Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Transkrypt

1 Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku dołowi na A 3. Ekstrema lokalne: f D A, x 0 A δ>0 x x0 δ,x 0 f x > 0(< 0) δ>0 x x0,x 0 +δ f x < 0(> 0) 4. Punkty przegięcia f x 0 maximum minimum lokalne f D 2 A, x 0 A δ>0 x x0 δ,x 0 f x > 0(< 0) δ>0 x x0,x 0 +δ f x < 0(> 0) x 0, f x 0 punkt przegięcia Uwaga! Do punktów 3. i 4 wystarczy, że x 0 D f, natomiast nie musi należeć do D f, D f, tzn. wystarczy założyć różniczkowalność w sąsiedztwie punktu x 0.

2 Zbadaj przebieg funkcji f i narysuj wykres: Przykład 6.1 Etap I. Bez pochodnej f x = xe 1 x D: x 0 D =, 0 0, + x xe1 = x xe1 = Brak asymptoty poziomej Asymptoty pionowe: x 0 xe1 x = 0 brak asymptoty pionowej lewostronnej w x=0 e 1 x x 0 + xe1 = x x = e 1 x ( 1 = H x 2) x = x 0 + e1 x = x 2 asymptota pionowa prawostronna x=0 Badamy asymptoty ukośne a = f x x ± x = xe 1 x x ± x = x ± e1 x = 1 b = x ± f x ax = x ± xe1 x x = x e 1 x 1 x ± e1 x 1 = = 0 e 1 x 1 x ± 1 0 = H x 2 x ± 1 = x ± e1 x = 1 x x 2 Prosta y = x asymptota ukośna obustronna Etap II. Pierwsza pochodna f x = e 1 x + x e 1 x 1 x 2 = e 1 x 1 1 x

3 f x > 0 e 1 x 1 1 x > 0 x 1 > 0 x x 1 > 0 x minimum lokalne w x = 1 Etap III. Druga pochodna f x = e 1 x 1 1 x = e 1 x 1 x x + e1 x 1 x 2 = e1 x 1 x 3 f x > 0 e 1 x 1 x 3 > 0 1 x 3 > 0 x > 0 Etap IV. Etap V. Tabelka x (, 0) 0 (0, 1) 1 (1, + ) f (x) f (x) f(x) Wykres 0 e Z:R U-przedział f: U R RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Definicja 6.1 (funkcja pierwotna) F: U R pierwotna do f: x U F x = f x

4 Definicja 6.2 (całkowalność w sensie Newtona) f całkowalna w sensie Newtona na U: f posiada funkcję pierwotną F f całkowalna w sensie Newtona na przedział [a,b], F,G funkcje pierwotne do f na [a,b] to F b F a = G b G a Dowód: F, G pierwotne do f na a, b C R x [a,b] F x = G x + C F b F a = G b + C G a + C = G b G a Defincija 6.3 (całka Newtona) f całkowalna na [a,b] F pierwotna do f na [a,b] b to f x dx F b F a nazywamy całką Newtona a f całkowalna w sensie Newtona na U F pierwotna do f na U Definicja 6.4 (całka nieoznaczona) f x dx = F x + C Twierdzenie 6.1.(niektóre własności całki nieoznaczonej) Z: f,g całkowalne w sensie Newtona na U T: α,βεr αf x + βg x dx = α f x dx + β g x dx (αf + βg) - całkowalna w sensie Newtona na U Dowód:

5 F pierwotna do f na U G pierwotna do g na U x R prawa strona = αf x + βg x + C x R αf x + βg x = αf x + βg x = αf x + βg(x) METODY CAŁKOWANIA I. Całkowanie przez podstawienie φ: R U V R (U, V przedziały) φ bijekcja(odwracalna), φ D(u) f: V R T: f x dx = f φ t φ t dt t=φ 1 (x) Przykład 6.2 x 2 3 4x 3 + 5dx = 3 4x = t 3 12x 2 dx = 3t 2 dt 4x = t 3 x 2 dx = 1 4 t2 dt = 1 4 t2 tdt = 1 4 t 3 dt = 1 4 t4 4 + C = 1 16 ( 3 4x3 + 5) 4 + C Przykład 6.3 x arctg 2x 1 + 4x 2 = xdx 1 + 4x 2 arctg 2x 1 + 4x 2 dx I I 1 I 2 I 1 = 1 + 4x 2 = t 8xdx = dt xdx = 1 8 dt = 1 8 dt t = 1 8 ln t + C = 1 8 ln 1 + 4x2 + C

6 I 2 = arctg 2x = t 2 arctg 2x = t 2 2 dx = 2tdt 1 + 4x2 1 dx = tdt 1 + 4x2 = t 2 dt = t3 3 + C = arctg 2x C I = 1 8 ln 1 + 4x2 1 3 arctg 2x 3 + C Stwierdzenie: f (x) dx = ln f(x) + C f(x) II. Całkowanie przez części Z:u, v: U R; u, v D(U) T: u x v x dx = u x v x u x v x dx D: u x v x + u x v x dx = u x v x + C u x v x = u x v x + u x v x Typowe całki do metody II: 1. Typ: W n ex a x sin x cos x dx = u = W n (x) v = e x u = W n 1 (x) v = e x = Przykład 6.4 (x 2 + 2x + 3) cos 2x dx = u = x 2 + 2x + 3 u = 2x + 2 v = cos 2x v = 1 sin 2x 2 = 1 2 x2 + 2x + 3 sin 2x 2 2 x + 1 sin 2x dx = u = x + 1 u = 1 v = sin 2x v = 1 cos 2x 2 = 1 2 x2 + 2x + 3 sin 2x [ 1 2 (x + 1) cos 2x cos 2x dx] = 1 2 x2 + 2x + 3 sin 2x x + 1 cos 2x 1 sin 2x + C 4

7 2. Typ: W n ln x arctg x arcctg xdx = arcsin x arccos x u = ln x u = 1 x v = W n (x) v = W n x dx = Przykład 6.5 arcsin x dx = u = arcsin x v = 1 u 1 = v = x 1 x 2 = x arcsin x xdx 1 x 2 = xdx 1 x 2 = 1 x 2 = t 2 1 x 2 = t 2 2xdx = 2tdt xdx = tdt = tdt t = dt = t + C = 1 x 2 + C 3. Typ: sin x a x dx = u, v wszystko jedno = cos x e x Przykład 6.6 u = cos 3x v = e 2x I = e 2x cos 3x dx = u = 3 sin 3x v = 1 = 1 2 e2x 2 e2x cos 3x u = sin 3x v = e 2x = u = 3 cos 3x v = 1 2 e2x sin 3x e 2x dx = 1 2 e2x cos 3x [1 2 e2x sin 3x 3 2 e 2x cos 3x dx] I = 1 2 e2x cos 3x e2x sin 3x 9 4 I 13 4 I = 1 4 e2x (2 cos 3x + 3 sin 3x) I = 1 13 e2x 2 cos 3x + 3 sin 3x + C

8 Uwaga! W pierwszym kroku obojętne który z czynników przyjmujemy za u. W drugim kroku już nie.