Wstęp do równań różniczkowych

Transkrypt

1 Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa, Ombach Jerzy, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo- Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków Palczewski Andrzej, Równania różniczkowe zwyczajne, teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego sytemu obliczeń symbolicznych, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2004.

2 Szkic 1 Wprowadzenie Przykład 1 - równania Newtona Przykład 2 - przyrost kapitału 2 Podstawowe pojęcia Równanie w postaci uwikłanej i jawnej; rząd równania Problem Cauchy ego 3 Sprowadzanie równania rzędu n do równania rzędu I 3 Równania skalarne rzędu I Interpretacja geometryczna Rozwiązanie ogólne Równanie o zmiennych rozdzielonych Problem Dane: pole sił zewnętrznych F : R 3 R 3, F = (F 1, F 2, F 3 ). Szukane: : funkcja wektorowa x : R R 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), opisująca ruch punktu materialnego w przestrzeni pod działaniem pola sił zewnętrznych F.

3 Przypomnienie prędkość chwilowa: pochodna funkcji położenia (drogi) względem czasu v = ẋ : R R 3 przyspieszenie chwilowe: pochodna prędkości po czasie a = v : R R 3 Prawo Newtona = równania Newtona masa przyspieszenie = siła mẍ(t) = F (t, x(t), ẋ(t)), t R. Równanie różniczkowe (wektorowe) rzędu drugiego We współrzędnych układ 3 3 równań różniczkowych (skalarnych) rzędu drugiego: mẍ 1 (t) = F 1 (t, x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)), mẍ 2 (t) = F 2 (t, x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)), mẍ 1 (t) = F 1 (t, x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)).

4 Obniżanie rzędu równania Nowa niewiadoma (wektorowa) v(t) = ẋ(t) = równania pierwszego rzędu ẋ(t) = v(t), v(t) = 1 F (t, x(t), v(t)). m Obniżanie rzędu równania c.d. We współrzędnych układ 6 6 równań różniczkowych skalarnych x 1 (t) = v 1 (t), x 2 (t) = v 2 (t), x 3 (t) = v 3 (t), v 1 (t) = 1 m F 1(t, x 1 (t), x 2 (t), x 2 (t), v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)), v 2 (t) = 1 m F 2(t, x 1 (t), x 2 (t), x 2 (t), v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)), v 3 (t) = 1 m F 3(t, x 1 (t), x 2 (t), x 2 (t), v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)).

5 Przykład: prosty model spadającego ciała F (x) = mg mẍ 1 = 0, mẍ 2 = 0, mẍ 3 = mg. Rozwiązanie Dwukrotne całkowanie równania (1) = x 1 (t) = C 1 + C 2 t, Dwukrotne całkowanie równania (2) = x 2 (t) = C 3 + C 4 t, Dwukrotne całkowanie równania (3) = x 3 (t) = mg t2 2 + C 5t + C 6, Wniosek: bez dodatkowych warunków istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania (układu) różniczkowego.

6 Warunki początkowe Przypuśćmy, że znamy położenie początkowe x 1 (0) = x 0 1, x 2 (0) = x 0 2, x 3 (0) = x 0 3 i prędkości początkowe Wówczas i tak dalej. Ostatecznie ẋ 1 (0) = v 0 1, ẋ 2 (0) = v 0 2, ẋ 3 (0) = v 0 3. C 1 = x 0 1, C 2 = v 0 1 x(t) = x 0 + v 0 t m g t 2. Wniosek: ruch punktu (w przyszłości i przeszłości) jest jednoznacznie określony przez zadanie położenia i prędkości początkowej. Bardziej realistyczny model spadającego ciała F (x) = γmm x, γ, M > 0, x 3 mẍ 1 = mẍ 2 = γmmx 1 (x1 2 + x x 3 2, )3/2 γmmx 2 (x1 2 + x x 3 2, )3/2 γmmx 3 mẍ 3 = (x1 2 + x x 3 2)3/2

7 Przyrost kapitału Problem. Do banku wkładamy w chwili t 0 pewien kapitał początkowy N 0. Bank oferuje nam zmienne w czasie oprocentowanie k(t). Jaka bedzie wartość wkładu w chwili t? Model dyskretny. Jeśli okres kapitalizacji wynosi h, to: N(t + h) = N(t) + h k(t)n(t). Model ciągły (nieustanna kapitalizacja czyli h 0). N(t + h) N(t) h Przechodząc z h 0 otrzymujemy { dn dt = k N N(t 0 ) = N 0 = k(t)n(t) Typowe problemy Czy rozwiązanie istnieje? Jeżeli istnieje, to czy jest jedyne? Jaki jest wzór na rozwiązanie? Jaki jest wpływ danych na rozwiązanie? Jakie są własności rozwiązania (również w przypadku braku dokładnego wzoru)? Czy potrafimy podać przybliżone wartości rozwiązania?

8 Zakładamy, że funkcja jest funkcją ciągłą Równanie różniczkowe zwyczajne F : [t 0, t 0 + α] {}}{ R d... R d R k Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie postaci: F (t, x(t), x (t),..., x (n) (t)) = 0, rozwiązaniem równania jest funkcja x : [t 0, t 0 + α] R d, która wstawiona do równania zamienia go w tożsamość na zadanym przedziale. Komentarz: w definicji zawarta jest regularność rozwiązania oraz warunki wynikające z dziedziny F. Postać jawna równania Jeśli k = d oraz F mozna rozwikłać względem ostatniego argumentu to równanie ma postać x (n) = f (t, x(t), x (t),..., x (n 1) (t)), (1) gdzie f : [t 0, t 0 + α] R d... R d R d W dalszym ciągu rozważamy jedynie równania w postaci jawnej. Uwaga: dla d = 1 równanie skalarne, dla d > 1 rozważane równanie rozpisane we współrzędnych, to układ d d równań skalarnych.

9 Warunki początkowe na ogół istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania różniczkowego. Warunkiem koniecznym jednoznaczności rozwiązania równania jest zadanie dodatkowych warunków. Najczęściej (ale nie zawsze) są to tzw. warunki początkowe: x(t 0 ) = x 0 x (t 0 ) = x 1 x (n 1) (t 0 ) = x n 1 (2) Definicja Równanie 1 wraz z warunkami początkowymi 2 nazywamy problemem Cauchy ego (lub problemem początkowym). Twierdzenie Dowolne równanie rzędu n można sprowadzić do równania rzędu pierwszego. DOWÓD. Oznaczmy:. x 1 (t) = x(t) x 2 (t) = x (t) x n (t) = x (n 1) (t) x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) R d n

10 Wówczas x 1(t) = x (t) = x 2 (t) x 2(t) = x (t) = x 3 (t) x n 1(t) = x (n 1) (t) = x n (t) x n(t) = x (n) (t) = f (t, x 1 (t),..., x n (t)) = f (t, x(t)). Stąd otrzymujemy równanie x (t) = f (t, x(t)), (3) gdzie f : [t 0, t 0 + α] R d n R d n, f i (t, x) = x i+1 dla i = 1,..., n 1 oraz f n (t, x) = f (t, x). Natomiast warunek przyjmuje postać x(t 0 ) = (x 1 (t 0 ),..., x n (t 0 )) = (x(t 0 ), x (t 0 ),..., x (n 1) (t 0 )) = (x 0,..., x n 1 (4) Jeśli teraz rozwiążemy równanie 3 z powyzszym warunkiem początkowym, to y(t) = x 1 (t) jest rozwiązaniem równania 1 z warunkiem początkowym 2.

11 Interpretacja geometryczna dla d = 1 Jednoparametrowa rodzina krzywych Rozważamy uwikłane równanie krzywych zależnych od parametru c: F (x, y(x), c) = 0, (5) Przykład Równanie y = cx określa rodzinę prostych ze współczynnikiem kierunkowym c, przechodzacych przez 0. x 2 + y 2 = c 2 rodzina okregów o promieniu c o środku w poczatku układu.

12 Obserwacja: dla jednoparametrowej rodziny funkcji istnieje równanie różniczkowe, dla którego każdy element tej rodziny jest rozwiązaniem szczególnym tego równania. różniczkujemy równanie5 ze względu na x. (zakładamy, że F y 0) F x + F y y = 0, Otrzymujemy układ dwóch równań, z których eliminujemy c. Przykład Dana rodzina: Po zróżniczkowaniu: x 2 + y 2 = c 2 2x + 2yy = 0. Tu eliminacja c jest trywialna i otrzymujemy równanie: y = x y. którego rozwiązaniami (w postaci uwikłanej) są funkcje danej rodziny.

13 Rozwiązanie ogólne i osobliwe Można również pokazać, że dla każdego równania różniczkowego I rzędu istnieje rodzina jednoparametrowa rozwiązań szczególnych tego równania, dana w postaci uwikłanj F (x, y(x); c) = 0. jest to tzw. rozwiązanie ogólne równania. UWAGA Dla pewnych równań mogą istnieć rozwiązania nie będące elementem rozwiązania ogólnego. Nazywamy je rozwiązaniami osobliwymi. Definicja Równanie postaci Równanie o zmiennych rozdzielonych x (t) = h(t)g(x(t)), (6) gdzie h : K R, g : L R są funkcjami ciągłymi na pewnych odcinkach K i L nazywamy równaniem o rozdzielonych zmiennych. Twierdzenie Niech g(x) 0 dla x L. Oznaczmy przez H oraz G funkcje pierwotne odpowiednio funkcji h oraz 1 Niech u : K L będzie g funkcją różniczkowalną. Wówczas u jest rozwiązaniem równania 6 wtedy i tylko wtedy gdy: C R : G(u(t)) = H(t) + C.

14 Dowód Warunek konieczny (= ) u (t) = h(t)g(u(t)) dla t K u (t) g(u(t)) = h(t) G (u(t))u (t) = H (t) (G u) (t) = H (t) G(u(t)) = H(t) + C Warunek dostateczny ( =). Wystarczy zróżniczkować. Uwaga Ponieważ G (x) = 1 g(x) 0, więc G jest odwracalna, stąd u(t) = G 1 (H(t) + C).

15 Przykład: y = xy 2 dy dx = xy 2 y 2 dy = x dx, dla y 0 y 2 dy = x dx + c y 1 = x2 2 + c 1 y = x 2 /2 + c Uwaga Rozważając przypadek y = 0 otrzymujemy rozwiązanie osobliwe y(x) 0.