Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14"

Transkrypt

1 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny: x (n) (t) + a n 1 x (n 1) (t) a 1 x (t) + a 0 x(t) = 0, (1) F (λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0. Załóżmy, że ten wielomian ma pierwiastki λ 1, λ 2,..., λ m o krotnościach k 1,..., k m odpowiednio. Wówczas funkcje postaci: e λ 1t, te λ 1t,..., t k 1 1 e λ 1t e λ 2t, te λ 2t,..., t k 2 1 e λ 2t. e λmt, te λmt,..., t km 1 e λmt tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania (1), tzn. jeśli powyższe funkcje oznaczymy jako x 1,..., x n, wtedy każde rozwiązanie x równania (1) jest postaci gdzie c 1, c 2,..., c n C. x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t), Zadanie 1. Rozwiązać jednorodne równanie różniczkowe: y (7) (t) 3y (6) (t) + 5y (5) (t) 7y (4) (t) + 7y (3) (t) 5y (t) + 3y (t) y(t) = 0. Rozwiązanie. Wielomian charakterystyczny: F (λ) = λ 7 3λ 6 + 5λ 5 7λ 4 + 7λ 3 5λ 2 + 3λ 1 = 0. Widać, że λ = 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Dzieląc trzy razy przez λ 1 otrzymujemy Zatem F (λ) = (λ 1) 3 (λ 4 + 2λ 2 + 1). F (λ) = (λ 1) 3 (λ + i) 2 (λ i) 2. 1

2 Pierwiastki wielomianu λ 1 = 1, k 1 = 3, λ 2 = i, k 1 = 2, λ 1 = i, k 1 = 2, zatem układ fundamentalny rozwiązań ma postać: e t, te t, t 2 e t e it, te it e it, te it Zatem każde rozwiązanie możemy zapisać w postaci: gdzie c 1,..., c 7 C. y(t) = c 1 e t + c 2 te t + c 3 t 2 e t + c 4 e it + c 5 te it + c 6 e it + c 7 te it, Ponieważ dla dowolnego t R mamy więc także e it = cos t + i sin t, e it = cos t i sin t, a zatem układem fundamentalnym jest także e t, te t, t 2 e t cos t, sin t, t cos t, t sin t. Komentarz: Funkcję e t można zapisać w postaci szeregu Taylora: e t = n=0 dla dowolnego t R. Powyższego zapisu możemy użyć jako definicji funkcji e z dla z C, mianowicie e z = n=0 Z kryterium Weierstrassa szereg ten jest zbieżny dla każdego z C, czyli funkcja jest dobrze zdefiniowana. W ten sam sposób rozwijając w szereg Taylora funkcje sinus i cosinus możemy otrzymać ich definicje dla dowolnego z C. Okazuje się, że wtedy dla z C t n n! z n n!. e iz = cos z + i sin z, czyli w szczególności dla z = t R otrzymujemy e it = cos t + i sin t. 2

3 Metoda rozwiązywania (Niejednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). x (n) (t) + a n 1 x (n 1) (t) a 1 x (t) + a 0 x(t) = f(t), (2) gdzie a 0,..., a n 1 C, f : R C. Niech x 1,..., x n będzie fundamentalnym układem rozwiązań oraz x(t) = c 1 x 1 (t) +...+c n x n (t) rozwiązaniem ogólnym rozwiązania jednorodnego. Dowodzi się, że każde rozwiązanie równania (2) jest postaci x(t) = c 1 (t)x 1 (t) c n (t)x n (t), gdzie funkcje c 1,..., c n można wyznaczyć z układu równań c 1(t)x 1 (t) +... c n(t)x n (t) = 0 c 1(t)x 1(t) +... c n(t)x n(t) = 0. c 1(t)x (n 2) 1 (t) +... c n(t)x (n 2) n (t) = 0 c 1(t)x (n 1) 1 (t) +... c n(t)x (n 1) n (t) = f(t) Zadanie 2. Rozwiązać niejednorodne równanie różniczkowe: y (x) 7y (x) + 19y (x) 13y(x) = 13x 3 57x 2 10x Rozwiązanie. Równanie jednorodne: Wielomian charakterystyczny: y (x) 7y (x) + 19y (x) 13y(x) = 0. F (λ) = λ 3 7λ λ 13. Widać, że λ = 1 jest pierwiastkiem wielomianu, zatem i dalej F (λ) = (λ 1)(λ 2 6λ + 13). F (λ) = (λ 1)(λ 3 2i)(λ 3 + 2i). Pierwiastki równania: λ 1 = 1, k 1 = 1, λ 2 = 3 +2i, k 2 = 1, λ 3 = 3 2i, k 3 = 1. Układ fundamentalny rozwiązań: e x e (3+2i)x e (3 2i)x. 3

4 Zatem ogólna postać rozwiązania równania jednorodnego dana jest wzorem: y(x) = c 1 e x + c 2 e (3+2i)x + c 3 e (3 2i)x. Szukamy rozwiązania równania niejednorodnego postaci y(x) = c 1 (x)e x + c 2 (x)e (3+2i)x + c 3 (x)e (3 2i)x, gdzie funkcje c 1, c 2, c 3 są dane układem równań c 1(x)e x + c 2(x)e (3+2i)x + c 3(x)e (3 2i)x = 0 c 1(x)e x + c 2(x)(3 + 2i)e (3+2i)x + c 3(x)(3 2i)e (3 2i)x = 0 c 1(x)e x + c 2(x)(3 + 2i) 2 e (3+2i)x + c 3(x)(3 2i) 2 e (3 2i)x = 13x 3 57x 2 10x Zadanie 3. Rozwiązać równanie różniczkowe: y (t) 2y (t) + y(t) = et t. Rozwiązanie. Rozwiązujemy równanie jednorodne: Wielomian charakterystyczny: y (t) 2y (t) + y(t) = 0. F (λ) = λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2. Pierwiastki λ = 1, k = 2. Zatem układ fundamentalny ma postać: e t, te t. Wzór ogólny rozwiązania równania jednorodnego: gdzie c 1, c 2 C. y(t) = c 1 e t + c 2 te t, Rozwiązujemy równanie niejednorodne. Rozwiązanie ma postać y(t) = c 1 (t)e t + c 2 (t)te t, gdzie funkcje c 1, c 2 spełniają układ równań: c 1(t)e t + c 2(t)te t = 0 c 1(t)e t + c 2(t)(e t + te t ) = et t. Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy c 2(t)e t = et t, 4

5 czyli c 2 (t) = ln t + a 2, gdzie a 2 C. Podstawiając c 2 do pierwszego równania otrzymujemy c 1 (t) = t + a 1, gdzie a 1 C. Zatem rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego ma postać y(t) = ( t + a 1 )e t + (ln t + a 2 )te t. Zadanie 4. Rozwiązać metodą eliminacji układ równań: u (t) = 3u(t) v(t) + t v (t) = u(t) v(t) + t 2 gdzie u(0) = 3 i v(0) = Rozwiązanie. Z pierwszego równania wyznaczamy v v(t) = u (t) 3u(t) + t. (3) Różniczkując otrzymujemy v (t) = u (t) 3u (t) + 1. Podstawiając do drugiego równania otrzymujemy u (t) 3u (t) + 1 = u(t) + u (t) + 3u(t) t + t 2, co daje równanie liniowe niejednorodne u (t) + 4u (t) + 4u(t) = t 2 + t + 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne u (t) + 4u (t) + 4u(t) = 0. Wielomian charakterystyczny F (λ) = λ 2 + 4λ + 4 = (λ + 2) 2. Pierwiastki λ = 2, k = 2. Zatem układ fundamentalny e 2t, te 2t. Ogólna postać rozwiązania równania jednorodnego: u(t) = c 1 e 2t + c 2 te 2t (c 1, c 2 C). 5

6 Rozwiązujemy równanie niejednorodne. Szukamy rozwiązania postaci: u(t) = c 1 (t)e 2t + c 2 (t)te 2t, gdzie funkcje c 1, c 2 spełniają układ równań { c 1 (t)e 2t + c 2(t)te 2t = 0 c 1(t)( 2)e 2t + c 2(t)(e 2t 2te 2t ) = t 2 + t + 1. Można go zapisać w postaci { c 1 (t) + c 2(t)t = 0 2c 1(t) + c 2(t)(1 2t) = ( t 2 + t + 1)e 2t. Mnożąc pierwsze równanie przez 2 i dodając do drugiego otrzymujemy c 2(t) = ( t 2 + t + 1)e 2t, co daje ( c 2 (t) = 1 ) 2 t2 + t e 2t + a 2 (a 2 C). Podstawiając c 2 do pierwszego równania otrzymujemy c 1(t) = (t 3 t 2 t)e 2t i c 1 (t) = ( 1 2 t3 5 4 t t 3 8) e 2t + a 1 (a 1 C). Zatem postać ogólna rozwiązania równania niejednorodnego ( 1 u(t) = 2 t3 5 4 t ) t 3 ( + = 1 4 t t a 1e 2t + a 2 te 2t. Możemy obliczyć pochodną u 1 ) 2 t2 + t t + a 1 e 2t + a 2 te 2t u (t) = 1 2 t a 1e 2t + a 2 (e 2t 2te 2t ). Podstawiając do (3) otrzymujemy ( v(t) = 1 ) 2 t+3 4 2a 1e 2t +a 2 (e 2t 2te 2t ) 3 ( 1 4 t2 + 3 ) 4 t 3 8 +a 1e 2t +a 2 te 2t +t = 3 4 t2 3 4 t (( a 1 a 2 )e 2t a 2 te 2t ). 6

7 Ostatecznie rozwiązanie ogólne ma postać gdzie a 1, a 2 C. u(t) = 1 4 t t a 1e 2t + a 2 te 2t v(t) = 3 4 t2 3 4 t (( a 1 a 2 )e 2t a 2 te 2t ), Biorąc pod uwagę warunki początkowe otrzymujemy: 3 8 = u(0) = a 1 a 1 = = v(0) = 3 8 a 2 a 2 = 2 8, czyli funkcje spełniające układ równań i warunki początkowe mają postać u(t) = 1 4 t t te 2t v(t) = 3 4 t2 3 4 t e 2t 2 8 te 2t. 7

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2) Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania

Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania Równania różniczkowe zwyczajne analityczne meto rozwiazywania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8 Plan Określenia podstawowe 1 Wstęp Określenia podstawowe

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania różniczkowe liniowe II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko

Bardziej szczegółowo

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru. Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych

Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium, 27 maja 2015, godz. 18:15 20:10

Matematyka A kolokwium, 27 maja 2015, godz. 18:15 20:10 Matematyka A kolokwium, 7 maja, godz 8: : Poprawiłem: godz :, 4 września r 3 p Rozwiazać x t x t xt = x t x t xt = 6 + t cos3t + 36te 3t 7e 3t Pierwiastkami równania charakterystycznego = λ λ = λ + 3λ

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne Funkcje hiperboliczne Mateusz Goślinowski grudnia 06 Geometria hiperboli Zastanówmy się nad następującym faktem. Zauważmy, jak podobne są równania okręgu jednostkowego i hiperboli jednostkowej: x + y x

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN Z ANALIZY II R

EGZAMIN Z ANALIZY II R EGZAMIN Z ANALIZY II R Instrukcja obsługi Za każde zadanie można dostać 4 punkty Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie W nagłówku rozwiązania należy umieścić

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Transmitancje układów ciągłych

Transmitancje układów ciągłych Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) = Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO 2016-09-01 MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO SZKOŁY BENEDYKTA Ramowy rozkład materiału Klasa II I. Trójmian kwadratowy II. Wielomiany III. Funkcja wymierna IV. Funkcje dowolnego argumentu V.

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część VI: Trygonometria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2

Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 Przykłady: Programy

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające pochodne funkcji y(x) względem

Bardziej szczegółowo