Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

Transkrypt

1 Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, Ciągi liczbowe. Zadaia do oówieia a ćwiczeiach 8,8..06 grupa lux. Zadaia z rozwiązaiai Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości paraetru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wyierą, podaj ją w postaci ułaka ieskracalego lub liczby całkowitej. a k = dla k = b k = dla k = c k = dla k = d k = dla k = e k = dla k = Obliczyć wartość graicy Obliczyć wartość graicy Obliczyć wartość graicy Obliczyć graicę dla tak dobraej wartości aturalej paraetru k, aby graica ta była liczbą rzeczywistą dodatią Obliczyć wartość graicy Lista Stroy k

2 59. Obliczyć graicę ciągu k k Wskazówka-przypoieie: = Obliczyć graicę ciągu Kresy zbiorów. k 3 k 9 +5 k 7 k Zadaia do oówieia a ćwiczeiach,5..06 grupa lux Zbiory A i B są iepuste i ograiczoe. Zbiór B jest skończoy i wszystkie jego eleety są róże od 0. Czy zbiór a : a A, b B usi być ograiczoy? Odpowiedź b uzasadić A jest taki iepusty zbiore ograiczoy liczb rzeczywistych, że ifa = 3, supa =. Jakie wartości ogą przyjować kresy zbioru a : a A? Odpowiedź uzasadić przykłade lub dowode Podać przykład takich zbiorów A, B, że ifa =, supa = 7, ifb = 3, supb = 0, ifa B = 4, supa B = 6, A N = B N =. Przeczytaj poiższe waruki. Które z ich są rówoważe teu, że g = supa? 596. a g a < g +ε ε> a g a g < ε ε> a g a > g ε ε> a g > g ε>0a ε 600. a g > g Na 60. a g N g a < 60. a < g a g < ε ε> a g a g < ε ε> a g a > ε ε<g 605. a g a > g ε ε<g Lista Stroy 60-66

3 a g a g a g a g 0<ε< ε>0 a > g ε a g ε a g ε ε 0 a > g ε ε 0 a g b g+a b A a g a g a 0 a g a g a > g ε ε>0 b A b A b g+a b g+a W każdy z poiższych zadań podaj kresy zbioru Z określ, czy kresy ależą do zbioru Z Z = 5 :, N 65. Z = + 4 :, N 66. Z = x+y x y : x,y R 67. Z = 5 3 :, N 68. Z = +9 :, N Z = :, N Z = :, N + 6. Z = :,,p N > p > 3p p 6. Z = + + :, N Niepotrzebe skreślić. W każdej parze raek tylko jeda zawiera sesowe uzupełieie tekstu ateatyczego. Twierdzeie 63. Niech A i B będą iepustyi zbiorai ograiczoyi. Niech Lista Stroy 60-66

4 C = a b : a A b B. Wtedy ifc = ifa supb supb ifa. Dowód: Niech d = ifa i g = supb. Wtedy z waruku d = ifa wyika, że ε>0 ε>0 a d a d a < d+ε a > d ε. Podobie z waruku g = supb wyika 3 b g b g b B b B 4 b < g +ε b > g ε. ε>0 ε>0 b B b B Chcey wykazać, że ifc = e, gdzie e = d g g d, czyli, że 5 c e c e c C c C 6 ε>0 ε>0 c C c < e+ε c > e ε. c C W dowodzie waruku 5 skorzystay z i 3. Zakładając 5 wykażey prawdziwość waruków i 3. Dowola Istieje liczba c C jest będąca postaci c = a b, gdzie a A i b B. Z ierówości a d a d i b g b g otrzyujey a b e a b e, co dowodzi 5. Załóży Wykażey teraz prawdziwość waruku 6. Niech ε będzie dowolą liczbą dodatią. Wtedy Zajdziey taką liczbę dodatią ε, dla której istieje a A takie, że a > d ε a < d+ ε b B takie, że b < g +ε b > g ε. Zate liczba c = a b spełia ierówość c < e+ε c > e ε, co kończy dowód waruku 6. Zadaia z rozwiązaiai. W każdy z poiższych zadań podaj kresy zbioru określ, czy kresy ależą do zbioru. 64. A = 44 : N 65. B = +44 : N 66. C = 44 : N if A = sup A = if B = sup B = if C = sup C = D = : N 3 if D = sup D = E = 3 : N i if E = sup E = i= Lista Stroy 60-66

5 69. A = : N if A = sup A = B = : N if B = sup B = C = : N if C = sup C = D = : N if D = sup D = E = : N if E = sup E = F = :, N 3 5 if F = sup F = G = :, N H = :, N I = :, N J = :, N Wyzaczyć wraz z peły uzasadieie kresy zbioru 3 :, N. if G = sup G = if H = sup H = if I = sup I = if J = sup J = Podać przykład takiego iepustego zbioru ograiczoego A, że 0 < sup A < sup a : a A = sup A. 64. Wyzaczyć wraz z peły uzasadieie kresy zbioru k 3 Z = k : k,, N Wyzaczyć wraz z peły uzasadieie kresy zbioru Z = 4 +9 :, N. 6. Szeregi liczbowe podstawy Zadaia do oówieia a ćwiczeiach 9.,..06 grupa lux. Zadaia z rozwiązaiai Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że = a = a 3 = 7 = =. Lista Stroy 60-66

6 644. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że = a = 3 + a =. = = 645. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że suy szeregów a, a, a 3, = = = są liczbai całkowityi. = a 4 = 646. Podać przykład takiego ciągu a, że szeregi a 3 +a 3 +a 3, a 3 +a 3 +a 3+ a 3 +a 3+ +a 3+ = = = są zbieże, a poadto a 3 +a 3 +a 3 = 6, a + a 3 +a 3 +a 3+ = = = a +a + a 3 +a 3+ +a 3+ = 3. = 647. Obliczyć suę szeregu 648. Obliczyć suę szeregu =. = Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach ieujeych i suie rówej, że dla ieskończeie wielu liczb aturalych zachodzi rówość a =. = 650. Rozstrzygąć zbieżość szeregów = = Day jest zbieży szereg geoetryczy a o suie S. Wiadoo, że = a = T. = Wyzaczyć suę szeregu a w zależości od S i T. = Lista Stroy 60-66

7 65. Obliczyć suę szeregu +3. = 653. Podać przykład takiego ciągu a, że szeregi a 3 +a 3 +a 3, a 3 +a 3 +a 3+ a 3 +a 3+ +a 3+ = = = są zbieże, a poadto a 3 +a 3 +a 3 =, a + a 3 +a 3 +a 3+ = 4 = = a +a + a 3 +a 3+ +a 3+ = 9. = 654. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach wyierych dodatich, że jego sua jest liczbą wyierą, a poadto zachodzi rówość a = a 4. = Dla podaego przykładu obliczyć wartości su S = a, S = a S 4 = a 4. = 655. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach wyierych do- datich, że suy S = a, S = a S 4 = a 4 są liczbai całkowityi, a po- = = adto zachodzi rówość S = S 4. Dla podaego przykładu podać wartości su S, S i S 4. Wskazówka: Nie istieje czysty szereg geoetryczy spełiający waruki zadaia, ale przykład oża skostruować odpowiedio odyfikując szereg geoetryczy Obliczyć suę szeregu 3 4. =3 = = = = = = 657. Obliczyć suę szeregu +5. = 658. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach wyierych dodatich, że zachodzi rówość = a = a 3. = = Dla podaego przykładu obliczyć wartości su S = a S 3 = a 3. = = Lista Stroy 60-66