FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

Transkrypt

1 FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie nazywamy postacia algebraiczna funkcji kwadratowej. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o ramionach skierowanych zgodnie ze zwrotem osi OY (do góry), gdy a > 0 lub skierowanych przeciwnie do zwrotu osi OY (w dół), gdy a < 0. f(x) y = x a > 0 f(x) a < 0 4 x x y = x 4 DEFINICJA. Wyróżnikiem funkcji kwadratowej f(x) = ax + bx + c nazywamy wyrażenie: = b 4ac. TWIERDZENIE 1. Funkcja kwadratowa f(x) = ax + bx + c posiada: dwa pierwiastki (miejsca zerowe) rzeczywiste, gdy > 0, wtedy x 1 = b a oraz x = b+ a ; jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty, gdy = 0, wtedy x 0 = b a ; nie posiada pierwiastków rzeczywistych, gdy < 0. DEFINICJA 3. Postacia iloczynowa funkcji kwadratowej gdy > 0 nazywamy wyrażenie postaci: f(x) = a(x x 1 )(x x ) Gdy = 0 postać iloczynowa sprowadza się do wyrażenia: f(x) = a(x x 0 ) zaś dla < 0 funkcja kwadratowa nie posiada postaci iloczynowej. 1

2 DEFINICJA 4. Postacia kanoniczna funkcji kwadratowej nazywamy wyrażenie postaci: f(x) = a(x p) + q gdzie p = b a oraz q = 4a. Punkt o współrzędnych (p, q) jest wierzchołkiem paraboli [ funkcję f(x) = a(x p) + q można traktować jako funkcję f(x) = ax przesuniętą o wektor r = (p, q) ]. TWIERDZENIE. Jeżeli wyróżnik funkcji kwadratowej jest dodatni to prawdziwe są następujące równości: x 1 + x = b a x 1 x = c a zwane wzorami Viete a. Używa się ich m.in. do szybkiego obliczania pierwiastków prostych równań kwadratowych. Przykład 1: Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego x 6x + 5. W celu znalezienia pierwiastków zadanego trójmianu kwadratowego zapiszmy: x 1 + x = 6 1 = 6 x 1 x = 5 1 = 5 Powyższe równania spełniają jednocześnie następujące liczby: x 1 = 1 oraz x = 5 (ich suma daje 6, zaś iloczyn wynosi 5).. Nierówności kwadratowe Znając pierwiastki x 1 i x równania kwadratowego ax + bx + c = 0 można w prosty sposób rozwiązać dowolne nierówności z trójmianem kwadratowym. W ogólności: Rozwiązanie (gdy x 1 < x ) Nierówność a > 0 a < 0 ax + bx + c > 0 x ( ; x 1 ) (x ; ) x (x 1 ; x ) ax + bx + c 0 x ( ; x 1 x ; ) x x 1 ; x ax + bx + c < 0 x (x 1 ; x ) x ( ; x 1 ) (x ; ) ax + bx + c 0 x x 1 ; x x ( ; x 1 x ; ) 3. Równania dwukwadratowe Równania w postaci ax 4 + bx + c = 0 nazywane są równaniami dwukwadratowymi. Można je przekształcić przez podstawienie do postaci równań kwadratowych. Przykład : Rozwiąż równanie: x 4 3x + = 0

3 Podstawiamy t = x i otrzymujemy równanie kwadratowe ze zmienną t: t 3t + = 0 Rozwiązujemy je: t = 1, t = 1 t 1 = 3 1 = 1, t = = Następnie wracamy do zmiennej x: x = ± t x 1 = + t 1 = 1 x = t 1 = 1 x 3 = + t = x 4 = t = Podobnie można rozwiązać niektóre równania zawierające pierwiastek. Przykład 3: Rozwiąż równanie: x 7 x + 6 = 0 Podstawiamy x = t (x 0, zatem t 0) i otrzymujemy równanie kwadratowe ze zmienną t: t 7t + 6 = 0 Rozwiązujemy je: t = 5, t = 5 t 1 = 7 5 = 1, t = = 6 Następnie wracamy do zmiennej x: x = t x 1 = t 1 = 1 x = t = Równania kwadratowe z parametrem Przykład 4: Zbadać ilość rozwiązań równania x mx + m + 1 = 0 w zależności od wartości parametru m. Wyznaczamy wyróżnik: = ( m) 4 1 (m + 1) = m 4m 4 3

4 Powyższe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste gdy > 0, jeden pierwiastek rzeczywisty gdy = 0 oraz nie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0. Musimy więc zbadać trzy przypadki, aby określić kiedy zadane równanie posiada odpowiednio jeden, dwa i zero pierwiastków rzeczywistych. Przypadek 1: = 0 Zatem m 4m 4 = 0 m = ( 4) 4 1 ( 4) = 3 m = 4 m 1 = 4 4 = ; m = 4+4 = + Zatem dla m = oraz dla m = + zadane równanie ma wyróżnik równy zero, więc posiada jeden pierwiastek rzeczywisty. Przypadek : > 0 m 4m 4 > 0 Po rozwiązaniu powyższej nierówności otrzymujemy m ( ; ) ( + ; + ). Dla tych wartości parametru m zadane równanie ma wyróżnik większy od zera, zatem posiada dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Przypadek 3: < 0: m 4m 4 < 0 Po rozwiązaniu powyższej nierówności otrzymujemy, że dla m ( ; + ) zadane równanie ma wyróżnik mniejszy od zera, więc nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Przykład 5: Dla jakich wartości parametru m równanie x mx + m + 1 = 0 ma dwa pierwiastki o różnych znakach (tj. x 1 x < 0). Wcześniej stwierdziliśmy, że powyższe równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy m ( ; ) ( + ; + ). Aby określić, kiedy mają one różne znaki, najprościej jest skorzystać ze wzoru Viete a x 1 x = c a Z powyższego wynika, że: x 1 x < 0 m + 1 < 0 m < 1 Równanie x mx + m + 1 = 0 ma więc dwa pierwiastki rzeczywiste o różnych znakach dla m [( ; ) ( + ; + )] ( ; 1) m ( ; 1) Przykład 6: Dla jakich wartości parametru m dla funkcji f(x) = mx mx + prawdziwe jest wyrażenie: x R f(x) > 0 4

5 czyli inaczej dla jakich wartości parametru m wykres funkcji f(x) = mx mx + leży w całości powyżej osi OX. Musimy sprawdzić, kiedy spełnione są dwa warunki: 1) a > 0 (ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi OY, czyli w górę), ) < 0 (zadana funkcja nie posiada miejsc zerowych). Warunek pierwszy będzie spełniony, wtedy i tylko wtedy, gdy m > 0. Rozpatrzmy warunek drugi: = m 8m < 0 m = 64, m = 8 m 1 = 0, m = 8 m (0; 8) Po uwzględnieniu łącznie obu warunków otrzymujemy: m (0; + ) (0; 8) m (0; 8) 5

6 5. Zadania Zadanie 1 Rozwiąż następujące równania: a) x 7x = 1 b) x + 7x = 1 c) x 4 4x + 3 = 0 d) x 4 5x + 4 = 0 Zadanie Rozwiąż poniższe nierówności: a) x 7x > 1 b) x + 7x c) x 13x d) x 1x + 11 < 0 Zadanie 3 Dla jakich wartości parametru m równanie posiada dwa różne pierwiastki ujemne? (1 m)x mx + m + = 0 6. Odpowiedzi Zadanie 1 a) x 1 = 3, x = 4 b) x 1 = 4, x = 3 c) x 1 = 1, x = 1, x 3 = 3, x 4 = 3 d) x 1 =, x = 1, x 3 = 1, x 4 = Zadanie a) x ( ; 3) (4; ) b) x ( ; 4 3; ) c) x ( ; 1 1; ) d) x (1; 11) Zadanie 3 m ( ; ) 6