Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

Transkrypt

1 EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Ciągłość uji w puie e. Fuję : azywamy iągłą w puie jeżeli Heie Cauhy Uwaga: Put ale ie musi być putem supieia zbioru. Jeżeli jest putem izolowaym zbioru to z deiiji uja jest iągła w puie izolowaym. Jeżeli atomiast jest putem supieia zbioru to z deiiji uja jest iągła w puie supieia. Ciągłość putowa uji : e. Fuja : jest putowo iągła w jeżeli jest iągła w ażdym puie zbioru zyli H C Ciągłość jedostaja e. Fuja jest jedostajie iągła w gdy Bezpośredio z deiiji otrzymujemy orzystają z tautologii { y : ϕy} {y : ϕy} Tw. Jeżeli jest jedostajie iągła a to jest putowo iągła a. Problem. Ja pratyzie badać jedostają iągłość uji? Użytezym pojęiem jest tzw. moduł iągłośi uji. e. Modułem iągłośi uji : azywamy uję } : sup{ d Tw. Fuja : jest jedostajie iągła a owód. : jest jedostajie iągła a y y A y A

2 EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Przyład. Poazać że jest jedostajie iągła a przedziale [ sup { : } sup{ + } sup{ Stąd wię jest jedostajie iągła a przedziale [ } Twierdzeia o ujah iągłyh Tw. Weierstrassa Jeżeli uja [ ] : sup i ab i [ a : [ a jest iągła a [a to ograizoa i [ a owód. Ograizoość od góry. la dowodu ie wprost załóżmy że uja ie jest ograizoa od góry. Istieje wię iąg [a tai że. Z twierdzeia Bolzao-Weierstrassa wyia że z ograizoego iągu moża wybrać podiąg zbieży tz. [ a. Z iągłośi uji otrzymujemy o jest w sprzezośi z atem ażdy podiąg iągu rozbieżego do iesońzoośi jest rozbieży do iesońzoośi. Osiągaie resu górego M sup. Jeśli res góry M zbioru wartośi uji ie jest a [ osiągięty to jest o putem supieia zbioru wartośi uji. Istieje wię iąg [a tai że M. Z twierdzeia Bolzao-Weierstrassa istieje podiąg zbieży [ a. Z iągłośi uji otrzymujemy M. Tw. arbou o przyjmowaiu wartośi pośredih Jeżeli : I - iągła a przedziale I to y y Iy < < I owód. ozważmy pomoizą uję g-y. Fuja g przyjmuje a ońah przedziału [l p ] gdzie l mi{ } i p ma{ } wartośi różyh zaów tz. g l g p <. Nieh s będzie środiem przedziału [l p ]. Jeśli gs to twierdzeie zostało udowodioe. W przeiwym przypadu rozważamy przedział [l p ] zastępują jede z ońów l p putem s ta aby g l g p. Powtarzamy powyższą proedurę ostruują iąg przedziałów [l p ] i ih < środów s. Jeśli dla pewego otrzymamy gs to twierdzeie jest udowodioe. Jeśli ie to sostruowaliśmy dwa iągi zbieże: iemalejąy i ograizoy od góry l oraz ierosąy i pl ograizoy od dołu p przy zym p l. Stąd l p. Z tw. o

3 EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl zahowaiu słabej ierówośi w graiy otrzymujemy g wię g o ońzy dowód. Tw. Catora Fuja jedostajie iągła a [a : [ a - iągła a przedziale domiętym [a jest ow: ie wprost. Nieprawda że jest jedostajie iągła [ ' < ' < ] ~ [ a ' [ a [ a ' [ ab ] ' < '. la ażdego zyli w szzególośi dla ' ' też istieją iągi taie że < i istieje taie. ' Poieważ jest iągiem w [a wię moża z iego wybrać podiąg zbieży ' ' mamy + sąd wyia że ' i ' ' wię '. Z waruu trójąta. Z iągłośi uji mamy o przezy waruowi Tw: o loalym zahowaiu zau Jeżeli uja : a b - iągła a przedziale otwartym ab ab i to istieje otozeie putu powiedzmy K taie że K. owód. ie wprost gdyby w ażdym otozeiu putu istiały puty w tóryh to istieje iąg tyh putów zbieży do. Z iągłośi uji i twierdzeia o zahowaiu słabej ierówośi w przejśiu graizym wyia że sprzezość Tw. o iągłośi uji odwrotej. Jeżeli uja jest iągła i rosąa malejąa to uja odwrota : I gdzie I dowoly przedział jest iągła i rosąa malejąa. owód. Nieh będzie iągła i rosąa w przedziale I. Z tw.arbou wyia że iągły obraz przedziału jest przedziałem J[I] jest przedziałem a jest ują różowartośiową. Istieje wię : JI i jest rosąa dowód ie wprost. Aby wyazać iągłość uji w puie y przedziału J wystarzy wyazać że jeśli y y to y y. Gdyby iąg ie dążył do graiy to iesońzeie wiele wyrazów leżałoby a zewątrz przedziału - + zyli spełiałoby jedą z ierówośi < - +. W pierwszym przypadu y < - -η tu orzystamy z założeia że jest rosąa. W drugim y + +η η i η.wobe tego iesońzeie wiele wyrazów y leżałoby a zewątrz przedziału y -η y +η o przezy założeiu ze y y. Ciągłość złożeia Tw. Jeżeli jest iągła w puie a g jest iągła w puie to iągła w puie. Tw. Jeżeli jest iągła a zbiorze A i g jest iągła a zbiorze B to go złożeie z g jest go jest iągła a zbiorze A. Tw. Jeżeli jest jedostajie iągła a zbiorze A i g jest jedostajie iągła a zbiorze B to jedostajie iągła a zbiorze A. go jest 3

4 EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl owód Powyższe twierdzeia są atyhmiastową oseweją deiiji złożeia uji i deiiji odpowiedio putowej i jedostajej iągłośi uji. Ciągłość sumy różiy ilozyu i ilorazu uji rzezywistyh zmieej rzezywistej : ; g : Tw Jeżeli i g są iągłe w puie puie. Jeżeli i g są iągłe a zbiorze to A to + g + g g zbiorze. Jeżeli i g są jedostajie iągłe a zbiorze to to Wiosi zbiorze uje g i g g g g + g ie musza być jedostajie iągłe g g g są iągłe w g są iągłe a g są jedostajie iągłe a º Wielomia jest ują iągłą bo jest o sumą uji iągłyh oraz ilozyów uji iągłyh. º Fuja wymiera jest iągła bo jest ilorazem dwóh iągłyh wielomiaów. owodzi się że 3º Fuja potęgowa jest iągła tz Z uwagi a rówość wystarzy udowodić iągłość w puie tz. ćwizeia 4º Fuja wyładiza jest iągła a a. Z uwagi a rówość a a a wystarzy udowodić iągłość w puie ćwizeia 5º Fuje trygoometryze są iągłe p si si ćwizeia Wiosi. Fuje logarytmize i ylometryze są iągłe bo są odwrote do uji iągłyh Fuje elemetare zyli wszystie powyższe oraz taie tóre moża otrzymać z poprzedih przez sońzoą ilość działań arytmetyzyh oraz złożeń są iągłe w swoih aturalyh dziedziah. Uzupełieie. Ciągłość uji wyładizej. Należy poazać że a a. Z uwagi a rówość a a a wystarzy poazać iągłość uji wyładizej w puie zyli a a. Korzystają z deiiji Heiego graiy uji ależy poazać że a. Wiadomo że a i stąd a a + a + 4

5 EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Z atu wyia że m m. Wobe tego a a a gdy a i a a a gdy a <. Stąd biorą N ma{ m } mamy N N a + zyli a. Ciągłość uji potęgowej. Należy poazać że. Z uwagi a rówość wystarzy poazać iągłość uji potęgowej w puie zyli. Korzystają z deiiji Heiego graiy uji ależy poazać że. Nieh N będzie taie że. Z tw. o arytmetye grai wiadomo że i. Wobe tego + +. ozważają wszystie wariaty związae z mootoizośią uji potęgowej i położeiem względem mamy ierówość mi{ } ma{ } z tórej wyia że + zyli o dowodzi iągłośi uji potęgowej w puie. Ciągłość uji siius. Należy poazać że si si. Z tożsamośi si si os si ograizoośi uji osius i ierówośi si mamy si si z tórej łatwo wyia iągłość uji sius. Podobie dowodzi się iągłośi uji osius. Fuje tages i otages jao ilorazy uji iągłyh są iągłe w swoih dziedziah. + 5