Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Transkrypt

1 Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie rozwiązać zadania zamieszczone w dodatkowych zestawach. Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem danego pojęcia. Przykładowe zadania - Teoria : 1. Opisz postać trygonometryczną liczby zespolonej. Przedstaw liczby z 1 = 3 i oraz z 2 = 3 + i w postaci trygonometrycznej. 2. Wyznacz wartości 4 1 korzystając z ich interpretacji geometrycznej. 3. Pierwiastkiem zespolonym trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych jest 3 4i. Wyznacz drugi pierwiastek. 4. Zaznacz na płaszczyźnie C zbiór liczb zespolonych, których argument główny jest równy π, a moduł jest większy od Zaznacz na płaszczyźnie C zbiór liczb zespolonych, który część rzeczywista i urojona jest taka sama. 6. Zaznacz na płaszczyźnie C zbiór liczb zespolonych, takich że Im(z 2 ) < Wiadomo, że w zbiorze liczb zespolonych jednym z pierwiastków trzeciego stopnia z liczby 8 jest Nie wykorzystując wzoru de Moivre a wyznacz pozostałe pierwiastki. 8. Jaką macierz nazywamy trójkątną? Napisz przykład macierzy trójkątnej o wyznaczniku niezerowym. 9. Jaką macierz nazywamy symetryczną? Napisz przykład macierzy symetrycznej. 10. Jaką macierz nazywamy diagonalną? Napisz przykład macierzy diagonalnej. 11. Jakie warunki muszą spełniać macierze kwadratowe stopnia drugiego A, B i C, aby równanie macierzowe A X B = C posiadało rozwiązanie. Wyznacz macierz X.

2 Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny Wiadomo, że w przypadku macierzy na ogół A B B A. Podaj przykłady macierzy, w przypadku których zachodzi przemienność mnożenia. 13. Napisz twierdzenie Cramera. Opisz co można powiedzieć o rozwiązalności układu n równań liniowych z n niewiadomymi w przypadku, gdy wyznacznik główny układu będzie miał wartość Podaj i opisz jakie są zależności pomiędzy liczbą rozwiązań układu równań liniowych, a rzędem macierzy głównej i uzupełnionej tego układu. 15. Podaj twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opisz, czy możliwe jest wyznaczenie takiej wartości parametru k, aby układ x + k y z = 0 był sprzeczny. Dla jakich wartości x + y + z = 0 x y + k z = 0 parametru k układ ma dokładnie jedno rozwiązanie - podaj to rozwiązanie. 16. Podaj przykład wersora o niezerowych współrzędnych. 17. Napisz definicję liniowej niezależności wektorów. Wyjaśnij, czy cztery dowolne, niezerowe wektory w przestrzeni R 3 mogą być liniowowo niezależne. 18. Dane są dwa punkty: A( 1, 0, 3), B(5, 3, 0). Napisz równanie kierunkowe, parametryczne i krawędziowe prostej wyznaczonej przez te punkty. 19. Opisz jak wyznaczyć odległość pomiędzy dwiema danymi prostymi. 20. Wyznacz warunek prostopadłości dwóch płaszczyzn π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. x = x 0 + at 21. Wyznaczyć warunek równoległości prostej l : y = y 0 + bt, t R do płaszczyzny z = z 0 + ct Ax + By + Cz + D = 0. x = x 1 + at 22. Wyznaczyć warunek, który muszą spełniać dwie nierównoległe proste l 1 : y = y 1 + bt, z = z 1 + ct x = x 2 + fs t R oraz l 2 : y = y 2 + gs, s R, aby się przecinały. z = z 2 + hs

3 Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny Wymień i opisz trzy zastosowania całki podwójnej. 24. Zmień kolejność całkowania i oblicz 9 3 sin(πx 3 ) dxdy. 0 y 25. Opisz współrzędne biegunowe. Narysuj i zapisz za pomocą współrzędnych biegunowych obszar: a) x 2 + y 2 2x, b) x 2 + y 2 2y, c) 5 x 2 + y 2 9, y x. 26. Opisz uogólnione współrzędne biegunowe. Narysuj i zapisz za pomocą uogólnionych współrzędnych biegunowych obszar: a) 4x 2 + 9y 2 36, b) 9x 2 + y 2 4, x Wymień i opisz dwa zastosowania całki potrójnej. 28. Opisz wspólrzędne walcowe i współrzędne sferyczne. Zapisz za pomocą współrzędnych walcowych lub sferycznych i narysuj obszar ograniczony przez: a) x 2 + y 2 + z 2 = 2x, b) x 2 + y 2 + z 2 = 2y, c) x 2 + y 2 + z 2 = 2z, d) x = 25 y 2 z 2, x = 0, e) x = 25 y 2 z 2, x = 0, f) z = 25 x 2 y 2, z = 0, g) z = 25 x 2 y 2, z = 0, h) x 2 + y 2 = z 2, z = 5, i) x 2 + y 2 = z 2, z = 5, j) x 2 + y 2 = 2x, z = 5, z = 5, k) x 2 + y 2 = z 2, x 2 + y 2 = 1, l) z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 = 1, z = Oblicz wartość oczekiwaną dla rozkładu jednostajnego. 30. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek na dwóch kostkach. Obliczyć P (5 X 8) oraz wykreślić dystrybuantę tej zmiennej.

4 Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny Zorganizowano następującą grę - rzucamy dwiema kostkami: - jeżeli suma oczek jest równa 2, otrzymujemy 5 zł, - jeżeli suma oczek jest równa 3, otrzymujemy 1 zł, - w pozostałych przypadkach płacimy 1 zł. Podać rozkład tej zmiennej losowej. 32. Niech zmienna losowa X podlega rozkładowi Cauchy ego, czyli jej gęstość dana jest wzorem f(x) = 1 α, gdzie α > 0, a R. Oblicz dystrybuantę. π α 2 + (x a) Rzucamy kostką do gry. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej określającej liczbę wyrzuconych oczek na kostce. Przykładowe zadania - Zadania : 1. Wyznacz 3 3 i x Rozwiąż równanie = x 2 3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie iz 3 +i 3 a = 0, gdzie a = Wyznacz, oile istnieje, macierz X oraz jej wyznacznik: a) 2 5 X 1 2 = 1 0, T b) X = c) X =, T 2 3 d) X = ,

5 Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny Oblicz ( a b )( a b ), gdzie a = [1, 5, 3] i b = [ 1, 0, 4]. 6. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(1, 1, 3), B(0, 2, 3) i C(2, 2, 1). Oblicz wysokość opuszczoną z wierzchołka C. 7. Dany jest czworościan o wierzchołkach A(1, 1, 1), B(1, 2, 3), C(2, 3, 1) i D( 1, 3, 5). Oblicz wysokość opuszczoną z wierzchołka D. 8. Wyznacz punkt B symetryczny do punktu A(4, 3, 10) względem prostej l : x 1 2 = y 2 4 = z Wyznacz punkt B symetryczny do punktu A(5, 2, 1) względem płaszczyzny π : 2x y + 3z + 23 = Sprawdź, czy przez proste l 1 : 2x + 3y z 1 = 0 x + y 3z = 0, l 2 : x + 5y + 4z 3 = 0 x + 2y + 2z 1 = 0 można poprowadzić płaszczyznę. Jeśli tak, to wyznacz jej równanie. 11. Wyznacz odległość między prostymi l 1, l 2 : x = 1 2t x + 3 a) l 1 : = y = z 6 4, l 2 : y = 3t z = 2 + 4t b) l 1 : x 7 6 = y 2 9 c) l 1 : x = y 2 = z 2, l 2 : d) l 1 : x x = 2 + 4t = z 12, l 2 : y = 6 6t x = t y = 2 z = 7 8t, t R; z = 2t x = 4 + 2t = y 5 3 = z 5 5, l 2 : y = 4 t z = 1 2t, t R;, t R;, t R.

6 Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny Wyzancz dziedzinę funkcji: a) f(x, y) = arcsin y 1 ; b) f(x, y) = x c) f(x, y) = y sin x ; d) f(x, y) = x sin y ; 1 x y + arcsin (x 2 + y 2 3) ; e) f(x, y) = x ln(4 x 2 y 2 ) ; f) f(x, y) = x y + ln (y x). 13. Sprawdź, czy funkcja u(x, y) spełnia równanie: a) u(x, y) = x y y x, u(x + y + ln u) = x u x + y u y ; b) u(x, y) = 2 cos 2 (y x 2 ), 2 2 u x u x y = Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych oblicz przybliżoną wartość wyrażenia: 3 a) (2, 06) 2 + (1, 97) 2, b) (1, 06) 2 + (1, 97) 3, c) (1, 03) 3,01, 0, 02 d) arctg 1, 99, e) ln( 1, , ), f) (1, 95) 2 e 0, Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: a) f(x, y) = 3x 3 + 3x 2 y y 3 15x, b) f(x, y) = e x y (x 2 2y 2 ). 16. Wyznacz ekstrema globalne funkcji na podanym obszarze: a) f(x, y) = x 2 + y 2 xy + x + y na obszarze ograniczonym przez proste x = 0, y = 0, x + y + 3 = 0; b) f(x, y) = x 2 + 2xy 4x + 8y na obszarze 0 x 1, 0 y 2; c) f(x, y) = x 2 y 2 na obszarze x 2 + y Za pomocą całki podwójnej oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami: a) z 2 = x 2 + y 2, z = 4, z = 8; b) x 2 + y 2 = 1, z = y + 1, z = x 2 + y 2 ; c) z = 6 x 2 y 2, z = x 2 + y 2 ; d) x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y + 3z = 12. V 18. Oblicz: a) dxdydz V x2 + y 2 + z, gdzie V jest obszarem 1 2 x2 + y 2 + z 2 2 dla x 0; b) z 2, gdzie V jest obszarem x 2 + y 2 + z 2 2z; V c) z 2, gdzie V jest częścią wspólną obszarów x 2 + y 2 + z 2 1 oraz x 2 + y 2 + z 2 2z; V d) x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie V jest obszarem ograniczonym dwiema powierzchniami z = 4 x 2 y 2 oraz z = x 2 + y 2 ;

7 Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny Rozwiąż równanie różniczkowe liniowe (w przypadku, gdy jest to możliwe przy rozwiązywaniu skorzystaj z metody przewidywań): a) y + xy = x 2, b) y + y = x 2, c) y 2y = xe 2x, d) y xy = xe x2, e) y + 2y = x 2 e x + sin 2x, f) y + y = x 3 e x, g) y 3y + 2y = sin e x, h) y + 4y = 1 cos 2x, i) y + y = tgx, j) y + y = 4x 2 x + 1 e x, k) y y = 2e 2x + x 2, l) y y = 2e x + x, m) y 2y + y = ex x x e x, n) y 2y = x 2 e 2x, o) y + 4y = 3 sin 2x. 20. Rozwiąż równanie różniczkowe: a) xy + y = 2xy 2, b) y ( y x + 1 ) = 0, c) y + y y x = 1 x 3 y, 3 d) x 2 y y(x + y) = 0, e) y + y y 1 2 = 0, f) y + y + x 2 y 3 = Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami. Za wartość zmiennej losowej przyjmujemy liczbę wyrzuconych orłów. a) Podaj rozkład prawdopodobeństwa tak określonej zmiennej losowej. b) Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej. c) Korzystając z dystrybuanty oblicz P (0 < X < 2). 22. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Każdemu z rzutów przypisujemy wartość bezwzględną różnicy liczby oczek wyrzuconych na pierwszej i drugiej kostce. Opisz za pomocą tabeli rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X odpowiadającej temu doświadczeniu. Za pomocą dystrybuanty tego rozkładu wyznacz P (1 < X < 3) i medianę. 23. Dana jest zmienna losowa o rozkładzie x i Wyznacz C, dystrybuantę p i 0,4 0,3 0,1 C tego rozkładu oraz P (0 X 1) korzystając z tabelki rozkładu i z dystrybuanty. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y 1 = 2X 1 oraz Y 2 = X 2. 0 gdy x < Niech dana będzie funkcja f(x) =. Wyznacz stałą A tak, aby Ae 3x gdy x 0 f(x) była gęstością prawdopodobieństwa. Wyznacz dystrybuantę tego rozkładu oraz jego medianę. Oblicz P ( 1 X 1) korzystając z gęstości i z dystrybuanty i zaznacz je na ich wykresach.

8 Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny Niech dana będzie gęstość rozkładu zmiennej losowej X typu ciągłego wzorem x gdy x 1; f(x) = 0 gdy x > 1; Wyznacz: a) dystrybuantę oraz medianę zmiennej losowej X; b) P (0 < X < 2) korzystając z funkcji gęstości prawdopodobieństwa i z dystrybuanty, a następnie zilustruj je na ich wykresach; c) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 4X Niech dana będzie gęstość rozkładu zmiennej losowej X wzorem f(x) = 0 gdy x < 1 1 gdy x 1. 2x 2 Wyznacz dystrybuantę tego rozkładu, wartość oczekiwaną i medianę. Korzystając z funkcji gęstości i dystrybuanty oblicz P ( 2 X 2), a następnie zaznacz to prawdopodobieństwo na wykresach gęstości i dystrybuanty. 27. Zmienna losowa X podlega rozkładowi o gęstości ln x gdy 1 x A f(x) = 0 gdy x < 1 lub x > A. Wyznacz A, dystrybuantę oraz P (2 X e). 28. Dla jakiej wartości A funkcja f(x) = A 1 x 2 gdy x < 1 0 gdy x 1 jest gęstością prawdopodobieństwa? Wyznacz dystrybuantę, wartość oczekiwaną i medianę tego rozkładu.