Charakterystyki geometryczne przekrojów poprzecznych prętów

Transkrypt

1 Chrkterystyk geometrycze przekrojów poprzeczych prętów Zgode z złożem mechk ukłdów prętowych rzeczywste trójwymrowe cło odksztłcle modelowć będzemy ukłdem jedowymrowym, w którym formcje dotyczące wymrów prostopdłych do tego wyróżoego (os pręt) zwrte będą w ukłdze chrkterystyczych dl dego przekroju prmetrów, zleżych od ksztłtu tego przekroju. Welkoścm tym będą: pole powerzch, położee środk cężkośc, momety sttycze momety bezwłdośc. Ścśle rzecz borąc zwy te dotyczą mr bezwłdośc w ruchu obrotowym bryły sztywej, le przyjęło sę powszeche używć tych określeń róweż odośe welkośc czysto geometryczych (bez odese do msy gęstośc), w szczególośc do geometryczej chrkterystyk przekroju poprzeczego prętów zgych. MOMENT STTYCZNY ŚODEK CĘŻKOŚC FGUY dx dy - pole powerzch [m y dx dy - momet sttyczy względem płszczyzy XZ [m 3 S x S y x dx dy - momet sttyczy względem płszczyzy YZ [m 3 Poewż rozptrujemy fgury płske leżące w płszczyźe XY, węc momet sttyczy względem płszczyzy XZ lub YZ zywć będzemy w uproszczoy sposób mometem sttyczym względem os odpowedo x y. Położee środk cężkośc O: = S y = S x, stąd: S x = S y = Jeśl fgur m jedą oś symetr to środek cężkośc leży tej os Jeśl fgur m węcej ż jedą oś symetr to środek cężkośc wyzczoy jest przez pukt przecęc sę tych os Momet sttyczy względem os przechodzących przez środek cężkośc jest rówy MOMENTY BEZWŁDNOŚC = x y dx dy - momet bezwłdośc względem os X [m x dx dy - momet bezwłdośc względem os Y [m xy dx dy - momet dewcj (zbocze) względem płszczyz XZ YZ [m r d ( x + y )dx dy= + - beguowy momet bezwłdośc [m = y - promee bezwłdośc względem os x y [m Momet bezwłdośc jest zwsze dodt. Momet dewcj może być ujemy lbo dodt. Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL 1

2 ZMN UKŁDU WSPÓŁZĘDNYCH Powyższe wrtośc są zdefowe z wykorzystem współrzędych puktów przekroju w pewym przyjętym ukłdze współrzędych. Zm ukłdu współrzędych pocąg z sobą zmę wrtośc chrkterystyk geometryczych. Dowol zm ukłdu w przypdku płskm może być terpretow jko złożee dwóch elemetrych przeksztłceń przesuęc rówoległego (trslcj) obrotu. Chrkterystyk geometrycze w ukłdze rówoległych, przesuętych os. Wyzczu wrtośc mometów bezwłdośc względem os rówoległych do os ukłdu wyjścowego, jedk przesuętych względem ego służą twerdze Steer, zywe też twerdzem Steer-Huges. Przyjmjmy, że wyzczylśmy momety bezwłdośc względem os X, Y zwerjących środek cężkośc przekroju. teresują s terz momety bezwłdośc względem os x, y rówoległych le, przesuętych o pewą odległość d. Dl mometu X : ( y+d ) d y d + d y d X S X = + d d = X + d Zerowe sę drugej cłk wyk z fktu, że oś X przechodz przez środek cężkośc, ztem momet sttyczy względem tej os mus być zerowy. Dl mometów dewcj mmy: ( x+d x )( y+d y )d xy d Osttecze możemy psć: + d x y d + d y xd S X = S Y = TWEDZENE STENE Momet bezwłdośc względem dowolej prostej jest rówy mometow bezwłdośc względem prostej do ej rówoległej przechodzącej przez środek cężkośc fgury powększoemu o loczy jej pol kwdrtu odległośc mędzy tym prostym: = X + d Momet dewcj względem dwóch płszczyz jest rówy mometow dewcj względem rówoległych płszczyz przechodzących przez środek cężkośc fgury powększoemu o loczy jej pol orz mr odległośc mędzy odpowedm płszczyzm: + d x d y d = + d x d y = + d x d y UWG: d x, d y mogą być ujeme! O le w przypdku mometów bezwłdośc e m to zcze, bo tk podosmy d do kwdrtu, o tyle w twerdzech dl mometów dewcj uwzględee zku d x, d y jest koecze. Lczby d x, d y są skłdowym wektor przesuęc os ukłdu współrzędych, przy czym e m zcze czy jest to wektor od strego ukłdu do owego czy przecwe. Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL

3 Obowązują róweż twerdze odwrote, pozwljące wyzczyć cetrle momety bezwłdośc podstwe mometów bezwłdośc względem os rówoległych, le e przechodzących przez środek cężkośc: X = d = d x d y WNOSEK: Poewż wszystke welkośc X,,,d są dodte, stąd płye wosek, że spośród wszystkch rówoległych prostych prost przechodząc przez środek cężkośc jest tą, dl której momet bezwłdośc jest mmly. UWG: Twerdzee Steer pozwl przeksztłce wrtośc mometów bezwłdośc tylko w przypdku, gdy jede z ch dotyczy os zwerjącej środek cężkośc fgury. Jeśl chcemy chcemy wyzczć wrtośc mometów bezwłdośc w ukłdch, w których żde ose e przechodzą przez środek cężkośc fgury, wtedy wyzczmy je w dwóch krokch dwukrote stosując twerdzee Steer: jperw sprowdzmy te welkośc do środk cężkośc stępe stosujemy poowe twerdze Steer, by sprowdzć poszukwe welkośc do docelowego ukłdu współrzędych. Chrkterystyk geometrycze w ukłdze obrócoym Zjąc chrkterystyk geometrycze fgury w dym ukłdze współrzędych, momety bezwłdośc momety dewcj względem ukłdu obrócoego o kąt α (jedk o początku w tym smym pukce) możemy wyzczyć stępująco: Nowe współrzęde (ξ, η) przy obroce strych os X, Y o kt α wyrżją sę wzorm: { ξ = X cos α + Y s α η = X s α + Y cosα η Y ξ Nowy momet bezwłdośc: ξ η d ( X s α+y cosα) d = = s α X d + cos α Y d s α cosα XY d = Y = X cos α + Y s α s α cosα logcze wyzczmy pozostłe momety: X α X ξ = X cos α + Y s α s α cos α η = X s α + Y cos α+ s α cosα D ξ η = X Y s α+ cos α Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL 3

4 TENSO BEZWŁDNOŚC GŁÓWNE MOMENTY BEZWŁDNOŚC FGUY Wprowdz sę welkość zywą tesorem mometu bezwłdośc: =[ Tesor te schrkteryzowy może być przez ukłd lczb, których wrtość e zme sę wrz ze zmą oretcj os ukłdu współrzędych (tj. przy obroce ukłdu współrzędych) są to tzw. ezmek tesor. Wśród ch wyróżmy: śld tesor = tr () = + wyzczk tesor b = det () = wrtośc włse tesor główe momety bezwłdośc Główe momety bezwłdośc będące jedocześe jwększym jmejszym możlwym wrtoścm mometów bezwłdośc spośród tych odpowdjących wszystkm możlwym oretcjom ukłdu współrzędych o środku w ustloym pukce są rozwązm rów wekowego: mx/ m = + +b ± ( x y ) + Kąt mędzy kerukem os x kerukem os mksymlego mometu bezwłdośc ξ : tg φ = mx = mx = m = m Ose mksymlej mmlej bezwłdośc zywmy osm (kerukm) włsym lub główym tesor. Ose główe tesor bezwłdośc są zwsze prostopdłe. W ukłdze os główych tesor bezwłdośc m postć dgolą z główym mometm bezwłdośc przekątej główej momem dewcj rówym. W ukłdze os chyloym do os główych pod kątem 5 momety dewcj przyjmują wrtośc ekstremle (mksymle lub mmle). Jeśl fgur posd oś symetr to jest o kerukem główym bezwłdośc, drug keruek główy zś jest do ego prostopdły. Jeśl fgur posd węcej ż dwe ose symetr (koło, kwdrt, -kąty foreme, >, tp.) to dowole keruk są kerukm głowym bezwłdośc. Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL

5 Chrkterystyk geometrycze wybrych fgur płskch x y ose przyjętego ukłdu współrzędych X Y ose cetrle - ose rówoległe do x y, przechodzące przez środek cężkośc przekroju ξ η główe cetrle ose bezwłdośc jeśl e zzczoo czej, pokrywją sę z X Y,, D z - momety bezwłdośc w przyjętym ukłdze x y X, Y, D Z - cetrle momety bezwłdośc mx, m, - cetrle główe momety bezwłdośc UWG: Jeśl fgur (prostokąt, trójkąt prostokąty, ćwrtk koł) zjduje sę w lub V ćwrtce podstwowego ukłdu współrzędych (x, y), którego ose zwerją krwędze tej fgury, to momety dewcj względem tych os mją zk przecwe do podych pożej. Prostokąt =bh D z = b h = b = h = bh3 3 = b3 h 3 = bh 1 (b +h ) mx = b h3 1 m = b3 h 1 Trójkąt = 1 bh D z= b h = b 3 = h 3 ϕ=rctg( = bh3 1 = b3 h 1 ±bh D Z = b h 7 X = bh3 36 Y = b3 h 36 = bh 36 (b +h ) mx = bh 7 [b +h + h h b +b m = bh 7 [b +h h h b +b bh ) h b + h h b +b ) = rctg ( h b h h b +b UWG: Jeśl trójkąt zoretowy jest w ukłdze os cetrlych w te sposób, że trpezy odcęte przez jego ose zjdują sę w V ćwrtce ukłdu, wtedy w powyższych wzorch momet dewcj jest ujemy, jeśl w ćwrtce dodt. Trpez rówormey = (+b)h = (+b)h 3(+b) D z = (+3b)h3 1 = (+b)( +b )h mx /m = ( +b+b )h 3 36(+b) m/mx = (+b)( +b )h = h3 ( +b+b )+3h( + 3 b+ b + b 3 +b ) 1(+b) Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL 5

6 Koło =π = π mx = π m = π = π D 3 = π D 6 = π D 6 Półkole = π ( D z = π 9π) = 3 π = π = π mx = Y = π 9π) m = X = ( π Ćwrtk koł = π = 3 = 3 π ϕ=5 π D z = = π 16 = π 16 ( π 9π) 9π) mx = (π ) 16 D Z = ( 1 9 π) = X = ( π 16 Y = ( π 16 9π) m = (9π +1π 1) 1 π UWG: D Z orz D z oblczoe dl oretcj fgury jk rysuku. Elps =π b = π b ( +b ) mx = π b3 m = π3 b Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL 6

7 Przekrój złożoy podstwe belk dwuteowej Półk gór: f1 =t f1 b f1 Półk dol: f =t f b f, f1 = b t 3 f1 f1 1, f = b 3 f t f 1, f1 = b 3 f1 t f1 1, f = b 3 ft f 1 Środk: w =t w h w,w = t w h w 3 1, w = b 3 w h w 1 Jed z os główych pokryw sę z osą symetr przekroju y. Drug jest prostopdł do ej. Pole powerzch przekroju: =[ f1 + [ f + [ w Momet sttyczy względem os x: Momet sttyczy względem os y: S y S x =[ f t f [ + w ( t + h w f ) [ + f ( t +h + t f1 f w ) Położee środk cężkośc: = S y =S x Główe cetrle momety bezwłdośc: =[ + x x, f1 f1 ( y t f O ) + [ + x,w w ( y t h w O f =[, f1 +[, f +[,w ) + [, f + f ( t f h w t f1 ) Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL 7

8 MOMENTY BEZWŁDNOŚC FGU SYMETYCZNYCH Jeśl fgur płsk posd jedą oś symetr, to środek cężkośc leży tej os oś t jest jedą z główych cetrlych os bezwłdośc drug jest do ej prostopdł przec ją w środku cężkośc Jeśl fgur płsk posd dwe prostopdłe ose symetr, to pukt ch przecęc jest środkem cężkośc są oe główym cetrlym osm bezwłdośc Jeśl fgur płsk m węcej ż dwe ose symetr, to pukt ch przecęc jest środkem cężkośc dowol prost zwerjąc te środek jest główą osą cetrlą bezwłdośc. Jeśl w pewym ukłdze współrzędych d fgur m tke sme momety bezwłdośc zerowy momet dewcj, wtedy zgode z regułm przeksztłc skłdowych tesor bezwłdośc przy obroce ukłdu współrzędych obrót tej fgury (lub os ukłdu) o dowoly kąt e zmeją wrtośc mometów bezwłdośc. W szczególośc dotyczy to wszystkch fgur, które mją węcej ż ose symetr. { = X Y = = { ξ= η = = =[ 1 1 =[ 1 1 =[ =[ 3 3 =[ 3 3 =[ 3 Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL

9 =[π π =[π π =[π π CHKTEYSTYK GEOMETYCZNE PZEKOJÓW ZESPOLONYCH W przypdku, gdy jkś przekrój zbudowy jest z klku różych mterłów, które posdją odmee włścwośc mechcze (p. stl, drewo, beto), wyzcz sę tzw. wżoe chrkterystyk geometrycze. W przypdku zgdeń zg, wyzcz sę porówwczy moduł Youg E, którym jest jczęścej jmejszy z modułów Youg wszystkch mterłów skłdowych E = m (E 1, E,..., E ), stępe dl kżdego z mterłów oblcz sę stosuek odpowedego dl ego modułu Youg orz modułu porówwczego: α = E E [- Wżoe chrkterystyk geometrycze: S x S y α dx dy - wżoe pole powerzch [m α y dxdy - wżoy momet sttyczy względem płszczyzy XZ [m 3 α x dx dy - wżoy momet sttyczy względem płszczyzy YZ [m 3 Położee wżoego środk cężkośc wyzczmy tk jk zwykle: = S y α y dx dy - wżoy momet bezwłdośc względem os X [m α x dx dy - wżoy momet bezwłdośc względem os Y [m α xy dx dy - wżoy momet dewcj względem płszczyz XZ YZ [m = S x Copyrght: Pweł Szeptyńsk 16 - Cretve Commos CC BY-NC-S 3. PL 9