4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne

Transkrypt

1 Równania w postaci Leibniza Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi na obszarze D R 2. Wyrażenie (RL) P (x, y) + Q(x, y) = 0. nazywamy równaniem różniczkowym w postaci Leibniza 1. Punkt (x 0, y 0 ) D jest punktem regularnym (dla równania (RL)) g P (x 0, y 0 ) + Q(x 0, y 0 ) 0. W przeciwnym przypadku punkt nazywamy punktem osobliwym. Niech (x 0, y 0 ) D będzie punktem regularnym dla równania (RL). Wówczas Q(x 0, y 0 ) 0 lub P (x 0, y 0 ) 0. W pierwszym przypadku istnieje otoczenie U D punktu (x 0, y 0 ) takie, że dla każdego (x, y) U zachodzi Q(x, y) 0. Na takim U można równanie (RL) zapisać formalnie jako = P (x, y) Q(x, y). W drugim przypadku istnieje otoczenie U D punktu (x 0, y 0 ) takie, że dla każdego (x, y) U zachodzi P (x, y) 0. Na takim U można równanie (RL) zapisać formalnie jako = Q(x, y) P (x, y). Odtąd zakładamy, że wszystkie punkty obszaru D są regularne. Przez krzywą regularną klasy C 1 będziemy rozumieli odwzorowanie γ = (ξ, η): I D takie, że dla każdego s I zachodzi ξ (s) + η (s) > 0. Definicja. Krzywą regularną γ : I D klasy C 1 nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (RL) w postaci parametrycznej, g dla każdego s I zachodzi (4.1) P (ξ(s), η(s)) dξ (s) + Q(ξ(s), η(s))dη (s) = 0. ds ds 1 (RL) traktujemy jako formalny zapis, nie zastanawiając się za bardzo nad jego znaczeniem. W rzeczywistości, można mu nadać sens w teorii form różniczkowych (przystępnym wprowadzeniem do tej teorii jest książka M. Spivaka Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 1977).

2 4 2 Skompilował Janusz Mierczyński Aby uzasadnić nazwę rozwiązanie, załóżmy, że s 0 I jest takie, że Q(ξ(s 0 ), η(s 0 )) 0. Oznaczmy (x 0, y 0 ) := (ξ(s 0 ), η(s 0 )). Zachodzi dη (s ds 0) dξ (s ds 0) = P (x 0, y 0 ) Q(x 0, y 0 ). Istnieje więc δ > 0 takie, że funkcja [ (s 0 δ, s 0 + δ) s ξ(s) ] jest różnowartościowa, i funkcja do niej odwrotna (oznaczmy ją przez s(ξ)) jest klasy C 1. Dalej, istnieją x 1 < x 0 < x 2 takie, że funkcja złożona ξ η(s(ξ)) jest dobrze określona na (x 1, x 2 ) 2, oraz dη dη dξ (ξ) = (s(ξ)) ds (ξ, η(s(ξ)) = P (s(ξ)) Q(ξ, η(s(ξ)) dξ ds dla ξ (x 1, x 2 ). Powyższa funkcja złożona jest zatem rozwiązaniem równania różniczkowego = P (x, y) Q(x, y). W szczególności, zbiór { γ(s) : s (s 0 δ, s 0 + δ) } jest krzywą całkową powyższego równania. W przypadku, g P (ξ(s 0 ), η(s 0 )) 0, w analogiczny sposób konstruujemy funkcję złożoną η ξ(s(η)) będącą rozwiązaniem równania różniczkowego = Q(x, y) P (x, y). Zauważmy jeszcze, że bezpośrednio ze wzoru (4.1) wynika, że krzywa regularna γ klasy C 1 jest rozwiązaniem równania (RL) w postaci parametrycznej wte i tylko wte, g dla każdego s I wektor styczny (ξ (s), η (s)) jest prostopadły do wektora (P (ξ(s), η(s)), Q(ξ(s), η(s))). Krzywe regularne γ 1 : I 1 D, γ 2 : I 2 D klasy C 1 możemy nazwać równoważnymi, g istnieje odwzorowanie I 1 s 1 σ(s 1 ) I 2, różnowartościowe i na, takie że σ (s 1 ) > 0 dla każdego s 1 I 1 oraz γ 1 = γ 2 σ. Wówczas krzywa regularna klasy C 1 to klasa równoważności takich odwzorowań, zaś krzywe regularne klasy C 1 w naszym rozumieniu to parametryzacje. Zauważmy, że można mówić o rozwiązaniu równania (RL) w postaci parametrycznej w takim sensie. Zachodzi następujący prosty 2 Z geometrycznego punktu widzenia, rozumowanie to stwierdza, że w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) obraz krzywej γ jest wykresem funkcji o zmiennej niezależnej x i zmiennej zależnej y.

3 Równania w postaci Leibniza 4 3 Fakt 4.1. Załóżmy, że µ: D R jest funkcją ciągłą nigdzie nie przyjmującą wartości zero. Wówczas równania różniczkowe w postaci Leibniza i P (x, y) + Q(x, y) = 0 µ(x, y)p (x, y) + µ(x, y)q(x, y) = 0 są równoważne w następującym sensie: jeśli krzywa regularna γ klasy C 1 jest rozwiązaniem w postaci parametrycznej jednego z tych równań, to jest też rozwiązaniem drugiego. Definicja. Funkcję Φ: D R klasy C 1 nazywamy całką równania (RL), g (i) grad Φ(x, y) 0 dla każdego (x, y) D, gdzie grad Φ oznacza gradient funkcji Φ, (ii) P (x, y)φ y (x, y) Q(x, y)φ x (x, y) = 0 (x, y) D. Zauważmy, że warunek (ii) oznacza, że w każm punkcie (x, y) D wektory grad Φ(x, y) i (P (x, y), Q(x, y)) mają ten sam kierunek. Jeśli Φ jest całką równania (RL), to dla ustalonego C ze zbioru wartości funkcji Φ wyrażenie Φ(x, y) = C można traktować jako rozwiązanie równania (RL) w postaci uwikłanej. Istotnie, niech (x 0, y 0 ) D będzie takie, że Φ(x 0, y 0 ) = C oraz Φ y (x, y) 0. Z twierdzenia o funkcji uwikłanej wynika, że istnieją (a) otoczenie U D punktu (x 0, y 0 ), oraz (b) funkcja ϕ: (x 0 δ, x 0 + δ) R (δ > 0), ϕ(x 0 ) = y 0, klasy C 1 takie, że zbiór { (x, y) U : Φ(x, y) = C } jest równy wykresowi funkcji ϕ, oraz dϕ (x) = Φ x(x, ϕ(x)) x (x 0 δ, x 0 + δ). Φ y (x, ϕ(x)) Z definicji Φ i z faktu, że wszystkie punkty w obszarze D są regularne, wynika, że Q(x, y) 0 dla wszystkich (x, y) U oraz, że dϕ (x, ϕ(x)) (x) = P Q(x, ϕ(x)) x (x 0 η, x 0 + η).

4 4 4 Skompilował Janusz Mierczyński Zatem w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) zbiór { (x, y) D : Φ(x, y) = C } (zbiór taki nazywamy poziomicą funkcji Φ odpowiadającą wartości C) jest krzywą całkową równania = P (x, y) Q(x, y). Analogicznie dowodzi się, że w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) D takiego, że Φ(x 0, y 0 ) = C oraz Φ x (x, y) 0 poziomica funkcji Φ jest krzywą całkową równania = Q(x, y) P (x, y). Skoro niezerowe wektory grad Φ(x, y) i (P (x, y), Q(x, y)) są liniowo zależne, poziomica całki jest w każm punkcie (x, y) D prostopadła do wektora (P (x, y), Q(x, y)). Zachodzi następujący związek między rozwiązaniami równania (RL) w postaci parametrycznej a całkami takiego równania: Fakt 4.2. Niech Φ: D J będzie całką równania (RL), i niech γ : I D będzie rozwiązaniem równania (RL) w postaci parametrycznej. Wówczas obraz funkcji γ jest zawarty w poziomicy funkcji Φ. Dowód. Oznaczmy, dla (x, y) D, przez κ(x, y) niezerowy skalar taki, że grad Φ(x, y) = κ(x, y)(p (x, y), Q(x, y)). Zachodzi d ds (Φ(γ(s)) = Φ x(ξ(s), η(s))ξ (s) + Φ y (ξ(s), η(s))η (s) = = κ(ξ(s), η(s))(p (ξ(s), η(s))ξ (s) + Q(ξ(s), η(s))η (s)) = 0 dla każdego s I. Fakt 4.1 ma następujący odpowiednik: Fakt 4.3. Załóżmy, że µ: D R jest funkcją ciągłą nigdzie nie przyjmującą wartości zero. Wówczas funkcja Φ: D R jest całką równania różniczkowego P (x, y) + Q(x, y) = 0 wte i tylko wte, g jest całką równania różniczkowego µ(x, y)p (x, y) + µ(x, y)q(x, y) = 0.

5 Równania w postaci Leibniza 4 5 W naturalny sposób nasuwa się zagadnienie istnienia całki równania różniczkowego (RL). Otóż, przy założeniu, że funkcje P i Q są klasy C 1, całka równania istnieje lokalnie: Dla każdego (x 0, y 0 ) D można znaleźć otoczenie U D punktu (x 0, y 0 ) i funkcję Φ: U R klasy C 1 będącą całką równania (RL) obciętego do U 3. Niestety, całka równania (RL) nie musi istnieć globalnie. Na przykład, na obszarze D := R 2 \ {(0, 0)} nie istnieje całka równania y x = 0. Całka równania (RL) (o ile istnieje) nie jest wyznaczona jednoznacznie. Zachodzi następujący fakt. Fakt 4.4. Niech Φ: D J będzie całką równania (RL), i niech f : J R będzie funkcją klasy C 1 o pochodnej wszędzie różnej od zera. Wówczas funkcja złożona f Φ jest całką równania (RL). 4.2 Równania różniczkowe zupełne. Czynniki całkujące Równanie (RL) nazywamy zupełnym, jeśli istnieje funkcja F : D R klasy C 1 taka, że F x = P, F y = Q w D. Funkcję F nazywamy wówczas funkcją pierwotną (lub potencjałem) równania (RL). Zachodzi następujący oczywisty Fakt 4.5. Funkcja pierwotna równania (RL) jest całką tego równania. Zauważmy, że równanie różniczkowe (RL) jest zupełne (z funkcją pierwotną F ) wte i tylko wte, g pole wektorowe (P, Q): D R 2 jest polem potencjalnym (z potencjałem F ). Zatem poniższe wyniki są przeformułowaniami odpowiednich wyników z rachunku różniczkowego dwu zmiennych. Twierdzenie 4.6. Niech P, Q: D R będą funkcjami klasy C 1. Wówczas (a) Jeśli równanie różniczkowe (RL) jest zupełne, to (4.2) P y Q x na D. 3 Wynika to, na przykład, z twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola wektorowego.

6 4 6 Skompilował Janusz Mierczyński (b) Jeśli D jest obszarem jednospójnym i zachodzi (4.2), to (RL) jest równaniem zupełnym, z funkcja pierwotną daną wzorem = F (x, y) = (x,y) (x 0,y 0 ) P (ξ, η) dξ + Q(ξ, η) dη, (całka krzywoliniowa zorientowana) gdzie (x 0, y 0 ) jest ustalonym punktem w D. Wniosek. Niech P, Q: D R będą funkcjami klasy C 1, gdzie D jest wnętrzem prostokąta. Jeśli spełniony jest (4.2), to równanie różniczkowe (RL) jest zupełne, z funkcja pierwotną daną wzorem F (x, y) = x x 0 P (ξ, y 0 ) dξ + gdzie (x 0, y 0 ) jest ustalonym punktem w D. Przykład. Równanie różniczkowe y y 0 P (x) + Q(y) = 0, Q(x, η) dη, gdzie P : (a, b) R i Q: (c, d) R są ciągłe, jest równaniem zupełnym (zauważmy, że jest to dobrze znane równanie o rozdzielonych zmiennych). Naturalnym wyborem obszaru D jest (a, b) (c, d). Funkcję pierwotną F możemy zdefiniować jako F (x, y) = x x 0 P (ξ) dξ + gdzie x 0 (a, b) i y 0 (c, d) są ustalone. y y 0 Q(η) dη. Definicja. Funkcję µ: D (0, ) klasy C 1 nazywamy czynnikiem całkującym dla równania (RL), g równanie różniczkowe (4.3) µ(x, y)p (x, y) + µ(x, y)q(x, y) = 0 jest równaniem zupełnym. Zauważmy najpierw, że istnienie czynnika całkującego dla równania (RL) jest równoważne istnieniu całki tego równania. Istotnie, jeśli istnieje czynnik całkujący µ, to istnieje funkcja pierwotna F dla równania (4.3). Z Faktu 4.5

7 Równania w postaci Leibniza 4 7 wynika, że F jest całką równania (4.3), co pociąga za sobą, poprzez Fakt 4.3, że F jest całką wyjściowego równania. Z drugiej strony, niech Φ będzie całką równania (RL), co jest równoważne temu, że w każm punkcie (x, y) D niezerowe wektory (P (x, y), Q(x, y)) i grad Φ(x, y) są liniowo zależne. Wystarczy teraz wziąć µ(x, y) = Φ x (x, y)/p (x, y) (lub µ(x, y) = Φ y (x, y)/q(x, y)). Twierdzenie 4.7. Niech P i Q będą funkcjami klasy C 1 na obszarze jednospójnym D. Wówczas istnieje czynnik całkujący dla równania (RL). Dowód powyższego twierdzenia pomijamy wymaga on znajomości bądź teorii równań różniczkowych cząstkowych, bądź teorii form różniczkowych. Rozważymy dalej pewien przypadek szczególny. Przykład. Załóżmy, że równanie różniczkowe (RL), gdzie P i Q są klasy C 1 oraz Q(x, y) 0 na obszarze jednospójnym D, ma czynnik całkujący klasy C 1 zależny tylko od x. Zachodzi wówczas czyli co daje (µ(x)p (x, y)) = (µ(x)q(x, y)) y x µ P y = µ Q x + dµ Q, dµ µ = P y Q x Lewa strona jest zależna tylko od x, zatem prawa też musi być zależna tylko od x. Na odwrót, g prawa strona powyższego wyrażenia jest zależna tylko od x (oznaczmy ją przez p(x)), to Q ( x ) µ(x) = exp p(ξ) dξ, x 0 gdzie x 0 jest ustalonym punktem, jest czynnikiem całkującym dla równania (RL). Otrzymaliśmy więc następujące kryterium. Fakt 4.8. Jeśli P i Q są klasy C 1 oraz Q(x, y) 0 na obszarze jednospójnym D, to równanie różniczkowe (RL) ma czynnik całkujący zależny tylko od x wte i tylko wte, g P y (x, y) Q x (x, y) Q(x, y) nie zależy od y.

8 4 8 Skompilował Janusz Mierczyński Przykład. Rozważmy równanie różniczkowe liniowe w postaci Leibniza (a(x)y h(x)) + = 0 na D = (a, b) R. Otrzymujemy wte co daje czynnik całkujący µ (x) = a(x) 0 1 = a(x), µ(x) = exp A(x), gdzie A( ) jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji a( ). Widzimy więc, że terminologia zgadza się z terminologią z wykładu 1.