współczynnkam λ tylko przy aktywnych ogranczenach (m e to lość ogranczeń równoścowych, pozostałe są nerównoścowe. Take postawene problemu jest podstawą mplementacj w funkcj fmncon.

10 Algorytmy dla problemu nelnowej najmnejszej sumy kwadratów (NLS) Problem najmnejszej sumy kwadratów czynnków nelnowych względem parametrów powstaje przy wszelkch dopasowanach typu least-squares, np. w dentyfkacj obektów dynamcznych metodą dopasowana odpowedz modelu do pomarów. Poneważ jest to problem z określoną strukturą, to możemy sę spodzewać uproszczeń w oblczenach. Kryterum mnmalzacj ma węc postać: f T ( x) = F ( x) = F( x) F( x ) Lcząc gradent G hesjan H kryterum uzyskamy: T G x = J x F x, gdze J jest jakobanem wektora F, ( ) ( ) ( ) T H( x) = J( x) J( x) + Q( x ), gdze ( ) = F ( ) ( ) Q x x H x, H jest hesjanem -tej składowej. Pomjając czynnk Q pozbylśmy sę macerzy drugch pochodnych, korzystamy tylko z jakobanu. Metoda Gaussa-Newtona Stosując kerunek Newtona do powyższego uzyskamy jego wersję dla problemu NLS. Skutkuje to kerunkem będącym rozwązanem problemu lnowego LS: mn J x d+ F x ( ) ( ) d T T czyl układu równań: J( x) J( x) d = J( x) F( x )

11 Metoda Levenberga-Marquardta Jest to ulepszene metody Gaussa-Newtona dla przypadku kedy czynnk Q(x) ne może być pomnęty. Rozsądne wyjśce, to ne korzystać wtedy w ogóle z hesjanu tylko wybrać krok metody najwększego spadku. Take zachowane można zapewnć doberając współczynnk λ w uogólnonej regule wyznaczana kerunku: T J( x) J( x) + λi d= J ( x) F( x ) Dla λ równego zero jest to kerunek Gaussa-Newtona natomast dla dużego λ perwszy czynnk zwązany z hesjanem trac na znaczenu o kerunku decyduje prawa strona zwązana z gradentem. Implementacją tej metody jest funkcja Matlaba lsqnonln (w starszych wersjach leastsq). Jest to metoda polecana np. do dentyfkacj poneważ dobrze zachowuje sę z dala od mnmum (od dobrego dopasowana do pomarów) - wtedy korzysta z modelu lnowego najwększego spadku, jak w okolcy mnmum gdze modeluje kryterum funkcją kwadratową.

12 Przykład Porównane efektywnośc poszczególnych metod na funkcj Rosenbrocka a) steepest descent 1000 teracj a b b) quas-newton BFGS 140 teracj c) Gauss-Newton 48 teracj d) Levenberg-Marquardt 90 teracj c d

13 Rozwązana problemu mnmalzacj globalnej Metoda pokryca satką prostokątną lub nerównomerną Poszukwane mnmum globalnego funkcj jest w tym przypadku zastąpone zadanem poszukwana mnmum dyskretnego skończonego zboru wartośc. Koneczność wyznaczana wartośc kryterum w wykładnczo rosnącej z wymarem problemu lczbe punktów. Proste metody poszukwana losowego Pokryce satką losową. Ulepszane rozwązana przez mnmalzację lokalną z najlepszego z wylosowanych punktów lub mnmalzacja lokalna z każdego z wylosowanych punktów z wyborem najlepszego rozwązana. Zaawansowane metody losowe Wprowadzene czynnka losowego do efektywnych metod mnmalzacj lokalnej (smpleksów, najwększego spadku, quas-newtona) zaburza kerunek poszukwana umożlwając przejśce do sąsednego dołka. Zmenny udzał czynnka losowego w kerunku powoduje, że w początkowej faze optymalzacj przeszukwana jest cała przestrzeń parametrów dla znalezena otoczena punktu mnmum globalnego, a faza końcowa wyznacza z wększą dokładnoścą położene tego punktu. Przykładem takej mplementacj jest metoda Smulated Annealng analoga do procesu chłodzena w termodynamce [zob. Numercal Recpes]. Algorytmy genetyczne poszukwane mnmum wg zasad ewolucj bologcznej, stosowane głowne w problemach optymalzacj dyskretnej.

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera

7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia, Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą

Bardziej szczegółowo

liniowym w przeciwnym przypadku mówimy o programowaniu nieliniowym.

liniowym w przeciwnym przypadku mówimy o programowaniu nieliniowym. =DGDQLHSROHJDMFHQDSRV]XNLZDQLXPDNV\PDOQHMOXEPLQLPDOQHMZDUWRFLIXQNFMLZLHOX ]PLHQQ\FKSU]\MHGQRF]HVQ\PVSHáQLHQLXSHZQHMLORFLQDáR*RQ\FKZDUXQNyZ UyZQDOXE QLHUyZQRFLQRVLQD]Z]DGDQLDRSW\PDOL]DF\MQHJROXE]DGDQLDSURJUDPRZDQLD

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

Laboratorium ochrony danych

Laboratorium ochrony danych Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe. wykład nr 2. metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji. Nr: 1

Metody obliczeniowe. wykład nr 2. metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji. Nr: 1 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody oblczenowe wykład nr metody rozwązywana równań nelnowych zadane optymalzacj Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Postać równana

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA III. Metody numeryczne w zadaniach identyfikacji

ZAJĘCIA III. Metody numeryczne w zadaniach identyfikacji ZAJĘCIA III Metody numeryczne w zadanach dentyfkacj Rozwązywane układów równań lnowych Mnmalzacja funkcj Symulacja układów dynamcznych Transformata sygnału do dzedzny częstotlwośc WPROWADZENIE Komputerowa

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

Nieliniowe zadanie optymalizacji bez ograniczeń numeryczne metody iteracyjne optymalizacji

Nieliniowe zadanie optymalizacji bez ograniczeń numeryczne metody iteracyjne optymalizacji Nelnowe zadane optymalzacj bez ogranczeń numeryczne metody teracyjne optymalzacj mn R n f ( ) = f Algorytmy poszuwana mnmum loalnego zadana programowana nelnowego: Bez ogranczeń Z ogranczenam Algorytmy

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA ZAJĘĆ OPTYMALIZACJA GLOBALNA WSTĘP PLAN WYKŁADU. Wykładowca dr inż. Agnieszka Bołtuć, pokój 304, e-mail: aboltuc@ii.uwb.edu.

ORGANIZACJA ZAJĘĆ OPTYMALIZACJA GLOBALNA WSTĘP PLAN WYKŁADU. Wykładowca dr inż. Agnieszka Bołtuć, pokój 304, e-mail: aboltuc@ii.uwb.edu. ORGANIZACJA ZAJĘĆ Wykładowca dr nż. Agneszka Bołtuć, pokój 304, e-mal: aboltuc@.uwb.edu.pl Lczba godzn forma zajęć: 15 godzn wykładu oraz 15 godzn laboratorum 15 godzn projektu Konsultacje: ponedzałk 9:30-11:00,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5

Bardziej szczegółowo

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja belki wspornikowej

Optymalizacja belki wspornikowej Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Sieci rekurencyjne

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Sieci rekurencyjne Wprowadzene do Sec Neuronowych Sec rekurencyjne M. Czoków, J. Persa 2010-12-07 1 Powtórzene Konstrukcja autoasocjatora Hopfelda 1.1 Konstrukcja Danych jest m obrazów wzorcowych ξ 1..ξ m, gdze każdy pojedynczy

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010 EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

AUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID

AUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID ĆWICZENIE LABORAORYJNE AUOMAYKA I SEROWANIE W CHŁODNICWIE, KLIMAYZACJI I OGRZEWNICWIE L3 SEROWANIE INWEREROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W RYBIE PD ORAZ PID Wersja: 03-09-30 -- 3.. Cel ćwczena Celem ćwczena

Bardziej szczegółowo

DIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH

DIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH RYNEK CIEŁA 03 DIANOSYKA YMIENNIKÓ CIEŁA Z UIARYODNIENIEM YNIKÓ OMIARÓ EKLOAACYJNYCH Autorzy: rof. dr hab. nż. Henryk Rusnowsk Dr nż. Adam Mlejsk Mgr nż. Marcn ls Nałęczów, 6-8 paźdzernka 03 SĘ Elementam

Bardziej szczegółowo

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA 46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

1 Metody optymalizacji wielokryterialnej... 1 1.1 Ogólna charakterystyka problemu... 1 1.2 Tradycyjne metody optymalizacji wielokryterialnej...

1 Metody optymalizacji wielokryterialnej... 1 1.1 Ogólna charakterystyka problemu... 1 1.2 Tradycyjne metody optymalizacji wielokryterialnej... 1 Metody optymalzacj welokryteralnej.... 1 1.1 Ogólna charakterystyka problemu.... 1 1.2 Tradycyjne metody optymalzacj welokryteralnej.... 3 1.2.1 Metoda ważonych kryterów.... 3 1.2.2 Metoda optymalzacj

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka układów kombinacyjnych

Diagnostyka układów kombinacyjnych Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane

Bardziej szczegółowo

KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH

KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH Danel Kosorowsk Katedra Statystyk, UEK w Krakowe Posedzene Rady Wydzału Zarządzana Kraków, 23.05.2013 PLAN REFERATU 1.

Bardziej szczegółowo

Algorytm FA. Zastosowanie w zadanich optymalizacji z ograniczeniami dla ciągłych dziedzin poszukiwań

Algorytm FA. Zastosowanie w zadanich optymalizacji z ograniczeniami dla ciągłych dziedzin poszukiwań Algorytm FA Metaheurystyczna metoda poszukwań (Xn-She Yang, 2008), nsprowana przez: zachowana społeczne zjawsko bolumnescencj robaczków śwetojańskch (śwetlków) Zastosowane w zadanch optymalzacj z ogranczenam

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I

Wykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 81 Electrcal Engneerng 015 Mkołaj KSIĄŻKIEWICZ* OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU

Bardziej szczegółowo

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta Wprowadzene Zagadnena Sztucznej Intelgencj laboratorum Sec Neuronowe 1 Mchał Bereta Sztuczne sec neuronowe można postrzegać jako modele matematyczne, które swoje wzorce wywodzą z bolog obserwacj ludzkch

Bardziej szczegółowo

Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM).

Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Zagadnene optymalzac zwane problemem plecakowym swą nazwę wzęło z analog do sytuac praktyczne podobne do problemu pakowana plecaka. Chodz o to, by zapakować maksymalne

Bardziej szczegółowo

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2007/08 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x, b R N, A R N N (1) ma jednoznaczne

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA MANIPULATORÓW

KINEMATYKA MANIPULATORÓW KIEMK MIULOÓW WOWDEIE. Manpulator obot można podzelć na zęść terująą mehanzną. Część mehanzna nazywana jet manpulatorem. punktu wdzena Mehank ta zęść jet najbardzej ntereująa. Manpulator zaadnzo można

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji 14 wiosna

Regulamin promocji 14 wiosna promocja_14_wosna strona 1/5 Regulamn promocj 14 wosna 1. Organzatorem promocj 14 wosna, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 lutego 2014 do 30

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów.

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów. Opracowane: Dorota Mszczyńska METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównane obektów przy ocene welokryteralnej. Rankng obektów. Porównane wybranych obektów (warantów decyzyjnych) ze względu na różne cechy (krytera)

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności ZAJĘCIA X Zasada najwększej warygodnośc Funkcja warygodnośc Estymacja wg zasady maksymalzacj warygodnośc Rodzna estymatorów ML Przypadk szczególne WPROWADZEIE Komputerowa dentyfkacja obektów Przyjęce na

Bardziej szczegółowo

Oligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją

Oligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją Olgopol dynamczny Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencj loścowej jako gra jednokrotna z pełną doskonalej nformacją (1934) Dwa okresy: t=0, 1 tzn. frma 2 podejmując decyzję zna decyzję frmy 1 Q=q 1 +q

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Algorytm wstecznej propagacji błędu

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Algorytm wstecznej propagacji błędu Wprowadzene do Sec Neuronowych Algorytm wstecznej propagacj błędu Maja Czoków, Jarosław Persa --6 Powtórzene. Perceptron sgmodalny Funkcja sgmodalna: σ(x) = + exp( c (x p)) Parametr c odpowada za nachylene

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego Zadane na wykonane Projektu Zespołowego Celem projektu jest uzyskane następującego szeregu umejętnośc praktycznych: umejętnośc opracowana równoległych wersj algorytmów (na przykładze algorytmów algebry

Bardziej szczegółowo

Kolokwium poprawkowe z Optymalizacji II (Ściśle tajne przed godz. 16 : stycznia 2016.)

Kolokwium poprawkowe z Optymalizacji II (Ściśle tajne przed godz. 16 : stycznia 2016.) Kolokwum z Optymalzacj II Ścśle tajne przed godz 4 : 00 8 grudna 05) Proszę uważne przeczytać treść zadań Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

p Z(G). (G : Z({x i })),

p Z(G). (G : Z({x i })), 3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona

Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona 013 Katedra Fzyk SGGW Ćwczene 368 Nazwsko... Data... Nr na lśce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Ćwczene 368: Godzna.... Wyznaczane długośc fal śwatła metodą perścen Newtona Cechowane podzałk okularu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych Ćwczene 10. Metody eksploracj danych Grupowane (Clusterng) 1. Zadane grupowana Grupowane (ang. clusterng) oznacza grupowane rekordów, obserwacj lub przypadków w klasy podobnych obektów. Grupa (ang. cluster)

Bardziej szczegółowo

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ Ćwczene nr 1 cz.3 Dyfuzja pary wodnej zachodz w kerunku od środowska o wyższej temperaturze do środowska chłodnejszego. Para wodna dyfundująca przez przegrody budowlane w okrese zmowym napotyka na coraz

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej.

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Indukcja - elektromagnetyczna Powstawane prądu elektrycznego w zamknętym, przewodzącym obwodze na skutek zmany strumena ndukcj magnetycznej przez powerzchnę ogranczoną tym obwodem.

Bardziej szczegółowo

Programowanie Równoległe i Rozproszone

Programowanie Równoległe i Rozproszone Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać

Bardziej szczegółowo

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ Autor: Joanna Wójcik

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ   Autor: Joanna Wójcik Opracowane w ramach projektu System Przecwdzałana Powstawanu Bezroboca na Terenach Słabo Zurbanzowanych ze środków Europejskego Funduszu Społecznego w ramach Incjatywy Wspólnotowej EQUAL PARTNERSTWO NA

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej...

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... Adam Waszkowsk * Adam Waszkowsk Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej w doborze spó³ek do portfela nwestycyjnego Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej... Wstêp Na warszawskej Ge³dze Paperów

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją

Badania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Badana operacyne w logstyce zarządzanu produkcą cz. I Andrze Woźnak Nowy Sącz Komtet Redakcyny doc. dr Zdzsława Zacłona przewodncząca, prof. dr hab. nż. Jarosław

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a

Bardziej szczegółowo

RÓWNOLEGŁY ALGORYTM POPULACYJNY DLA PROBLEMU GNIAZDOWEGO Z RÓWNOLEGŁYMI MASZYNAMI

RÓWNOLEGŁY ALGORYTM POPULACYJNY DLA PROBLEMU GNIAZDOWEGO Z RÓWNOLEGŁYMI MASZYNAMI RÓWNOLEGŁY ALGORYTM POPULACYJNY DLA PROBLEMU GNIAZDOWEGO Z RÓWNOLEGŁYMI MASZYNAMI Wojcech BOŻEJKO, Marusz UCHROŃSKI, Meczysław WODECKI Streszczene: W pracy rozpatrywany jest ogólny problem kolejnoścowy

Bardziej szczegółowo

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak Ćwczena z Makroekonom II Model IS-LM- Model IS-LM- jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak gospodarka taka zachowuje sę w krótkm okrese, w efekce dzałań podejmowanych w ramach

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji upalne lato 2014 2.0

Regulamin promocji upalne lato 2014 2.0 upalne lato 2014 2.0 strona 1/5 Regulamn promocj upalne lato 2014 2.0 1. Organzatorem promocj upalne lato 2014 2.0, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 15. ANALIZA DANYCH WYKRYWANIE OBSERWACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 15. ANALIZA DANYCH WYKRYWANIE OBSERWACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 15. ANALIZA DANYCH WYKRYWANIE OBSERWACJI ODSTAJĄCYCH, UZUPEŁNIANIE BRAKUJĄCYCH DANYCH Częstochowa 2014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska WYKRYWANIE

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji zimowa piętnastka

Regulamin promocji zimowa piętnastka zmowa pętnastka strona 1/5 Regulamn promocj zmowa pętnastka 1. Organzatorem promocj zmowa pętnastka, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 grudna

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 3 Funkcje produkcji 1 FUNKCJE PRODUKCJI. ANALIZA KOSZTÓW I KORZYŚCI SKALI. MINIMALIZACJA KOSZTÓW PRODUKCJI.

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 3 Funkcje produkcji 1 FUNKCJE PRODUKCJI. ANALIZA KOSZTÓW I KORZYŚCI SKALI. MINIMALIZACJA KOSZTÓW PRODUKCJI. EONOMIA MENEDŻERSA Wykład 3 Funkcje rodukcj 1 FUNCJE PRODUCJI. ANAIZA OSZTÓW I ORZYŚCI SAI. MINIMAIZACJA OSZTÓW PRODUCJI. 1. FUNCJE PRODUCJI: JEDNO- I WIEOCZYNNIOWE Funkcja rodukcj określa zależność zdolnośc

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania Łukasz Kacprzak, Jarosław Rudy, Domnk Żelazny Instytut Informatyk, Automatyk Robotyk, Poltechnka Wrocławska Welokryteralny Trójwymarowy Problem Pakowana 1. Wstęp Problemy pakowana należą do klasy NP-trudnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka obliczeniowa, II rok Matematyki (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyki, (2013/2014)

Matematyka obliczeniowa, II rok Matematyki (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyki, (2013/2014) Matematyka oblczenowa, II rok Matematyk (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyk, (2013/2014) 1. Rozwązywane równań nelnowych 2. Arytmetyka zmennopozycyjna 3. Błędy w oblczenach. Uwarunkowane

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU Studa Ekonomczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

Bardziej szczegółowo

1. Zmienne i dane wejściowe Algorytmu Rozdziału Obciążeń

1. Zmienne i dane wejściowe Algorytmu Rozdziału Obciążeń ZAŁĄCZNIK nr Zasada dzałana Algorytmu Rozdzału Obcążeń. Zmenne dane wejścowe Algorytmu Rozdzału Obcążeń.. Zmennym podlegającym optymalzacj w procese rozdzału obcążeń są welośc energ delarowane przez Jednost

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Adranna Mastalerz-Kodzs Unwersytet Ekonomczny w Katowcach KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Wprowadzene W dzałalnośc nstytucj fnansowych, takch

Bardziej szczegółowo

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody

Bardziej szczegółowo

Neuron liniowy. Najprostsza sieć warstwa elementów liniowych

Neuron liniowy. Najprostsza sieć warstwa elementów liniowych Najprostsza jest jednostka lnowa: Neuron lnowy potraf ona rozpoznawać wektor wejścowy X = (x 1, x 2,..., x n ) T zapamętany we współczynnkach wagowych W = (w 1, w 2,..., w n ), Zauważmy, że y = W X Załóżmy,

Bardziej szczegółowo