Geometria analityczna
|
|
- Krystyna Rogowska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,, ], #» c = [0,, 3], #» x = #» #» a + b #» c ; Zad Dla jakich wartości α i β wektory #» a = 5 #» i 3 #» j + α #» k i #» b = β #» i + 9 #» j #» k są kolinearne? Zad 3 Dane są punty A = (, 3,, B = ( 5,,, C = (7,, Na płaszczyźnie OXY znaleźć taki punkt D aby wektor CD #» był kolinearny z wektorem AB #» Zad Znaleźć wersor wektora: (a #» a = [ 3,, ]; (b #» a = [,, ]; Zad 5 Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora: (a #» a = [,, ]; (b #» a = [, 3, 5]; Zad Obliczyć iloczyn skalarny wektorów #» a i #» b, jeżeli #» a =, #» ( b = oraz kąt między wektorami #»a #», b = π 3 Zad 7 Obliczyć długość przekątnych równoległoboku zbudowanego wektorach #» a, #» b jeżeli: (a #» a = #» p + #» q, #» b = #» p #» q, gdzie #» p i #» q są jednostkowymi wektorami tworzącymi kąt π 3 ; (b #» a = 5 #» m + #» n, #» b = #» m 3 #» n, jeżeli wiadomo, że #» m =, #» n = 3, ( #» m, #» n = π Zad 8 Dany jest wektor #» a = 3 #» p + #» q, gdzie #» p =, #» q = 3, ( #» p, #» q = π 3 Obliczyć ( #» a, #» p oraz ( #» a, #» q Zad 9 Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» i + #» j #» k i #» b = #» i + #» j + #» k Zad 0 Wykazać, że trójkąt ABC o wierzchołkach A = (5,, B = (3,, C = (, 5 jest prostokątny Zad Znaleźć kąty trójkąta o wierzchołkach: (a A = (,, B = (, 3, C = (, ; (b A = (,, 5, B = (,,, C = (0, 0, 5 Zad Wykazać, że czworokąt A = ( 3, 5,, B = (, 5, 7, C = (8, 3,, D = (, 7, jest kwadratem Zad 3 Znaleźć rzut wektora #» a na oś o kierunku wektora #» b, jeżeli: (a #» a = [,, ], #» b = [,, ]; (b #» a = [3,, 0], #» b = [, 3, 3] Zad Dany jest trójkąt o wierzchołkach A = (, 0, B = (, 3, C = ( 5, Znaleźć wektor dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku B Zad 5 Znaleźć wektor jednostkowy prostopadły jednocześnie do wektora #» a = [3,, 8] i do osi OX Zad Dla jakiej wartości parametru α wektory #» a = [, 3, ], #» b = [α, 7, + α] są wzajemnie prostopadłe? Zad 7 Znaleźć wektor #» x prostopadły do wektorów #» a = [,, 3], #» b = [, 3, ] i spełniający warunek #» x [,, ] = Zad 8 Uprość wyrażenia: (a #» p ( #» q #» r + #» p + ( #» r + #» q ( #» p #» r ; (b #» i ( #» i + #» j #» ( #»i #» ( #»i #» ( k + + k + + k #» i #» j + #» k ; (c (3 #» p #» r ( #» p + #» q 3 #» r, gdzie #» p = #» q = #» r =, #» p #» q #» r, ( #» p, #» q, #» r zgodnie zorientowane z przestrzenią Zad 9 Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a, #» b jeżeli: Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 8 Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
2 (a #» a = #» p #» q i #» b = #» p + #» q, gdzie #» p = #» q = i #» p #» q ; (b #» a = #» p #» q i #» b = #» p + #» q, gdzie #» p =, #» q = i ( #» p, #» q = π 3 (c #» a = 3 #» i + #» j + #» k, #» b = #» i #» j + #» k Zad 0 Wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» p i #» q jest równe obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» p #» q i #» b = #» p + 3 #» q Zad Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» p i #» q wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» p + #» q i #» b = #» p #» q jest równe Zad Wyznacz wektor #» ( #»b a #» c, jeżeli #» a = [3,, ], #» b = [,, ], #» c = [ 3,, ] Zad 3 Oblicz długość wektora #» a = ( #» p + #» q #» r ( #» p + #» q #» r, gdzie #» p #» q #» r, #» p = #» q = #» r = Zad Obliczyć #» ( #»b a #» c, jeżeli #» a = #» i + #» j, #» b = 3 #» k 5 #» j, #» c = #» i + #» j #» j Zad 5 Obliczyć sinus kąta między wektorami #» a = [0,, ], #» b = [,, ] Zad Obliczyć tangens kąta między wektorami #» a = [0,, ], #» b =],, 0] Zad 7 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (3,, 3, B = (,, 3, C = (0,, 5 Zad 8 Dane są wierzchołki A = ( 3,,, B = (,, 5, C = (,, Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B Zad 9 Znaleźć wektor jednostkowy #» m prostopadły do wektorów #» a = [,, ], #» b = [,, ] Zad 30 Wiedząc, że wektory #» p, #» q, #» r nie są komplanarne, sprawdzić komplanarność wektorów: (a #» a = 3 #» p + #» q #» r, #» b = #» p #» q + #» r, #» c = #» p + #» q #» r ; (b #» a = #» p + #» q #» r, #» b = #» p + #» q + #» r, #» c = 3 #» p + 8 #» q 7 #» r Zad 3 Obliczyć pole powierzchni i objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach #» a, #» b, #» c jeżeli: (a #» a = [,, ], #» b = [0, 3, ], #» c = [,, 0]; (b #» a = [0,, ], #» b = [, 0, ], #» c = [,, ] Zad 3 Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach #» a, #» b, #» c jeżeli: (a #» a = #» p 3 #» q + #» r, #» b = #» p + #» q 3 #» r, #» c = #» p + #» q + #» r, gdzie #» p = #» q = #» r = i #» p #» q #» r ; (b #» a = 3 #» m + #» n, #» b = #» m #» n, #» c = #» m + 7 #» n, gdzie #» m =, #» n = 3 i ( #» m, #» n = 3π Zad 33 Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach #» p, #» q, #» r jest równa 3 Obliczyć objętość czworościanu zbudowanego na wektorach #» a = #» p + #» q + #» r, #» b = #» p #» q + #» r, #» c = #» p + #» q 3 #» r Zad 3 Sprawdzić komplanarność wektorów #» a = [3,, ], #» b = [,, ], #» c = [3,, ] Zad Wykazać, że punkty A = (,,, B = (0,, 5, C = (,,, D = (,, 3 leżą na jednej płaszczyźnie Zad 3 Dany jest czworościan o wierzchołkach w punktach A = (3,,, B = (,,, C = (,, 7, D = (3,, 9 Oblicz jego objętość oraz wysokość poprowadzoną z wierzchołka D Zad 37 Objętość czworościanu ABCD o trzech wierzchołkach A = (, 0,, B = (3,,, C = (,, 3 jest równa 5 Znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka wiedząc, że leży on na osi OY Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 9 Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
3 Wektory - odpowiedzi Zad (a #» x = 5 5; (b #» x = 90 Zad α = 3, β = [ 5 #» Zad 3 D = ( 5, 0, 0 Zad (a a #» a = 3 [ ] [ 5 Zad 5 (a,, ; (b 5, 30 0, ] ; Zad #» a #» b = Zad 7 (a 7, 3; (b 5, 593 Zad 8 Zad 9 π Zad 0 Zad (a (b Zad Zad 3 (a (b Zad Zad 5 [ 0, 5, 3 5], [ 0, 5, 3 5] Zad α = Zad 7 #» x = [ 3, 3, 3] Zad 8 (a (b (c Zad 9 (a P = 3; (b P = 3; (c P = 5 3 Zad 0 P = ; Zad P = ; Zad ],, Zad 3 Zad ( Zad 5 sin #»a #» (, b = Zad tg #»a #», b = ; (b #» a #» a = [ 3, 3, ] 3 Zad 7 P =, 5 Zad 8 h = 5 [ ] [ ] Zad 9 3, 5,,, 3, 5 Zad 30 (a Nie są komplanarne, (b są komplanarne Zad 3 Zad 3 (a V = 5; (b V = 0 Zad 3 Nie są komplanarne Zad Zad 3 V =, h = Zad 37 D = (0, 8, 0, D = (0, 7, 0 Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 0 Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
4 Prosta i płaszczyzna Płaszczyzna Zad Dane są punkty A = (, 5, i B = (, 3, 7 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do wektora AB Zad Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (0,, i B = (, 0, i prostopadłej do płaszczyzny x + y z = 0 Zad 3 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (,, 3 i B = (3,, i równoległej do wektora a = [ 3,, ] Zad Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (, 0,, B = (0, 0,, C = (,, Zad 5 Dla jakiej wartości parametrów m i k płaszczyzny x 3y + kz 8 = 0 i mx + y z = 0 są równoległe? Zad Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzny 7x y z 8 = 0 i mx + y 3z = 0 są prostopadłe? Zad 7 Obliczyć kąt między płaszczyznami x y + z = i x + y z = 3 Zad 8 Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (,,, B = (,, 5 i prostopadłej do płaszczyzny x y + z = Zad 9 Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = (3,, 5 i równoległej do płaszczyzny 0yz Zad 0 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (, 5, i przez oś 0y Zad Napisać równanie płaszczyzny odcinającej na osi 0x odcinek a = 5, na osi 0z odcinek c = 5 i przechodzącej przez punkt M = (,, Zad Znaleźć kąty jakie normalna do płaszczyzny x y z = 5 tworzy z osią 0z Zad 3 Znaleźć odległość punkty P od płaszczyzny π: (a P = (5,, π : x y z = ; (b P = (3,, π : x + y 0z = 5 Zad Znaleźć odległości między płaszczyznami 30x 3y + z = 7 i 5x y + z = 5 Prosta Zad Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (,, 3, B = (,, Zad Wyznacz prostą przechodzącą przez punkt A = (,, 3 i równoległą do prostej x = t, y = t, z = + t Zad 3 Napisać równanie prostych przechodzących przez punty przecięcia płaszczyzny 3x y + z = z osiami układu współrzędnych Zad Przedstawić prostą l w postaci parametrycznej: (a l : 3x y + 5z = x + y z = ; (b l : 3x + y + z = 5 x 3y + z = 5 ; Zad 5 Jakie kąty tworzy prosta l : x y + z = 0 x + y z = 0 z osiami układu współrzędnych? Zad Znaleźć punkty przecięcia prostej x = y+ = z 5 z płaszczyznami układu współrzędnych? Zad 7 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = (,, i prostopadłej do prostej x y + z 3 = 0 l : x + y z + = 0 Zad 8 Wyznaczyć kąt między prostymi: l : x = t y = t z = t i l : x y z = x + y + 9z = Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
5 Zad 9 Zbadać wzajemne położenie prostych: x + y z = 0 x + y z = 3 (a l : i l : x + y 3z = 0 x y + z = (c l : x = 9t y = 5t z = 3 + t i l : x y + z = 3 x 3y 3z = 9 Zad 0 Znaleźć punkt przecięcia prostych:l : x = y+ = z 3 i l : ; (b l : x = y+ = z 3 i l : x = + t y = + t z = + t ; (d l : x+3 = y 3 = z 3 i l : x 8 = y+ 3 = z+7 3 x = + t y = + t z = + t Zad Znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny x + 3y + z = z prostą x = y+ = z Zad Dany jest punkt A = (,, 3 i prosta l : x 3 = y+7 = z Znaleźć (a rzut punktu A na prostą l; (b odległość punktu A od prostej l; (c punkty symetryczny do punktu A względem prostej l Zad 3 Dany jest punkt A = (, 3, 0 i prosta l : x = y = z 3 5 Znaleźć (a rzut punktu A na prostą l; (b odległość punktu A od prostej l; (c punkty symetryczny do punktu A względem prostej l Zad Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P względem płaszczyzny π (a P = (, 0,, π : x + y + 3z 5 = 0; (b P = (,,, π : x + y 3z + 5 = 0 Zad 5 Znaleźć odległość między prostymi: (a l : x = y 3 = z+ 3 i l : x = y = z 3 ; (b l : x+ = y = z 3 (c l : x 9 = y+ 3 Zad Pokazać, że prosta = z i l x : = y+7 9 = z ; (d l : x+3 = y 3 5x 3y + z = 5 x y z = leży w płaszczyźnie 3x y + z = Zad 7 Znaleźć rzut prostej l na płaszczyznę π, jeżeli: (a l : x = y = z+ i π : x + y = ; (b l : x 3 5 = y+ = z (c l : x 3 5 = y = z 8 i π : z = 0; Zad 8 Dane są dwie proste skośne: l : x = y = z i l : x = y poprowadzoną przez prostą l i równoległą do prostej l = z i l : x = y = z ; = z 3 i l : x 8 = y+ 3 = z+7 3 ; i π : x y + 3z = 5; Znaleźć rzut prostej l na płaszczyznę π Zad 9 Znaleźć równanie płaszczyzny w której leżą proste l i l : (a l : x = y+ = z i l : x = y+ = z ; (b l : x = y = z i l : x = y = z; (c l : x 3 = y = z+ i l : x+ = y 9 = z ; Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
6 Prosta i płaszczyzna - odpowiedzi Płaszczyzna Zad 5x 8y 3z 33 = 0; Zad x y + z + = 0; Zad 3 9x y + 7z = 0; Zad x y + z = 8; Zad 5 m = 3, k = ; Zad m = 7 ; Zad 7 π 3 ; Zad 8 x + y + z = 5; Zad 9 x = 3; Zad 0 x + z = 0; Zad 3x y + 5z = 5 Zad 3π ; Zad 3 (a 3; (b 3 ; Zad 0, 5; Prosta Zad ; Zad ; Zad 3 l : x = + t, y = 3t, z = 0; l : x = 0, y = 3 + t, z = ; l 3 : x =, y = 0, z = t; Zad ; Zad 5 cos α =, cos β = 3, cos γ = 5 ; Zad ( 9,, 0, (, 0,, (0,, 9 ; Zad 7 x + y + 3z = 3; Zad 8 ; Zad 9 (a równoległe; (b przecinają się; (c pokrywają się; (d skośne; Zad 0 ; Zad ; Zad (a A = (, 7, 0; (b ; (c ; Zad 3 (a A = (, 9, ; (b ; (c ; Zad (a A = (,, 7; (b ; (c ; Zad 5 (a A = (,, 7; (b ; (c ; Zad (a 7 9 ; (b ; Zad 7 (a 7; (b 3; Zad 8 ; Zad 9 (a x z =, x + y = ; (b 5x 3y z = 0, x y + 3z = 5; (c x + 5y = 38, z = 0; Zad 0 ; Zad (a 5x + 3y = ; (b 3x 7y + 5z = 3; (c x 3y = ; Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 3 Created by LATEX: 0 kwietnia 05 - :3
Geometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoSpis treści. Spis treści 2
Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoOdległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.
GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)
Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoOstrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =
Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowo= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
ZADANIE 1 (5 PKT) Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkata jeżeli środki jego boków maja współrzędne: P = (1, 3), Q = ( 5, 4), R = ( 6, 7). ZADANIE 2 (5 PKT) Dla jakich wartości parametru α odległość
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoOstatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Bardziej szczegółowoKLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowo7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bardziej szczegółowoSkrypt 24. Geometria analityczna: Opracowanie L5
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 24 Geometria analityczna:
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM
ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.
Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoDEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,
TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoKlasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142395 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Które z podanych
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 28 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 3 3 10 3 2
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoKlasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoPRACA KONTROLNA nr 1
XXXIII KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 2003r. 1. Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek AB o końcach A( 1, 3), B(1, 1), a wierzchołek C tego trójkąta leży na
Bardziej szczegółowo2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum)
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. WPISUJE UCZEŃ KOD PESEL PRZEDMATURALNA DIAGNOZA KSZTAŁTUJĄCA Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 018 (dla klas trzecich liceum
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoKurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka
Bardziej szczegółowoZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY
ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań
ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoZadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x
. Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2019 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoKujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 015 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO PRAWDZIANÓW W KLAIE PIERWZEJ I Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Zad Dane są liczby: i y + Oblicz: a) sumę i y ; b) różnicę i y ; c) iloczyn i y ; d) iloraz i y ( usuń niewymierność
Bardziej szczegółowoZadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1
Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoPRACA KONTROLNA nr 1. x2 3 > 2 x.
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 001r 1. Dwaj rowerzyści wyruszyli jednocześnie w drogę, jeden z A do B, drugi z B do A i spotkali się po jednej godzinie. Pierwszy z
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych
Bardziej szczegółowoZadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }
Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,
Bardziej szczegółowoSprawdzian 2. MATEMATYKA. Przed próbną maturą. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 26. Imię i nazwisko ...
MATEMATYKA Przed próbną maturą Sprawdzian. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 6 Imię i nazwisko... Liczba punktów Procent Przed próbną maturą. Sprawdzian. Zadanie 1. (0
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 25 LUTEGO 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 15! jest podzielna
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 011 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od
Bardziej szczegółowo