Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Transkrypt

1 Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko RRLJ2) Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania globalnego problemu początkowego dla RRLJ 2 : Dowód (idea) : równanie II rzędu zamienić na układ 2x2 równań I rzędu i skorzystać z twierdzenia Picarda o globalnym rozwiązaniu.

2 Postać rozwiązania ogólnego RRLJ2 Dowód: Problem: jak wyznaczyć dwa liniowo niezależne rozwiązania RRLJ2 (zbiór fundamentalny rozwiązań)? Odpowiedź jest znana tylko w bardzo szczególnych przypadkach, z których najważniejszy to RRLJ2 o stałych współczynnikach

3 Równania liniowe drugiego rzędu jednorodne o stałych współczynnikach Szukamy rozwiązań postaci gdzie r jest liczbą rzeczywistą, którą chcemy wyznaczyć. Wstawiamy y(t) do równania i otrzymujemy: Czyli szukane r musi spełniać równanie Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym, a jego prawą stronę wielomianem charakterystycznym danego równania Mamy trzy przypadki: Ponieważ wrońskian tych funkcji

4 to są one liniowo niezależne, więc rozwiązanie ogólne dane jest wzorem Ponieważ mamy tylko jeden pierwiastek, to mamy tylko jedno rozwiązanie postaci y t e. () rt 0 1 Drugiego rozwiązania szukamy w postaci Po podstawieniu do równania mamy rt 0 af '' e 0 f ( t) kt l gdzie k,l są dowolnymi stałymi. Przyjmujemy k=0 i l=1 i drugim rozwiązaniem jest () r y 0 2 t te t. Sprawdzamy liniową niezależność obu rozwiązań Czyli w tym przypadku ogólne rozwiązanie ma postać

5 Wówczas Krótka wycieczka w krainę rozwiązań zespolonych: jeżeli dla funkcji z( t) u( t) iv( t) zmiennej rzeczywistej o wartościach zespolonych określimy pochodną wzorem z '( t) u'( t) iv'( t), to możemy szukać rozwiązań zespolonych równań różniczkowych. Ta idea prowadzi do zaawansowanej teorii, ale tutaj wykorzystamy ją jedynie jako trik do uzyskania potrzebnych rozwiązań rzeczywistych. Zauważmy, że a) jeżeli z(t) jest rozwiązaniem zespolonym RRLJ2, to część rzeczywista i urojona są rozwiązaniami rzeczywistymi RRLJ2 b) podobnie jak w przypadku rzeczywistym, również dla r zespolonego mamy wzór ( e rt )' równania charakterystycznego, to RRLJ2, c) czyli część rzeczywista i urojona rt re, a stąd jeżeli r jest zespolonym pierwiastkiem rt e jest zespolonym rozwiązaniem rt e daje parę rozwiązań rzeczywistych Sprawdzamy czy są one liniowo niezależne. Czyli rozwiązanie ogólne dane jest wzorem

6 Równania II-go rzędu, niejednorodne (RRLN2) Dowód: opiera się na obserwacji, że różnica dwóch rozwiązań (RRLN) jest rozwiązaniem (RRLJ). UWAGA 1. Twierdzenie dotyczy RRL ze zmiennymi współczynnikami (nie tylko ze stałymi) UWAGA 2. To wersja znanego twierdzenia dla RRL I rzędu: ROLN = ROLJ+RSzN Problem: jak wyznaczyć RSzRN?

7 Metoda ogólna uzmiennianie stałych Szukamy RSzRN w postaci Obliczamy Przed policzeniem drugiej pochodnej y(t), w celu uproszczenia rachunków, zakładamy, że co daje pierwsze równanie. Przy tym założeniu liczymy drugą pochodną i wszystko wstawiamy do równania. Po wykonaniu rachunków i wykorzystaniu założeń mamy drugie równanie, które łącznie z pierwszym daje układ liniowy na niewiadome C 1 i C 2 Ponieważ wyznacznikiem głównym jest wrońskian fundamentalnego zbioru rozwiązań, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Czyli istnieje rozwiązanie w przewidywanej postaci (oczywiście trzeba jeszcze wyliczyć C 1 i C 2 ).

8 Metoda przewidywań wygodna, ale tylko do prawych stron specjalnej postaci UWAGA: to jest krótka forma zapisu metody przewidywań, co nie oznacza, że dla wszystkich czytelna. Warto zapoznać się z innymi sposobami zapisu dopuszczalnej prawej strony. Szczegóły na ćwiczeniach. Czas na przykłady!