[ ] ( x) Wzory postawowe: (w przedziałach, w których f i F są określone) Metody całkowania. arctg. dx = arcsinx+

Transkrypt

1 EAIiIB-Iformayka -Wykład 6- dr Adam Ćmiel CAŁKA NIEOZNACZONA f : R I R, gdzie I rzedział (zbiór sójy) Def Fukją ierwoą fukji f azywamy fukję F aką, że F ( I Warukiem koiezym isieia dla fukji f fukji ierwoej jes osiadaie rzez f własośi Darbou (wię f ie może mieć ieiągłośi I-go rodzaju) (Uwaga a ćwizeiah moża okazać że ohoda fukji różizkowalej a rzedziale ma własość Darbou) Warukiem wysarzająym isieia dla fukji f fukji ierwoej jes iągłość fukji f Ławo okazać, że jeżeli F jes fukją ierwoą fukji f, o F rówież jes fukją ierwoą fukji f dwie fukje ierwoe F i F fukji f mogą się różić jedyie o sałą Def Zbiór wszyskih fukji ierwoyh fukji f a rzedziale I azywamy ałką ieozazoą fukji f a ym rzedziale i ozazamy Uwaga: fukje e, si e, ie osiadają fukji ierwoyh w klasie fukji elemearyh Wzory osawowe: (w rzedziałah, w kóryh f i F są określoe) 0 α os α α l e e a a la si os os si g os g si arg f ( arsi f l ( ) Prawdziwe są akże asęująe wzory [ ] f ( ( αf ( β ) α β α Uwaga Pohoda ałki (zyli zbioru fukji ierwoyh), o zbiór ohodyh oszzególyh fukji ierwoyh- wszyskie e ohode są rówe f wie dla rosoy iszemy f Suma ałek jes rozumiaa jako algebraiza suma zbiorów Meody ałkowaia I Przez zęśi: (bezośredio z wzoru a różizkowaie ilozyu) Tw Jeżeli fukje f i g mają iągłe ohode w I, o f ( g ( f (

2 EAIiIB-Iformayka -Wykład 6- dr Adam Ćmiel Przykład f ( e g ( e e e e Wzory rekureyje (wyrowadzae z ałkowaia rzez zęśi): (R) ( ) ( ) ( ) (S) si ossi si (C) os sios os Dow (R) ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ( ) ( ) f ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) II Przez odsawieie (kosekweja wzoru a różizkowaie fukji złożoej) Tw: (o ałkowaiu rzez osawieie ϕ() ) Jeżeli: º ϕ : T X jes różizkowalym i wzajemie jedozazym (bijekywym) rzekszałeiem rzedziału T a rzedział X, º fukja f : X R ma fukję ierwoą a rzedziale X, o: f ( ϕ ( ) ) ϕ ( ) d, gdzie ϕ ( ) Dowód Fukja F(ϕ()) będąa złożeiem fukji różizkowalyh jes różizkowala a T i rawdziwy jes wzór [ F( ϕ ( ))] F ( ϕ( )) ϕ ( ) ϕ( )) ϕ ( ), skąd mamy f ( ϕ ( )) ϕ ( ) d F( ϕ( )) a rzedziale T Z założeia mamy f ( F( a rzedziale X Z założoej wzajemej jedozazośi ϕ, isieje fukja odwroa ϕ - : X T Po odsawieiu ϕ ( ) do F( ϕ ( )) orzymujemy F ( ϕ ( ϕ ( )) F(, wię f ( ϕ( )) ϕ ( ) d, rzy zym ϕ - ( Tw (o ałkowaiu rze odsawieie y h( ) Jeżeli: º h: X Y jes różizkowalym odwzorowaiem rzedziału X a Y, º fukja g: Y R ma fukję ierwoą G a Y, o: g ( h( ) h ( y) dy, gdzie y h( Dowód Podobie jak orzedio wysarzy zauważyć, że fukja G(h() jes fukją ierwoą fukji h()h ( a rzedziale X, wię g ( h( ) h ( G(h() g ( y) dy, gdzie yh(

3 EAIiIB-Iformayka -Wykład 6- dr Adam Ćmiel Oba wyrowadzoe wzory a ałkowaie rzez odsawieie, z ozoru ideyze, są jedak isoie róże Jeśli weźmiemy od uwagę, że rozważaym zagadieiem jes wyzazeie ałki fukji określoej a rzedziale X, o w ierwszym rzyadku wymagaa jes odwraalość fukji defiiująej odsawieie (zwae wsezym) a w drugim ie Drugie odsawieie (w rzód) wymaga aomias sejalej osai fukji odałkowej ( ;) si arsi Przykład π π si osd osd ; os d ( wzór C) si os arsi arsi Całkowaie fukji wymieryh Fukja wymiera o fukja f (, gdzie lizik i miaowik o wielomiay względie ierwsze Jeżeli soień wielomiau L jes miejszy od soia wielomiau M ( s(l)<s(m) ), o fukję wymierą azywamy fukją wymierą właśiwą Jeżeli s(l) s(m), o wykoują dzieleie wielomiaów orzymujemy asęująe rzedsawieie R( W( i s(r)<s(m) Aby sałkować dowolą fukję wymierą wysarzy okazać jak ałkować fukję wymierą właśiwą Wiadomo z algebry, że fukję wymierą właśiwą moża rzedsawić w osai sumy ułamków rosyh ierwszego i drugiego rodzaju A - ułamek rosy I-go rodzaju k ( a) B C, q< 0 - ułamek rosy II-go rodzaju ( A A Ak B C B C L L L k k ( a) ( a ( a) ( a) q ( Przykład Rozłożyć a ułamki rose fukję 5 ( ) ( ) Z uwagi a osać miaowika rozkład jes asęująy 5 A B ( ) ( ) ( ) C D skąd o rzemożeiu obu sro rzez (-) ( ) orzymujemy ożsamość (rówość dla każdego 5 - A(-)( ) B( )(CD)(-), sąd o uorządkowaiu orzymujemy rówoważą ożsamość 5 - (AC) (-AB-CD) (AC-D) (-ABD) Porówaie odowiedih wsółzyików rowadzi do układu,

4 EAIiIB-Iformayka -Wykład 6- dr Adam Ćmiel A C 0 A BC D 5, kórego rozwiązaiem jes A, B-, C-, D6 A CD A B D 0 Sałe A,B,C i D moża szybiej wyzazyć wsawiają do ożsamośi 5 -A(-)( ) B( )(CD)(-) miejse zerowe dwumiau - z uzyskują rose rówaie -6B, skąd ayhmias dosajemy B - Wsawiają do owyższej rówośi B - i gruują o lewej sroie wyrazy ie zawierająe iezayh sałyh orzymujemy 7 -A(-)( )(CD)(-) Widać, że wielomia o rawej sroie jes odziely rzez dwumia (-) Wobe ego wielomia o lewej sroie rówież musi być odziely rzez e dwumia, o ozaza że musi być ierwiaskiem ego wielomiau Jes o ewa forma koroli orawośi doyhzasowyh oblizeń Po wykoaiu dzieleia obu sro rzez (-) orzymujemy rówość 7-A( )(CD)(-), z kórej o odsawieiu orzymujemy A,wię A Wsawiają uzyskaą sałą do owyższej rówośi, o zgruowaiu wyrazów ie zawierająyh iezayh sałyh o lewej sroie orzymujemy (CD)(-) Zowu widać, że skoro wielomia o rawej sroie jes odziely rzez (-), o wielomia o lewej sroie rówież musi być odziely rzez (-) (ławo srawdzić, że jes ierwiaskiem wielomiau o lewej sroie) Wykoują dzieleie obu sro rzez (-) orzymujemy -6CD, skąd C- i D6 Widać, że wykoują oisae oeraje moża wyzazyć sałe A,,A k związae z zyikiem (-a) k Sałe B,,B,C,,C związae z zyikiem ( mogą być wyzazoe w e sam sosób orzez odsawieie do rówośi wielomiaowej zesoloego ierwiaska rówaia q0 i zasąieie dzieleia wielomiaów rzez dwumia -a dzieleiem rzez rójmia q Iym sosobem wyzazaia iezayh wsółzyików jes wykorzysaie faku, że rówość wielomiaów oiąga za sobą rówość ih ohodyh (kóre są wielomiaami soia o iższego iż wyjśiowe wielomiay Wraają do rozważaego wześiej rzykładu 5 -A(-)( ) B( )(CD)(-) wsawiają orzymujemy B - Różizkują obusroie owyższą ożsamość orzymujemy 0-A( ) A(-) B C(-) C(-) Oblizają warośi lewej i rawej sroy dla orzymujemy -A- wię, ak jak orzedio, A Biorą od uwagę możliwość rzedsawieia fukji wymierej właśiwej w osai sumy ułamków rosyh ierwszego i drugiego rodzaju możemy srowadzić ałkowaie fukji wymierej do ałkowaia wielomiau i ałkowaia ułamków rosyh Całkowaie ułamków rosyh Ala dlak A a A k I-rodzaju ( ) d A d k k A k a d ( a) dlak k II-rodzaju B C B B ( C ) ( ( ( B B I ( C ) I,

5 EAIiIB-Iformayka -Wykład 6- dr Adam Ćmiel I ( q d ( ) d l(, dla (, dla >, I ( ) ( q )) ( Do osaiej ałki sosujemy wzór rekureyjy (R) q q d q d ( ) Całkowaie fukji wymieryh względem siusa i osiusa R (si,os, gdzie R(u,v) jes fukją wymierą zmieyh u i v Całkę owyższej osai moża srowadzić do ałki fukji wymierej za omoą zw odsawieia uiwersalego g arg g g, ( π < <π), d si, os g g d Sąd R (si,os R, Osaia ałka jes ałką z fukji wymierej (złożeie fukji wymieryh jes fukją wymierą) Przykład si d os d g { gdzie g } l 5 g 5 d d l 5 5 W ewyh szzególyh rzyadkah oblizeia moża urośić sosują ie odsawieie: º R( si,os R(si,os os º R(si, os R(si,os si º R ( si, os R(si,os g u si (os si R( u, v) Przykład v d d os os os, d si d arg {gdzie os} os - arg os Oblizają ą ałkę odsawieiem uiwersalym o ieo dłuższyh rahukah orzymujemy 8 u { } { } g d u d d ( ) ( ) ( u ) ( u ) ( u ) ( u ) si os arg ) g Wyik e ozorie różi się od orzediego Porzez różizkowaie moża wykazać, że a dowolym rzedziale określoośi obu fukji, ih ohode są ideyze Poado, uky osobliwe (uky w kóryh g jes ieokreśloy) ojawiająe się w osaiej ałe, są osobliwośiami usuwalymi, z isieją graie fukji w yh ukah, wię moża fukję w auraly sosób rzedłużyć rzyjmują warośi rówe odowiedim graiom Całkowaie ewyh fukji iewymieryh Całki osai a b R (, ) d, gdzie R(u,v) jes fukję wymierą argumeów u, v i ad-b 0 srowadzamy do ałki fukji wymierej rzez odsawieie a b d, 5

6 EAIiIB-Iformayka -Wykład 6- dr Adam Ćmiel z kórego wyzazamy, d db a ( adb) ( a) Wobe ego wymierej d ( adb) a b db R (, ) R (, ) d Osaia ałka jes już ałką fukji a ( a) 6 Przykład ( ) ( ) d, 6 d ( ) d6( l - ), gdzie Całki osai R (, a b ), gdzie R(u,v) jes fukję wymierą argumeów u i v, srowadzamy do ałki fukji wymierej rzez jedo z iewykluzająyh się wzajemie odsawień Eulera: a b a, gdy a>0, a b, gdy >0, a b a )( ) ( ), gdy >0 ( Przykład, ( ) ( ) d ( d, ( ) ( ) ( ) ( ) ) d d d d l ( ) ( ( ) ) l l {gdzie } r s Całka dwumiea ( a b ) r, s, -wymiere Całkę dwumieą orafimy srowadzić rzez odae obok odsawieia do ałki fukji wymierej ylko w rzeh rzyadkah ałkowie, k u, gdzie k - wsóly miaowik ułamków r i s r ałkowie, s a b u, gdzie - miaowik ułamka s s r a b ałkowie, u, gdzie - miaowik ułamka s s ( u ( u ) u ( u udu du Przykład ( { u,, } ) u u u du du u u arg {gdzie } arg 6