CAŁKA NIEOZNACZONA f - funkcja określona w przedziale E. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale E nazywamy funkcję F taką, że

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "CAŁKA NIEOZNACZONA f - funkcja określona w przedziale E. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale E nazywamy funkcję F taką, że"

Jacek Matuszewski
4 lat temu
Przeglądów:

1 AŁKA NIEOZNAZONA f - fukj określo w rzedzile E. Fukją ierwotą fukji f w rzedzile E zywy fukję F tką, że F N. fukją ierwotą fukji f = + R jest fukj F = + o F +, Zuwży, że fukje F = i F = + też są fukji ierwotyi tej fukji. Ogólie F = + + gdzie - dowol stł, jest fukją ierwotą fukji f = +. Twierdzeie. Jeśli F jest fukją ierwotą fukji f w rzedzile E to kżd fukj ierwot ostć = F +. łką ieozzoą fukji f w rzedzile E jest ziór jej wszystkih fukji ierwotyh zyli ziór F +, gdzie F jest dowolą fukją ierwotą fukji f. Stosujey zis: d F łkowie = olizie łki ieozzoej. Twierdzeie. Jeśli f jest iągł w E to istieje w ty rzedzile łk ieozzo fukji f. Podstwowe wzory: r r d d d r r E d l e d e si d os os d si, d l Ie wzory. d rtg d rsi l d l tg d l os tg d l si d tg os d tg si d d 5 5 Włsośi. f d d 5 g d d f g d

2 6 d 6 d d d łkowie rzez zęśi. f g d g g d 6 d d d d d g f e e d e e d e g f e g f l l d d g f l l łkowie rzez odstwiie. d f g t g t 5 6 Wioski. f d l Jeśli d F to f d F t si si e os d os d d os t e e t e si tg d si os d si d l os os os 5 d si 5 d 9

3 łkowie rzez rozkłd ułki roste. d d d d l l AŁKA OZNAZONA Podziłe odik [,] zęśi zywy ziór P,,...,, gdzie = < <... < =. Ozzei k = k - k- długość k-tego odik odziłu P, k ; P = { k : k } średi odziłu P; k [ k, k ], ukt ośredi k-tego odik odziłu P, k. Def. su łkow Nieh fukj f ędzie ogrizo rzedzile [,] orz ieh P ędzie odziłe tego rzedziłu. Suą łkową fukji f odowidjąą odziłowi P odik [,] orz ukto ośredi, k tego odziłu zywy lizę k def f, P f. k Su łkow jest rzyliżeie ol oszru ogrizoego wykrese fukji y = f, osią O i rostyi =, = rzez suę ól rostokątów o odstwh i wysokośih f k, k. k k k Def łk ozzo Rie Nieh fukj f ędzie ogrizo rzedzile [,]. łkę ozzoą Rie z fukji f rzedzile [,] defiiujey wzore d def li P k f k o ile gri o rwej stroie zku rówośi istieje orz ie zleży od sosou odziłów P rzedziłu [,] i od sosoów wyoru uktów ośredih, k. Poo k rzyjujey def d orz d d dl <. def k,

4 Fukję, dl której istieje łk ozzo Rie [,] zywy fukją łkowlą [,]. Zist syolu d oż isć d lu krótko f lo też f.,, Zuwży, że łk ozzo jest lizą! Uwg. Kżd fukj łkowl jest ogrizo, le ie kżd fukj ogrizo rzedzile jest ty rzedzile łkowl. fukj Dirihlet. Tw. wruek wystrzjąy łkowlośi fukji Jeżeli fukj f jest ogrizo rzedzile [,] i ty rzedzile skońzoą lizę uktów ieiągłośi I rodzju, to jest i łkowl. Uwg. Z owyższego twierdzei wyik, że fukj iągł rzedzile jest ty rzedzile łkowl. Z drugiej stroy fukj łkowl rzedzile oże ieć ieskońzeie wiele uktów ieiągłośi. Przykłde tkiej fukji jest dl. dl Fukj f jest łkowl rzedzile [,], le w ukth, jest ieiągł. łk ozzo fukji iągłej. f - fukj określo i iągł w rzedzile <, >. f d F F F gdzie F - fukj ierwot fukji f w ty rzedzile. Uwg. Przyjuje się, że d orz d d d Uwg. włsośi łki ozzoej ddytywość względe rzedziłów łkowi Jeśli <, > to d d d 6 rówość łek Nieh fukj f ędzie łkowl rzedzile [,] orz ieh fukj g różi się od fukji f tylko w skońzoej lizie uktów tego rzedziłu. Wtedy fukj g tkże jest łkowl rzedzile [,] orz

5 d g d. zhowie ierówośi rzy łkowiu Jeżeli fukje f i g są łkowle [,], f g dl kżdego [,], to d f g d. łk fukji ierzystej Nieh fukj f ędzie ierzyst i łkowl rzedzile [-,]. Wtedy d. 5 łk fukji rzystej Nieh fukj f ędzie rzyst i łkowl rzedzile [-,]. Wtedy d d. 6 Iterretj geoetryz łki ozzoej. Jeśli f dl <, > to d P ole oszru od krzywą f dl <, >. P 7 Średi łkow. Tw o łkowiu rzez odstwieie Jeżeli. fukj :,, f f d iągłą ohodą rzedzile [,],.,,. fukj f jest iągł rzedzile [,], to d f t t Uwg. W rzydku gdy fukj jest rosą, ostti wzór oż zisć w osti: Tw. o łkowiu rzez zęśi d f t t.. 5

6 Jeżeli fukje f i g ją iągłe ohode rzedzile [,], to g g d g d ZASTOSOWANIA AŁEK OZNAZONYH Pole trezu krzywoliiowego Nieh fukje d i g ędą iągłe rzedzile [,] orz ieh d g dl kżdego,. Pole trezu krzywoliiowego P ogrizoego wykresi fukji d i g orz rostyi =, = wyrż się wzore: P g d d. Długość krzywej Nieh fukj f iągłą ohodą rzedzile [,]. Długość krzywej L, : [, ] wyrż się wzore: L f d. Ojętość ryły orotowej Nieh fukj ieuje f ędzie iągł rzedzile [,]. Poo ieh T ozz trez krzywoliiowy ogrizoy wykrese fukji f, osią O orz rostyi =, =, gdzie <. Ojętość ryły V owstłej z orotu trezu krzywoliiowego T wokół osi O wyrż się wzore: V f d. Pole owierzhi orotowej Nieh fukj ieuje f iągłą ohodą rzedzile [,]. Pole owierzhi S owstłej z orotu wykresu fukji f wokół osi O wyrż się wzore: f S d. Koszt łkowity wyrodukowi sztuk towru wyrż się wzore: K, 8 Jki jest średi koszt rodukji jeśli rodukj wyosił i wzrosł do sztuk. Rozwiązie: Średi koszt rodukji wyzzy jko średią łkową kosztów. K, 5 8 K d., Zuwży, że K = 66, K =, K 85. Olizyć ole oszru zwrtego iędzy krzywyi: f = - i f = P, 5 6

7 łk iewłśiw ieogrizoy zkres łkowi. d li f d d li d d d d, ustlo liz,. =. Jeśli roztryw gri ie istieje lu ie jest skońzo, to ówiy, że łk jest rozież. d li li d d d li rtg d li l li l Fukj górej griy łkowi. - jest iągł w <, >, F f t łk rozież, - jeśli f iągł to F jest różizkowl orz F = f. UZUPEŁNIENIE AŁKOWANIE FUNKJI WYMIERNYH L Fukję wyierą W zywy włśiwą, gdy stoień wieloiu w liziku M jest iejszy od stoi wieloiu w iowiku. Uwg. Kżdą fukję wyierą oż rzedstwić w osti suy wieloiu i fukji wyierej włśiwej. A Fukję wyierą włśiwą osti ułkie rosty ierwszego rodzju., gdzie N orz, A R, zywy P Q Fukję wyierą włśiwą osti, gdzie N orz,, P, Q R orz, zywy ułkie rosty drugiego rodzju. 7

8 8 Tw. o rozkłdzie fukji wyierej ułki roste Nieh W ędzie fukją wyierą włśiwą orz ieh iowik tej fukji rozkłd zyiki osti: s r s s r......, gdzie N s r,, N i, R i dl r i orz N j, R j j,, j j j dl j s. Wtedy S R S R S R Q P Q P Q P BA B B A A A W gdzie A,, B,, P, Q,, R, S, są odowiedio doryi lizi rzezywistyi. Izej ówią, kżd fukj wyier włśiw jest suą ułków rostyh ierwszego i drugiego rodzju. łkowie ułków rostyh Ułki roste ierwszego rodzju A Ad l A Ad, > Ułki roste drugiego rodzju P Q P Q d P r tg l d P Q P Q d P, > Przykłd d tg r

9 d r tg AŁKOWANIE FUNKJI TRYGONOMETRYZNYH łkowie fukji osti Rsi,os Nieh Ru,v ędzie fukją wyierą dwóh zieyh. W zleżośi od wruków jkie sełi fukj R, stosujey odstwieie ode w teli: Wruek Podstwieie Przedstwieie fukji Różizk R u, v R u, v t os si t d t R u, v R u, v t si os t d t R u, v R u, v t tg t si t d t os t t Podstwieie t tg si t d t t uiwersle os t Przykłd si os d os os si si d si si os os d si si Przykłd łki z wżiejszyh fukji trygooetryzyh tg d l os tg d l si si si d si os d d l tg si d l tg os 9

10 AŁKOWANIE FUNKJI NIEWYMIERNYH Przykłd wżiejsze łki z fukji iewyieryh d d d d d d Wzór rsi l l l l rsi Złożei R R AŁKA - zdi Zdie.. Oliz łki d ; d ; d ; l d 7 d e d 7 f e d e e g e d

11 l l, 5 h d i d j d e k d e l l l d l,5,5 Zdie.. Oliz d ; e d d 9 d d e d f d Od. ; e ; d ; e l l ; f l l ; ; Zdie.. łkują rzez zęśi, wyzz stęująe łki: l e d osd d d d Od. e si os 9 l d 5 Zdie.. Korzystją z odyh odstwień, wyzz stęująe łki: e d t sil d t l d t d d t

12 Od. e sil osl d 5 Zdie.. Oliz łki ozzoe: ; 6 d d ; l,5 e d,5 e Zdie.. Oliz: d ; d Od. l;,75 Zdie.. Oliz ole oszru ogrizoego krzywyi: y = ; y = y = ; y =,5 + 5 y = e ; y =, = l Zdie.. Oliz ole owierzhi ogrizoej wykresi fukji y, y, y, y, y Od. 6 + l, 7 Zdie.. Oliz ole oszru ogrizoego krzywyi: y = - ; y = y = ; y = - Od.,5 7

13 Zdie.. Oliz łki iewłśiwe: d ; e d Zdie.. Oliz łki iewłśiwe: d ; Zdie 5. Poyt ewie towr jest fukją ey. Olizyć średią wrtość oytu jeżeli e wzrośie od do 5 jedostek. d Od. rozież Od. 7 l Zdie 6. Wydjość rootik wyrż się wzore w t t 6 t jedostek godzię t - zs od rozozęi ry lizoy w godzih. Wyzz lizę jedostek wytworzoyh rzez rootik w iągu 8 godzi ry. 8 Od. około 99,6 jedostki wskzówk: oliz łkę w t Zdie 7. Zs Z to ewego towru w gzyie ziei się w iągu iesią di i o uływie t di lizą od ozątku iesią wyrż się wzore Z t, t, 5t 8t. W który oeie zs towru jest jiejszy? Jki jest średi zs w iągu iesią? Zestwieie łek ieozzoyh Fukj Od. Zi Z 8, Z, 5. łk ieozzo l

14 l e e si os os si tg si tg os rtg r si Włsośi łek ieozzoyh W szzególośi d d g d d f g d e f d d l d f d e d g d g f g d łkowie rzez zęśi d f t t łkowie rzez odstwiie Jeśli d F to f d F

Podobne dokumenty

3.6. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

3.6. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej. WYKŁAD 3.6. Cłk ozzo Riem i jej włsośi. Zsosowi geomeryze łki ozzoej. 3A+B35 (Deiij: łk ozzo Riem). Rozwżmy ukję :[, ]. Puky... worzą podził odik [, ] zęśi. Nieh k k k - długość k-ego odik, m - średi k