Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne."

Transkrypt

1 Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki rzeczywiste a, b, c i d spełniają warunek ad cb 0. Uwaga. ) Jeśli c { = } 0, to () jest funkcją liniową, jeśli c 0, to dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór R \ d c. ) Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola (gdy c 0) albo prosta (gdy c = 0). 3) Przykład funkcji, która nie jest funkcją homograficzną g() = Ta funkcja nie spełnia warunku ad cb 0 i co za tym idzie redukuje się do funkcji stałej g() =. 4) Gałęzie hiperboli będącej wykresem funkcji homograficznej postaci f() = a leżą w ćwiartkach I i III układu współrzędnych dla a > 0 i w ćwiartkach II i IV dla a < 0. 5) Osie OX i OY są asymptotami wykresu funkcji f() = a, a 0. 6) Asymptotami wykresu funkcji g() = b + c są proste = c i y = b, wykres tej funkcji otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji f() = o wektor [c, b]. 7) Funkcja homograficzna jest funkcją różnowartościową. Przykład. Wychodząc od wykresu funkcji h() =, stosując odpowiednie przekształcenia geometryczne, naszkicuj wykres funkcji g() = +. Rozwiązanie. Zapiszmy wzór opisujący funkcję g w innej postaci. g() = + = ( + ) 3 + = 3 + = + 3 ( ). () Widzimy teraz, że asymptotami wykresu funkcji g są proste =, y =, a gałęzie hiperboli leżą w ćwiartkach II i IV. Wykres funkcji g otrzymamy z wykresu funkcji h() = po rozciągnięciu go wzdłuż osi OY (aby otrzymać wykres funkcji y = 3 ), następnie odbiciu otrzymanego wykresu względem osi OX (w ten sposó otrzymamy wykres funkcji y = 3 ) i przesunięciu o wektor [, ]. Uwaga. Łatwo otrzymujemy postać () wykonując dzielenie wielomianu z licznika przez wielomian z mianownika funkcji homograficznej. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne. Definicja. Niech W () i V () oznaczają dwa wielomiany zmiennej rzeczywistej, niech V () 0, a P oznacza zbór pierwiastków wielomianu V (). Funkcję f() = W () V () dla R \ P nazywamy funkcją wymierną zmiennej.

2 Warunek V () 0 oznacza, że wielomian V nie jest tożsamościowo równy zero, to znaczy, że przyjmuje wartości niezerowe dla pewnych R, inaczej mówiąc jest wielomianem niezerowym. Uwaga. ) Funkcja homograficzna f() = a+b c+d, ad bc 0 jest funkcją wymierną. ) Jeżeli stopień wielomianu W () jest mniejszy niż stopień wielomianu V (), to funkcję wymierną f() = W () V () nazywamy właściwą. Jeżeli stopień wielomianu W () jest nie mniejszy niż stopień wielomianu V (), to funkcję wymierną f() = W () V () nazywamy niewłaściwą. W tym drugim przypadku możemy podzielić wielomiany i otrzymać sumę wielomianu i pewnej funkcji wymiernej właściwej (Patrz Przykład.). 3) Funkcje wymierne typu f() = A ( a), gdzie A, a R oraz r N, nazywamy ułamkami r prostymi pierwszego rodzaju. Funkcje wymierne typu f() = B+C ( +p+q), gdzie B, C, p, q R r przy czym p 4q < 0, a r N, nazywamy ułamkami prostymi drugiego rodzaju. 4) Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju, przy czym ułamki te są określone jednoznacznie np. 3 + = +, 4 + = + +. Przykład. Znaleźć takie liczby rzeczywiste A, B, C, dla których równość ( )( )( 3) = A + B + C 3 (3) jest spełniona dla każdego R \ {,, 3}. Rozwiązanie. Przy założeniu, że R \ {,, 3} możemy pomnożyć obie strony równości (3) przez ( )( )( 3). Otrzymamy wówczas równoważną równość: = A( )( 3) + B( )( 3) + C( )( ). Uporządkujemy wyrazy wielomianu stopnia drugiego stojącego po prawej stronie równości = (A + B + C) + ( 5A 4B 3C) + 6A + 3B + C. (4) Zatem równość (3) zachodzi dla każdego,, 3 wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany w (4) są równe. Dwa wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i gdy współczynniki stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej są równe. Zatem A, B i C powinny spełniać następujący układ równań: A + B + C = 3 5A 4B 3C = 6A + 3B + C = 9 Dodając stronami równania drugie i trzecie do równania pierwszego otrzymamy: A = 5A 4B 3C = 6A + 3B + C = 9 Dodajmy teraz stronami równanie trzecie do drugiego: A = A B C = 6A + 3B + C = 9

3 Zatem z równania drugiego mamy B = C + 5, podstawiając tak wyznaczone B i A = do równania trzeciego otrzymujemy C = 3 i co za tym idzie B = =. Rozwiązaniem układu równań jest więc trójka liczb A = B = C = 3. Znaleźliśmy zatem tzw. rozkład wyrażenia 3 +9 ( )( )( 3) na ułamki proste: ( )( )( 3) = Przy rozwiązywaniu równań i nierówności wymiernych pomocne będą następujące warunki: { W () W () = 0 V () = 0 V () 0 { W () W ()V () 0 V () 0 V () 0 Analogicznie dla nierówności typu, <, >. Dziedziną równania, czy nierówności wymiernej nazywamy zbiór R, dla których V () 0. Przykład 3. Rozwiąż równania: a) + + = + +, b) = (+)(+), c) = 0, d) = 5, e) = 0. Rozwiązanie. Wyznaczymy dziedzinę równania z przykładu a) + + = + +. (5) Dziedziną równania jest zbiór takich R, że 0 i + 0 i + = ( + ) 0, a więc zbiór R \ {0, }. Przekształcimy równanie (5) do postaci W () V () = 0: + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 lub =. Ponieważ 0 nie należy do dziedziny równania (5), to rozwiązaniem równania jest tylko =. Widać, że dziedziną równania w przykładzie b) = ( + )( + ) (6)

4 jest zbiór R \ {,, 0}. Przenieśmy wyrażenie występujące po prawej stronie równania na lewą stronę znaku równości, aby przekształcić równanie (6) do postaci W () V () = 0. Mamy zatem ( + )( + ) = 0 ( + ) ( + )( + ) = 0 + = 0 + = 0 =. ( + ) Ponieważ = nie należy do dziedziny równania (6), więc równanie to nie ma rozwiązań. Dla równania z podpunktu c) wyznaczmy najpierw miejsca zerowe mianownika. Mamy dalej: = 0 ( 3 + ) = = 0 (7) ( )( ) = 0 = 0 lub = lub =. Zatem rozwiązań równania (7) szukamy w zbiorze R \ {0,, }. Mamy = = 0 Pierwiastkiem wielomianu 3 6 jest oraz 3 6 = ( )( + + 3). Ponieważ wyróżnik trójmianu jest ujemny, więc wielomian 3 6 ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty =. Zatem 3 6 = 0 =, ale = odrzuciliśmy wcześniej, więc równanie (7) nie ma rozwiązań. Dziedziną równania z podpunktu d) = 5 (8) jest zbiór R \ { W (), 0}. doprowadzimy równanie do postaci V () = 0. Mamy: = = ( + ) + ( + ) = 0 + = 0. ( + ) + = 0 = lub =. Zarówno jak i oraz =. należą do dziedziny równania, zatem rozwiązaniem równania (8) są = Aby wyznaczyć dziedzinę równania z podpunktu e) = 0 (9)

5 znajdziemy najpierw rozkład wielomianu 6 4 na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej drugiego. W tym celu skorzystamy (dwukrotnie) ze wzoru na różnicę kwadratów: Dalej mamy 6 4 = (4 )(4 + ) = ( )( + )(4 + ). 6 4 = 0 ( )( + )(4 + ) = 0 = lub =, stąd dziedziną równania (9) jest zbiór R \ {, }. Oczywiście = = 0 4 ( + 3) ( + 3) = 0 ( + 3)( 4 ) = 0 ( + 3)( )( + )( + ) = 0 = 3 lub = lub =. Każda z tych liczb należy do wyznaczonej wcześniej dziedziny, zatem rozwiązaniem równania (9) są = 3, = oraz =. Przykład 4. Rozwiąż równania a) = ; + b) + = +. Rozwiązania. Rozwiązując równania z wartością bezwzględną musimy się najpierw pozbyć tychże wartości bezwzględnych. Zajmiemy się najpierw równaniem z podpunktu a). Zauważmy, że jeśli dla pewnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi równość a = b, to zachodzi też równość dla kwadratów wyrażeń a i b i co za tym idzie dla kwadratów liczb a i b, to znaczy: a = b = a = b = a = b. Prawdziwa jest też implikacja w drugą stronę: jeśli kwadraty liczb a i b są równe, to liczby te muszą być sobie równe co do wartości bezwzględnej, to znaczy: W konsekwecji mamy równoważność: Równanie zastąpimy równaniem równoważnym: a = b = a = b. a = b a = b (0) = () + ( ) ( ) = + Dziedziną tego równania wymiernego jest zbiór R\{, }. Rozwiązując to równanie postępujemy podobnie jak w podpunkcie a) Przykładu 3. Mamy zatem ciąg równoważności: ( ) ( ) = + ( + ) 4 ( ) = ( + ) ( ) = = 0 = 5 lub =.

6 Zarówno 5 jak i należą do dziedziny, więc są rozwiązaniem równania (). Aby rozwązać równanie z podpunktu b) opuścimy najpierw wartość bezwzględną. Oczywiście w tym przykładzie musimy rozważyć dwa przypadki: dla 0 i dla < 0. Ponieważ dziedziną równania + jest zbiór R \ {0}, więc warunek 0 zredukujemy do > 0. o. Dla > 0 mamy =, stąd = + () + = + + = + + = 0 + = 0 ( )( + ) = 0 = + lub = = 0, ale ponieważ założyliśmy w tym przypadku, że > 0, więc odpowiedź = odrzucamy. o. Dla < 0 mamy =, stąd + = + + = + + = 0 = = 0. Oznacza to że w przypadku, gdy < 0 równanie nie ma rozwiązań. = 0 Podsumowując punkty o i o otrzymujemy, że równanie () ma jedno rozwiązanie =. Przykład 5. Rozwiąż nierówności: a) (+) 3 0, b) + < 6. c) > 0 Rozwiązania. Dziedziną nierówności z podpunktu a) ( + ) 3 0 (3) jest zbiór R \ {0, 3}. Ponadto ( + ) 3 0 ( + )( 3) 0 ( + )( 3) 0 ( ; ] [3; ). Uwzględniając dziedzinę naszej nierówności musimy ze zbioru ( ; ] [3; ) odrzucić 3, stąd rozwiązaniem nierówności (3) są ( ; ] (3; ).

7 Dziedziną nierówności z podpunktu b) + < 6 (4) jest zbiór R \ {0, }. Przedstawimy tę nierówność do postaci W () V () + < 6 < 0. Mamy + 6 < 0 ( ) + 6( ) < 0 ( ) < 0 ( ) ( )( 3)( ) < 0 (0, ) (, 3). Zbiór (0, ) (, 3) jest podzbiorem dziedziny R \ {0, } nierówności (4), zatem rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista (0, ) (, 3). W rozwiązaniu nierówności z podpunktu c) posłużymy się wynikami częściowymi otrzymanymi dla równania = 0 z podpunktu e) Przykładu 3.. Analogicznie zatem jak dla równania dziedziną nierówności > 0 (5) jest zbiór R \ {, }. Dalej mamy, że > 0 ( )(6 4 ) > 0 ( + 3)( )( + )( + )( + )( )(4 + ) > 0. Ponieważ wyróżniki dla trójmianów: + oraz 4 + są ujemne, a współczynniki a stojące przy w tych trójmianach są dodatnie, więc dla dowolnego R wartości każdego z tych wielomianów są dodatnie. To oznacza, że nierówność ( + 3)( )( + )( + )( + )( )(4 + ) > 0 jest równoważna nierówności ( + 3)( )( + )( )( + ) > 0. Mamy zatem ( + 3)( )( + )( + )( + )( )(4 + ) > 0 ( + 3)( )( + )( + )( ) > 0 ( ( 3; ) ; ) (; ). ( ) Ponieważ zbiór ( 3; ) ; (; ) jest podzbiorem dziedziny R \ {, } nierówności ( ) (5), zatem rozważana nierówność zachodzi dla ( 3; ) ; (; ). Przykład 6. Rozwiąż nierówności a) 5 >, b) c) d) > >

8 Rozwiązania. Podobnie jak w Przykładzie 4., aby rozwiązać nierówności z wartością bezwzględną, musimy najpierw opuścić wartość bezwzględną. Skorzystamy przy tym z następujących równoważności: a a a, (6) a a lub a. (7) Oczywiście analogiczne równoważności możemy zapisać dla nierówności osrtych, zastępując odpowiednio wszystkie znaki na < w (6) i w (7), czy na > w (7). Sposób o. Dla nierówności z podpunktu a) skorzystamy z (7). Dziedziną nierówności jest zbiór R \ { 3}. Mamy: 5 (8) lub lub (3 )( + 3) 0 lub ( 8)( + 3) 0 [ 3; ] lub ( ; 3] [8; ) 3 Ponieważ 3 nie ( należy ] do dziedziny nierównści, więc rozwiązaniem są ( ; 3) 3; 3 [8; ). Sposób o. Możemy też pozbyć się wartości bezwzględnej w równaniu (8) korzystając z równoważności analogicznej do (0): a b a b. (9) Mamy stąd: ( 5 ) + 3 ( 5) ( + 3) 0 (3 )( 8) ( + 3) 0 (3 )( 8) 0 ( ; 3 ] [8; ). Ponieważ 3 nie ( należy ] do dziedziny nierówności, zatem jej rozwiązaniem są (, 3) 3; 3 [8; ). Dziedziną nierówności z podpunktu b) jest R \ {, } (0)

9 Sposób o. Skorzystamy z (6) otrzymując: ( )( ) ( )( )( ) 0 (4 5)( ) 0 [ ] [ ; [; ) ; 4 5 ( ; ] [ ; 4 [; ) 5] Zbiór ten jest podzbiorem dziedziny nierówności (0) stąd jej rozwiązaniem są ] [; ) [ ; 4 5] [; ). Sposób o. Skorzystamy z (9) i podniesiemy nierówność 5+3 stronami do kwadratu. Otrzymamy wówczas: ( 5 + 3) ( 5 + 3) ( ) ( ) 0 [ ][ ] ( 5 + 3) ( ) ( 5 + 3) + ( ) ( ) 0 ( 5 + 4)( 5 + ) 0 ( 5 + 4)( )( ) 0 [ ; 4 [; ). 5] [ Oczywiście zbiór 5] ; 4 [; ) jest podzbiorem dziedziny nierówności (0), zatem jest to zbiór rozwiązań tej nierówności. Nierówność > 0 () zachodzi dla wszystkich tych R, dla których Sprawdźmy zatem dla jakich R zachodzą równości = 0 lub 6 4 = 0. Podobne warunki rozpatrywaliśmy w punkcie e) Przykładu 4. Mamy zatem = = 0 = 3 = = = =. Zatem nierówność > 0 zachodzi dla R \ { 3,,,, }. Dla nierówności 5 +3 > z podpunktu d) Przykładu 7. nie możemy zastosować równoważności (9) i podnieść obie strony do kwadratu, ponieważ stojące po prawej stronie tej nierówności

10 może przyjmować wartości również ujemne! Korzystając z (7) otrzymujemy: > < lub > < 0 lub ( + + 5) > ( ; 5 3 5) ( 3; ) lub ( ; 3) ( ; 3) ( 3; ). Przykład 7. Wyznacz liczbę rozwiązań równania i rozwiąż równania, w zależności od parametru m: a) = m, b) +m m + m +m =. Rozwiązanie. Równanie = m () ma sens dla 0. Przekształcimy je równoważnie: = m m = 0 m = 0 Dziedziną równania () jest zbiór R\{0}. Wyróżnik równania kwadratowego m = 0 jest postaci = m +4. Zatem dla dowolnego m R mamy > 0, stąd równanie m = 0 ma dla każdego m R dwa pierwiastki: = m+ m +4 i = m m +4. Oczywiście i należa do dziedziny równania (), bo m m + 4. Zatem równanie ) ma dla dowolnego m R dwa rozwiązania: = m+ m +4 i = m m +4. Dziedziną równania + m m + m + m = (3) jest zbiór R \ { m, m}. Równoważne mu równanie przyjmuje postać: ( + m) + ( m) ( m ) ( m)( + m) 4m = 0 m = 0. 4m = 0 To znaczy, że równanie (3) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla m = 0. Rozwiązaniem równania jest wtedy każda liczba rzeczywista 0. Dla m 0 równanie nie ma rozwiązań. Przykład 8. Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? m + (m + ) + 9m + 4 < 0 (4) Rozwiązanie. Zanim wyznaczymy dziedzinę nierówności zauważmy, że wyróżnik trójmianu 8 + 0

11 jest mniejszy od zera, a ramiona paraboli o równaniu y = są skierowane do góry. Oznacza to, że > 0 dla każdego R. Zatem m + (m + ) + 9m + 4 < 0 m + (m + ) + 9m + 4 < 0. Ponadto jeśli nierówność (4) ma być spełniona dla wszystkich R, to dziedziną równania powinien być zbiór R. Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych, dla których m + (m + ) + 9m Rozpatrzymy dwa przypadki: dla m = 0 i dla m 0. o. Jeśli m = 0, to wielomian stopnia drugiego z mianownika ułamka (4) redukuje się do wielomianu stopnia pierwszego: + 4. Wówczas dziedziną nierówności m + (m + ) + 9m + 4 = < jest zbiór R\{ }, zatem na pewno nierówność nie zachodzi dla =, a więc nie każda liczba rzeczywista spełnia tę nierówność. o. Jeśli m 0, to wielomian z mianownika nierówności (4) jest stopnia drugiego, a dla trójmianu m + (m + ) + 9m + 4 jest postaci Mamy dalej ciąg równoważnych warunków: R = 4(8m + m + ) m + (m + ) + 9m + 4 < 0 R m + (m + ) + 9m + 4 < 0 = 4(8m + m + ) < 0 m < 0. Rozwiążmy układ nierówności: { 4(8m + m + ) < 0 m < 0 4(8m + m + ) < 0 8m + m + > 0. Dla trójmianu 8m + m +, = 4 3 < 0, zatem 8m + m + > 0 dla każdego m R. Układ nierówności jest więc spełniony dla dowolnego m < 0. Podsumowując o i o otrzymamy, że nierówność (4) zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej, jeśli parametr m < 0. Przykład 9. Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania (m 5) + m + 3m + = 0 (5) ma wartość dodatnią? Równanie kwadratowe (5) ma pierwiastki tylko wtedy gdy wyróżnik 0 tzn., że = 4(m 5) 4(m + 3m + ) = 3m Zatem m 3 3. (6)

12 Korzystając ze wzorów Viéte a wyrazimy sumę odwrotności pierwiastków równania (5) za pomocą parametru m + = + (m 5) = m + 3m +. Rozwiążemy nierówność (m 5) m + 3m + > 0 (7) Oczywiście nierówność ta ma sens tylko dla takich m R, dla których m + 3m + 0, czyli dla m i m. Dalej mamy : (m 5) m + 3m + > 0 (m 5)(m + 3m + ) = (m 5)(m + )(m + ) > 0 m ( ; ) m (5; ). Uwzględniając warunek (6) otrzymamy, że suma odwrotnosci pierwiastków równania (5) jest liczbą dodatnią dla m ( ; ). Zauważmy, że dla m = lub m =, co najmniej jeden z pierwiastków równania (5) jest równy 0, a zatem rozważanie jego odwrotności nie ma sensu. Zadania. Wychodząc od wykresu funkcji h() = i stosując odpowiednie przekształcenia geometryczne naszkicuj wykresy funkcji f() = + +, k() = +.. Narysuj wykresy funkcji f() = 4, g() = Rozwiąż równania: a) 3 = 5, b) 6 +3 = +5 +, c) =, d) = +4, e) = 3+, 4. Rozwiąż równania: a) 6 =, b) + = +, c) =, d) 3 + =. 5. Znajdź punkty przecięcia paraboli y = z hiperbolą y = Dla jakich wartości parametru m suma sześcianów dwóch pierwiastków równania +3+ = 0 jest większa od 9? m m 3 7. Dla jakich wartości parametru m równanie + suma jest mniejsza od m? 8. Rozwiąż nierówności: + = m ma dwa pierwiastki, których

13 a) + <, b) 3 4 0, c) < 0, d) , e) , f) >, g) Dana jest funkcja f() = +. Rozwiąż nierówność f() > f( ). 0. Rozwiąż nierówności: a) > 0, b) > +, c) 3 4, d) Rozwiąż nierówność: ( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + 3) ( + 9)( + 0) <.. Określ dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f, jeśli f() = ( ) ( ) Dla jakich wartości parametru m nierówność m > jest spełniona tożsamościowo tzn. dla wszystkich R. 4. Zbadaj dla jakich wartości parametru m, układ równań { +y y + y +y = my + m + = 0 y, y, ma rozwiązanie? Wyznacz to rozwiązanie. 5. Znajdź współczynniki A, B, C, dla których równość zachodzi dla każdego R \ {0,, 4}. Odpowiedzi 3. a) = 4 lub = ; b) = lub = 4; c) = 3; d) = 3 lub = ; = A + B + C 4

14 e) = 4 lub = a) = 5 + ; b) = ; c) = 3 lub = ; d) = 0 lub = ; 5. P = ( (, 3) ) 6. m 8 3 ; 35 3 ; ( ) 7. m 3 ; 0 (; ); 8. a) ( ; 0); b) ( ; ) (; ); c) ( ; ) (; 3); d) ( ; ) ( ; 0]; e) ( ; 6) [7; ]; f) ( ; 3) (; 3) ( + 3; ); g) R; 9. (0; ) (; ); 0. a) ( 5; ) ( ; ) (; 4) (6; ); b) ( ; 0) (0; ); c) ( ; 4] [ ; ] [4; ) d) ( ; 3 6 ] [ ; );. [ ( 0; 0) (; ) ] \ {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; ( ). f() = dla ; ; 3. m ( 7; ); 4. Cztery różne pierwiastki, jeśli m m > 0 i m = neq. Pierwiastki te są postaci ( y, y ), (y, y ), ( y, y ), (y, y ), gdzie y = m m m i y = m+ m m. Dwa różne pierwiastki, jeśli m m = 0. Pierwiastki są wtedy postaci (m, m ), (m, m ). Nie ma rozwiązań, jeśli m m < 0; 5. A = 8, B = 3 4, C = 5 8.

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą.

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą. 5 Funkcjewymierne. Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci w(x)= P(x) Q(x), () gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki poziom podstawowy klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.

3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu. Zadanie: 1) Dana jest funkcja y=-+7.nie wykonując wykresu podaj a) miejsce zerowe b)czy funkcja jest rosnąca czy malejąca(uzasadnij) c)jaka jest rzędna punktu przecięcia wykresu z osią y. ) Wykres funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres rozszerzony) klasa 2. 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji.

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Lista 8 Wyrażenia wymierne. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Funkcję nazywamy funkcja podstawową, a

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony)

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony) Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony) Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinny być zatem opanowane

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu Plan wynikowy klasa 2g - Jolanta Pająk Matematyka 2. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo