S T A T Y K A ZASADY (AKSJOMATY 1 ) STATYKI

Transkrypt

1 S T T K ZSD (KSJT ) STTKI Zasada Dwe sły przyłożoe do cała sztywego rówoważą sę tylko wtedy, gdy dzałają wzdłuż jedej prostej, są przecwe skerowae mają te same wartośc lczbowe. Zasada * Dzałae układu sł przyłożoych do cała sztywego e ulege zmae, gdy do tego układu zostae doday lub odjęty dowoly układ rówoważących sę sł (tzw. układ zerowy). ówowaga sł: wektorowo: ' Zerowy układ sł: Iterpretacja perwszej zasady statyk Iterpretacja drugej zasady statyk Do cała sztywego zawsze moża przyłożyć dwe rówe co do wartośc lczbowej przecwe skerowae sły, dzałające wzdłuż tego samego keruku. Zerowe układy sł wykorzystywae są do detyfkacj sł dzałających a elemety kostrukcyje. Z zasady wypływa waży praktyczy wosek, że każdą słę dzałającą a cało sztywe moża dowole przesuwać wzdłuż keruku jej dzałaa. Wektor, który może być dowole przesuway wzdłuż keruku dzałaa, azywa sę wektorem przesuwym. Sła dzałająca a cało sztywe jest wektorem swobodym. ksjomat twerdzee przyjmowae bez dowodu, pewk. Statyka.doc

2 Zasada 3 (zasada rówoległoboku) Dowole dwe sły, przyłożoe do jedego puktu, moża zastąpć słą wypadkową przyłożoą do tego puktu przedstawoą jako wektor będący przekątą rówoległoboku BCD zbudowaego a wektorach sł w sposób pokazay a rysuku. oduł wypadkowej moża oblczyć z zależośc: cos, gdze kąt mędzy słam. o zastosowau do trójkątów BD Zasada rówoległoboku CD twerdzea susów otrzymuje sę: s s, s s. Wyzaczae wypadkowej, gdy są zae oraz kąt, jest azywae zadaem prostym. Zasada rówoległoboku pozwala róweż rozwązać zadae odwrote: rozłożyć daą słę a dwe składowe o zaych kerukach dzałaa, przecających sę w pukce przyłożea sły leżących z ą w jedej płaszczyźe. Dla zaych, korzysta sę wówczas ze wzorów: s s s, s. Zasada 4 (dzałaa przecwdzałaa) Każdemu dzałau towarzyszy rówe co do wartośc przecwe skerowae wzdłuż tej samej prostej przecwdzałae. Zasada 4 odpowada trzecemu prawu Newtoa, sformułowaemu e dla puktu materalego, ale dla dowolego cała materalego. Statyka.doc

3 Zasada 5 (zasada zesztywea)* ówowaga sł dzałających a cało odkształcale e zostae aruszoa przez zesztywee tego cała. Na podstawe tej zasady przyjmuje sę, że układ sł dzałających a cało odkształcale będące w rówowadze speła te same waruk rówowag, które dotyczą dzałaa układu sł a cało sztywe. Zasada zesztywea ma węc ogrome zaczee praktycze w wytrzymałośc materałów, traktowaej jako mechaka cała odkształcalego. Zasada 6 (zasada oswobodzea od węzów)* Każde cało eswobode moża myślowo oswobodzć od węzów, zastępując przy tym ch dzałae odpowedm reakcjam. Dalej cało to moża rozpatrywać jako cało swobode, podlegające dzałau sł czyych (obcążeń) oraz sł berych (reakcj). UWG: zasady r, 5 6 (ozaczoe *) zostały wyróżoe ze względu a ch zaczee w wytrzymałośc materałów (mechace cała odkształcalego). Statyka.doc

4 UKŁD SIŁ W STTCE łaske układy sł rzestrzee układy sł Zbeże układy sł ówoległe układy sł Dowole układy sł Wszystke sły układu dzałającego a cało sztywe leżą w jedej płaszczyźe. Sły układu dzałające a cało sztywe mają dowole keruk w przestrze. Le dzałaa wszystkch sł przecają sę w jedym pukce. Le dzałaa wszystkch sł są do sebe rówoległe. Le dzałaa wszystkch sł mają dowole keruk dzałaa łask układ sł zbeżych łask układ sł rówoległych łask układ sł dowole skerowaych (dowolych) Z rzestrzey układ sł zbeżych Z rzestrzey układ sł rówoległych Z rzestrzey układ sł dowole skerowaych (dowolych) Statyka.doc 3

5 ŁSKIE ZBIEŻNE UKŁD SIŁ W płaskm układze sł zbeżych keruk dzałaa sł przyłożoych do cała sztywego leżą w jedej płaszczyźe przecają sę w jedym pukce. Wypadkową układu sł zbeżych azywa sę jedą słę (wektor) zastępującą dzałae daego układu sł. Dowoly płask układ sł,,..., przyłożoych do puktu cała sztywego moża zastąpć słą wypadkową rówą sume wektorowej (geometryczej) tych sł przyłożoą róweż do puktu Układ sł dzałających a cało sztywe 4 3 = 3 34 Wypadkowa wyzaczoa za pomocą metody rówoległoboku 4 3 łask układ sł zbeżych 4 3 Wypadkowa wyzaczoa za pomocą weloboku sł Statyka.doc 4

6 Sły zbeże,,..., dzałające w jedej płaszczyźe zajdują sę w rówowadze, gdy wektor sły wypadkowej rówa sę zeru. NLITCZNE WZNCZNIE WDKWEJ zuty wektora a ose : = cos, = s, składowe sły. Gdy zae są składowe, wartość sły jej keruek wyzacza sę z zależośc: x, cos, s. UKŁD ÓWNŃ ÓWNWGI DL ŁSKIEG UKŁDU SIŁ ZBIEŻNCH W ZISIE NLITCZN:, Statyka.doc 5

7 ŁSKIE UKŁD SIŁ ÓWNLEGŁCH ŁSKI UKŁD SIŁ TCH SCH ZWTCH (zgode skerowaych) Na cało sztywe dzałają dwe sły rówoległe. Dwe rówoległe, zgode skerowae sły przyłożoe do puktów B cała sztywego moża zastąpć słą wypadkową W rówą sume tych sł, rówoległą do ch zgode z m skerowaą. La dzałaa wypadkowej W dzel wewętrze odcek B odwrote proporcjoale do wartośc lczbowych sł. W = +, B. ŁSKI UKŁD SIŁ ZECIWNCH ZWTCH (przecwe skerowaych) W = - B Dwe rówoległe, przecwe skerowae sły ( > ) przyłożoe do puktów B cała sztywego moża zastąpć słą wypadkową W rówą różcy wartośc lczbowych tych sł, rówoległą do ch skerowaą zgode z słą o wększej wartośc lczbowej. La dzałaa wypadkowej W dzel zewętrze odcek B odwrote proporcjoale do wartośc lczbowych sł leży po stroe wększej sły. W = -, B. Statyka.doc 6

8 ENT SIŁ WZGLĘDE UNKTU r h omet sły względem puktu to wektor, którego wartość bezwzględa rówa jest loczyow wartośc lczbowej sły ramea tej sły względem puktu. Wektorowo: r Skalare: = h (h ramę). Jedostka mometu: [ ] = Nm (uto razy metr) Zak mometu: reguła prawej dło: NLITCZNE WZNCZNIE ENTU: y y (x, y) x h x y x x y h omet sły względem puktu jest rówy zeru, gdy: sła jest rówa zeru, la dzałaa sły przechodz przez day pukt (ramę=). Statyka.doc 7

9 SIŁ, ENT SIŁ Założee: = Zerowy układ sł ara sł a Układ dwóch sł rówoległych, skerowaych w przecwych kerukach, o rówych modułach, azywa sę Ą SIŁ. dległość mędzy słam ramę pary sł. Sły tworzące parę e mają wypadkowej ( = ), ale erówoważące sę, gdyż e dzałają wzdłuż jedego keruku e są zerowym układem sł. Nezrówoważoa para sł dzałając a cało sztywe powoduje jego obrót. ENT SIŁ wektor, którego wartość bezwzględa (moduł) rówa jest loczyow wartośc lczbowej jedej z sł pary oraz ramea tej pary: = a. omet sł tworzących parę względem dowolego puktu: h h a 9 h h a h h (h Z h ) a. Suma mometów sł tworzących parę względem dowolego puktu płaszczyzy w której leży para sł, rówa jest ENTWI DNEJ SIŁ. Statyka.doc 8

10 ÓWNWŻNE UKŁD SIŁ ówoważe układy sł to układy, które wywerają jedakowe dzałaa a cało sztywe. WDKW sła rówoważa układow sł. ary sł o tej samej płaszczyźe dzałaa o rówych mometach są sobe rówoważe. oeważ wywerają oe a cało sztywe jedakowe dzałae moża je wzajeme zastępować. arę sł moża dowole przesuwać w jej płaszczyźe dzałaa, zachowując jedye ezmeoy momet. Jako pukt przyłożea wektora mometu pary sł moża obrać dowoly pukt rozpatrywaej płaszczyzy. ENT SIŁ JEST WEKTE SWBDN. Gdy a cało sztywe dzała par sł leżących w jedej płaszczyźe, to pary te moża zastąpć parą wypadkową o momece rówym sume mometów poszczególych par.. WUNEK ÓWNWGI SIŁ DZIŁJĄCCH W ŁSZCZŹNIE by pary sł dzałające a cało sztywe w jedej płaszczyźe zajdowały sę w rówowadze, suma mometów tych par mus sę rówać zeru. Statyka.doc 9

11 ŁSKIE UKŁD SIŁ DWLNIE SKIEWNCH Zastępowae układu sł dzałających a cało sztywe przez prostszy, rówoważy układ sł, azywa sę EDUKCJĄ UKŁDU SIŁ. EDUKCJ ŁSKICH UKŁDÓW SIŁ. łask układ sł zbeżych redukcja do sły wypadkowej.. łask układ sł rówoległych zgode skerowaych redukcja do sły wypadkowej. 3. łask układ sł rówoległych przecwe skerowaych redukcja do sły wypadkowej oraz mometu pary sł. EDUKCJ JEDNCZEJ SIŁ W ŁSKI UKŁDZIE SIŁ DWLNCH Zerowy układ sł = h 9 9 h h EDUKCJ ŁSKICH UKŁDÓW SIŁ DWLNCH Z Sły dowole skerowae, leżące w jedej wspólej płaszczyźe, redukuje sę do układu ajprostszego, czyl wypadkowej oraz pary sł. - 9 h Statyka.doc

12 Słę przyłożoą do dowolego puktu cała sztywego moża zastąpć rówą jej słą przyłożoą do dowolego puktu tego cała, dodając jedocześe parę sł o momece rówym mometow daej sły względem puktu. = h = 9 h ukt begu redukcj, środek redukcj. Beguem (środkem) redukcj może być dowoly pukt sztywego cała. Każdy układ sł przyłożoych do cała sztywego o kerukach dzałaa leżących w jedej płaszczyźe, rówoważy jest (może być zastąpoy) układow złożoemu z jedej sły wypadkowej oraz pary sł o momece, przyłożoych do dowolego puktu cała, zwaego beguem redukcj. Wypadkowa rówa jest sume wektorowej wszystkch sł azywa sę wektorem główym układu sł, momet rówy jest sume mometów wszystkch daych sł względem puktu azywa sę mometem główym względem begua redukcj. Wektor główy e zależy od wyboru begua redukcj. omet główy zależy od wyboru begua redukcj. Wektorowy zaps redukcj płaskego dowolego układu sł. Statyka.doc

13 altyczy zaps redukcj dowolego układu sł: ' y y x 3 x 3 ' ', x y x y cos, s y ZIN BIEGUN EDUKCJI Wektor główy e zmea sę przy zmae begua redukcj. omet główy zmea sę wraz ze zmaą położea begua redukcj. ' ' ' ' edukcja względem puktu edukcja względem puktu Statyka.doc

14 EDUKCJ ŁSKIEG UKŁDU SIŁ D JEDNEJ SIŁ WDKWEJ W ogólym przypadku układ sł dzałających a cało sztywe moża zredukować do wypadkowej oraz mometu pary sł. ZŁŻENIE: W przypadku gdy suma wektorowa płaskego układu sł,,..., dzałającego a cało sztywe jest róża od zera, to układ te moża zastąpć jedą słą wypadkową rówą wektorow główemu. = 9 C = 9 C h h Wyk redukcj płaskego układu sł h ukt C ależy odmerzać w takm keruku, aby zak otrzymaej pary sł był zgody z kerukem. EDUKCJ ŁSKIEG UKŁDU SIŁ D ENTU WDKWEG ZŁŻENIE: W przypadku gdy wektor główy płaskego układu sł jest rówy zeru, sły te moża zastąpć jedą parą sł o momece rówym sume mometów tych sł względem dowolego puktu płaszczyzy.. Wypadkowa daego układu sł Statyka.doc 3

15 = = = EDUKCJ ŁSKIEG DWLNEG UKŁDU SIŁ Dowoly płask układ sł (sły skupoe, momety) edukcja do wektora główego mometu główego ( begu redukcj, dowoly pukt płaszczyzy ) h= / edukcja do jedej sły Statyka.doc 4

16 edukcja przestrzeego układu sł do skrętka rzestrzey układ sł: rzestrzey układ sł zredukoway do sły osowej mometu skręcającego (skrętka): SKĘTNIK: Statyka.doc 5

17 ÓWNNI ÓWNWGI DL ŁSKIEG UKŁDU SIŁ by dowoly płask układ sł był w rówowadze (e wywoływał ruchu), wektor główy oraz momet główy tego układu muszą być rówe zeru.. Zaps algebraczy (dwa rówaa rzutów sł, jedo rówae mometów):,, ówaa rzutów mogą zostać zastąpoe rówaam mometów względem ych puktów. WINT : ówaa rówowag składają sę z trzech rówań mometów C B 3 3 B C WUNEK: pukty, B C e mogą leżeć a jedej prostej. WINT : ówaa rówowag składają sę z dwóch rówań mometów oraz jedej sumy rzutów sł. x B WUNEK: dowola oś e może być prostopadła do prostej łączącej pukty B. Statyka.doc 6

18 EDUKCJ ŁSKIEG UKŁDU SIŁ ÓWNLEGŁCH Układ sł rówoległych,,,, przyłożoych do puktów,,, cała sztywego. x x x x - x - - Wypadkowa sł: Zaps wektorowy Zaps skalary Dla sł o zwroce przecwym ż a powyższym rysuku ależy przyjąć zak. Wyzaczee l dzałaa wypadkowej : suma mometów wszystkch sł względem puktu x x x x x x x x x W przypadku, gdy = układ e ma wypadkowej jest rówoważy parze sł o momece x Statyka.doc 7

19 ÓWNNI ÓWNWGI DL ŁSKIEG UKŁDU SIŁ ÓWNLEGŁCH: Suma rzutów sł a oś rówoległą do keruku dzałaa sł: y, Suma mometów względem dowolego puktu :. W płaskm układze sł rówoległych występują dwe ewadome welkośc. ówae sumy rzutów sł moża zastąpć rówaem mometów., B dowole pukty e leżące a prostej rówoległej do keruku dzałaa sł, wówczas: B Statyka.doc 8

20 SIŁ ZŁŻNE BJĘTŚCIWE, WIEZCHNIWE I LINIWE Sły objętoścowe (masowe) cężar (sły grawtacj). Sły powerzchowe (CIŚNIENIE). Sły rozłożoe wzdłuż l: x q(x)dx x C dx L Q q(x) Itesywość obcążea cągłego q: wymar [q]: dq=q(x)dx Q L q(x)dx Słą Q zastępuję dzałae obcążea cągłego rozłożoego a odcku o długośc L jest to wypadkowa obcążea cągłego. ukt przyłożea obcążea zastępczego Q wyzacza sę z sumy mometów względem : L Q x C x q(x)dx x c L N m x q(x)dx Q ZKŁD: q=cost F=qL L x C =,5L L q F=/ ql L x C=/3L L x C=/3L q q q q - q L L L Statyka.doc 9

21 Waruk rówowag dla płaskch układów sł Układ sł Waruk rówowag Zbeży układ sł. x. y. ; y ( dowoly pukt) Układ sł rówoległych Układ sł dowole skerowaych., B (, B dowole pukty e leżące a prostej rówoległej do keruku dzałaa sł). x, y, ( dowoly pukt)., B, C (, B, C e mogą leżeć a jedej prostej) 3. x,, B (ś e może być prostopadła do prostej B) Statyka.doc 3

22 Waruk rówowag dla przestrzeych układów sł Układ sł Z Zbeży układ sł Z ówoległy układ sł Waruk rówowag. x. y 3.. z y. x 3. (dotyczy sł rówoległych w keruku os ) z. x Z Układ sł dowole skerowaych x x 5. Z 6. Statyka.doc 3

23 INTEETCJ ZNKÓW W ÓWNNICH STTKI W rozwązywau zadań z mechak (oraz wytrzymałośc materałów) e zawsze moża prawdłowo przewdzeć keruk sł zewętrzych berych (reakcj). oeważ rówaa statyk mają charakter praw fzyczych, w oparcu o swoją wedzę dośwadczee, moża dokoać założeń o kerukach tych reakcj. o rozwązau układu rówań statyk poczyoe założea są weryfkowae: Gdy otrzymae wartośc sł są ze zakem + : założee było prawdłowe. Gdy otrzymae wartośc sł są ze zakem : założee było e prawdłowe. rawdzwy keruek sł jest przecwy do założoego. ZGDNIENI STTCZNIE WZNCZLNE I STTCZNIE NIEWZNCZLNE łask układ sł dowole skerowaych 3 rówaa statyk. rzestrzey układ sł dowole skerowaych 6 rówań statyk. W statyce cała sztywego przy zadaych obcążeach poszukuje sę reakcj podpór. STTK ZJUJE SIĘ ZGDNIENII STTCZNIE WZNCZLNI, D ZWIĄZNI KTÓCH WSTCZJĄ ÓWNNI STTKI. łaske układy sł dowole skerowaych 3 ewadome. rzestrzee układy sł dowole skerowaych 6 ewadomych. Gdy w zadau lczba ewadomych przekroczy lczbę rówań statyk ZDNIE STTCZNIE NIEWZNCZLNE, dla rozwązaa którego trzeba odstąpć od modelu cała sztywego WTZŁŚĆ TEIŁÓW. Statyka.doc 3

24 T C I E odel cał deale gładkch sły reakcj są prostopadłe do powerzch. T N G sła zewętrza czya (obcążee), G sła zewętrza czya (cężar), reakcja, N składowa ormala reakcj, T sła tarca. CIŁ ZNJDUJE SIĘ W ÓWNWDZE GD SIŁ < T LUB = T. Gdy > T cało zacze sę porusza (ślzgać). Wartość sły tarca jest ograczoa e może przekroczyć pewej maksymalej wartośc. W TCI CULB:. Sła tarca posuwstego leży w płaszczyźe poruszających sę cał jest skerowaa w keruku możlwego przesuwu cała. Sła tarca wyos T T max. Wartość T max sła tarca osąga w chwl utraty rówowag.. Sła tarca jest ezależa od pola powerzch stykających sę cał. Zależy jedye od materału, jego właścwośc fzyczych, temperatury, smarowaa, wlgotośc tp. 3. aksymala sła tarca jest proporcjoala do welkośc reakcj ormalej. Statyka.doc 33

25 Dla cała w spoczyku: Dla cała w ruchu: T N. T = k N. aksymala sła tarca: T = N, współczyk tarca spoczykowego (statyczego). Dla cała w ruchu (ślzgającego sę): k współczyk tarca ketyczego. oeważ > k, tarce spoczykowe jest wększe od tarca ketyczego. ozwązywae zagadeń rówowag (statyka) z uwzględeem tarca polega a określau graczych wartośc sł utrzymujących cało w rówowadze. odzaje tarca: tarce suche, tarce półsuche (półpłye), tarce płye (smarowae zmejszające opór tarca). Statyka.doc 34

26 SZN STE. DŹWIGNI JEDNSTNN Q a b Qb = a rzykłady: taczka, glotya.. DŹWIGNI DWUSTNN a Q. b Q a b a = Qb. rzykłady: waga, pompa. 3. KŁWÓT r r Q 4. ŚUB 5. KBWÓD 6. ÓWNI CHŁ 7. WIELKĄŻKI r - Qr =, r = Qr. Statyka.doc 35

27 ŚDEK CIĘŻKŚCI Sły cężkośc (sły przycągaa) szczególy przypadek sł objętoścowych rówoległych (wymary cała zkomo małe w porówau z promeem kul zemskej). Środkem cężkośc cała materalego (bryły) azywa sę gracze położee środka sł rówoległych, które są słam cężkośc poszczególych cząstek bryły a jake myślowo została bryła podzeloa, gdy ajwększa z tych cząstek dąży do zera. ŚDEK ZESTZENNEG UKŁDU SIŁ ÓWNLEGŁCH Z x 3 xc x x y y y y c C 3 3 y Dla dowolej lczby sł rówoległych, przyłożoych W 3 w puktach (x, y ) wypadkowa W omet wypadkowej W(x c, y c ) względem os jest rówy sume mometów sł składowych: W x c x x... x x. Współrzęda puktu przyłożee wypadkowej W wyos x x c.. Statyka.doc 36

28 Z rówań mometów względem os oraz Z otrzymuje sę y c y z c z ukt C środek sł rówoległych. Sły sły cężkośc ŚDEK CIĘŻKŚCI CIŁĄ N CIĘŻ WŁŚCIW: [ ] 3. m Cężar = masa przyspeszee zemske g. g. kg GĘSTŚĆ CIŁ: [ ] 3. m ZDKI SZCZEGÓLNE Środek cężkośc brył. Środek cężkośc powerzch. Środek cężkośc fgur płaskch. Środek cężkośc l. FIGU ŁSKIE Grubość fgury =, objętość pole powerzch [m ] z c =, =, cężar jedostkowy [N/m ] x x x c x c, x momet statyczy [cm 3 ] względem os ( y względem os ). ZKŁD: kreślae środka powerzch fgury płaskej: = = cm, = 5 = cm, 3 = = 4 cm, 5 cm 3. Współrzęde środka cężkośc fgury wyoszą: x x 3x xc, ,43 cm, 4 y y 3y yc,5 3, ,77 cm Statyka.doc 37