III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

Transkrypt

1 III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi na pytanie, jak zmieni się globalny przebieg rozwiązań pod wpływem małych zaburzeń warunków początkowych lub prawej strony równania. Rozpoczniemy od ogólnej definicji stabilności w sensie Lapunowa i asymptotycznej stabilności rozwiązania równania różniczkowego postaci (1.1) x = f(t, x) z funkcją f : R n+1 R n klasy C 1. Definicja 1.1. Niech ϕ(t) będzie rozwiązaniem równania (1.1) w przedziale [0, ). Mówimy, że rozwiązanie ϕ(t) jest stabilne w sensie Lapunowa dla t, jeżeli dla każdego ε > 0 istnieją takie t 0 0 oraz takie δ > 0, że każde rozwiązanie ϕ(t) równania (1.1) takie, że spełnia dla wszystkich t > t 0 warunek Jeśli dodatkowo ϕ(t 0 ) ϕ(t 0 ) < δ, ϕ(t) ϕ(t) < ε. lim ϕ(t) ϕ(t) = 0, t + to mówimy, że rozwiązanie ϕ(t) jest asymptotycznie stabilne dla t. Dalej naszą uwagę skoncentrujemy na badaniu stabilności punktów krytycznych (czyli stałych rozwiązań) równań autonomicznych (1.2) x = f(x) z funkcją f : Q R n, Q R n, n 1, klasy C 1 (Q). 1

2 Zauważmy, że z definicji 1.1 wynika w szczególności, że punkt osobliwy x równania (1.2) jest stabilny w sensie Lapunowa (krótko stabilny), jeśli dla każdego otoczenia U punktu x istnieje takie otoczenie W punktu x, że dla każdej trajektorii x(t) równania (1.2) startującej z W spełniony jest warunek x(t) U dla wszystkich t 0. Natomiast punkt osobliwy x będzie asymptotycznie stabilny, jeśli dodatkowo każda taka trajektoria zbiega do x, tzn. jeśli dla każdej trajektorii x(t) równania (1.2) spełniającej x(0) W otrzymujemy lim t x(t) = x. Zbiór punktów p = x(0), dla których rozwiązanie x(t; p) dąży do x przy t, będziemy nazywać obszarem przyciągania przez x. Jeśli zbiór ten jest całą przestrzenią fazową (lub przynajmniej jej wnętrzem), to punkt osobliwy x będziemy nazywać globalnie stabilnym. Rozwiązanie równania różniczkowego, w szczególności jego punkt osobliwy, które nie jest stabilne będziemy nazywać niestabilnym. 2. Klasyfikacja i stabilność punktów osobliwych układów liniowych na płaszczyźnie. Rozważmy jednorodne równanie liniowe (2.1) x = A x [ ] a11 a ze stałą macierzą A = 12, czyli układ postaci a 21 a 22 { x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2. Uwaga 2.1. Niech A będzie dowolną macierzą typu 2 2. (i) Układ x = Ax można sprowadzić do układu w tzw. postaci kanonicznej (2.2) y = J y, gdzie J = K 1 A K jest formą kanoniczną macierzy A dla pewnej niosobliwej macierzy K. Ponadto x = Ky. Istnienie takiego niosobliwego przekształcenia 2

3 K jest zagwarantowane przez tw. Jordana. Kolumny macierzy K zbudowane są z wektorów bazy kanonicznej wyrażonych we współrzędnych x. (ii) Macierz J = K 1 A K może mieć jedną z czterech poniższych postaci [ λ1 0 (1) J = 0 λ 2 [ λ0 0 (3) J = 1 λ 0 ] [ λ0 0, (2) J = 0 λ 0 ] [ α β, (4) J = β α (iii) Portrety fazowe układu x = A x i odpowiadającego mu układu w postaci kanonicznej są topologicznie równoważne. Stąd wystarczy ograniczyć się do analizy układów w postaci kanonicznej. ], ]. Definicja 2.2. Układ (2.1) nazywamy prostym, jeżeli macierz A jest nieosobliwa, tj. deta 0. Rozpoczniemy od przedstawienia portretu fazowego dla prostego układu dwóch równań różniczkowych liniowych. Skoncentrujemy się na badaniu zachowań rozwiązań tego układu w otoczeniu jego punktu osobliwego oraz na analizie stabilności tego punktu. Łatwo zauważyć, że jeśli deta 0, to jedynym punktem krytycznym układu (2.1) jest punkt x = (0, 0). Postać rozwiązania rozważanego układu zależy od pierwiastków równania charakterystycznego macierzy A det (A λ I) = λ 2 (tr A) λ + det A = 0, czyli wartości własnych macierzy A danych wzorami λ 1 = tr A + 2 gdzie = (tr A) 2 4det A. 3, λ 2 = tr A, 2

4 Znajomość wartości własnych macierzy A pozwala wyznaczyć bazę przestrzeni R 2, w której macierz A ma postać kanoniczną. Należy więc rozważyć kilka przypadków. Zakładamy, że deta Przypadek > 0. A ma dwie różne rzeczywiste wartości własne λ 1, λ 2, a odpowiadające im wektory własne są liniowe niezależne [ i tworzą ] kanoniczną bazę przestrzeni R 2 λ1 0. Macierz J ma postać J =, więc równanie (2.1) sprowadza 0 λ 2 się do układu { y 1 = λ 1 y 1, y 2 = λ 2 y 2, którego rozwiązania dane są wzorami (2.3) y 1 (t) = c 1 e λ 1 t, y 2 (t) = c 2 e λ 2 t, gdzie stałe c 1 i c 2 zależą od warunków początkowych, tj. c 1 = y 1 (0) = y 0 1 i c 2 = y 2 (0) = y 0 2. Dla c 1 = 0 lub c 2 = 0 orbitami są półosie układu współrzędnych. Proste przekształcenie wzorów (2.3) prowadzi do równania orbit w przestrzeni fazowej M = R 2 λ 2 λ y 2 = C y 1 1, gdzie C jest stałą. Stąd obraz orbit w otoczeniu punktu krytycznego x = (0, 0) zależy w sposób istotny od znaku wartości własnych λ 1 i λ 2, ponadto orientacja tych orbit (symbolizująca kierunek wzrostu zmiennej t w rozwiązaniach zawartych w tych orbitach) jest związana z warunkami początkowymi. 4

5 Rozpatrzmy dokładnie poszczególne sytuacje λ 2 < λ 1 < 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem stabilnym. Punkt ten jest asymptotycznie stabilny, przy czym jest to globalna stabilność tj. wszystkie rozwiązania dążą do x = (0, 0) przy t λ 1 < λ 2 < 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem stabilnym. Punkt ten jest asymptotycznie stabilny λ 2 > λ 1 > 0. Kształt orbit taki sam jak w 1.1, przy czym ewolucja na orbitach odbywa się w przeciwnym kierunku. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem niestabilnym λ 1 > λ 2 > 0. Kształt orbit taki sam jak w 1.2, przy czym ewolucja na orbitach odbywa się w przeciwnym kierunku. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem niestabilnym λ 1 < 0 < λ 2. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy siodłem. Siodło jest punktem krytycznym niestabilnym λ 2 < 0 < λ 1. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy siodłem. Siodło jest punktem krytycznym niestabilnym. 5

6 PODSUMOWANIE: Jeżeli różne rzeczywiste wartości własne macierzy A są: ujemne, to punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem stabilnym, dodatnie, to punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem niestabilnym, przeciwnych znaków, to punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy siodłem. Węzły stabilne są asymptotycznie stabilne, zaś węzły niestabilne i siodła są niestabilnymi punktami osobliwymi. 2. Przypadek = 0. A ma podwójny rzeczywisty pierwiastek charakterystyczny λ 0, któremu może odpowiadać jeden lub dwa liniowe niezależne wektory własne. Jeżeli wartości własnej λ 0 odpowiadają dwa liniowo niezależne wektory własne, [ to postać ] kanoniczna macierzy A, tj. macierz J ma postać λ0 0 J =, więc równanie (2.1) sprowadza się do układu 0 λ 0 { y 1 = λ 0 y 1, y 2 = λ 0 y 2, którego rozwiązania dane są wzorami y 1 (t) = c 1 e λ 0 t, y 2 (t) = c 2 e λ 0 t, gdzie stałe c 1 i c 2 zależą od warunków początkowych, tj. c 1 = y 1 (0) = y 0 1 i c 2 = y 2 (0) = y 0 2. Stąd równanie orbit w przestrzeni fazowej ma postać y 2 = c 2 c 1 y 1. Dla c 1 = 0 orbitami są półosie osi 0y 2. 6

7 Rozpatrzmy dwie sytuacje λ 0 > 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem gwiaździstym niestabilnym λ 0 < 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem gwiaździstym stabilnym. Punkt ten jest asymptotycznie stabilny. Jeżeli wartości własnej λ 0 odpowiada jeden liniowo niezależny wektor własny, [ to postać ] kanoniczna macierzy A, tj. macierz J ma postać λ0 0 J =, więc równanie (2.1) sprowadza się do układu 1 λ 0 { y 1 = λ 0 y 1, y 2 = y 1 + λ 0 y 2, którego rozwiązania dane są wzorami y 1 (t) = c 1 e λ 0 t, y 2 (t) = (c 2 + c 1 t) e λ 0 t, gdzie stałe c 1 i c 2 zależą od warunków początkowych, tj. c 1 = y 1 (0) = y 0 1 i c 2 = y 2 (0) = y 0 2. W celu narysowania portretu fazowego warto rozważyć izoklinę o równaniu y 2 = 0, czyli prostą y 1 + λ 0 y 2 = 0. Rozpatrzmy kolejne dwie sytuacje λ 0 > 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem zdegenerowanym niestabilnym. 7

8 2.4. λ 0 < 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy węzłem zdegenerowanym stabilnym. Punkt ten jest asymptotycznie stabilny. 3. Przypadek < 0. A ma dwie sprzężone zespolone wartości własne λ 1 = α + iβ oraz λ 2 = [ α iβ. Postać ] kanoniczna macierzy A, tj. macierz J ma postać α β J =, β > 0, więc równanie (2.1) sprowadza się do układu β α (2.4) { y 1 = α y 1 β y 2, y 2 = β y 1 + α y 2, którego rozwiązania dane są wzorami y 1 (t) = e α t (c 1 cos β t + c 2 sin β t), y 2 (t) = e α t (c 1 sin β t c 2 cos β t), gdzie stałe c 1 i c 2 zależą od warunków początkowych, tj. c 1 = y 1 (0) = y 0 1 i c 2 = y 2 (0) = y 0 2. W celu łatwiejszego wyznaczenia portretu fazowego można układ (2.4) sprowadzić do układu we współrzędnych biegunowych. Mamy a stąd y 1 = r cos θ, y 2 = r sin θ, y 1 = r cos θ r θ sin θ = α r cos θ β r sin θ, y 2 = r sin θ + r θ cos θ = β r cos θ + α r sin θ. Mnożąc obustronnie pierwsze równanie przez cos θ, zaś drugie przez sin θ, następnie dodając i odejmując stronami, otrzymujemy ostatecznie układ { r = α r, θ = β, którego rozwiązaniami są funkcje r(t) = r 0 e α t, θ(t) = θ 0 + β t. 8

9 Rozpatrzmy trzy sytuacje α < 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy ogniskiem stabilnym. Punkt ten jest asymptotycznie stabilny. Orbity są spiralami zwijającymi się do punktu x = (0, 0) α > 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy ogniskiem niestabilnym. Orbity są spiralami odwijającymi się od punktu x = (0, 0) α = 0. Punkt krytyczny x = (0, 0) nazywamy środkiem. Punkt ten jest stabilnym, ale nie asymptotycznie stabilnym punktem stałym. Orbity są koncentrycznymi okręgami wokół punktu x = (0, 0). Przejdziemy teraz do badania portretów fazowych układów postaci (2.1) w przypadku, gdy det A = 0, czyli układów, które nie są proste. Jeżeli det A = 0, to przynajmniej jedna z wartości własnych macierzy A jest zerem. W ogólności możliwe są dwa przypadki: (i) rz A = 0 - macierz A jest zerowa i każdy punkt płaszczyzny jest punktem krytycznym układu (2.1), (ii) rz A = 1 - istnieje cała prosta (przechodząca przez punkt (0, 0)) złożona z punktów krytycznych. Wobec trywialności sytuacji (i) rozważymy przypadek (ii). Zatem niech rz A = Przypadek > 0. A ma dwie wartości własne λ 1 0 i λ 2 = 0. Wtedy postać kanoniczna macierzy A, tj. macierz J ma postać 9

10 [ λ1 0 J = 0 0 ], więc równanie (2.1) sprowadza się do układu { y 1 = λ 0 y 1, y 2 = 0, którego rozwiązania dane są wzorami y 1 (t) = c 1 e λ 1 t, y 2 (t) = c 2, gdzie stałe c 1 i c 2 zależą od warunków początkowych, tj. c 1 = y 1 (0) = y 0 1 i c 2 = y 2 (0) = y 0 2. Punktami krytycznymi są wszystkie punkty leżące na osi 0y 2, zaś orbitami proste y 2 = C. Rozpatrzmy dwie sytuacje λ 1 < 0. Wszystkie punkty krytyczne są stabilne, ale nie są asymptotycznie stabilne λ 1 > 0. Wszystkie punkty krytyczne są niestabilne. 5. Przypadek = 0. A ma podwójną wartość własną λ 0 macierzy [ A, tj. macierz J ma postać 0 0 J = 1 0 = 0. Wtedy postać kanoniczna ], więc równanie (2.1) sprowadza się do układu { y 1 = 0, y 2 = y 1, którego rozwiązania dane są wzorami y 1 (t) = c 1, y 2 (t) = c 1 t + c 2, gdzie stałe c 1 i c 2 zależą od warunków początkowych, tj. c 1 = y 1 (0) = y 0 1 i c 2 = y 2 (0) = y

11 Punktami krytycznymi są wszystkie punkty leżące na osi 0y 2, zaś orbitami proste y 1 = C. Przedstawiliśmy lokalne portrety fazowe równania (2.1) w otoczeniu punktu krytycznego x = (0, 0) w układzie współrzędnych odpowiadającym bazie kanonicznej macierzy A, tj. w zmiennych y 1, y 2. W celu narysowania portretu fazowego naszego układu w zmiennych wyjściowych x 1, x 2 wystarczy poprzez przekształecenie K przeprowadzić bazę kanoniczną na bazę przestrzeni wyjściowej. Przykład. Narysujemy portret fazowy układu { x 1 = x 1 + x 2, x 2 = 2x 1, Określimy typ i stabilność punktu osobliwego tego układu. Na zakończenie wróćmy do topologicznej równoważności układów liniowych. Rozważmy równanie w przestrzeni R n x = A x z macierzą A wymiaru n n o stałych współczynnikach. Niech (R n, e t A ) będzie potokiem generowanym przez to równanie. Definicja 2.3. Mówimy, że potok (R n, e t A ) jest hiperboliczny, jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A mają niezerowe części rzeczywiste. O punkcie krytycznym x = 0 mówimy wtedy, że jest hiperbolicznym punktem stałym, zaś sam układ x = Ax nazywamy układem hiperbolicznym. 11

12 Twierdzenie 2.4. Dwa hiperboliczne potoki (M, e t A 1 ) i (M, et A 2 ) są topologicznie równoważne, jeżeli macierze A 1 i A 2 mają taką samą ilość wartości własnych z dodatnią częścią rzeczywistą oraz taką samą ilość wartości własnych z ujemną częścią rzeczywistą. W myśl twierdzenia 2.4 punkty krytyczne prostych układów liniowych o stałych współczynnikach na płaszczyźnie rozpadają się na cztery nierównoważne topologicznie klasy: punkty krytyczne niestabilne (węzły i ogniska niestabilne), siodła, punkty krytyczne stabilne (węzły i ogniska stabilne), punkty odpowiadające potokom niehiperbolicznym (środki). 12