Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
|
|
- Alojzy Leszczyński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej cz eści tego zadania funkcji znaleźć t e, dla której zachodzi warunek x 1 1. x Rozwiązanie. Całkując obustronnie równość t otrzymujemy arctg xt arctgt + c dla 1+xt 1+4t pewnej liczby c. Stąd otrzymujemy xt tg arctgt + c. Ma być spełniona równość 1 tg arctg 1 + c tg arctg 1 + c. Z definicji funkcji arctg wynika, że π < arctg 1 < π. Jednocześnie tg arctg 1 1, zatem c 0 lub c nπ dla pewnej liczby całkowitej n. Wobec tego xt tg arctgt + nπ dla wszystkich t π, π i pewnej liczby całkowitej n.. 10 p. W pokoju o objętości 00 m powietrze zawiera w pewnej chwili 0,15% dwutlenku węgla. Powietrze z zewnątrz zawierające 0,04% dwutlenku węgla jest dostarczane przez wentylator w tempie 0 l/min. Po jakim czasie zawartość dwutlenku węgla w pokoju zmniejszy się trzykrotnie w porównaniu do chwili początkowej. Dla uproszczenia zakładamy, że w powietrzu wydostającym się z pokoju stężenie dwutlenku węgla jest takie samo w każdym miejscu. Rozwiązanie. Niech xt oznacza ilość dwutlenku węgla znajdującego się w pokoju w chwili t. Mamy więc x0 0, ,. Szukamy τ, dla którego będzie spełniona równość xτ 0,1. Załóżmy, że t jest dowolną liczbą dodatnią a h 0 liczbą o malutkiej wartości bezwzględnej. Możemy wtedy napisać przybliżoną równość xt + h xt 0, h xt 00 0 h 0 xt+h xt 1000 xt+h xt h 0, xt xt h, czyli Wobec tego x 0 t lim 0, h xt Wobec tego x tdt t + C dt xt 10 dx x ln x Mamy więc 10 4 t + C ln x , zatem xt e 10 4 t+c 0, e 0,0001C e 0,0001t. Ponieważ x0 0,, więc e 0,0001C 0, i wobec tego xt 0,08 + 0, e 0,0001t. Z tej równości wynika, że 0,1 0,08 + 0, e 0,0001τ, więc ,0 0, e 0,0001τ, zatem τ ln 11, Ilość dwutlenku węgla osiągnie wartość 0, 1 metra sześciennego po około minut, więc po upływie około 400 godzin, czyli po dobach. Miało być trochę inaczej, ale pomyliłem się pisząc zadanie. Chciałem napisać w tempie 0 m /min. Wtedy odpowiedzią byłoby 4 min. Na szczęście żadnego wpływu na metodę rozwiązywania ta pomyłka nie miała.. 10 p. Rozwiazać równanie t x t 15xt 64te 5t + 100t e 5t 5t + 10 cost.
2 Rozwiązanie. Rozwiążemy kolejno równania: 0t x 0t 15x 0 t 0, 1t x 1t 15x 1 t 64te5t, t x t 15x t 100t e 5t, t x t 15x t 5t, 4t x 4t 15x 4 t 10 cost. Równanie charakterystyczne w tym wypadku ma postać 0 λ λ 15 λ 1 16 λ 1 λ λ 5λ +, zatem jego pierwiastkami są liczby 5 oraz. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego wygląda więc tak x 0 t c 1 e 5t + c e t, gdzie c 1, c są dowolnymi liczbami. Aby rozwiązać następne równania wystarczy wskazać jedno rozwiązanie każdego z nich rozwiązanie szczególne, bo każde inne rozwiązanie powstanie przez dodanie do znalezionego rozwiązania szczególnego funkcji x 0. Wiadomo z zajęć, że równanie 1t x 1t 15x 1 t 64te5t ma rozwiązanie postaci wte 5t, gdzie w oznacza pewien wielomian zmiennej t. Zachodzą równości: wte 5t w te 5t + wt 5e 5t w t + 5wt e 5t oraz wte 5t w t + 5wt e 5t w t+5w t+5w t+5wt e 5t w t+10w t+5wt e 5t. Po podstawieniu x 1 t wte 5t drugie równanie przybiera postać 64te 5t wte 5t wte 5t 15wte 5t w t + 8w t e 5t. Dla każdego t powinna zachodzić więc równość 64t w t+8w t. Stopień wielomianu w t+8w t jest równy stopniowi wielomianu w t, bo stopień wielomianu w t jest mniejszy o 1 od stopnia wielomianu w t, zatem stopień wielomianu w t jest równy 1. Wobec tego istnieją takie liczby a, b, że dla każdej liczby t zachodzi równość w t at+b. Wtedy w t a dla każdego t, zatem 64t w t+8w t a+8at+8b. Wystarczy więc aby spełnione były równości 64 8a i 0 a + 8b, czyli a 8 i b 1. Wynika stąd, że zachodzi równość wt 8t 1dt 4t t + const, zatem x 1 t 4t te 5t. Znajdziemy x t. Z twierdzeń z wykładu wynika, że istnieje rozwiązanie postaci wte 5t. Obliczamy: wte 5t w t 5wt e 5t oraz wte 5t w t 10w t + 5wt e 5t. Podstawiając do równania otrzymujemy 100t e 5t wte 5t wte 5t 15wte 5t w t 1w t + 0wt e 5t. Oznacza to, że dla każdego t powinna zachodzić równość 100t w t 1w t+0wt, zatem stopień wielomianu w powinien być równy, więc powinny istnieć takie liczby a, b, c, że dla każdego t zachodzi równość: wt at +bt+c, zatem 100t w t 1w t+0wt 0at +0b 4at+0c 1b+a. Porównując współczynnik przy potęgach t po obu stronach równości otrzymujemy wzory 100 0a, 0 0b 4a oraz 0c 1b+a, zatem a 5, b 6 i c. Wykazaliśmy, że x t 5t +6t+e 5t. Kolej na równanie t x t 15x t 5t. Z twierdzeń udowodnionych na wykładzie wynika istnienie rozwiązania, które jest wielomianem. Załóżmy, że x jest wielomianem. Ponieważ stopień wielomianu t x t 15x t jest równy stopniowi wielomianu x, a z drugiej strony stopniowi wielomianu 5t, więc jest równy. Przyjmijmy, że x t at + bt + c. Po podstawieniu do równania otrzymujemy: 5t 15at 15b + 4at 15c b + a. Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej t po obu stronach tej równości 5 15a, 0 15b a i 15c b + a. Stąd a 15, b 4 i c Możemy więc napisać x t 15t t + 8.
3 Zostało ostatnie równanie 4t x 4t 15x 4 t 10 cost Re 10e it. Rozwiążemy najpierw równanie 5t x 5t 15x 5 t 10e it, a potem podstawimy x 4 t Re x 5 t. Istnieje rozwiązanie postaci wte it. Mamy wte it w t + iwt e it i wte it w t + 6iw t 9wt e it. Podstawiając do równania otrzymujemy 10e it wte it wte it 15wte it w t + 6i w t 9 + 6i + 15wt e it. Wynika stąd od razu, że 10 w t + 6i w t 9 + 6i + 15wt, więc stopień wielomianu w jest równy 0, co oznacza, że wt a dla pewnej liczby a i każdej liczby t, w szczególności w t 0 w t dla każdego t. Wobec tego ia, zatem a x 5 t 4 + ie it 4 + i cost + i sint, więc Ostatecznie otrzymujemy i 104 i 4 + i, zatem 4+6i 64+i4 i 6 17 x 4 t Re x 5 t Re 4 + i cost + i sint 4 cost sint. xt c 1 e 5t + c e t + 4t te 5t + 5t + 6t + e 5t + 15t t + 8 cost sint. Dodajmy jeszcze, że można udawać, że nie używamy liczb zespolonych i poszukiwać rozwiązania równania 4t x 4t 15x 4 t 10 cost w postaci a cost + b sint - w tym miejscu po raz pierwszy w tym zadaniu korzystam od razu z tego, że stopień wielomianu 10, więc liczba 0, nie jest zwiększany, bo liczba i nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego. Otrzymujemy a cost + b sint a cost + b sint 15 a cost + b sint 9a 6b 15a cost + 9b + 6a 15b sint 4a + 6b cost + 6a 4b sint i wobec tego muszą zachodzić równości 4a + 6b 10 i 6a 4b 0. Stąd a 4b i wobec tego b + 6b 10b, więc b 1 i a 4. Oznacza to, że x 4 t 4cost sint, jak poprzednio p. Rozwiazać równanie t x t + 5xt 8e t cos t + 8e t + 4 cos t + 1 sint. Rozwiązanie. Zaczniemy od równania charakterystycznego 0 λ λ + 5 λ + 1 λ iλ + i. Stąd wynika, że rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać x 0 t D 1 e +it + D e it D 1 + D e t cos t + id 1 D e t sin t C 1 e t cos t + C e t sin t. D 1, D oznaczają dowolne liczby zespolone, C 1 D 1 + D, C id 1 D. Można też wyrazić liczby D 1, D za pomocą liczb C 1, C : D 1 1 C 1 ic, D 1 C 1 + ic. Znajdziemy jakieś rozwiązanie równania 1t x 1t + 5x 1 t 8e t cos t Re e +it. Wiadomo z zajęć, że istnieje rozwiązanie równania t x t + 5x t 8e +it postaci wte +it, gdzie w jest pewnym wielomianem i wtedy można przyjąć, że x 1 Re x. Podstawiamy x t wte +it do równania i otrzymujemy 8e +it wte +it wte +it + 5wte +it e +it w t + + iw t + + i w t + iwt + 5wt e +it w t + iw t. Stąd wynika, że ma zachodzić równość 8 w t + iw t, a ona wymusza, by w t 4i, więc w t 0 oczywiście dla każdego t. Wynika stąd, że x t 4ite +it 4te t i cos t + sin t. Wobec tego x 1 t Re 4te t i cos t + sin t 4te t sin t.
4 Teraz zajmiemy się równaniem t x t + 5x t 4 cos t Re 4e it. Najpierw znajdziemy rozwiązanie równania 5t x 5t + 5x 5 t 4e it. Wiadomo, że istnieje taki wielomian w, że funkcja wte it spełnia ostanie równanie. Podstawiając otrzymujemy 4e it wte it wte it + 5wte it e it w t + iw t wt w t iwt + 5wt e it w t + i w t + 4 iwt. Stąd wynika równość 4 w t + i w t + 4 iwt, a z niej z kolei wnioskujemy, że wt i i siłą rzeczy w t 0 w t dla każdego t. Stąd x 4 4i 1 i 5 t 1+i eit 1+i cos t + i sin t, 1+i zatem x t Re cos t + i sin t 1 cos t sin t. Kolej na równanie 4t x 4t + 5x 4 t 1 sint Im 1e it. Zaczniemy od równania zespolonego 6t x 6t + 5x 6 t 1e it. Możemy przyjąć, że x 6 t wte it dla pewnego wielomianu w. Podstawiamy do równania i otrzymujemy: 1e it wte it wte it + 5wte it e it w t + 4iw t wt w t 8iwt + 5wt e it w t iw t + 1 8iwt. Wobec tego 1 w t iw t + 1 8iwt. Oznacza to, ze wielomian w jest stałą jego stopień jest równy 0, zatem w t 0 w t dla każdego t i wt 1 1 8i 11+8i. Otrzymujemy teraz x 4 t Im 11+8i e it Im 11+8i cost + i sint 1 8 cost + sint. Możemy w końcu napisać, że ogólnym rozwiązaniem równania jest funkcja C 1 e t cos t + C e t sin t + 4te t sin t + 1 cos t sin t cost + sint. Uwaga. Osoby, które pamiętają jak zależy stopień quasi-wielomianu od wykładnika i pierwiastków wielomianu charakterystycznego widzą od razu, że gdy po prawej stronie w ostatnim przykładzie występuje jedna z funkcji: 1 sint, 4 cos t bądź 8e t, to rozwiązanie jest iloczynem stałej i funkcji wykładniczej, więc obliczeniach jest prościej, bo wtedy w t 0 w t, a to skraca wzory. Podobnie jest, gdy po prawej stronie występuje funkcja 8e t cos t, ale w tym wypadku w jest wielomianem pierwszego stopnia bo + i jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc stopień trzeba zwiększyć o 1, w którym wyraz wolny można od razu opuścić, bo równanie nie wprowadza nań żadnych ograniczeń wystarczy spojrzeć na rozwiązanie ogólne równania jednorodnego. Bardzo zachęcam studentki i studentów do prześledzenia tych rozumowań uwzględniając dodatkowe informacje na temat wielomianu w, liczę na to, że przynajmniej kilka osób zdecyduje się użyć kartki papieru i pisadła w celu przekonania się, że to trochę upraszcza i skraca zapis zwłaszcza, gdy wielomian w jest stałą. 5. p. Obliczyć d dt 1 + t 1. Wynik uprościć. 8 p. Rozwiazać równanie t x t + 4xt e t. 5/ Rozwiązanie. d dt Mamy 1 + t 1 t 1 + t 1/ + t 1 + t /. d dt 1 + t 1/ d dt 1 + t 1/ t 1/ 1 t t 1/ 1 t Zróżniczkujmy raz jeszcze, choć nic nas do tego nie zmusza: t 1 + t 1/ + t 1 + t / 1 + t 1/ t 1 + t / t / t 1 + t 5/ d dt 1 + t / t / t 1 + t 5/ 1 + t / t 1 + t 5/ 1 + t 5/.
5 Teraz zajmiemy się drugą częścią zadania. Zaczniemy, jak zwykle w przypadku równania liniowego, od rozwiązania równania jednorodnego. Równanie charakterystyczne wygląda tak 0 λ λ + 4 λ, więc λ 1 λ, a to oznacza, że funkcja x 0 t c 1 e t + c te t jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego, tu c 1 i c oznaczają liczby. Rozwiązanie równania niejednorodnego znajdziemy w postaci x 1 t c 1 te t + c tte t, gdzie c 1 i c oznaczają pewne funkcje. Założymy przy tym dodatkowo, że c 1te t + c tte t 0. Mamy e t c 5/ 1 te t + c tte t c1 te t + c tte t + 4 c1 te t + c tte t c 1te t + c tte t + c 1 te t + c tte t c 1 te t + c tte t + c 1 te t + c tte t c 1 te t + c tte t dodatkowe założenie c 1 te t + c tte t c1 te t + c tte t + 4 c 1 te t + c tte t c 1te t + c tte t + c 1 t e t e t + 4e t + c t te t te t + 4te t c 1te t + c tte t ostatnie równość wynika z tego, że funkcje e t i te t są rozwiazaniami równania jednorodnego. Okazuje się więc, że funkcje c 1 i c spełniają układ równań liniowych c 1te t + c tte t 0, c 1te t + c tte t e t. 5/ Zachodzi więc równość e t c 1te t + c tte t + c te t 5/ równości c t, zatem 5/ z pierwszego równania c te t. Prowadzi to do c t dt ttg s ds cos sds cos s1 sin sds sin s sin s+d 5/ dt1+tg sds 1+tg s / +d tg s tg s t 1+tg s 1+tg s t +d t + +d 1 t 1/ +t / +d. Zachodzi równość c 1t tc t t1 + t 5/, zatem c 1 t t1 + t 5/ 1 + t / + d 1. Stąd otrzymujemy xt 1 + t / + d 1 e t + t 1/ + t / + d te t. Oczywiście d 1, d oznaczają tu dowolne stałe. Uwaga. 1 Można otrzymany wzór uprościć: xt 1 + t / + d 1 e t + t 1/ + t / + d te t e t 1 + t / + t 1 + t 1/ + t 1 + t / + d 1 e t + d te t e t 1 + t 1 + t 1/ + d 1 e t + d te t e t 1 + t 1 + d1 e t + d te t. Chociaż prawa strona równania nie jest quasi-wielomianem, można szukać rozwiązania równania w postaci gte t oczywiście nic o funkcji g nie zakładając poza co najmniej dwukrotną różniczkowalnością. Po podstawieniu otrzymujemy e t gte t gte t + 4gte t 5/ g te t + gte t gte t g te t + gte t gte t gte t gte t gte t gte t g te t g te t g te t. Stąd wnioskujemy, że g t 5/, zatem g t t1 + t 1/ + t1 + t / + γ i w końcu gt 1 + t 1 + γt + δ. W końcówce tej uwagi skorzystaliśmy z rezultatów obliczeń, od których rozpoczęliśmy rozwiązanie tego zadania.
Matematyka A kolokwium, 27 maja 2015, godz. 18:15 20:10
Matematyka A kolokwium, 7 maja, godz 8: : Poprawiłem: godz :, 4 września r 3 p Rozwiazać x t x t xt = x t x t xt = 6 + t cos3t + 36te 3t 7e 3t Pierwiastkami równania charakterystycznego = λ λ = λ + 3λ
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowo1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania
1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoMarek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.
Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Rozwiązywanie równań sześciennych - wzory Cardana Każde równanie sześcienne można sprowadzić
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoWykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:
Wykład 6 Funkcje Różniczkowalne - cią dalszy Twierdzenie o arytmetycznyc własnościac pocodnej Załóżmy, że funkcje f i są różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f +, f, f, i, jeśli ( p) 0, to również
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
Bardziej szczegółowoAM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU
6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo