Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Liczby zespolone. x + 2 = 0."

Transkrypt

1 Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą całkowitą. Rozważmy jednak równanie wielomianowe postaci x 2 = 0. Tutaj współczynniki wielomianu są w dalszym ciągu całkowite, ale pierwiastek x = 2 jest niecałkowitą liczbą wymierną. Stąd pojawiła się potrzeba rozszerzenia zbioru liczb całkowitych do zbioru liczb wymiernych. Łatwo jednak zauważyć, że istnieją wielomiany o współczynnikach wymiernych, których pierwiastki są liczbami niewymiernymi. Istotnie, równanie x 2 2 = 0 ma pierwiastek x = 2, który nie jest liczbą wymierną. Zatem pojawia się potrzeba rozszerzenia zbioru liczb wymiernych do zbioru liczb rzeczywistych. Okazuje się jednak, że zbiór liczb rzeczywistych nie spełnia jeszcze warunku mówiącego, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki rzeczywiste. Na przykład równanie x = 0, (1) jak dobrze wiadomo, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Pojawia się więc potrzeba rozszerzenia zbioru liczb rzeczywistych do większego zbioru liczbowego (czyli takiego, w którym są określone działania dodawania i mnożenia spełniające standardowe własności takie, jak przemienność, łączność, rozdzielność), w którym byłby spełniony warunek: Każdy wielomian o współczynnikach z tego zbioru ma pierwiastki w tym zbiorze. W niniejszym wykładzie zajmiemy się konstruowaniem tego zbioru, działań na elementach tego zbioru oraz omówieniem pewnych własności tego zbioru i jego elementów. 1

2 2 Konstrukcja zbioru liczb zespolonych i działań na liczbach zespolonych Rozważmy płaszczyznę kartezjańską R 2. Każdy element (x, y) tej płaszczyzny będziemy traktować, jak liczbę. Oczywiście liczby (x, y) i (x, y ) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy x = x i y = y. Określimy działania na tych liczbach: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Definicja 2.1. Płaszczyznę kartezjańską z określonymi wyżej działaniami nazywać będziemy zbiorem liczb zespolonych i oznaczać będziemy symbolem C. Elementy tej płaszczyzny nazywamy liczbami zespolonymi. Płaszczyznę kartezjańską traktowaną jako zbiór liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną i wówczas oś odciętych nazywamy osią rzeczywistą, zaś oś rzędnych osią urojoną. Zwykle na oznaczenie liczb zespolonych będziemy używać litery z. Będziemy więc pisać z = (x, y). Łatwo sprawdzić, że zarówno określone wyżej dodawanie, jak i mnożenie są działaniami przemiennym i łącznymi. Dodatkowo mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Przykładowo sprawdzimy to ostatnie prawo. Mamy wykazać, że zachodzi równość Istotnie, (x 1, y 1 ) [(x 2, y 2 ) + (x, y )] = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) (x, y ). L = (x 1, y 1 ) [(x 2, y 2 ) + (x, y )] = (x 1, y 1 ) (x 2 + x, y 2 + y ) = (x 1 (x 2 + x ) y 1 (y 2 + y ), x 1 (y 2 + y ) + y 1 (x 2 + x )) = (x 1 x 2 + x 1 x y 1 y 2 y 1 y, x 1 y 2 + x 1 y + y 1 x 2 + y 1 x ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 + x 1 x y 1 y, x 1 y 2 + y 1 x 2 + x 1 y + y 1 x ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) + (x 1 x y 1 y, x 1 y + y 1 x ) = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) (x, y ) = P. Rolę zera dla liczb zespolonych odgrywa (0, 0), gdyż dla dowolnej liczby zespolonej (x, y) mamy (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y). Zauważmy teraz, że dla dowolnej liczby zespolonej z istnieje liczba do niej przeciwna z tzn. taka, że dodając ją do z otrzymujemy zero. Istotnie, jeżeli z = (x, y), to połóżmy z = ( x, y). Wtedy z + z = (x, y) + ( x, y) = (x x, y y) = (0, 0). Liczbę przeciwną względem z oznaczać będziemy symbolem z. 2

3 Wiedząc już co to jest liczba przeciwna względem danej, możemy w zbiorze liczb zespolonych określić działanie odejmowania: z 1 z 2 = z 1 + ( z 2 ). Podobnie, rolę jedynki dla liczb zespolonych odgrywa (1, 0), gdyż dla dowolnej liczby zespolonej (x, y) mamy (x, y) (1, 0) = (x 1 y 0, x 0 + y 1) = (x, y). Niech teraz z = (x, y) (0, 0) będzie dowolną niezerową liczbą zespoloną. Zdefiniujmy ( ) x z = x 2 + y 2, y x 2 + y 2. Dzięki założeniu niezerowości z dzielenia w ostatnim nawiasie mają sens. Liczba z jest odwrotna względem z. Istotnie, ( ) x z z = (x, y) x 2 + y 2, y x 2 + y 2 ( x 2 = x 2 + y 2 y2 x 2 + y 2, xy x 2 + y 2 + xy ) x 2 + y 2 = (1, 0). Liczbę odwrotną względem z oznaczać będziemy symbolem z 1. Wiedząc już co to jest liczba odwrotna względem z, możemy w zbiorze liczb zespolonych określić działanie dzielenia przez liczby niezerowe: z 1 z 2 = z 1 (z 2 ) 1. Mamy więc w zbiorze liczb zespolonych wszystkie cztery działania, jak w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy utożsamiać liczbę zespoloną postaci (x, 0) z liczbą rzeczywistą x. Zauważmy, że utożsamienie to jest zgodne z działaniami dodawania i mnożenia, tzn. jeżeli dodamy liczby zespolone (x 1, 0) + (x 2, 0), to otrzymamy liczbę (x 1 + x 2, 0), czyli liczbę utożsamioną ze zwykłą sumą liczb rzeczywistych x 1 +x 2. Podobnie mnożąc przez siebie liczby zespolone (x 1, 0) (x 2, 0) otrzymujemy (x 1 x 2, 0), czyli liczbę utożsamianą ze zwykłym iloczynem x 1 x 2 liczb rzeczywistych. Łatwo także sprawdzić, że (x, 0) = ( x, 0) i (x, 0) 1 = ( 1 x, 0). Zatem nasze utożsamienie jest zgodne z braniem elementu przeciwnego i odwrotnego. Stąd wynika zgodność tego utożsamienia z działaniami odejmowania i dzielenia. Dzięki tym zgodnościom możemy pisać po prostu: (x, 0) = x. Definicja 2.2. Liczbę zespoloną (0, 1) nazywać będziemy jednostką urojoną. Jednostkę urojoną oznaczamy symbolem i. Zauważmy, że i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1. (2)

4 Widzimy więc, że jednostka urojona jest pierwiastkiem równania (1). Niech teraz (x, y) będzie dowolną liczbą zespoloną. Wykażemy, że Istotnie, (x, y) = x + yi. P = x + yi = (x, 0) + (y, 0) (0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x, y) = L. Definicja 2.. Postać x + yi liczby zespolonej nazywamy postacią kartezjańską (kanoniczną). Dla liczby zespolonej z = x + yi liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy symbolem re z, zaś liczbę rzeczywistą y nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy symbolem im z. Okazuje się, że działania na postaciach kanonicznych wykonuje się w sposób naturalny pamiętając o (2): (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = x 1 + x 2 + (y 1 + y 2 ) i, (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 +x 1 y 2 i+x 2 y 1 i+y 1 y 2 i 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 +(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) i. Widać więc, że wykonując działania w sposób naturalny otrzymaliśmy wyniki zgodne z definicjami. Zajmijmy się teraz dzieleniem, które jest najtrudniejszym z czterech działań. Wprowadźmy najpierw następującą definicję: Definicja 2.4. Dla liczby zespolonej z = x + yi liczbę x yi nazywamy sprzężeniem liczby z i oznaczamy symbolem z. Zachodzi następujące Stwierdzenie 2.5. Dla każdej liczby zespolonej z = x + yi mamy z z = x 2 + y 2 R. Weźmy teraz dwie dowolne liczby zespolone z 1 = x 1 +y 1 i i z 2 = x 2 +y 2 i 0. Chcemy obliczyć iloraz z1 z 2. W tym celu rozszerzymy ten ułamek przez liczbę z 2 i wykorzystując Stwierdzenie 2.5 otrzymujemy: z 1 = x 1 + y 1 i z 2 x 2 + y 2 i = (x 1 + y 1 i) (x 2 y 2 i) (x 2 ) 2 + (y 2 ) 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 (x 2 ) 2 + (y 2 ) 2 + x 1y 2 + x 2 y 1 (x 2 ) 2 + (y 2 ) 2 i. Postać trygonometryczna Niech z = x + yi C. Definicja.1. Liczbę rzeczywistą x 2 + y 2 nazywamy modułem liczby zespolonej z i oznaczamy symbolem z. 4

5 Zauważmy, że jeżeli liczba z jest rzeczywista, to jej moduł w sensie zespolonym pokrywa się ze znanym dobrze modułem liczby rzeczywistej. Istotnie, jeśli z = (x, 0), to z = x 2 = x, gdzie po prawej stronie mamy zwykłą wartość bezwzględną liczby rzeczywistej. Wykorzystując wiedzę z geometrii analitycznej, można zauważyć, że moduł z liczby zespolonej z jest równy odległości na płaszczyźnie od punktu z do początku układu współrzędnych. Weźmy teraz dowolną niezerową liczbę zespoloną z = x + yi. Wówczas ( ) x z = x + yi = z x2 + y + y 2 x2 + y i. () 2 Zauważmy, że suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej liczby występującej w nawiasie wynosi 1. Zatem istnieje liczba ϕ taka, że x x2 + y 2 = cos ϕ i y = sin ϕ. (4) x2 + y2 Definicja.2. Każdą liczbę ϕ spełniającą warunki (4) nazywamy argumentem liczby z = x + yi i oznaczamy symbolem arg z. Zauważmy, że argument liczby zespolonej nie jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli ϕ jest argumentem liczby z, to każda liczba postaci ϕ+2kπ, gdzie k Z jest także argumentem tej liczby. Jeżeli zażądamy, aby argument leżał w przedziale 0, 2π), to będzie on już wyznaczony jednoznacznie. Definicja.. Argument ϕ liczby z należący do przedziału 0; 2π) nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy symbolem Arg z. Zaznaczając liczbę z na płaszczyźnie zespolonej, łatwo jest pojęcie argumentu zinterpretować geometrycznie. Mianowicie, argument główny liczby z jest miarą kąta między dodatnią półosią rzeczywistą a promieniem wodzącym liczby z, tzn. odcinkiem łączącym początek układu współrzędnych z punktem z. Ze wzoru () mamy teraz z = z (cos ϕ + i sin ϕ). (5) Definicja.4. Postać (5) liczby zespolonej z nazywamy postacią trygonometryczną tej liczby. Zwróćmy uwagę, że liczba 0 nie ma postaci trygonometrycznej, bo nie ma argumentu. Zachodzi następujące Stwierdzenie.5. Dla liczb zespolonych z 1, z 2 mamy ( z 1 = z 2 z 1 = z 2 k Z arg z 1 arg z 2 = 2kπ ). 5

6 Okazuje się, że postać trygonometryczna liczby zespolonej pozwala na elegancką interpretację mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Zachodzi mianowicie następujące Twierdzenie.6. Jeżeli z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) i z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ), to z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos (ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 + ϕ 2 )) (6) oraz z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos (ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 ϕ 2 )). (7) Ze wzoru (6) otrzymujemy łatwo wzór na potęgę liczby zespolonej o wykładniku naturalnym. Stwierdzenie.7. Dla n N i z = z (cos ϕ + i sin ϕ) zachodzi następujący wzór z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). (8) W szczególności jeżeli z = 1, to otrzymujemy Twierdzenie.8 (Wzór de Moivre a). Dla n N mamy (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ. 4 Pierwiastkowanie liczb zespolonych W zbiorze liczb zespolonych nie definiuje się porządku, tzn. Dla dwóch liczb zespolonych nie da się powiedzieć która z nich jest większa. W związku z tym nie działa w zbiorze liczb zespolonych definicja pierwiastka obowiązująca dla liczb rzeczywistych, gdyż nie ma sensu zwrot jest to liczba nieujemna spełniająca warunek. Musimy więc zdefiniować pierwiastek od nowa. Definicja 4.1. Niech k N i k 2. Dla dowolnej liczby w C pierwiastkiem stopnia k z liczby w nazywamy każdą liczbę zespoloną z spełniającą warunek z k = w. W szczególności pierwiastkami kwadratowymi z liczby 4 w sensie powyższej definicji są liczby 2 i -2 (w dziedzinie rzeczywistej tylko 2 jest pierwiastkiem kwadratowym z 4). Widać więc, że w dziedzinie zespolonej pierwiastek może przyjmować więcej niż jedną wartość. Mimo to będziemy używać na oznaczenie pierwiastka symbolu z = k w, pamiętając o niejednoznaczności tego symbolu. Zachodzi następujące: Twierdzenie 4.2. Dla każdego w 0, gdzie w = w (cos ϕ + i sin ϕ), pierwiastek stopnia k (k N i k 2) ma dokładnie k wartości i wyrażają się one wzorami: z j = k ( w cos ϕ + 2jπ + i sin ϕ + 2jπ ), (9) k k gdzie j = 0, 1,..., k 1 i pierwiastek po prawej stronie tego wzoru jest zwykłym pierwiastkiem w dziedzinie rzeczywistej. 6

7 Z twierdzenia powyższego widać, że wszystkie wartości pierwiastka k-ego stopnia z liczby w 0 leżą na okręgu o środku w początku układu oraz promieniu równym k w i dzielą ten okrąg na k równych łuków. Używając wzoru (8), łatwo sprawdzić, że liczby podane we wzorze (9) faktycznie są wartościami pierwiastka stopnia k z liczby w. Pierwiastkiem dowolnego stopnia z liczby 0 jest jedynie 0, a więc w tym przypadku jest tylko jedna wartość pierwiastka. Przykład 4.. Wyznaczymy wszystkie wartości pierwiastków stopnia trzeciego z liczby w = i. W tym celu zapiszmy najpierw liczbę w w postaci trygonometrycznej: w = cos 2 π + i sin 2 π. Z wzoru (9) otrzymujemy następujące wartości pierwiastka stopnia trzeciego: z 0 = cos 6 π + i sin 6 π = i, z 1 = cos z 2 = cos 2 π + 2π + i sin 2 π + 4π + i sin 2 π + 2π = cos 7 6 π + i sin 7 6 π = i, 2 π + 4π = cos π + i sin 6 6 π = i. 5 Wielomiany o współczynnikach zespolonych Niech n N {0}. Definicja 5.1. Wielomianem stopnia n o współczynnikach zespolonych nazywamy funkcję zmiennej zespolonej z postaci W (z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, (10) gdzie a 0, a 1,..., a n C, przy czym a n 0. Dodatkowo wielomianem zerowym nazywamy funkcję zadaną wzorem W (z) = 0 dla z C. Definicja 5.2. Liczbę zespoloną z 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu (10), gdy W (z 0 ) = 0. W dziedzinie zespolonej obowiązuje także Twierdzenie 5. (Twierdzenie Bezouta). Liczba z 0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian z z 0. W związku z tym twierdzeniem ma sens następująca definicja: Definicja 5.4. Jeżeli z 0 jest pierwiastkiem wielomianu W to jego krotnością nazywamy taką liczbę naturalną k, że wielomian W jest podzielny przez (z z 0 ) k i nie jest podzielny przez (z z 0 ) k+1. 7

8 Zachodzi następujące: Twierdzenie 5.5 (Podstawowe twierdzenie algebry). Każdy wielomian W stopnia n w dziedzinie zespolonej ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając krotności) i daje się zapisać w postaci W (z) = a n (z z 1 ) (z z n ), gdzie z 1,..., z n są wszystkimi pierwiastkami wielomianu W z uwzględnieniem krotności. W szczególności każdy trójmian kwadratowy W (z) = az 2 + bz + c, gdzie a, b, c C i a 0, daje się zapisać w postaci W (z) = a (z z 1 ) (z z 2 ), przy czym z 1, z 2 są pierwiastkami tego trójmianu wyrażającymi się wzorami z j = b + δ j 2a, j = 1, 2. W powyższym wzorze symbolami δ 1, δ 2 oznaczone zostały dwie wartości pierwiastka kwadratowego z = b 2 4ac. Przykład 5.6. Rozwiążemy równanie iz 2 + (2 2i) z i 2 = 0. Obliczmy wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie równania: = (2 2i) 2 4i ( 1 2) = 4 8i i = 4. Postacią trygonometryczną jest = 4 (cos π + i sin π) Stąd wartościami są ( δ 1 = 2 cos π 2 + i sin π ) ( = 2i, δ 2 = 2 cos π i sin π ) = 2i. 2 Stąd pierwiastkami danego równania są z 1 = 2 + 2i + 2i 2i = 2 + i, z 2 = 2 + 2i 2i 2i = i. 6 Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej Definicja 6.1. Funkcję zmiennej zespolonej f (z) = e z, gdzie dla z = x + yi, nazywamy funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej. e z = e x (cos y + i sin y), (11) 8

9 Wykazuje się, że dla dowolnych liczb zespolonych z, z 1, z 2 zachodzą warunki: e z1 e z2 = e z1+z2, e z1 e z2 = ez1 z2, e z 0, e z+2πi = e z. Ostatni z tych warunków oznacza, że funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej jest funkcją okresową o okresie zespolonym 2πi. Łatwo widać, że wykorzystując definicję funkcji wykładniczej, możemy wzór (5) zapisać w postaci z = z e iϕ. (12) Postać (12) liczby zespolonej z nazywamy postacią wykładniczą. 9

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI Poniżej prezentujemy przykładowe, które znalazły się na egzaminie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM Na stopień dostateczny uczeń powinien umieć: Arytmetyka - zamieniać procent/promil na liczbę i odwrotnie, - zamieniać procent na promil i odwrotnie, - obliczać

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III

Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III 249 - Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III Jesteś zalogowany(a) jako Recenzent (Wyloguj) Kreatywna szkoła ZP_249 Zmień rolę na... Włącz tryb edycji Osoby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM KLASA I Na ocenę dopuszczającą: DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny ocena dopuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

Procedury osiągania celów

Procedury osiągania celów Cele wychowawcze Istotną część procesu nauczania stanowi proces wychowywania. W nauczaniu matematyki szczególnie eksponowane są następujące cele wychowawcze: przygotowanie do życia we współczesnym świecie,

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna imię i nazwisko Kalendarz gimnazjalisty Tydz. Dział start 22.09 29 26.09 Przygotowanie do pracy zapoznanie się z informacjami na temat egzaminu gimnazjalnego

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki

Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania został skonstruowany w oparciu o następujące dokumenty: 1. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 7 września 2004 roku

Bardziej szczegółowo

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 )

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 1 S t r o n a Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 14-20 Liczby. Rozwinięcia liczb dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. MnoŜenie

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania z matematyki

Przedmiotowy System Oceniania z matematyki Przedmiotowy System Oceniania z matematyki Opracowany zgodnie ze Statutem oraz z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania Liceum Ogólnokształcącego im. Janka Bytnara w Kolbuszowej. I. Kontrakt między nauczycielem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA Poziomy wymagań edukacyjnych : KONIECZNY (K) - OCENA DOPUSZCZAJĄCA, PODSTAWOWY( P) - OCENA DOSTATECZNA, ROZSZERZAJĄCY(R) - OCENA DOBRA, DOPEŁNIAJĄCY (D) - OCENA BARDZO DOBRA WYKRACZAJACY(W) OCENA CELUJĄCA.

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole

WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA III etap edukacyjny I. Wykorzystanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I Ocena Celujący (obejmuje wymagania na ocenę bardzo dobrą) Ocena śródroczna DZIAŁ I - LICZBY I DZIAŁANIA - umie znajdować liczby spełniające określone nietypowe

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki Opis założonych osiągnięć ucznia W tabelach dla poszczególnych klas, przy treściach kształcenia podajemy przewidywane osiągnięcia uczniów w ramach zakresu rozszerzonego. Podzieliliśmy je na podstawowe

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016 Litery w nawiasach oznaczają kolejno: K - ocena dopuszczająca P - ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I.

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów Klasa I Treści nauczania I. Liczby 1. Liczby rzeczywiste, zapis dziesiętny liczby rzeczywistej, zamiana

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI MATEMATYKA WOKÓŁ NAS WSiP

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI MATEMATYKA WOKÓŁ NAS WSiP WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI MATEMATYKA WOKÓŁ NAS WSiP KLASA 1 Główne działy podstawy programowej Liczby wymierne dodatnie Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) Hasła programowe Cztery działania

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego MATEMATYKA Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego Internetowy kurs dla kandydatów na Politechnikę Łódzką Repetytorium dla studentów I roku Politechniki Łódzkiej Skrypt niniejszy zawiera wiadomości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2015/2016 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2); P podstawowy - ocena dostateczna (3); R rozszerzający

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D -

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM Wymagania podstawowe(k- ocena dopuszczająca, P ocena dostateczna), wymagania ponadpodstawowe( R ocena dobra, D ocena bardzo dobra, W ocena celująca) DZIAŁ 1:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej Kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym. cały cykl

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2014/2015. Poziom wymagań rozszerzających (na ocenę dobrą)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2014/2015. Poziom wymagań rozszerzających (na ocenę dobrą) WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2014/2015 Dział koniecznych (na ocenę dopuszczającą) podstawowych (na ocenę dostateczną) rozszerzających (na ocenę dobrą) dopełniających

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA KLASA I

KRYTERIA OCENIANIA KLASA I KRYTERIA OCENIANIA KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena bardzo dobra

Bardziej szczegółowo

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń:

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń: 1. Funkcja liniowa Tematyka: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej. Własności funkcji liniowej Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej

Bardziej szczegółowo

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo