( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

Transkrypt

1 Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy znaki wyrażeń znajdujących się pod wartościami bezwzględnymi: W przedziale (, 3) oba wyrażenia występujące pod modułami są ujemne, więc dane równanie przyjmuje postać x 3 x + 4 x 7, czyli równoważnie x 3+ x 4 x Otrzymaliśmy tożsamość, zatem każda liczba x (, 3) jest rozwiązaniem. W przedziale 3,) wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne, więc równanie w tym przedziale jest równoważne kolejno: x + 3 x + 4 x 7 x 6 x 3 Ponieważ 3 3,), więc liczba 3 jest rozwiązaniem danego równania. W przedziale, + ) wyrażenia pod obu modułami są dodatnie, więc x + 3 x 4 x 7 x 4 x 7 Liczba 7 jest rozwiązaniem, bo należy do przedziału, + ). Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są wszystkie liczby z przedziału (, 3 oraz liczba 7.

2 Zadanie. Funkcja kwadratowa Znajdź liczbę rozwiązań równania m 9 x m + 3 x + 0 w zależności od parametru m. Zbadaj, czy istnieją takie wartości m, dla których iloczyn rozwiązań powyższego równania jest liczbą ujemną. Zauważmy, że jeśli m 9 0, to dane równanie jest liniowe. Dokładniej: dla m 3 przyjmuje postać x + 0 i ma jedno rozwiązanie; dla m 3 przyjmuje postać 0 i jest sprzeczne. m R \ 3, 3, równanie jest kwadratowe i wówczas liczba jego Dla pozostałych m, tj. dla { } rozwiązań zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego, stanowiącego lewą jego m, najwygodniej będzie stronę. Znak wyróżnika, który będziemy oznaczać symbolem zobaczyć rysując odpowiednią funkcję: ( m) ( m 3) 4( m 9) 4( m 3) 4( m 3)( m 3) 4( m 3) ( m 3 ( m 3) ) ( m ) ( m ) Podsumowując: dla m (, 3 dane równanie nie ma rozwiązań; dla m 3 równanie ma jedno rozwiązanie; m 3, + \ 3 równanie ma dwa rozwiązania. dla { } Jeśli x oraz x są rozwiązaniami powyższego równania, to na mocy jednego ze wzorów Viete a xx m 9. Zauważmy, że wyrażenie powyższe jest ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy m 9 < 0, czyli m 3 m + 3 < ,3.

3 Zadanie 3. Wielomiany i funkcje wymierne Znajdź takie wartości parametrów a i b, dla których liczba 3 jest pierwiastkiem podwójnym 3 wielomianu W ( x) x + ax + bx 8. Sposób I. Jeśli liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W, to ten wielomian ma postać: ( 3) W x x x + c, gdzie c jest pewnym parametrem (w pewnych okolicznościach istotna może być informacja, że liczba c jest kolejnym pierwiastkiem wielomianu W w tym zadaniu ważymy ją lekce). Powyższy wzór przekształcamy do postaci ogólnej: 3 W x x 6x + 9 x + c x + cx 6x 6cx + 9x + 9c x c x c + x c i, korzystając z twierdzenia o równości wielomianów, porównujemy współczynniki w obu postaciach wielomianu W stąd układ równań: a ( c 6) b ( 6c + 9) 8c 8 Z ostatniego równania znajdujemy c, a następnie a 0 i b 6. Sposób II. Jeśli liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W, to ten wielomian jest podzielny przez x 3 x 6x + 9. Teraz dopuszczamy się trudnego do zaakceptowania okrucieństwa wykonujemy wspomniane dzielenie: x + a 3 ( x + ax + bx 8 ) : ( x 6x + 9) x x + x 3 8 ( a ) x + ( b + 8) x 8 ( a ) x 6( a ) x 9( a ) ( a + b ) x a Aby zachodziła podzielność wielomianu W przez trójmian x 6x + 9 otrzymana reszta R x 6a + b 54 x 9a + 90 winna być funkcją tożsamościowo równą zero, a to ma miejsce gdy 6a + b a Rozwiązanie tego układu daje a 0 i b 6.

4 Sposób III rachunkowo najprostszy, ale strzelamy z armaty. Powołamy się na twierdzenie: Liczba m jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem tego wielomianu i jego pochodnej. 3 Pochodna wielomianu W ( x) x + ax + bx 8 wyraża się wzorem W x 6x + ax + b. Na mocy zacytowanego twierdzenia wystarczy rozwiązać układ równań W ( 3) 0 i a 3 + b 0 W 3 0, czyli 3 3 a 3 b a + 3b 7 : 3 6a + b 54 3a b 4 6a + b 54 3a 30 a 0 b 6 Zadanie 4. Ciągi Między liczby 4 i 50 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze liczby tworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy końcowe ciąg geometryczny. Niech x i y oznaczają brakujące wyrazy ciągu. Liczby 4, x, y stanowią ciąg arytmetyczny, więc różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest stała, stąd y x x 4. Liczby x, y, 50 stanowią ciąg geometryczny, więc iloraz kolejnych wyrazów jest stały, stąd 50 y. y x Wystarczy rozwiązać powyższy układ równań: y x + 4 y 50x ( x ) x x + x + x 4x 34x x 7x x x 8 4 y 5 y 0 Warunki zadania spełniają dwie pary liczb: i 5 oraz 8 i 0.

5 Zadanie 5. Potęgi i logarytmy Rozwiąż nierówność ( x ) < ( x ) log log 3 Zakładamy, że x > 0 i x 3 > 0, czyli x > i x > 3 częścią wspólną obu tych warunków jest oczywiście x > 3. Przystępując do rozwiązywania nierówności przekształcamy ją tak, aby oba logarytmy były o tej samej podstawie: log ( x 3) log ( x ) <, log a następnie: log ( x 3) log ( x ) < log x < log x 3 ( x ) < ( x ) log log 3 x < x 3 ( x )( x 3) < 0 x 3 x 5x < x x + x 3 Spośród znalezionych wyżej przedziałów tylko drugi spełnia założenie x > 3, zatem ostatecznie rozwiązaniem danej nierówności jest przedział 3,.

6 Zadanie 6. Planimetria Długości dwóch boków trójkąta są równe 5 i 8 a miara kąta zawartego między tymi bokami wynosi 60. Znajdź sinus najmniejszego kąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku poniżej. Z twierdzenia cosinusów znajdujemy długość odcinka x x cos x 7 Odcinek o długości 5 jest najkrótszy w rozważanym trójkącie, zatem kąt α leżący naprzeciw tego boku ma najmniejszą miarę obliczymy ją stosując twierdzenie sinusów: 5 7 sinα sin sinα sinα 4 Promień okręgu opisanego także można znaleźć w oparciu o twierdzenie sinusów: R 7 sin R 7 3 3

7 Zadanie 7. Funkcje trygonometryczne Naszkicuj wykres funkcji y cos x + sin x sin x. Okres zasadniczy funkcji sinus i cosinus wynosi π, zatem wystarczy narysować wykres powyższej funkcji na przedziale 0,π ). Mamy cos x + sin x sin x, gdy sin x 0 dla x 0, π y cos x sin x sin x, gdy sin x < 0 cos x dla x, Szkicujemy szukany wykres: ( π π ) y cos x + sin x sin x y cos x y cos x

8 Zadanie 8. Geometria analityczna W trapezie ABCD kąty przy wierzchołkach B i C są proste. Znajdź współrzędne, 4 4, D 4,6. wierzchołka C, jeśli A( ), B i Sposób I. Punkt C jest punktem wspólnym prostych BC i CD. Najpierw znajdujemy równanie prostej AB (przypomnijmy, że prosta przechodząca, x, y ma przez punkty ( x y ) i równanie y y y y ( x x ) ): x x 4 y 4 x 4 ( ) y ( x + ) + 4 y x + 3 Prosta CD jest równoległa do powyższej prostej ma zatem równanie postaci y x + m, brakujący współczynnik m znajdziemy korzystając z faktu, że punkt D należy do tej prostej: m m 8 i prosta CD ma równanie y x + 8. Prosta BC jest prostopadła do prostej AB, zatem równanie prostej BC ma postać y x + k ; współczynnik k znajdziemy wykorzystując punkt B : 4 + k k 7 i prosta BC ma równanie y x 7. Współrzędne punktu C znajdujemy rozwiązując układ równań: y x + 8 y x 7 x 7 x + 8 x 5 x 6 zatem C ma współrzędne ( 6,5 ). y 5

9 Sposób II. Ponieważ AB 4 ( ), 4 [ 6, 3], więc prosta BC ma równanie postaci 6x 3y + m 0. Wartość współczynnika m zajdziemy korzystając z faktu, że do tej prostej należy punkt B : m 0 m, więc prosta BC ma równanie 6x 3y 0 lub po uproszczeniu x y 7 0. Prosta CD jest prostopadła do prostej BC, zatem ma równanie postaci x + y + k 0. Współrzędne punktu D umożliwiają znalezienie współczynnika k : k 0 k 6, stąd prosta CD ma równanie x + y 6 0. Współrzędne punktu C znajdujemy tak jak poprzednio rozwiązując układ równań x y 7. x + y 6

10 Zadanie 9. Stereometria W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy a ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 60. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem 30. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku obok punkty E i F są odpowiednio środkami krawędzi BC i AD. Trójkąt FES ma przy podstawie dwa kąty po 60, zatem jest równoboczny: k a. Rozważany w zadaniu przekrój BCHG jest trapezem równoramiennym. Wysokość tego trapezu h EI jest prostopadła do prostej FS i a h 3. Pozostaje znaleźć długość krótszej podstawy trapezu BCHG : punkt I jest środkiem odcinka FS, więc punkty G i H są odpowiednio środkami krawędzi bocznych AS i DS, zatem GH a. Pozostaje obliczyć pole przekroju: a + a a 3 3 a a a P. 4 8

11 Zadanie 0. Prawdopodobieństwo W urnie znajdują się kule: n białych i 6 czarnych. Oblicz ile kul znajduje się w tej urnie, jeśli prawdopodobieństwo, że losując jednocześnie dwie kule otrzymamy obie kule białe wynosi. Przebieg losowania przedstawiamy za pomocą drzewa stochastycznego: Obie kule są białe tylko na pierwszej gałęzi. Zgodnie z treścią zadania jest n n, n + 6 n + 5 stąd n n n + n + 30 n 3n x x 5 Pierwszą wartość odrzucamy, zatem w urnie znajduje się łącznie kul.