Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015

Transkrypt

1 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd , pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym) Litertur do ćwiczeń: 1. W.Krysicki, L.Włodrski, 011, Aliz mtemtycz w zdich, Wydwictwo Nukowe PWN, Część 1, 51 s.,. W.Krysicki, L.Włodrski, 011, Aliz mtemtycz w zdich, Wydwictwo Nukowe PWN, Część, 49 s., 3. Gewert M., Skoczyls Z., 009, Aliz mtemtycz 1. Przykłdy i zdi, Oficy Wydwicz GiS, 303 s., 4. Gewert M., Skoczyls Z., 010, Aliz mtemtycz. Przykłdy i zdi, Oficy Wydwicz GiS, Wrocłw 188 s., 5. Kczor W. J., Nowk M. T., 011, Zdi z lizy mtemtyczej. Cz. 1. Ciągi rzeczywiste, ciągi i szeregi liczbowe, Wydwictwo Nukowe PWN, 330 s., 6. Kczor W. J., Nowk M. T., 011, Zdi z lizy mtemtyczej. Cz.. Fukcje jedej zmieej - rchuek różiczkowy, Wydwictwo Nukowe PWN, 30 s. 7. Stkiewicz W., 009r., Zdi z mtemtyki dl wyższych uczeli techiczych. Część A i B, wyd. Wydwictwo Nukowe PWN, cz.a -s.80, cz.b -s Bś J., Wędrychowicz S., 01r., Zbiór zdń z lizy mtemtyczej., wyd. WNT, s Lssk M., 014r., Mtemtyk dl studiów techiczych, wyd. Wydwictwo Supremum, s.306, Progrm zjęć: 1. Ciągi liczb rzeczywistych: ciągi ogriczoe, ciągi mootoicze, obliczie gric ciągów, rytmetyk gric ciągów, twierdzeie o trzech ciągch, twierdzeie o dwóch ciągch, liczb e.. Szeregi liczbowe i kryteri ich zbieżości : obliczie sum szeregów liczbowych, szereg hrmoiczy, geometryczy, wruek koieczy zbieżości szeregów, kryteri zbieżości szeregów o wyrzch ieujemych (porówwcze, d Alembert, Cuchy ego,) kryteri zbieżości szeregów o wyrzch dowolych (Dirichlet, Leibiz), zbieżość bezwzględ i wrukow szeregów. 3. Gric i ciągłość fukcji: obliczie gric, grice jedostroe, grice iewłściwe, grice w ieskończoości, bdie ciągłości fukcji, rodzje puktów ieciągłości, zstosowie włsości Drboux. 4. Pochod fukcji jedej zmieej rzeczywistej i jej zstosowi: pochode fukcji elemetrych, różiczkowie sumy, iloczyu, ilorzu, złożei orz fukcji odwrotej, ekstrem lokle, pochode wyższych rzędów, reguł de l Hospitl, wzór Tylor, wypukłość, zstosowie rchuku różiczkowego. 1

2 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd Cłk ieozczo, metody cłkowi: fukcje pierwote, podstwowe metody cłkowi (cłkowie przez części orz przez podstwieie), cłkowie fukcji wymierych, iewymierych rozkłd ułmki proste, cłkowie fukcji trygoometryczych. 6. Cłk ozczo i jej zstosowi: cłk ozczo, zstosowie cłek ozczoych do obliczi pól obszrów płskich, długości łuków krzywych, pól powierzchi i objętości brył obrotowych; obliczie cłek iewłściwych. 7. Rchuek różiczkowy fukcji wielu zmieych rzeczywistych: obliczie pochodych cząstkowych i kierukowych, różiczk zupeł, pochode cząstkowe wyższych rzędów, grdiet fukcji, zjdowie ekstremów loklych fukcji wielu zmieych. 8. Obliczie cłek krzywoliiowych pierwszego i drugiego rodzju. Obliczie cłki podwójej i potrójej. Obliczie cłek powierzchiowych pierwszego i drugiego rodzju. 9. Rozwiązywie rówń różiczkowych liiowych rzędu pierwszego. 10. Ciągi i szeregi fukcyje: zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych, obszr zbieżości szeregów fukcyjych, bdie zbieżości szeregów potęgowych. Ciągi liczbowe Iformcje pomocicze Twierdzeie(o rytmetyce gric ciągów) Dl ciągów ( ), (b ) zbieżych lub rozbieżych do lub zchodzą: ) lim ( ± b ) = lim ± lim b ; b) lim ( b ) = lim lim b ; c) lim b jeśli lim b 0; ) p d) lim ( ) p = lim, p Z \ {0}; f) lim k = k lim, k N \ {1}; o ile powyższe dziłi są wykoywle w zbiorze liczb rzeczywistych. = lim, lim ( b Grice iektórych ciągów: ) lim = 0, b) lim d) lim x = 0, x < 1 e) lim g) lim = 1 j) lim = k) lim! m) lim (1 + 1 ) = e p) lim (1 + 1 ) = e 1 = 0, α > 0 c) lim α α = +, α > 0 x =, x > 1 f) lim = 1, > 0 h) lim α log = 0 α > 0, > 1 i) lim = 0, > 1 =, > 1 l) lim = 0, < 1 ) lim (1 1 ) = e 1 o) lim (1 + ) = e o ile ( ) to ciąg o wyrzch dodtich zbieży do gricy iewłściwej ( ).

3 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Tbelk odczytywi mootoiczości ciągu: mootoiczość > 0 > 1 rosący = 0 = 1 stły < 0 < 1 mlejący 0 1 iemlejący 0 1 ierosący Tbelk odczytywi wrtości pewych wyrżeń: + =, < =, 0 < = 0, < < =, 0 < 0 + =, < 0 =, 0 < =, < 0 0 = 0, 0 + < 1 =, 1 < = 0, < 0 =, 0 < b Symbole ieozczoe:, 0 0,, 0, 1, 0 0, 0 Twierdzeie (o ciągu mootoiczym i ogriczoym): Kżdy ciąg mootoiczy i ogriczoy jest zbieży, przy czym: - ciąg iemlejący i ogriczoy z góry jest zbieży do gricy, któr jest kresem górym zbioru jego wrtości, - ciąg ierosący i ogriczoy z dołu jest zbieży do gricy, któr jest kresem dolym zbioru jego wrtości. Kryterium d Alembert: Niech ( ) N będzie ciągiem liczbowym i istieje gric g := lim +1. Wówczs jeśli: g < 1, to lim = 0, g > 1, to ciąg jest rozbieży, g = 1, to kryterium ie rozstrzyg o zbiezości ciągu (musimy bdć iymi metodmi). Kryterium Cuchy ego: Niech ( ) N będzie ciągiem liczbowym i istieje gric g := lim. Wówczs jeśli: g < 1, to lim = 0, g > 1, to ciąg jest rozbieży, g = 1, to kryterium ie rozstrzyg o zbiezości ciągu (musimy bdć iymi metodmi). 3

4 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Twierdzeie (o dwóch ciągch): Jeśli ciągi ( ) i (b ) spełiją wruki: 1) b (lub b ) dl kżdego 0, gdzie, 0 N, ) lim = to lim b = (lub ) (lub ). Twierdzeie (o trzech ciągch): Jeśli ciągi ( ), (b ) i (c ) spełiją wruki: 1) b c dl kżdego 0, gdzie, 0 N, ) lim = lim c = q to lim b = q. 4

5 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Zestw I (zdń ćwiczei) 1. Zleźć cztery początkowe wyrzy poiżej określoych ciągów ciągów: () = + 1 (b) b = ( dl ieprzystego ) (c) c = (d) d! = dl przystego ( ) ( ) (e) e = + ( ) + 3 (f) f 1 = 7, f +1 = f +3 (g) g 1 = 1, g = 3, g + = g +g W oprciu o wrtości kilku początkowych wyrzów ciągu ( ), podć jedą z możliwych postci jego wyrzu ogólego: () 1, 3, 5, 7, 9, (b), 4, 4, 8, (c) 1,, 6, 4, 10, (d), 1,, 1,, 1, (e) 0.5, 0.(6), 0.75, 0.8, 0.8(3) Zbdj zbieżość i oblicz grice ciągów określoych rekurecyjie: () 1 = 3, = 3 1 (b) 1 = 5, +1 = Korzystjąc z twierdzei o ciągu mootoiczym i ogriczoym wykż zbieżość podych ciągów: () (b) (!) (c) 1 5 ()! 5. Z defiicji gricy ciągu udowodij, że ( 1) () lim 3 1 = () lim = 0 (b) lim 1 = 0 (d) lim + + = 3 1 = Korzystjąc z twierdzeń o rytmetyce gric ciągów, oblicz grice podych ciągów (o ile istieją): () = (b) b = (c) c = (d) d = 5 +3 (e) e = 3 (f) f 3 +4 = (g) g = (1 )3 (h) h (+3)(1 7) = ( (j) j = ) (i) i = (+1)( 1) (3+6)(+) (k) k = (l) l 3 + = + 5 (m) m = () = (o) o = (p) p = 6 4 (q) q 5 +3 = 3 5 (r) r = (s) s = 3 7 (t) t = (+1)!+! (u) u (+1)!! = (v) v = (3 ) (w) w 3 +1 = (x) x ( 3 = ) (y) y = log 1 7 (z) z +4 = ( 1 (b ) b = (c ) c = log 1 ). 7. Korzystjąc z defiicji liczby e obliczyć grice: ( ) ( ) () lim 1 + (b) lim 4 ( ) 3 ( (e) lim (f) lim ( ) 5 ) 3 1 ( (g) lim ( ) = ) +1 (d) lim ( ) + +1 ) (h) lim (

6 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd Korzystjąc z twierdzei o trzech ciągch obliczyć pode grice: () lim (b) lim si (d) lim (e) lim (3 1) cos (f) lim Korzystjąc z twierdzei o dwóch ciągch obliczyć grice podych ciągów. 1 () lim (b) lim si [ 4 + ( 1) 7 ] (c) lim +5 (d) lim 5 +3 (si ). 10. Wykzć, że ciąg ( ) ie m gricy () = ( 1) (b) b = ( 1) +1 (d) c = (1 + ( 1) ) + (e) d = [1 ( 1) ] (f) e = ( ) ( 1) (g) f = si π + cos π. 11. Korzystjąc z kryterium Cuchy ego obliczyć pode grice: ( ) () lim +1 (b) lim l ( ) Korzystjąc z kryterium d Alembert obliczyć pode grice: 4 () lim 5 (b) lim.! 4 3! +5 6