1, π) m, n 0 ( 2, 3. a b =

Transkrypt

1 MATEMATYKA - POWTÓRZENIE I. Lizy i dziłi. Przyjmujemy, Ŝe jmiejszą lizą turlą jest liz 0. W ziorze liz turlyh wyróŝimy lizy rzyste i ierzyste. Lizą ierwszą zywmy tką lizę turlą, któr m tylko dw róŝe dzieliki: jede i smą sieie Liz złoŝo m więej iŝ dw dzieliki Lizy 0 i ie są i ierwsze, i złoŝoe. Cehy odzielośi liz: Przez dzielą się lizy rzyste Przez dzielą się lizy, któryh sum yfr jest odziel rzez Przez 4 dzielą się lizy, któryh yfry z rzędów dziesiątek i jedośi tworzą lizę odzielą rzez 4 Przez 5 dzielą się lizy mjąe w rzędzie jedośi yfrę 0 lu 5 Przez 9 dzielą się lizy, któryh sum yfr jest odziel rzez 9 Przez 0 dzielą się lizy mjąe w rzędzie jedośi yfrę 0 Przez 5 dzielą się lizy ędąe ełymi setkmi orz tkie, któryh yfry w rzędzie dziesiątek i jedośi tworzą lizy 5, 50, 75 Rozkłd lizy zyiki ierwsze to rzedstwieie tej lizy w osti ilozyu liz ierwszyh NWD jwiększy wsóly dzielik NWW jmiejsz wsól wielokrotość Ziór liz łkowityh tworzą lizy turle orz lizy rzeiwe do ih Lizmi wymierymi zywmy lizy, które moŝ rzedstwić w osti ułmk m, 0 % jkiejś wielkośi to jed set tej wielkośi Ay olizyć % dej lizy, zmieimy roet ułmek i moŝymy rzez dą lizę Ay olizyć lizę zją wrtość jej roetu, moŝemy olizyć jierw wrtość %, stęie omoŝyć rzez 00 lu ułoŝyć rówie, rzyjmują z iewidomą wrtość szukej lizy. Lizy iewymiere to tkie lizy, któryh ie moŝ rzedstwić w osti ułmk m, 0 (,, π) Lizy wymiere i iewymiere tworzą ziór liz rzezywistyh Lizy rzeiwe są ołoŝoe osi lizowej symetryzie względem zer. Odwrotośią lizy 0 jest liz Wrtość ezwzględ lizy to jej odległość od zer osi lizowej ; Dziłi i ih włsośi: Przemieość dodwi + + Przemieość moŝei Łązość dodwi ( + ) + + ( + ) Łązość moŝei ( ) ( ) Rozdzielość moŝei względem dodwi ( ) 0 w dodwiu w moŝeiu w moŝeiu MoŜeie otęg o tej smej odstwie Dzieleie otęg o tej smej odstwie m m Potęg otęgi ( ) Potęg ilozyu ( ) Potęg ilorzu Pierwistek z ilozyu Pierwistek z ilorzu m m : + m+ m Kolejość wykoywi dziłń: Potęgowie i ierwistkowie MoŜeie i dzieleie Dodwie i odejmowie Dziłi w wish mją zwsze ierwszeństwo rzed ozostłymi. +

2 II. WyrŜei lgerize. WyrŜeiem lgerizym zywmy wyrŝeie, w którym wystęują lizy i litery (zmiee) ołązoe zkmi dziłń i wismi Jedomiy są to ilozyy liz i zmieyh Wyrzy odoe są to jedomiy róŝiąe się wsółzyikiem lizowym Sumy lgerize to sumy jedomiów JeŜeli rzed wisem wystęuje zk dodwi (lu ie m Ŝdego zku), ouszzmy wis ez zmiy zków wewątrz wisu JeŜeli rzed wisem wystęuje zk odejmowi, ouszzmy wis, zmieiją wszystkie zki wewątrz wisu rzeiwe Sumy lgerize moŝemy moŝyć rzez sieie, wówzs : kŝdy skłdik ierwszej sumy moŝymy rzez kŝdy skłdik drugiej sumy Wzory skróoego moŝei: Kwdrt sumy ( ) + Kwdrt róŝiy ( ) + Ilozy sumy rzez róŝię ( ) ( ) III. Rówi, ierówośi, ukłdy rówń Rówiem zywmy dw wyrŝei lgerize, w któryh wystęuje jed lu więej iewidomyh, ołązoe zkiem rówośi. Rówiem liiowym z jedą iewidomą zywmy rówie, w którym wystęuje tylko jed iewidom i jest o w ierwszej otędze; x + 0 ( 0) Rozwiąziem rówi stoi ierwszego z jedą iewidomą jest liz, któr odstwio w miejse iewidomej zmiei rówie w rówość rwdziwą. Liz t sełi to rówie. Rówie, które ie m rozwiązi zywmy rówiem srzezym. Rówie, które jest sełioe dl kŝdej lizy, zywmy rówiem toŝsmośiowym Rówie rówowŝe do dego otrzymmy : Dodją lu odejmują tką smą lizę do ou stro rówi MoŜą lu dzielą oie stroy rówi rzez tę smą lizę róŝą od zer Nierówośią liiową z jedą iewidomą zywmy wyrŝeie, które moŝ rzedstwić w osti: x + < 0, x + > 0 - ierówośi ostre x + 0, x ierówośi ieostre gdzie i są dowolymi lizmi, rzy zym 0. Nierówość rówowŝą do dej otrzymmy : Dodją lu odejmują tką smą lizę do ou stro ierówośi MoŜą lu dzielą oie stroy ierówośi rzez tę smą lizę dodtią MoŜą lu dzielą oie stroy ierówośi rzez tę smą lizę ujemą i zmieiją zk ierówośi rzeiwy Rówie liiowe z dwiem iewidomymi m ostć x + y, gdzie x i y są iewidomymi,,, są wsółzyikmi lizowymi i 0 lu 0 Ay zleźć rę liz sełijąyh de rówie, rzyjmujemy z x dowolą wrtość i olizmy odowidjąą mu wrtość y KŜde rówie liiowe z dwiem iewidomymi moŝ rzedstwić grfizie w ukłdzie wsółrzędyh. Prostą o rówiu x + y otrzymmy, wyierją dw róŝe ukty, które sełiją to rówie. Nierówośi liiowe z dwiem iewidomymi: x + y <, x + y > - ierówośi ostre x + y, x + y - ierówośi ieostre gdzie,, są dowolymi lizmi, rzy zym 0, 0 Dw rówi liiowe z dwiem iewidomymi tworzą ukłd dwóh rówń liiowyh z dwiem iewidomymi. Rozwiąziem ukłdu rówń jest kŝd r liz sełiją jedoześie o rówi ukłdu. Ukłd rówń moŝe mieć: Dokłdie jedo rozwiązie- jest to ukłd ozzoy Nieskońzeie wiele rozwiązń- jest to ukłd ieozzoy Brk rozwiązi- jest to ukłd srzezy Sosoy rozwiązywi ukłdów rówń: Metod grfiz: rysujemy wykresy ou rówń w jedym ukłdzie wsółrzędyh, odzytujemy wsółrzęde uktów leŝąyh do ou wykresów rówoześie. Metod odstwii: z jedego rówi ukłdu wyzzmy jedą ze zmieyh (x lu y). Wyzzoą zmieą odstwimy do drugiego rówi, zmiei się wtedy oo w rówie z jedą iewidomą. Z tego rówi zjdujemy wrtość iewidomej. Olizoą wrtość wstwimy do orzediego rówi i zjdujemy wrtość drugiej zmieej. Metod rzeiwyh wsółzyików: Budujemy dw rówowŝe ukłdy rówń tkie, Ŝe w jedym są rzeiwe wsółzyiki rzy iewidomej x, w drugim rzy iewidomej y. W kŝdym ukłdzie, o dodiu rówń stromi, elimiujemy jedą zmieą. Otrzymujemy dw rówi, kŝde z jedą iewidomą. Rozwiązują je otrzymujemy rozwiązie dego ukłdu rówń. Metod miesz: wyzzmy jedą zmieą z omoą metody rzeiwyh wsółzyików, drugą zmieą z omoą metody odstwii.

3 IV. Fukje i wykresy Ukłd wsółrzędyh łszzyźie tworzą dwie osie lizowe rostodłe do sieie, rzeijąe się w ukie zwym ozątkiem ukłdu wsółrzędyh. Poziomą oś x zywmy osią odiętyh, ioową oś y osią rzędyh. Fukją określoą ziorze X o wrtośih w ziorze Y zywmy tką zleŝość, któr kŝdemu elemetowi x ze zioru X rzyorządkowuje dokłdie jede elemet y ze zioru Y. Ziór X zywmy dziedzią fukji lu ziorem rgumetów fukji. Ziór Y zywmy rzeiwdziedzią fukji. Wykresem fukji jest ziór wszystkih tkih uktów (x,y) łszzyzy, Ŝe x jest rgumetem, y jest wrtośią fukji Fukję moŝ rzedstwić kilk sosoów: słowie, wzorem, w osti telki, w osti grfu, w osti wykresu Miejsem zerowym fukji zywmy tki rgumet x, dl którego wrtość fukji wyosi 0, f(x)0. W miejsh zerowyh wykres fukji dotyk lu rzei oś x y x +, jest to ogóly wzór fukji liiowej gdzie lizę zywmy wsółzyikiem kierukowym rostej, lizę - wyrzem wolym. Dl <0 - fukj jest mleją Dl >0 - fukj jest rosą Dl 0 - fukj jest stł Wykresy fukji liiowyh y x +, mjąyh te sm wsółzyik kierukowy i róŝe wsółzyiki, są rostymi rówoległymi Wykresy fukji liiowyh y x +, mjąyh róŝe wsółzyiki kierukowy i jedkowe wsółzyiki, są rostymi rzeijąymi się w jedym ukie (0,) Ay wyzzyć wzór fukji liiowej, której wykres rzehodzi rzez de ukty, odstwimy wsółrzęde tyh uktów w miejse x i y do wzoru y x +, i rozwiązujemy ukłd rówń o iewidomyh i Proorjolość rostą oisuje wzór: y x. (dl 0) Lizę zywmy wsółzyikiem roorjolośi, wielkośi x i y zywmy wielkośimi wrost roorjolymi. Proorjolość odwrotą oisuje wzór:, x sełiją wruek y. Wykresem tej fukji jest hierol. y 0 i x 0. Mówimy, Ŝe wielkośi x i y są odwrotie roorjole, jeŝeli x y x +, (dl 0) jest to ogóly wzór fukji kwdrtowej, jej wykresem jest rol V. Zdi tekstowe Przezytć uwŝie treść Określić o m yć odowiedzią i do zego dąŝymy odzs rozwiązywi zdi Wyisć de ode w zdiu Wyrć metodę rozwiązywi (lgerizą, rytmetyzą, grfizą) Rozwiązć, zstowić się d otrzymym wyikiem Sformułowć odowiedź do zdi VI. Geometri łszzyźie Kąt to zęść łszzyzy, ogrizo dwiem ółrostymi wyhodząymi z jedego uktu wrz z tymi ółrostymi. Kąty dzielimy : Wyukłe: ostre α<90, rosty α90, rozwrte 90 <α<80, ółeły α80 Wklęsłe: 80 <α<60 Peły: α60 Kąty rzyległe- to tkie dw kąty, które mją jedo wsóle rmię, ozostłe rmio tworzą rostą. Dw kąty rzyległe tworzą kąt ółeły (α+β80 ) Kąty wierzhołkowe- to tkie dw kąty, które mją wsóly wierzhołek, rmio jedego kąt są rzedłuŝeimi rmio drugiego kąt. Kąty wierzhołkowe mją tką smą rozwrtość: αγ, βδ Jeśli dwie roste rówoległe rzetiemy trzeią rostą, to otrzymmy stęująe kąty rówe: Kąty rzemiległe wewętrzie: α γ, β δ Kąty rzemiległe zewętrzie: δ β, γ α Kąty odowidjąe: α α, β β, γ γ, δ δ Dwusiez kąt- jest to ółrost dzielą kąt dw kąty rzystjąe. Symetrl odik- to rost rostodł do odik dzielą go dw rzystjąe odiki. Symetrl odi rzehodzi rzez jego środek. Prost styz do okręgu m z okręgiem jede ukt wsóly. Prost styz do okręgu tworzy z romieiem tego okręgu, rowdzoym do uktu styzośi, kąt rosty. Siez- to rost rzeiją okrąg w dwóh ukth. Kąt wisy w okrąg to kąt wyukły, którego wierzhołek leŝy okręgu, jego rmio rzeiją okrąg. Kąt środkowy w okręgu, to kąt którego wierzhołek leŝy w środku okręgu, jego rmio rzeiją okrąg. Mir kąt środkowego jest dw rzy większ iŝ mir kąt wisego ortego tym smym łuku: βα Wszystkie kąty wise orte tym smym łuku są rówe Kąt wisy orty ółokręgu jest rosty. Trójkąt jest wisy w okrąg, okrąg jest oisy trójkąie, gdy wszystkie wierzhołki tego trójkąt leŝą okręgu. Środek okręgu oisego trójkąie zjduje się w ukie rzeięi symetrlyh oków tego trójkąt.

4 Trójkąt jest oisy okręgu, okrąg jest wisy w te trójkąt, gdy wszystkie jego oki są styze do okręgu. Środek okręgu wisego w trójkąt zjduje się w ukie rzeięi dwusiezyh kątów tego trójkąt. Sum mir kątów w trójkąie wyosi 80 Środkowe w trójkąie to odiki łąząe wierzhołki trójkąt ze środkmi rzeiwległyh oków. Sum mir kątów wewętrzyh w zworokąie wyosi 60 Czworokąty i ih ol Kwdrt: P, Prostokąt: Rówoległook: P d P P h P h P q Rom:, Deltoid: Trez: P q P ( + ) h JeŜeli sumy długośi rzeiwległyh oków zworokąt są rówe, to tki zworokąt moŝ oisć okręgu. Wielokąt jest wisy w okrąg, okrąg jest oisy tym wielokąie, gdy wszystkie jego wierzhołki leŝą okręgu. Środek okręgu oisego wielokąie zjduje się w ukie rzeięi symetrlyh oków tego wielokąt. Wielokąt jest oisy okręgu, okrąg jest wisy w te wielokąt, gdy wszystkie jego oki są styze do okręgu. Środek okręgu wisego w wielokąt zjduje się w ukie rzeięi dwusiezyh kątów tego wielokąt. Wielokąt foremy to tki wielokąt, który m wszystkie kąty rówe i wszystkie oki tej smej długośi Sum mir kątów wewętrzyh -kąt foremego wyosi: ( ) 80 W kŝdy wielokąt foremy moŝ wisć koło i moŝ oisć im koło. Dw wielokąty są rzystjąe, jeŝeli odowiedie kąty są rówe i odowiedie odiki są tej smej długośi. Cehy rzystwi trójkątów: dw trójkąty są rzystjąe jeŝeli, Długośi oków jedego trójkąt są rówe długośiom odowiedih oków drugiego trójkąt lo Długośi dwóh oków w jedym trójkąie są rówe długośiom odowiedih oków w drugim trójkąie, miry kątów zwrtyh omiędzy tymi okmi są rówe lo Długość jedego oku i miry kątów do iego rzylegjąyh w jedym trójkąie są rówe długośi odowiediego oku i miry kątów do iego rzylegjąyh w drugim trójkąie Dw wielokąty są odoe jeŝeli odowiedie kąty są rówe i odowiedie odiki są roorjole. Cehy odoieństw trójkątów: dw trójkąty są odoe jeŝeli, Długośi oków jedego trójkąt są roorjole do długośi odowiedih oków w drugim trójkąie lo Długośi dwóh oków w jedym trójkąie są roorjole do długośi odowiedih oków w drugim, miry kątów zwrte między imi są rówe lo Miry kątów jedego trójkąt są rówe mirom odowiedih kątów w drugim trójkąie. Symetri osiow względem rostej k ie zmiei długośi odików i rozwrtośi kątów. Pukt P jest orzem uktu P w symetrii względem rostek k, jeŝeli ukty P i P leŝą rostej rostodłej do rostej k o rzeiwyh stroh tej rostej w tkiej smej odległośi od iej. Figury symetryze do sieie względem rostej k mją odowiedie odiki jedkowej długośi i odowiedie kąty rówe. Symetri środkow względem uktu O ie zmiei długośi odików i rozwrtośi kątów. Pukt P jest orzem uktu P w symetrii środkowej względem uktu O (P O), jeŝeli ukty P,O,P leŝą jedej rostej o rzeiwyh stroh uktu O orz długośi odików PO i P O są tkie sme. Orót o kąt wokół uktu O ie zmiei długośi odików i rozwrtośi kątów. Pukt P jest orzem uktu P w oroie wokół uktu O o kąt α, jeŝeli odiki PO i P O są rówej długośi orz o PoP ' Orót wykoujemy w kieruku rzeiwym do ruhu wskzówek zegr. Jedokłdośią o środku S i skli k (k 0) zywmy rzeksztłeie, które kŝdemu uktowi A rzyorządkowuje ukt A leŝąy do rostej SA, leŝąy: o tej smej stroie uktu S o ukt A, gdy k>0, orz sełijąy wruek rzeiwej stroie uktu S iŝ ukt A, gdy k<0 orz sełijąy wruek SA' k SA Jedokłdość o skli k i k - zmiei długośi odików le ie zmiei rozwrtośi kątów. P πr Pole koł: Owód koł: Ow r Pole wyik koł: π α P πr o 60 α π 60 o Długość łuku: ł r SA' k SA α, o

5 Twierdzeie Pitgors: jeŝeli trójkąt jest rostokąty to sum kwdrtów długośi rzyrostokątyh jest rów kwdrtowi długośi rzeiwrostokątej + Twierdzeie odwrote do twierdzei Pitgors: jeŝeli w trójkąie o okh długośi,, zhodzi związek: +, to trójkąt te jest rostokąty. Proorje trygoometryze: Siusem kt α zywmy stosuek długośi rzyrostokątej rzeiwległej do kąt α do długośi rzeiwrostokątej. Cosiusem kąt α zywmy stosuek długośi rzyrostokątej rzyległej do kąt α do długośi rzeiwrostokątej. Tgesem kąt α zywmy stosuek długośi rzyrostokątej rzeiwległej do kąt α do długośi rzyrostokątej rzyległej do kąt α Cotgesem kąt α zywmy stosuek długośi rzyrostokątej rzyległej do kąt α do długośi rzyrostokątej rzeiwległej do kąt α si α os α tg α tg α VII. Geometri w rzestrzei Gristosłu to wielośi, którego dwie śiy (zywe odstwmi) są wielokątmi rzystjąymi leŝąymi w dwóh róŝyh łszzyzh rówoległyh, śiy oze są rówoległookmi. Wysokośią gristosłu jest odiek rostodły do odstw, którego o końe leŝą w łszzyzh odstw. W zwie gristosłu zwrt jest iformj o odstwie., gristosłu trójkąty m w ostwie trójkąt. W gristosłuie rostym śiy oze są rostokątmi. W gristosłuie rwidłowym odstwy są wielokątmi foremymi, śiy oze rostokątmi. Pole owierzhi łkowitej (P ) gristosłu to sum ól odstw (P ole jedej odstwy) i śi ozyh (P ole wszystkih śi). P P + P Ojętość (V) gristosłu jest ilozyem ol jego odstwy (P ) rzez wysokość (h). V P h Prostodłośi to gristosłu, którego wszystkie śiy są rostokątmi. Pole owierzhi łkowitej rostodłośiu: P ( + + ) Ojętość rostodłośiu: V Sześi to rostodłośi, którego wszystkie śiy są kwdrtmi. Sześi to rył forem. Pole owierzhi łkowitej sześiu: V P 6 Ojętość rostodłośiu: Ostrosłu to wielośi, którego odstw jest dowolym wielokątem, śiy oze są trójkątmi o wsólym wierzhołku. Wysokośią ostrosłu jest odiek rostodły do odstwy, którego jede koie jest wierzhołkiem tego ostrosłu. W zwie ostrosłu zwrt jest iformj o odstwie,., ostrosłu trójkąty m w odstwie trójkąt. W ostrosłuie rwidłowym odstw jest wielokątem foremym, śiy oze są rówormieymi trójkątmi rzystjąymi. Pole owierzhi łkowitej (P ) ostrosłu jest sumą jego ol odstwy (P ) i jego ol owierzhi ozej (P ). P P + P Ojętość (V) ostrosłu jest jedą trzeią ilozyu jego ol odstwy (P ) i wysokośi (h). V P h Czworośi jest to ostrosłu, którego wszystkie śiy są trójkątmi. Szzególy rzydek zworośiu to zworośi foremy, którego wszystkie śiy są jedkowymi trójkątmi rówoozymi. Orją figurę łską wokół rostej (zywej osią orotu), otrzymujemy figurę rzestrzeą zywą ryłą orotową. Wle to figur owstł w wyiku ori rostokąt dookoł rostej zwierjąej jede z jego oków. Bok te jest wysokośią wl, rost zyw się osią orotu. Boki rostokąt rostodłe do osi orotu zkreślją koł, ędąe odstwmi wl. Bok rówoległy do osi orotu tworzy owierzhię ozą wl. KŜdy odiek zwrty w owierzhi ozej wl i rostodły do odstwy zyw się tworząą wl. Pole owierzhi łkowitej (P ) wl to sum ól jego odstw i ol owierzhi ozej. P P + P πr + πrh P Ojętość wl jest ilozyem jego ol odstwy (P ) i wysokośi (h). V P h V r π h

6 StoŜek jest figurą, któr owstł w wyiku ori trójkąt rostokątego dookoł rostej zwierjąej jede z jego rzyrostokątyh. Przyrostokąt t jest wysokośią stoŝk. Przyrostokąt, któr jest rostodł do osi orotu, zkreśl koło ędąe odstwą stoŝk. Przeiwrostokąt trójkąt zkreśl owierzhię zywą owierzhią ozą stoŝk. KŜdy odiek zwrty w owierzhi ozej stoŝk łąząy wierzhołek z odstwą zywmy tworząą stoŝk. Pole owierzhi łkowitej (P ) stoŝk jest sumą ol jego odstwy (P ) i ol owierzhi ozej (P ). P P + P π r + πrl P α + 60 P r l π π o Ojętość stoŝk to jed trzei ilozyu ol jego odstwy (P ) i wysokośi (h). V P h V π r h Kul jest figurą, któr owstł w wyiku ori ółkol dookoł rostej zwierjąej średię tego ółkol. Pole owierzhi łkowitej (P ) kuli: Ojętość kuli: 4 V π r P 4πr Dwie ryły są odoe, jeśli mją odowiedie odiki roorjole i odowiedie kąty rzystjąe (odoie jk w rzydku figur łskih). VIII. Zierie, orgizowie dyh lizowyh. Cłą serię wyików rzerowdzoego omiru lu oserwji (tzw. dyh) zywmy róą. Zwier o lize i szzegółowe iformje, z któryh jeszze iewiele widć. Pyti, jkie zwykle zdjemy temt dego zioru osó, zwierząt zy rzezy mją hrkter ogóly i dotyzą łej ziorowośi, z której ró ohodzi. W sttystye dy ziór osó, zwierząt lo rzedmiotów zywmy oulją. Ay odowiedzieć ostwioe yti odstwie róy, trze zere de orowć. De trze rzedstwić w zytely sosó,. w osti telek lu digrmów rzedstwijąyh lizę i rodzj dyh, które wystąiły w róie. Telk wyisujemy wszystkie wyiki w róie i otujemy, ile rzy kŝdy z ih się ojwił. Digrm słukowy dl kŝdego rodzju dyh rysujemy słuek, którego wysokość orzuje, ile rzy wyik ojwił się w róie. Cehy digrmu słukowego: Jest zytely, gdy liz oszzególyh rodzjów dyh jest ieduŝ zęstośi są rzej duŝe. Pozwl łtwo orówywć róy, o tej smej lizeośi i strukturze dyh (te sme rodzje dyh). Próy o róŝyh lizeośih moŝ orówywć jedyie w sosó rzyliŝoy, odstwie ksztłtu digrmów. Digrm kołowy lizeośi łej róy odowid koło, w którym zzzmy wyiki o kąth odowidjąyh zęstośiom oszzególyh rodzjów dyh w łej róie. Cehy digrmu kołowego: Jest zytely, gdy ró skłd się z kilku rodzjów dyh, tz. gdy koło dzieli się kilk iezyt młyh wyików. Pozwl zoserwowć jką zęść łej róy stowią oszzególe zęstośi. Pozwl łtwo orówywć róy o róŝyh lizeośih. Nie moŝ go stosowć, gdy kietowy moŝe wyrć więej iŝ jedą moŝliwość. Gdy stwierdzimy, Ŝe d ró zwier wiele rodzjów dyh i wskutek tego digrmy kołowy i słukowy ędą iezytele, wówzs gruujemy zere de w kilk gru i sorządzmy digrmy zęstośi dl dyh ogruowyh. Gruują de zyskujemy zytelość rezetji róy, le trimy szzegółowe iformje zomimy jkie yły de wyjśiowe. Digrm łodygowo listkowy jest iym sosoem rzedstwii dyh ogruowyh, zhowująym de wyjśiowe. Cehy digrmu łodygowo listkowego: Jest zytely. Zhowuje wszystkie de wyjśiowe. UmoŜliwi łtwe orówywie dwóh ró, de z drugiej róy zzzmy z drugiej stroy tej smej łodygi. Lizy hrkteryzująe róę: Średi rytmetyz to liz uzysk rzez dodie wszystkih wyików z róy i odzieleie tej sumy rzez lizeość róy + S Medi to liz, wielkość, eh, któr w dej róie wystęuje jzęśiej. Rozstę dyh to róŝi między jwiększą i jmiejszą lizą w dej róie. Kwrtyl doly zestwu dyh to medi wyików zjdująyh się ozyjh iŝszyh od ozyji mediy. Gdy liz dyh w róie jest rzyst to kwrtylem dolym jest medi ierwszej ołowy dyh uorządkowyh rosąo. Kwrtyl góry zestwu dyh to medi wyików zjdująyh się ozyjh wyŝszyh od ozyji mediy. Gdy liz dyh w róie jest rzyst to kwrtylem górym jest medi drugiej ołowy dyh uorządkowyh rosąo. Średią geometryzą dwóh liz dodtih i jest liz Średią hrmoizą liz dodtih i jest liz S g S h +