26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU"

Transkrypt

1 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją pochodne, y"tej fnkcji. Równanie różniczkowe możemy zapisać w postaci f (, y,, ' ) = 0 ałką ogólną lb rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego rzęd II nazywamy fnkcję y = F(,, ), zmiennej ( a, b), która zawiera dowolne stałe niezależne (tj. tyle, ile wynosi rząd równania) i które po wstawieni za, liczb 0,, wybranych dowolnie z pewnych przedziałów spełnia równanie f (, y,, ' ) = 0. 0 Każdą fnkcję postaci y = φ() spełniającą powyższe równanie różniczkowe, która w przedziale (a, b) ma pierwszą i drgą pochodną dla odróżnienia od całki ogólnej będziemy nazywać całką szczególną lb rozwiązaniem szczególnym. 6.

2 Zagadnienie achego dla równania różniczkowego rzęd polega na znalezieni takiego rozwiązania szczególnego danego równania, które dla danego z góry argment = 0 i danych z góry liczb y 0, y spełnia tzw. warnki początkowe y ( 0 ) = y 0 y ' ( 0 ) = y Dane liczby 0, y0, y nazywamy wartościami początkowymi. W interpretacji geometrycznej zagadnienie achego polega na wybrani z α rodziny krzywych całkowych jednej krzywej, która przechodzi przez z góry dany pnkt ( 0, y 0 ) dla ( a, b) i która ma w tym pnkcie z góry określony kiernek, określony poprzez kąt nachylenia do osi 0, α. 6.. Równanie różniczkowe postaci y = f() Równanie postaci y '' = f ( ) nie zawierające fnkcji y rozwiązjemy za pomocą dwkrotnego całkowania: = y = f ( ) d = F( ) + ( F( ) + ) d = G( ) + + gdzie i to stałe dowolne. ałkę y = ( F( ) + ) d = G( ) + + d y nazywamy całką ogólną lb rozwiązaniem ogólnym równania = f ( ) d. 6.

3 Przykład Znaleźć całkę szczególną równania y =4 cos spełniającą warnki początkowe y(0)=0, y (0)=0. Rozwiązanie ałkjąc obie strony równania otrzymjemy = 4 y = cos d = sin + ( sin + ) d = cos + + Otrzymane rozwiązanie jest całką ogólną. Uwzględniając warnki początkowe mamy 0 = + 0 = 0 + skąd = 0, =. A więc całka szczególna ma postać y = cos + = sin 6.3. Równanie różniczkowe postaci f (,, ' ) = 0 Równanie postaci f (,, ' ) = 0 nie zawierające fnkcji y sprowadza się przez podstawienie y = () do równania różniczkowego rzęd pierwszego. Mamy bowiem dy d y ' ' = ' = d d i równanie f (,, ' ) = 0 przyjmje postać f (,, ' ) = 0, gdzie () jest fnkcją niewiadomą. Jeśli = F(, ) 6.3 jest całką ogólną tego równania, to z wagi na podstawienie y = () mamy y = F(, ) i całkę ogólną równania f (,, ' ) = 0 otrzymjemy w postaci

4 z dwoma parametrami, i. y = F(, ) + ) d = G(, Przykład Znaleźć całkę ogólną równania ' = ln Rozwiązanie Podstawiamy y = (), więc y ' ' = ' ( ) i równanie przyjmje postać ' = ln czyli ' = ln Jest to równanie jednorodne rzęd pierwszego. Podstawiamy ' = t + t' bo t() to nowa niewiadoma, i otrzymjemy t + t' = tln t czyli dt = t( ln t ) d Rozdzielając zmienne otrzymjemy dt ( ) = d t ln t = t skąd Podstawienie z = ln t pozwala łatwo obliczyć całkę po lewej stronie i dostajemy a ponieważ = t więc stąd ln ( ln t ) = ln ln t = + + ln 6.4

5 ln = ln = ln = e + + ln e + + Wracając do zmiennej y (bo y = ()) otrzymjemy dy d = e + skąd całka ogólna tego równania ma postać y = ( ) + e + Przykład Znaleźć całkę szczególną równania ' ( ) = początkowe y(0) =, y (0) = 3. +, spełniającą warnki 6.4. Równanie różniczkowe postaci f ( y,, ' ) = 0 Równanie różniczkowe typ f ( y,, ' ) = 0 nie zawierające zmiennej sprowadzamy do równania różniczkowego rzęd pierwszego przez podstawienie y ' = ( y ) skąd ( ) d d d dy d y ' ' = = = = = d d dy d dy d dy Otrzymjemy stąd równanie różniczkowe rzęd pierwszego f ( d y,, dy o zmiennej niezależnej y i fnkcji (y). 6.5 ) = 0

6 Mając całkę ogólną = F(, ) równania f ( y,, ) = 0 podstawiamy dy ( y ) = i otrzymjemy równanie = F( y, ) d Rozdzielając zmienne i całkjąc dostajemy równanie F dy y, ( ) = d skąd zyskjemy całkę ogólną równania f ( y,, ' ) = 0 postaci Φ ( y, ) = + Z tego związk możemy obliczyć y = ϕ,, ) ( d dy Przykład Znaleźć całkę ogólną równania yy =(y ) Rozwiązanie Stosjemy podstawienie y ' = ( y ), skąd dostajemy d d y = czyli y = 0 dy dy d Stąd mamy y = 0 lb = 0. dy W pierwszym przypadk jest d dy = y ln = ln y + ln = y Wracając do podstawienia mamy 6.6

7 dy = y d dy = d y ln y = +ln czyli ln y = ln e + ln i ostatecznie całkę ogólną równania y = e W drgim przypadk jest y =0 a więc y =. Zaważmy, że to rozwiązanie zawarte jest w poprzednim, wystarczy bowiem przyjąć w nim, = 0. Przykład Z jaką prędkością początkową v 0 należy wyrzcić pocisk pionowo do góry, aby nie powrócił na Ziemię, zakładając, że Ziemia jest klista i że przyciąganie ziemskie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadrat odległości r pocisk od środka Ziemi. Rozwiązanie Niech R oznacza promień Ziemi, a g przyspieszenie siły ciężkości na powierzchni Ziemi. Wtedy przyspieszenie siły ciężkości w odległości r > R od środka Ziemi wynosi g(r/r). Ponieważ siła ciężkości ma kiernek przeciwny do kiernk rch wystrzelonego pocisk, mamy równanie wynikające z drgiego prawa Newtona: d r gr = dt r 6.7

8 Stosjemy podstawienie dr d r d = ( r ), skąd = dt dt dr postać d gr = dr r Rozdzielając zmienne i całkjąc otrzymjemy gr = r + Stałą obliczamy z warnk, że dla r = R mamy = v 0. Zatem i równanie przyjmje v = 0 gr Stąd gr v 0 = + gr r Pierwszy składnik prawej strony jest dodatni, a znak składnika w nawiasie może być jemny. Oznacza to, że w pewnym pnkcie nad Ziemią pociska zatrzyma się i zacznie spadać na Ziemię. Natomiast jeśli znak składnika w nawiasie będzie stale dodatni, to pocisk na Ziemię nie wróci. Stanie się tak, jeśli 0 gr > v 0 tzn. v > gr km/s Równanie jednorodne Równanie postaci f (, y,, ' ) = 0 gdzie fnkcja f jest jednorodna względem zmiennych y,, ' nazywamy równaniem jednorodnym. 6.8

9 Równanie to sprowadza się do równania typ f (,, ' ) = 0 stosjąc podstawienie e y = skąd = e ', ' = e ( ' ) ( + ' ' ) Równanie f (, y,, ' ) = 0 przyjmie wtedy postać f (,, ',( ' ) + ' ' ) = 0 z fnkcją niewiadomą (), przy czym fnkcja f nie zawiera fnkcji. Przykład Rozwiązać równanie y y ' + ( ) y = 0 Rozwiązanie Jest to równanie jednorodne względem zmiennych y,, '. Stosjąc podstawienie y = e otrzymjemy skąd po podstawieni = t mamy ' ' + ( ' ) ' = 0 dt d t = t Jest to tzw. równanie Bernolliego, przez podstawienie z = / t sprowadza się do postaci równania liniowego dz z + = d Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest fnkcja c z = + Wracając kolejno do podstawień otrzymjemy ostatecznie ( ) y = + 6.9

10 6.6. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzęd drgiego o stałych współczynnikach Niech będzie dane równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzęd drgiego postaci y ' ' + p + qy = 0 w którym, współczynniki p i q są danymi liczbami rzeczywistymi. ałkę szczególną tego równania różniczkowego przewidjemy w postaci fnkcji wykładniczej y = e r Ttaj r jest pewną liczbą, którą należy tak dobrać, by fnkcja y = e r spełniała równanie y ' ' + p + qy = 0 Obliczamy więc pierwszą i drgą pochodną fnkcji y = e r i podstawiamy do tego równania: r y ' = re, r ' = r e skąd mamy r e + pre + qe = 0 r r r Wobec e r >0 daje to następjące równanie kwadratowe: r +pr+q=0 Nazywamy je równaniem charakterystycznym równania y ' ' + p + qy = 0. Rozróżniamy trzy przypadki: Δ>0, Δ =0, Δ <0. Przypadek : Δ > 0 Równanie charakterystyczne r +pr+q=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r i r. Istnieją więc dwie całki szczególne: r y e = oraz 6.0 r e y Są one liniowo niezależne, gdyż y y y y 0 (tzw. wrońskian jest różny od zera). Zatem fnkcja r e + = y = e jest całką ogólną równania różniczkowego jednorodnego y ' ' + p + qy = 0. r

11 Przykład Znaleźć całkę ogólną równania y"-5+6y=0. Równanie charakterystyczne ma postać r -5r+6=0. Otrzymjemy dwa pierwiastki r = 3, r =. Rozwiązanie ogólne ma więc postać y = 3 e + e Przypadek : Δ = 0 Równanie charakterystyczne r +pr+q=0 ma wtedy pierwiastek podwójny r = r = -½ p i wobec tego równanie różniczkowe y ' ' + p + qy = 0 ma tylko jedną całkę szczególną postaci y = e r, mianowicie p y e =. Można wykazać, że drgą całką szczególną jest w tym przypadk fnkcja Zatem fnkcja p y e = ( + ) p y = e jest w tym przypadk całką ogólną równania różniczkowego jednorodnego y ' ' + p + qy = 0. Przykład Znaleźć całkę ogólną równania y"-4+4y=0. 6.

12 Równanie charakterystyczne ma postać r -4r+4=0. Otrzymjemy jeden pierwiastek podwójny r = r =. Rozwiązanie ogólne ma więc postać y = ( ) e + Przypadek 3: Δ < 0 Gdy w równani y ' ' + p + qy = 0 jest p=0 oraz q=m to przybiera ono postać y ' ' + m y = 0 i ma jak łatwo sprawdzić rozwiązania postaci y = sin m oraz y = cos m, które są liniowo niezależne. Rozwiązanie ogólne ma więc postać y = sin m + cos m. Gdy p 0 sprowadzamy równanie y ' ' + p + qy = 0 do postaci y ' ' + m y = 0 za pomocą podstawienia y = e r przez stosowny dobór liczby r. W tym cel obliczamy = ( ' + r) e r ( ' ' + r' + r ) e r ' = i wstawiamy do równania y ' ' + p + qy = 0 Jeśli r zostanie dobrane tak, aby postać. Otrzymjemy r [ ' ' + ( r + p) ' + ( r + pr + q) ] e = 0 ' ' r + p = 0, to równanie przyjmie ( 4q p ) =

13 gdzie p 4q = Δ < 0, zaś parametr m z przypadk gdy p=0 oraz q=m przyjmje teraz wartość m = Δ. Ponieważ r dobrane jest tak, aby r + p = 0, więc r y ' + p + qy = 0 ' w tym przypadk jest = p. Z tego wynika, że całką ogólną równania p y = e Δ + cos Δ sin. Przykład Znaleźć całkę ogólną równania '+6+3y=0. Rozwiązanie Równanie charakterystyczne ma postać r +6r+3=0. Ttaj Δ = -6. Zgodnie z podanym wyżej wzorem całką ogólną jest t fnkcja 3 p ( sin + ) e y = cos Trzy omówione przypadki dotyczące równania różniczkowego liniowego jednorodnego (.9) możemy jąć w następjącej tabeli: Pierwiastki równania charakterystycznego ałki szczególne równania różniczkowego jednor. ałka ogólna równania różniczkowego jednor. Dwa pierwiastki różne r i r Pierwiastek podwójny r = r r y e =, p y e =, r e y = p y e r e + y = e = = ( + ) r p y e 6.3

14 3 Pierwiastki zespolone sprzężone p y e = sin Δ p y e = cos Δ y = ( + sin cos Δ + Δ ) e p 6.7. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzęd drgiego Rozważmy teraz równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzęd drgiego y '' + p( ) + q( ) y = f ( ) Rozwiązanie tego równania zyskje się metodą zmienniania. stałych. Metoda ta dla równania różniczkowego liniowego niejednorodnego polega na zastąpieni stałych i w całce ogólnej równania liniowego jednorodnego y ' ' + p( ) + q( ) y = 0 fnkcjami () i () zmiennej tak dobranymi, aby fnkcja y = () y () + () y (), gdzie y () i y () są całkami szczególnymi liniowo niezależnymi równania liniowego jednorodnego y ' ' + p( ) + q( ) y = 0, była całką ogólną równania liniowego różniczkowego niejednorodnego. Stałe te można wyrazić wzorami y f ( ) = ( ) ( ) y f d + A, ( ) = ( ) ( ) d + B W ( ) W ( ) gdzie W ( ) = y( ) y( ),,. ' = y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) jest wrońskianem zbdowanym z rozwiązań szczególnych równania jednorodnego y ' ' + p( ) + q( ) y = 0 ; aby dało się wyznaczyć i wrońskian ten msi być różny od zera. 6.4

15 Przykład Znaleźć całkę ogólną równania '+y=tg. Rozwiązanie Rozwiązjemy najpierw równanie jednorodne y"+y=0. Ma ono dwie całki szczególne y () = sin, y ()=cos. Jak łatwo policzyć, wrońskian W() rozwiązań szczególnych jest różny od zera (mamy W() = ). Stąd całka ogólna równania jednorodnego ma postać y = ( ) sin ( + ) cos gdzie () i () są fnkcjami nieznanymi. Na podstawie podanych wyżej wzorów łatwo znajdjemy, że y f ( ) = ( ) ( ) d + A = sin d + A = cos + a W ( ), y f ( ) = ( ) ( ) d B tgd B tg π + = sin + = sin ln + + B. W( ) 4 Szkana całka ogólna danego równania różniczkowego niejednorodnego ma postać y = Asin + Bcos cos ln tg + π 4 Metoda przewidywań, podobnie jak dla równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzęd pierwszego, polega na odgadnięci całki szczególnej równania liniowego niejednorodnego. Metodę przewidywań stosjemy wtedy, gdy fnkcje p() i q() są stałe, a fnkcja f() jest fnkcją jednego z typów podanych w tabelce. 6.5

16 Postać prawej Postać przewidywanej Nr strony równania Równanie charakterystyczne całki szczególnej y rów- f() nania niejednorodnego Liczba 0 nie jest pierwiastkiem równania M n () a P n () charakterystycznego (wielomian) b (wielomian) Liczba 0 jest m-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego m M n () a b P n ()e k (k liczba rzeczywista) Liczba k nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego Liczba k jest m-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego M n ()e k m M n ()e k Liczba ± βi nie jest pierwiastkiem rów- M n ()cosβ+ a P n () cos β + nania charakterystycznego + N n ()sinβ 3 b +Q n () sin β Liczba ± βi jest m-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego m M n ()cosβ+ + m N n ()sinβ Liczba α ± βi nie jest pierwiastkiem M n () e α cosβ+ 4 a b P n () e α cos β + równania charakterystycznego +Q n () e α sin β Liczba α ± βi jest m-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego + N n () e α sinβ m M n () e α cosβ+ + m N n () e α sinβ Przykład. Znaleźć całkę ogólną równania y"+9y = e cos 3. Rozwiązanie W równani tym p()=0, q()=9, f()=e cos 3. ałka ogólna równania liniowego jednorodnego y"+9y=0 ma postać y 0 = cos 3 + sin

17 Prawą stronę f() = e cos 3 danego równania możemy napisać w postaci f() = e cos 3 = e ( cos sin 3) w której α =, β = 3, P n () =, Q() = 0, n=0. Ponieważ + 3i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, więc przewidjemy (patrz nr 4 tabelki) całkę szczególną równania liniowego niejednorodnego w postaci Mamy y = e (A 0 cos3 + B 0 sin3). y = e [(A 0 + 3B 0 ) cos 3 + (B 0-3A 0 ) sin 3], y = e [( - 8 A 0 + 6B 0 ) cos 3 - (8B 0 + 6A 0 ) sin 3]. Podstawiając wartości na i y" do danego równania i dzieląc otrzymaną równość stronami przez e mamy (A 0 + 6B 0 ) cos 3 + (B 0 6A 0 ) sin 3 = cos 3 + O sin 3 Przyrównjąc w ostatniej równości współczynniki lewej i prawej strony przy fnkcjach cos 3 i sin 3 otrzymjemy kład dwóch równań z dwoma niewiadomymi A 0 i B 0 A 0 + 6B 0 = Stąd A 0 =/37, B 0 =6/37. B Q -6A 0 = 0 6.7

18 Zatem rozwiązanie szczególne ma postać y = e (cos3 + 6 sin3)/37. ałkę ogólną równania liniowego niejednorodnego otrzymjemy w postaci y = e 6e y + y = cos sin Równanie rch drgającego a) Drgania mechaniczne swobodne. Niech na pnkt materialny o masie m działa siła sprężysta proporcjonalna do odchylenia i skierowana zawsze k pnktowi równowagi O. Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez k (k>0) na podstawie praw mechaniki otrzymjemy d m = k dt k czyli & & + = 0 (m>0) m jako równanie rch drgającego po osi wywołanego przez siłę sprężystą. Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym o stałych współczynnikach. Zmienną niezależną jest czas t, szkaną fnkcją = (t); określa ona położenie ciała drgającego w dowolnej chwili t. Równanie jest postaci y ' ' + m y = 0. ałkę szczególną równania & & k + = 0 m charakterystyczne przewidjemy zatem w postaci = e rt. Piszemy więc równanie r + m k = 0 Oznaczając k / m = ω mamy dwie następjące całki szczególne: = sin ωt = cos t 6.8 ω

19 ałkę ogólną zyskjemy w postaci fnkcji = sin ωt cos ωt + Po wprowadzeni oznaczeń A = +, całka ogólna przybiera postać cos ϕ =, + = Asin t ( ) ω +ϕ sin ϕ = + gdzie A nazywamy amplitdą drgań, φ przesnięciem fazy, ω = k / m plsacją drgania swobodnego, T = π / ω jest okresem drgań, v = / T = ω / π częstością drgań. Z równości = A ( ω t +ϕ) sin, której prawa strona jest fnkcją okresową, widzimy, że rch powodowany siłą - k ma charakter okresowy: b) Drgania mechaniczne tłmione. Załóżmy teraz, że na pnkt materialny o masie m oprócz siły sprężystej - k działa siła opor ośrodka proporcjonalna do prędkości - λd/dt, gdzie λ jest dodatnim współczynnikiem opor. Równanie różniczkowe rch ma postać d m dt d = k λ dt λ k czyli && + & + = 0 m m (m>0) 6.9

20 Równanie charakterystyczne ma pierwiastki r λ = + λ km m m 4 r λ + r + m k m = 0 λ, r = λ 4km m m Z wagi na wartość wyróżnika mamy trzy przypadki: λ 4km > 0, wtedy całka ogólna ma postać 4km = 0 r t e + r t = e r t λ, wtedy całka ogólna ma postać ( ) = t e W ob tych przypadkach rch nie jest okresowy, a ponieważ - jak łatwo sprawdzić - r <0, r <0, więc 0, gdy t. Wnioskjemy stąd, że opory hamjące są dostatecznie dże. + 3 λ 4km < 0, wtedy całka ogólna ma postać = λt / m t t e sin 4km λ + cos 4km λ m m Po wprowadzeni oznaczeń 4km λ = 4m ω, ( ω > 0 ) = Acos ϕ, = Asin ϕ otrzymjemy całkę ogólną w postaci fnkcji = Ae λt / m sin ( ωt + ϕ) Rch jest więc drgający, drgania jego zanikają, gdyż amplitda Ae λt / maleje do zera, gdy t. Plsacją drgań nazywamy wyrażenie k λ ω =. m m m 6.0

21 6.9. Zadania 6.

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)). MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.

lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej. Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową

Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Daniel Pęcak 16 sierpnia 9 1 Wstęp Być może zastanawiałeś się kiedyś drogi czytelniku nad kształtem, jaki kształt przyjmuje zwisający swobodnie łańcuch lub sznur

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo

Bardziej szczegółowo