Rozmaite techniki dowodzenia nierówności

Transkrypt

1 Rozmite tehiki dowodzei ierówośi Pweł Józik 5 styzi 07 N kółku gimzjlym zjmujemy się rozdziłmi -6; kółku lielym zjmujemy się rozdziłmi 4-8; kółku olimpijskim zjmujemy sie rozdziłmi 9-. Dziś zkłdmy, że wszystkie lizy x, y,,, to lizy rzezywiste dodtie, zś m,, k to lizy turle -,,,... Prwd zy fłsz? Oeń prwdziwość ierówośi - udowodij, że d ierówość jest prwdziw dl liz dodtih lo podj kotrprzykłd:.,. +,. +, 4. +, x + x, 6. x + x, 7. x + y 4 xy. Nierówośi rozgrzewkowe Przeksztłć ierówośi do posti, w której są ozywiste:. x + 6xy + 7y x + 8y,. +,. k ( k + k), 4. [( + ) ], k k k+, 6. +.

2 Metod teleskopow Zw zsem sumowiem ierówośi stromi. Być może wrto spróowć wykorzystć ierówośi z poprzediej zęśi: (+), , ( + ), 4. + (+) + (+) +... m m+. 4 Średi rytmetyz i geometryz Podstwą ędzie terz dl s ierówość, której dowiedliśmy w pukie.6: +. Udowodij:. +,. +,. +, 4. ( + ) ( + ), + 4 +, 6. ( + )( + )( + ) 8, 7. * + + ( )(+ ) (+ <, gdy lizy )(+ )...(+ ),,..., spełiją wruek:... k dl dowolego k. Jeśli zdie 4.7 ie wyhodzi od rzu, spróuj zroić je w ieo prostszej wersji: + + (+ + )(+ )... + (+ < przy tyh smyh złożeih o lizh )(+ )...(+ ),...,. Potem pewie trik pozwoli rozwiązć i zdie Uzupełiie do pełego kwdrtu Jk w tytule: uzupełij wyrżeie do pełego kwdrtu i skorzystj ze wzorów skróoego możei. Tą metodą udowodij: d ( + + )d ( + ) ( + + )

3 6 Sumy kwdrtów Zw tkże ierówośią o mootoizośi ideksów. Główy pomysł wygląd tk: Nieh de ędą lizy,...,, przyjmijmy ozzeie + =. Mmy: Dodjmy to stromi, wówzs: ( i i+ ) = i i i+ + i+ ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) Dzielą oie stroy przez i zmieiją stroy mmy: ( ) ( ) = [( ) + ( ) ( ) ] 0 wię iymi słowy: Udowodić ierówośi przy pomoy pomysłu pokzego powyżej:. ( + + ) ( + + ) ( + + ) Nierówośi między średimi Ozzmy M t (,..., ) = t i= t i dl t 0, M 0 (,..., ) =.... Zhodzi stępująy fkt: jeśli t < s, to M t (,..., ) M s (,..., ) orz rówość m miejse wtedy i tylko wtedy, gdy = =... =. W zwyzjowyh przypdkh ędą s iteresowć zstosowi tej ierówośi w przypdku, gdy =,, 4, zś t = (tzw. średi hrmoiz), t = 0 (tzw. średi geometryz), t = (tzw. średi rytmetyz), t = (tzw. średi kwdrtow). Moż terz udowodić kilk łdyh ierówośi: d + d d + d + d d i i= i S S, gdzie 0 < i <, S = , o ile + + = 8. i i= S i, gdzie S = ( + ) ( + ) dl,, tkih, że + + = dl,, tkih, że + + = 8

4 . + + dl,, tkih, że + + = ( + + ) 4. i= (i )m > m+ 8 Nierówość Beroulliego Tym rzem wystrzy m, y x >. Zhodzi stępująy fkt, zwy ieróośią Beroulliego: jeśli 0 < α <, to ( + x) α + αx jeśli α >, to ( + x) α + αx zś rówość zhodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. Moż terz udowodić kilk ierówośi:. ( + ) < ( + + )+,. ( ) <. > ( + ), dl, 4. ( + )+ > ( + + )+, < dl >. 9 Mootoizość ideksów Tym rzem tk prwdę (vide: Sumy kwdrtów), zyli jko uogólieie metody sumy kwdrtów z puktu 6. Złóżmy, że mmy dw iągi,..., orz,...,. Dokoujemy sprowi elemetów tyh dwu iągów, to zzy: kżdego k żeimy z jedym j tk, y żde z j ie miłdwu mężów. Tk dorą prę możymy (lgerizie) i sumujemy wszystkie wyiki. Kiedy otrzymmy jwiększą wrtość, kiedy jmiejszą? Okzuje się, że większ wrtość ędzie wtedy, gdy jwiększy k ożeimy z jwiększym j, drugi jwiększy k z drugim jwiększym j,..., jmiejszy k z jmiejszym j (w skróie, powiemy, że iągi k i j są jedkowo uporządkowe), zś jmiejsz wtedy, gdy k ożeimy z miejszym j, drugi jwiększy k z drugim jmiejszym j,..., jmiejszy k z jwiększym j (w skróie, powiemy, że iągi k i j są przeiwie uporządkowe). Wszystkie pośredie sprowi ddzą jkieś wyiki pośredie. Przy pomoy tego fktu, moż pokzć kilk łdyh ierówośi:. (XXIV MOM, 8) ( + + ) ( + ) + ( + ) + ( + )

5 0 Nierówość Czeyszew Przy ozzeih jk w poprzedim prgrfie, zhodzi poiższy fkt: ( ) ( )( ), jeśli iągi k, j są jedkowo uporządkowe. ( ) ( )( ), jeśli iągi k, j są przeiwie uporządkowe. Moż terz udowidić łtwo poiższą ierówość: S + S +... S dl, S = Ale iekwsze zstosowi ierówośi Czeyszew mją miejse, gdy uogólimy to przypdek większej ilośi iągów: Nieh i,, i,,..., i, dl i m, m ędą iągmi liz ieujemyh. Jeśli iągi te są jedkowo uporządkowe (tz. kżde dw są jedkowo uporządkowe), to zhodzi ierówość: m m m ( i,j ) ( i,j ) j= i= i= j= m (,,... m, +,,... m, ,,... m, ) (, +, , )(, +, , )... ( m, + m, m, ) Jk zwsze, w zstosowih kokursowyh powyższe twierdzeie jest iteresująe głowie dl m =,, 4 i podoego rzędu. Moż terz łtwo udowodić poiższe ierówośi: ( ) ( + + )( + + )( + + ). ( )( ) ( ) 4. (h + h + h )( + + ) 8S, gdzie,, - długośi oków trójkąt o polu S, zś h, h, h są długośimi wysokośi opuszzoyh oki,,, odpowiedio. Mootoizość ideksów - więej! Złóżmy, że mmy m iągów,i,...,,i, dl i m. Dokoujemy sprowi elemetów tyh iągu, to zzy: kżdego k, żeimy z jedym j,, tyh zś z jedym l, et eter tk, y żde z j,i pojwił się w tylko jedym tkim ukłdzie. Tk dorą m-kę możymy (lgerizie) i sumujemy wszystkie wyiki. Kiedy otrzymmy jwiększą wrtość? Okzuje się, że większ wrtość ędzie wtedy, gdy wszystkie iągi k,i są prmi jedkowo uporządkowe. Możemy podowodzić terz kilku symptyzyh ierówośi: ( )(... ) d 5 ( d)d

6 Nierówość Jese Fukję f zywmy wypukłą, jeśli dl kżdyh dwu puktów jej dziedziy, odiek łąząy odpowidjąe tym puktom pukty wykresu leży pod wykresem. Formlie: f(tx+( t)y) tf(x) + ( t)f(y) dl 0 t. Okzuje się, że logizą rzez moż pisć dl dowolie dużej ilośi puktów: f( i= t ix i ) i= t if(x i ), gdzie i= t i =. Zdi do tej ierówośi:. + + <. + 4 ( + ) dl,. i= i i ( 4. ( ) i= i ) i= i + +, gdy, i= ( i i ) ( ) Odpowiedzi i rozwiązi Prwd zy fłsz?. Nieprwd, podstw =. Prwd, jeśli, to, jeśli <, to jedyk złtwi sprwę.. Nieprwd, podstw = 4. Prwd, jeśli, to, jeśli <, to jedyk złtwi sprwę. Nieprwd, podstw = Prwd, poiewż x > 0, możemy przemożyć ierówość stromi i zpisć ją w posti (x ) Nieprwd, podstw x = y = Nierówośi rozgrzewkowe. 0 x + (x y). ( ) k 4. + k k+ 6. ( ) 0 Metod teleskopow (+) = ( ) + ( ) + ( 4 ) ( + ) = +,. Przez zsumowie stromi ierówośi z zdi.,. Przez zsumowie stromi ierówośi z zdi.4, 4. Przez zsumowie stromi ierówośi z zdi. 6

7 Średi rytmetyz i geometryz. + wprost z wyjśiowej ierówośi,. + wprost z wyjśiowej ierówośi,. + wprost z wyjśiowej ierówośi, 4. ( + ) ( + ) = + 0 wprost z wyjśiowej ierówośi, = (+) 4 (+) 0 z wyjśiowej ierówośi po spierwistkowiu lizik, 6. ( + )( + )( + ) 8 po trzykrotym, osoo dl kżdego wisu, zstosowiu wyjśiowej ierówośi 7. Njpierw wskzówkę: zjmijmy się pojedyzym miowikiem. ( + )( + )... ( + k )... k = k... k k, wię po przejśiu do miowik, (+ )(+ )...(+ k ), zyli k + + ( )(+ ) (+ )(+ )...(+ ) = = =... = <. k Jk z tego wyik sze zdie? Jk powyżej, mmy (+ )(+ )...(+ k ) k, wię k + + ( )(+ ) (+ )(+ )...(+ ) = ( ) + ( ) ( + ) < Uzupełiie do pełego kwdrtu. ( d ) + ( d ) + ( d ) + ( d ) 0. ( + ) 0. ( + ) + 4 ( ) 0 4. ( ) + ( + ) 0 ( ) + ( ) + ( ) 0 Sumy kwdrtów. Wprost z wyjśiowej ierówośi, po rozpisiu lewej stroy = ( ) +( ) +( ) () +() +() + + = (++). Po przemożeiu ou stro przez otrzymujemy ierówość w posti jk w drugim kroku zdi. 4. Po podiesieiu do kwdrtu otrzymujemy ierówość w posti jk w zdiu. 7

8 Nierówośi między średimi. Proste.. Proste.. Dodją i odejmują w kżdym liziku rkująą literę sprowdzmy to do ( + + )( + + ) 9, które jest rówowże M (,, ) M (,, ). 4. Do kżdego ze skłdików stosujemy ierówość M 0 M. Dodją i odejmują w kżdym liziku dohodzimy do rówowżej posti M (,..., ) S. Terz stosujemy M M. 6. Skorzystć z M ( +, +, + ) M ( +, +, + ). 7. Skorzystć z M / ( +, +, + ) M ( +, +, + ). 8. Odejmują i dodją S do kżdego lizik przeksztłmy do rówowżej posti i korzystmy z M (,..., ) M S ( S,..., ). S S 9. Proste i= i S 0. Korzystmy z M M.. Korzystmy z M M. Korzystmy z M / (,, ) M 0 (,, ) = M 0 (,, ) M (,, ).. Możą oie stroy przez, możemy pisć M (,, ) +M (,, ) +M (,, ) M 0 (,, ) + M 0 (,, ) + M 0 (,, ) = ( + + ). Pozostje wię udowodić, że Korzystmy terz z = M 0 (,, ) M (,, ) = + i podoie dl pozostłyh dwóh skłdików. 4. Przeksztłją, d ierówość jest rówowż ierówośi M m (,,..., ) > = M (,,..., ). Nierówość jest ostr, gdyż rgumety ie są wszystkie rówe. Nierówość Beroulliego. ( + ) = ( ( + ) ) + ( ) + + < + + = ( + + )+ z ierówośi Beroulliego orz mootoizośi fukji x x +.. ( ) = ( + ) < + = +. = ( ( + ( )) ) < ( + ). + < + =. ( ) 4. Dzielą oie stroy przez ( )+, lizujemy lewą stroę ierówośi: + = + ( ) (+) + ( ) + (+) = + (+) > + + (+) > + +, gdzie pierwsz ierówość to ierówość Beroulliego, drug jest rówowż ( + ) > ( + ), któr jest ozywist. ( + ) > + =, wyiągmy oustroy pierwistek stopi i przeosimy drugą stroę ierówośi. 8

9 Mootoizość ideksów. Jeśli (so), to orz. Wówzs Ozywiste. Ozywiste 4. Ozywiste Nieh (so). Wtedy orz Nieh (so) q. Wtedy +. orz. W kosekweji + 7. Korzystmy z metody przy k = k orz k =, prw stro ierówośi dje jmiejsze k możliwe sprowie. 8. Mmy, że = ( + ) + ( + ) + ( + ) zgodie z metodą. 9. Jeśli (so), to ( ) + ( Nierówość Czeyszew Do uzupełiei. +. Wtedy ( + ) = Mootoizość ideksów - więej! Do uzupełiei. Nierówość Jese Do uzupełiei ) + ( ) 9