VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów"

Transkrypt

1 VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych rzędów funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej z analogicznymi oznaczeniami. W paragrafie tym rozważać będziemy równania postaci (1) y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n (x)y = b(x), gdzie a 1,...,a n,b : (p,q) K są funkcjami ciągłymi na przedziale (p,q) R. Równania tego kształtu nazywać będziemy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Niech dany będzie układ równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu postaci y 1 = y 2... (2) y n 1 = y n y n = a n (x)y 1... a 1 (x)y n +b(x). Własność 1. Każde rozwiązanie integralne Ψ : (p,q) K n układu (2) jest postaci ϕ ϕ (3) Ψ =., ϕ (n 1) gdzie ϕ : (p, q) K jest integralnym rozwiązaniem równania (1). Odwrotnie, dla każdego rozwiązania integralnego ϕ : (p,q) K równania (1), odwzorowanie Ψ : (p,q) K n postaci (3) jest rozwiązaniem integralnym układu (2). Dowód. Niech Ψ = (ψ 1,...,ψ n ) : (p,q) K n będzie rozwiązaniem integralnym układu (2). Połóżmy ϕ = ψ 1. Wówczas z kolejnych równań układu (2) mamy ϕ (x) = ψ 2 (x)... ϕ (n 1) (x) = ψ n (x) ϕ (n) (x) = a n (x)ψ 1 (x)... a 1 (x)ψ n (x) +b(x), skąd ϕ (n) (x)+a 1 (x)ϕ (n 1) (x)+...+a n (x)ϕ(x) = b(x).

2 Odwrotnie, niech ϕ : (p, q) K spełnia równanie (1). Połóżmy ψ 1 = ϕ, ψ 2 = ϕ,..., ψ n = ϕ (n 1). Wówczas ψ 1 (x) = ψ 2(x)... ψ n 1 (x) = ψ n(x) ψ n(x) = a n (x)ψ 1 (x)... a 1 (x)ψ n (x) +b(x). To kończy dowód. W dalszym ciągu tego paragrafu założymy, że K = R. Zatem a 1,...,a n i b będą teraz funkcjami o wartościach rzeczywistych. Niechη = (η 1,...,η n ) R n. Ponieważ przez każdy punkt(ξ,η) (p,q) R n przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne układu równań liniowych (2), to z powyższej własności dla K = R dostajemy Twierdzenie 1. Dla każdego punktu (ξ,η) (p,q) R n istnieje dokładnie jedno rozwiązanie integralne ϕ : (p, q) R równania (1) spełniające warunki początkowe: ϕ(ξ) = η 1, ϕ (ξ) = η 2,..., ϕ (n 1) (ξ) = η n. Wobec powyższego twierdzenia ograniczymy się tylko do rozwiązań integralnych równania (1). Gdy b = 0, to równanie (1) ma postać (4) y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n (x)y = 0. Równanie (4) nazywać będziemy jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Z własności jednorodnych układów równań liniowych jednorodnych pierwszego rzędu i własności 1 (dla K = R) dostajemy Własność 2. Ogół integralnych rozwiązań równania (4) jest rzeczywistą przestrzenią liniową wymiaru n. Każdą bazę przestrzeni liniowej, o której mowa powyżej, nazywać będziemy fundamentalnym układem rozwiązań równania (4). Z własności 2 otrzymujemy natychmiast Twierdzenie 2. Jeżeli ϕ 1,...,ϕ n tworzą fundamentalny układ rozwiązań równania (4), to ogół rozwiązń integralnych równania (4) wyraża się wzorem ϕ(x) = γ 1 ϕ 1 (x)+...+γ n ϕ n (x), x (p,q), γ 1,...,γ n R. Podamy teraz twierdzenie sprowadzające poszukiwanie fundamentalnego układu rozwiązań równania liniowego jednorodnego n-tego rzędu, do poszukiwania fundamentalnego układu rozwiązań pewnego równania liniowego jednorodnego rzędu n 1. Jest to swoista metoda redukcji dla równania liniowego n-tego rzędu. Niech n > 1 i niech symbol ω[ψ] oznacza ustaloną funkcję pierwotną funkcji ψ : (p, q) R. 54

3 Twierdzenie 3. Jeśli ϕ 1 : (p,q) R jest integralnym rozwiązaniem równania (4), spełniającym warunek ϕ 1 (x) 0 dla x (p,q), to istnieje równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu n 1 postaci (5) z (n 1) +b 1 (x)z (n 2) +...+b n 1 (x)z = 0, o współczynnikach b 1,...,b n 1 : (p,q) R mające następujące własności: (i) ψ : (p,q) R jest integralnym rozwiązaniem równania (5) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ω[ψ] ϕ 1 jest rozwiązaniem integralnym równania (4), (ii) jeśli funkcje ψ 1,...,ψ n 1 tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania (5), to funkcje ϕ 1,ω[ψ 1 ] ϕ 1,...,ω[ψ n 1 ] ϕ 1 tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania (4). Dowód. Wykażemy najpierw pierwszą część twierdzenia. Niech ω : (p, q) R będzie dowolną funkcją n-krotnie różniczkowalną. Funkcja ωϕ 1 jest rozwiązaniem integralnym równania (4) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi tożsamość: n 1 ( ) n ω (n j) ϕ (j) 1 +ωϕ (n) j j=0 1 +a 1 n 2 ( ) n 1 ω (n 1 j) ϕ (j) j j=0 1 +ωϕ (n 1) a n 1 (ω ϕ 1 +ωϕ 1 )+a nωϕ 1 = 0. Ponieważ ϕ 1 jest rozwiązaniem równania (4), to powyższe jest równoważne tożsamości: n 1 ( ) n ω (n j) ϕ (j) n 2 ( ) 1 +a 1 n 1 ω (n 1 j) ϕ (j) a n 1 ω ϕ 1 = 0, j j j=0 j=0 Porządkując ją względem rzędów pochodnej funkcji ω stwierdzamy, że daje się ona zapisać jako ϕ 1 ω (n) +β 1 ω (n 1) +...+β n 1 ω = 0, gdzie funkcje ciągłe β 1,...,β n 1 : (p,q) R zależą wyłącznie od ϕ 1 i a 1,...,a n 1. Z powyższych rozważań i założenia, że ϕ 1 (x) 0 dla x (p,q) wynika, że funkcja ωϕ 1 jest rozwiązaniem integralnym równania (4) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ω jest rozwiązaniem równania postaci (5), gdzie b j = β j /ϕ 1, j = 1,...,n 1. To daje pierwszą część twierdzenia. Z udowodnionej części wynika natychmiast, że funkcie ω[ψ 1 ]ϕ 1,...,ω[ψ n 1 ]ϕ 1 są rozwiązaniami integralnymi równania (4). By dokończyć dowód twierdzenia należy jeszcze wykazać liniową niezależność rozwiązań: ϕ 1,ω[ψ 1 ]ϕ 1,...,ω[ψ n 1 ]ϕ 1. Jeśli to c 1 ϕ 1 +c 2 ω[ψ 1 ]ϕ c n ω[ψ n 1 ]ϕ 1 = 0, c 1,...,c n R, (6) c 1 +c 2 ω[ψ 1 ]+...+c n ω[ψ n 1 ] = 0, gdyż ϕ 1 (x) 0 dla x (p,q). Stąd, Różniczkując powyższą tożsamość otrzymujemy, że c 2 ψ c n ψ n 1 = 0. Zatem c 2 =... = c n = 0, gdyż ψ 1,...ψ n 1 są liniowo niezależne. Stąd na podstawie (6) dostajemy, że również c 1 = 0. To kończy dowód. 55

4 Z dowodu powyższego twierdzenia otrzymujemy wprost następujący wniosek. Wniosek 1. Niech ϕ 1 : (p,q) R będzie integralnym rozwiązaniem równania (7) y +a 1 (x)y +a 2 (x)y = 0 i niech A 1 : (p,q) R będzie ustaloną funkcją pierwotną funkcji a 1. Jeśli ϕ 1 spełnia warunek ϕ 1 (x) 0 dla x (p,q), to układ fundamentalny rozwiązań równania (7) tworzą funkcje ϕ 1,ωϕ 1, gdzie ω jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji e A 1 (ϕ 1 ) 2. Dowód. Podstawiając do równania (7) funkcję ωϕ 1 wyznaczamy równanie zredukowane. Jest ono postaci: ( z + a 1 (x)+2 ϕ 1 (x) ) z = 0. ϕ 1 (x) Układem fundamentalnym tego równania jest jakiekolwiek jego niezerowe rozwiązanie. Z teorii równania liniowego wynika, że jednym z nich jest na przykład ψ(x) = e A 1(x) (ϕ 1 (x)) 2, x (p,q). Skoro ω jest funkcją pierwotną funkcji ψ to na podstawie twierdzenia 3 otrzymujemy tezę. Z twierdzenia 2 i własności 1 (dla K = R) otrzymujemy łatwo Twierdzenie 4. Niech ϕ 0 będzie rozwiązaniem integralnym równania (1) oraz ϕ 1,...,ϕ n będzie fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego (4). Wówczas ogół rozwiązań integralnych równania (1) wyraża się wzorem ϕ(x) = ϕ 0 (x)+γ 1 ϕ 1 (x)+...+γ n ϕ n (x), x (p,q), γ 1,...,γ n R. Niech ϕ 1,...,ϕ n będą integralnymi rozwiązaniami równania (4). Wyznacznik [ W(x) = det ϕ (j 1) k nazywamy wrońskianem układu ϕ 1,...,ϕ n. ] (x) = 1 j,k n ϕ 1 (x)... ϕ n (x) ϕ 1 (x)... ϕ n(x)... ϕ (n 1) 1 (x)... ϕ (n 1) n (x) Uwaga 1. Gdy dany jest układ fundamentalny rozwiązań ϕ 1,...,ϕ n równania (4), to rozwiązanie szczególne ϕ 0 równania (1) można znaleźć metodą uzmienniania stałych, korzystając z odpowiedniego twierdzenia dla układów równań liniowych. Dokładniej, rozwiązanie ϕ 0 jest postaci ϕ 0 (x) = c 1 (x)ϕ 1 (x)+...+c n (x)ϕ n (x), gdzie c 1,...,c n są ustalonymi funkcjami pierwotnymi funkcji W 1 Wn W,..., W, przy czym W jest wrońskianem układu fundamentalnego ϕ 1,...,ϕ n, a 0... ϕ n (x) ϕ 1 (x)... 0 W 1 (x) = 0... ϕ n (x)...,..., W n (x) = ϕ 1 (x) b(x)... ϕ n (n 1) (x) ϕ (n 1) 1 (x)... b(x) 56

5 2. Jednorodne równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach Pod tą nazwą rozumieć będziemy równanie postaci (1) y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = 0, gdzie a 1,...,a n K. Tutaj podobnie jak poprzednio K = R lub K = C. Wielomianem charakterystycznym równania (1) nazywamy wielomian postaci D(λ) = λ n +a 1 λ n a n. Rozważmy teraz jednorodny układ równań różniczkowch liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach postaci (2) y 1 = y 2... y n 1 = y n y n = a n y a 1 y n. Macierz charakterystyczna tego układu jest postaci λ A n = a n a n 1... a 1 λ Wielomian charakterystyczny układu (2), będący wyznacznikiem powyższej macierzy jest równy ( 1) n (λ n +a 1 λ n a n ), co sprawdzamy indukcyjnie, gdyż jak łatwo wynika z własności wyznaczników deta n = λdeta n 1 +( 1) n a n. Widzimy stąd, że wielomian charakterystyczny D równania (1) ma identyczne pierwiastki z wielomianem charakterystycznym układu (2). Twierdzenie 1. Jeżeli λ 0 K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego D, to (3) e λ 0x,xe λ 0x,...,x p 1 e λ 0x są liniowo niezależnymi nad K rozwiązaniami równania (1). Dowód. Z powyższej obserwacji wynika, że λ 0 jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznewgo układu (2). Zatem z twierdzenia dotyczącego układów równań z p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego i z własności 1 z poprzedniego paragrafu dostajemy, że równanie (1) ma p liniowo niezależnych nad K rozwiązań postaci (4) e λ 0x P 1 (x),...,e λ 0x P p (x), 57

6 gdzie P k jest wielomianem o współczynnikach z ciała K stopnia nie większego niż k 1, k = 1,...,p. Wynika stąd, że wielomiany P 1,...,P p są również liniowo niezależne nad K. Łatwo sprawdzamy, że zbiór wielomianów stopnia nie większego niż p 1 jest p-wymiarową przestrzenią liniową nad K. Zatem P 1,...P p są jej bazą. W konsekwencji dla każdego k {0,...,p 1} x k = a k1 P 1 (x)+...+a kp P p (x), x R, gdzie a kl K. Stąd (5) x k e λ 0x = a k1 P 1 (x)e λ 0x +...+a kp P p (x)e λ 0x, x R. Łatwo sprawdzamy, że kombinacja liniowa rozwiązań równania (1) jest jego rozwiązaniem. Stąd, z (4) i (5) dostajemy, że funkcje postaci (3) są rozwiązaniemi równania (1). Są one oczywiście liniowo niezależne nad K. To kończy dowód. W dalszym ciągu zakładamy, że K = R i a 1,...,a n R. Bezpośrednio z powyższego twierdzenia dostajemy Wniosek 1. Jeżeli λ 0 jest p-krotnym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego D, to równanie (1) ma p liniowo niezależnych nad R rozwiązań postaci e λ0x,xe λ0x,...,x p 1 e λ0x, x R. Wniosek 2. Jeżeli λ 0 = σ + iτ jest p-krotnym zespolonym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego D, gdzie τ 0, to równanie (1) ma 2p liniowo niezależnych nad R rozwiązań postaci (6) e σx cosτx,xe σx cosτx,...,x p 1 e σx cosτx, x R, e σx sinτx,xe σx sinτx,...,x p 1 e σx sinτx, x R. Dowód. Z twierdzenia 1 (dla K = C) wynika, że funkcje postaci e λ 0x,xe λ 0x,...,x p 1 e λ 0x, x R. są rozwiązaniemi równania (1). Stąd i z faktu, że równanie (1) ma teraz współczynniki rzeczywiste wynika, że funkcje postaci (6) są również rozwiązaniemi równania (1). Liniowa niezależność nad R rozwiązań (6) wynika z lematu 1 z rozdziału V. To kończy dowód. Z lematu 1 z rozdziału V i z powyższych wniosków dostajemy łatwo twierdzenie o fundamentalnym układzie rozwiązań równania (1). Niech λ 1 = σ 1 + iτ 1,...,λ r = σ r +iτ r będą wszystkimi różnymi pierwiastkami wielomianu D, spełniającymi warunek τ k 0. Niech p 1,...,p r będą odpowiednio krotnościami tych pierwiastków. Twierdzenie 2. Jeżeli dla każdego k {1,...,r} zgodnie z wnioskiem 1 albo 2 przyporządkujemy p k albo 2p k rozwiązań w zależności od tego czy τ k = 0, czy τ k > 0, to otrzymamy fundamentalny układ rozwiązań równania (1). 58

7 3. Metoda przewidywań Równanie postaci (1) y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = b(x), gdzie a 1,...,a n R i b : (p,q) R jest funkcją ciągłą, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Odpowiada mu równanie jednorodne postaci (2) y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = 0. Jeżeli znamy układ fundamentalny ϕ 1,...,ϕ n rozwiązań równania jednorodnego (2), to szczególne rozwiązanie ϕ 0 równania niejednorodnego (1) możemy wyznaczyć metodą uzmienniania stałych. Jednak w pewnych przypadkach możemy zastosowć inną metodę. Twierdzenie 1. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = e αx( P n (x)cosβx+q n (x)sinβx ), gdzie P n i Q n są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, z których jeden jest stopnia n, a drugi co najwyżej stopnia n, to: 1. ϕ 0 (x) = e αx( R n (x)cosβx+s n (x)sinβx ), gdy liczba zespolona λ = α+iβ nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ 0 (x) = x k e αx( R n (x)cosβx+s n (x)sinβx ), gdy liczba zespolona λ = α+iβ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k 1, gdzie R n i S n są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, z których jeden jest stopnia n, a drugi co najwyżej stopnia n. Wniosek 1. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n, to: 1. ϕ 0 (x) = R n (x), gdy λ = 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ 0 (x) = x k R n (x), gdy λ = 0 jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k 1, gdzie R n jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n. Wniosek 2. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = e αx P n (x), gdzie P n jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n, to: 1. ϕ 0 (x) = e αx R n (x), gdy liczba λ = α nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ 0 (x) = x k e αx R n (x), gdy λ = α jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k 1, gdzie R n jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n. 59

8 Wniosek 3. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = acosβx+bsinβx, gdzie a,b R, to: 1. ϕ 0 (x) = a 1 cosβx+b 1 sinβx, gdy λ = iβ nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ 0 (x) = x k (a 1 cosβx+b 1 sinβx), gdy λ = iβ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k 1, gdzie a 1,b 1 R. Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja ϕ 1 jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = b 1 (x), natomiast funkcja ϕ 2 jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = b 2 (x), to funkcja ϕ 1 +ϕ 2 jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n y = b 1 (x)+b 2 (x). 60

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania różniczkowe liniowe II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów

Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów Różniczkowalna zależność 1 Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów Rozważmy zagadnienie początkowe x =f(t,x,p) (1) x()=ξ. Funkcjafjestokreślonanazbiorze(a,b) R S,gdzieRjestwnętrzem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

I. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

I. Równania różniczkowe pierwszego rzędu I. Równania różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu w postaci normalnej W rozdziale tym rozważamy równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu. Na początek zajmiemy się

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych

Elementy metod numerycznych Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego

Bardziej szczegółowo

Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian

i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian 9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo