Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz"

Zbigniew Matuszewski
7 lat temu
Przeglądów:

1 Matematyka 2 dr iż. Rajmud Stasiewiz

2 Skaa oe Pukty Oea 5 2, , , , ,5 91-5, Zwoieie z egzamiu Oea z egzamiu izba puktów z ćwizeń - 5

3 Waruki zaizeia 6 kookwium ok. 15 pkt. 6 kartkówka 2-3 pkt. Razem 1-11 pkt. Dodatkowe pukty: - odpowiedzi i przygotowaie do zajęć (mi 5 pkt. za kookwia i kartkówki)

4 Kotakt i wyiki Wyiki i materiały: katmat.pb.biaystok.p/~raj/eergetyka Logi: imie.azwisko Hasło: dowoe (podawae przy rejestraji) E-mai: r.stasiewiz@pb.edu.p

5 Matematyka 2 Szeregi Fouriera

6 Literatura W.Żakowski, M.Kołodziej; Matematyka z II; WNT, Warszawa, 1984 W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka da studiów esperymetayh; WNT, Warszawa, 1981 M.Gewert, Z.Skozyas; Aaiza matematyza 2; Oiya Wydawiza GiS, Wroław, 26 W.Stakiewiz; Zadaie z matematyki da wyższyh uzei tehizyh z I; PWN, Warszawa, 198

7 Fukje okresowe Deiija: Fukję : R R azywamy okresową, jeżei istieje izba T> taka, że da wszystkih T (+T) = ()

8 Szeregi trygoometryze - deiija Szeregiem trygoometryzym a przedziae <-; > azywamy szereg postai a a os b si 2 1 gdzie a R, a, b R da N, jest pewą izbą dodatią.

9 Szereg trygoometryzy Fouriera - deiija Nieh ukja () będzie ałkowaa a przedziae <-, >. Szeregiem trygoometryzym Fouriera azywamy szereg trygoometryzy a a os b si 2 1 gdzie a 1 ( )os d,,1,2,... b 1 ( )si d, 1,2,...

10 Szereg trygoometryzy Fouriera - deiija Piszemy symboizie ( ) ~ a a os b si 2 1

11 Nieiągłość pierwszego rodzaju Pukt jest puktem ieiągłośi pierwszego rodzaju ukji (), jeżei istieją graie ewoi prawostroe ukji () w tym pukie oraz są oe skońzoe.

12 Fukja przedziałami mootoiza Fukję, ograizoą w przedziae (a, b), azywamy przedziałami mootoizą w tym przedziae, jeżei przedział (a, b) moża podzieić a skońzoą izbę podprzedziałów wewątrz któryh ukja jest mootoiza.

13 Waruki Diriheta Mówimy, że ukja () spełia a przedziae <a, b> waruki Diriheta, jeżei: 1) () jest przedziałami mootoiza w przedziae (a, b), 2) () jest iągła w przedziae (a, b), z wyjątkiem o ajwyżej skońzoej izby puktów ieiągłośi pierwszego rodzaju, takih że 3) w końah przedziału (a, b) spełioe są rówośi ) ( ) ( 2 1 im im ) ( ) ( 2 1 im im b a a b

14 Twierdzeie Diriheta Jeżei ukja () spełia w przedziae <-, > waruki Diriheta, to jest rozwijaa w tym przedziae w szereg trygoometryzy Fouriera ( ) a a os b si 2 1 da każdego <-, >. Jeżei poadto ukja () jest okresowa i ma okres 2, to powyższa rówość jest prawdziwa da każdego z dziedziy tej ukji.

15 Przykład Rozwiąć w szereg Fouriera ukję ()=sg() da <-; >

16 Twierdzeie Diriheta uwagi praktyze Jeżei ukja () jest parzysta, to oraz a 2 2 ( ) d, a ( )os d, 1,2,... b, 1,2,... a rozwiięie w szereg Fouriera przyjmuje postać ( ) a a os 2 1

17 Twierdzeie Diriheta uwagi praktyze Jeżei ukja () jest ieparzysta, to oraz b a,,1,2,... 2 ( )si d, 1,2,... a rozwiięie w szereg Fouriera przyjmuje postać ( ) b 1 si

18 Przykład Rozwiąć w szereg Fouriera ukję ()= da <-; >

19 Szereg Fouriera siusów i kosiusów Rozważmy ukję, która jest okreśoa i spełia pierwszy i drugi waruek Diriheta w przedziae otwartym (,). Fukję tę moża przedstawić w przedziae (,) w postai szeregu trygoometryzego Fouriera składająego się z samyh siusów, abo samyh kosiusów.

20 Szereg Fouriera siusów i kosiusów Rozpatrzmy ukję pomoizą *, okreśoą a przedziae <-,> azywaą przedłużeiem ukji. Aby otrzymać rozwiięie ukji () w szereg siusów aeży przedłużyć ukję () w sposób ieparzysty. ( ) * ( ) da da da da da

21 Szereg Fouriera siusów i kosiusów Aby otrzymać rozwiięie ukji () w szereg osiusów aeży przedłużyć ukję () w sposób parzysty. da ) ( im da ) ( da ) ( im da ) ( da ) ( im *

22 Przykład Rozwiąć w szereg Fouriera ukję ( ) 2 da da da -π

23 Szereg tryg. Fouriera postać zespooa Nieh ukja () będzie ałkowaa a przedziae <-, >. Szeregiem trygoometryzym Fouriera azywamy szereg trygoometryzy Postać zespooa szeregu trygoometryzego Fouriera 1 si os 2 b a a 1 j j e e jb a jb a a 2 1, 2 1, 2

24 Szereg tryg. Fouriera postać zespooa Króej 1 j j e e j e

25 Szereg tryg. Fouriera postać zespooa Jeżei ukja () spełia w przedziae <-, > waruki Diriheta, to jest rozwijaa w tym przedziae w szereg zespooy Fouriera da każdego <-, >. Przy zym e j da 1 2 d, 1 2 e j d, 1, 2,,

26 Szereg tryg. Fouriera postać zespooa Jeżei ukja () spełia w przedziae <-, > waruki Diriheta, to jest rozwijaa w tym przedziae w szereg zespooy Fouriera da każdego <-, >. Przy zym j e j d e d 2 1, 2 1 j d e 2 2 1

27 Sz. zespooy Fouriera widmo ampitudowe Ciąg izb,, 1, 2,, A A gdzie azywamy widmem ampitudowym ukji okresowej Litera ozaza pusaję ukji okresowej, zyi gdzie T jest okresem tej ukji. e jt 2 T

28 Sz. zespooy Fouriera widmo azowe Ciąg izb,, 1, 2,, gdzie arg sg gdy gdy gdy Im azywamy widmem azowym ukji okresowej.

29 Szeregi trygoometryze KONIEC

Podobne dokumenty

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..