Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka"

Transkrypt

1 Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38

2 Równania różniczkowe zwyczajne II-ego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F(x,y,y,y )=0, (1) w którym niewiadomą jest funkcjay=y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzędu tej funkcji, tzn.y = dy dx,y = d2 y dx 2. Równania różniczkowe str. 2/38

3 Rozwiazanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego Rozwiazaniem lub całka równania różniczkowego F(x,y,y,y )=0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcje zmiennejxwyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x) h(x,y)=0, która ma pochodne do rzędunwłącznie i spełnia równanie F(x,y,y,y )=0 dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 3/38

4 Rozwiazaniem ogólnym lub całka ogólna równaniaf(x,y,y,y )=0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równaniaf(x,y,y,y )=0 zależne od dwóch dowolnych stałychc 1,C 2 wyrażone w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x,c 1,C 2 ) h(x,y,c 1,C 2 )=0, i takie, że podstawiajac dowolne wartości zac 1,C 2 otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Równania różniczkowe str. 4/38

5 Podstawiając zac 1,C 2 konkretne wartości otrzymamy tzw. lub równaniaf(x,y,y,y )=0. całkę szczególna rozwiazanie szczególne Równania różniczkowe str. 5/38

6 Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie poczatkowe) Zagadnienie Cauchy ego dla równaniaf(x,y,y,y )=0polega na znalezieniu całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki poczatkowe: (W) y(x 0 )=y 0, y (x 0 )=y 1 gdzie wartość poczatkowax 0 (a,b), zaś wartości poczatkowey 0 iy 1 są dowolnymi z góry wybranymi liczbami. Równania różniczkowe str. 6/38

7 Równania sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równanie postacif(x,y,y )=0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie y =u Wówczas y =u i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F(x,u,u )=0. Równania różniczkowe str. 7/38

8 Równania sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równanie postacif(y,y,y )=0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie Wówczas y =v(y) y = dy dx =dv dx =dv dy dy dx =v y =v v i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F(y,v,v v)=0. Równania różniczkowe str. 8/38

9 Przykład Rozważmy równaniey ( x 2 +1 ) =2xy. Stosując podstawienieu=y, otrzymujemy u ( x 2 +1 ) =2xu du u = 2x x 2 +1 dx du u = 2x x 2 +1 dx ln u =ln ( x 2 +1 ) +ln C 1 u=c 1 (x 2 +1 ). Równania różniczkowe str. 9/38

10 Przykłady ( x 2 +1 ) =2xy (c.d.) Ponieważu=y, więc otrzymujemy y =C 1 ( x 2 +1 ) ( 1 y=c 1 3 x3 +x Rozważmy zagadnienie Cauchy ego ) +C 2. y (x 2 +1)=2xy, y(0)=1,y (0)=3, WówczasC 2 =1 ic 1 =3. Zatem rozwiązaniem danego zagadnienia Cauchy ego jest całka y=x 3 +3x+1. Równania różniczkowe str. 10/38

11 Przykład Rozważmy równaniey y =(y ) 2. Stosując podstawieniey =v(y) y =v v, otrzymujemy yv v=v 2 v = v y dv v =dy y dv v = dy y ln v =ln y +ln C 1 v=c 1 y. Równania różniczkowe str. 11/38

12 Przykłady y =(y ) 2 (c.d.) Ponieważv=y, więc otrzymujemy y =C 1 y dy y =C 1 dx ln y =C 1 x+ln C 2 y=c 2 e C 1x. Równania różniczkowe str. 12/38

13 Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów Równaniem różniczkowym liniowym rzędunnazywamy równanie postaci: y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=f(x), (2) gdziea 1,a 2,...,a n if są danymi funkcjami ciągłymi na(a,b). Jeślif 0, to równanie (2) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeślif 0, to to równanie (2) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN Równania różniczkowe str. 13/38

14 Układ fundamentalny całek (rozwiazań) Rozwiązaniay 1,y 2,...,y n są liniowo niezależne na przedziale(a,b) dla każdegox (a,b) spełniony jest warunek y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x) y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y n (n 1) (x) 0 (3) Wyznacznik występujący w (3) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (lub wrońskianem) i ozn. symbolemw[y 1,y 2,...,y n ](x). Definicja: Układem fundamentalnym całek (rozwiazań) nazywamy układnliniowo niezależnych rozwiązań. Równania różniczkowe str. 14/38

15 Całka ogólna (rozwiazanie ogólne) równania liniowego jednorodnego RJ y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=0 Niech całkiy 1,y 2,...,y n będą fundamentalnym układem rozwiązań równania RJ y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=0, wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn. y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n, Równania różniczkowe str. 15/38

16 Całka ogólna (rozwiazanie ogólne) równania liniowego niejednorodnego RN y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=f(x) Twierdzenie. Niech y 1, y 2,...,y n liniowo niezależne rozwiązania równania RJ na przedziale(a, b) R y s całka szczególna RN. Wtedy całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n +y s, czyli CORN = CORJ + CSRN. Równania różniczkowe str. 16/38

17 Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y +py +qy=f(x), (4) gdziep,q R zaśf jest daną funkcją ciągłą na(a,b). Jeślif 0, to równanie (6) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeślif 0, to to równanie (6) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. Równania różniczkowe str. 17/38

18 Rozwiazanie równania liniowego II-ego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y +py +qy=f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: RJ y +py +qy=0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y=e rx Równania różniczkowe str. 18/38

19 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y +py +qy=0 Wtedy y=e rx y =re rx y =r 2 e rx i podstawiając funkcjęy do RJ otrzymujemy równanie r 2 +pr+q=0 zwane równaniem charakterystycznym. Równania różniczkowe str. 19/38

20 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y +py +qy=0 Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r 2 +pr+q=0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Pierwiastki ( ) Całki szczególne RJ Całka ogólna RJ >0 r 1 r 2 y 1 =e r1x,y 2 =e r 2x y=c 1 e r1x +C 2 e r 2x =0 r 0 y 1 =e r0x,y 2 =xe r 0x y=c 1 e r0x +C 2 xe r 0x <0 r 1,2 =α±βi y 1 =e αx sinβx y=c 1 e αx sinβx+c 2 e αx cosβx y 2 =e αx cosβx Równania różniczkowe str. 20/38

21 Równania różniczkowe liniowe y +py +qy=f(x),p,q R Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: CORN = CORJ + CSRN. Metodę stosujemy, gdy równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (p,q R) f(x)= wielomian stopnian asinωx+bcosωx ae λx, lubf(x) jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji. Równania różniczkowe str. 21/38

22 Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) Przewidywanie postaci całki szczególnejy s (x) równania RN y +py +qy=f(x),, p,q R Niechλ+ωi (λ,ω R) będziek-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznegor 2 +pr+q=0. Wówczas Postaćf(x) Postać przewidywanay s (x) P n (x)=a n x n +...+a 1 x+a 0 x k (A n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx x k (Acosωx+Bsinωx) P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm x k W n (x)cosωx+x k M n (x)sinωx P n (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm x k W n (x)e λx cosωx+x k M n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Równania różniczkowe str. 22/38

23 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 Równania różniczkowe str. 23/38

24 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C Równania różniczkowe str. 23/38

25 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x Równania różniczkowe str. 23/38

26 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 23/38

27 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x Równania różniczkowe str. 23/38

28 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x Równania różniczkowe str. 23/38

29 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x Równania różniczkowe str. 23/38

30 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 23/38

31 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x Równania różniczkowe str. 23/38

32 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x Równania różniczkowe str. 23/38

33 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x y +9y=sin3x Równania różniczkowe str. 23/38

34 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x y +9y=sin3x = y s (x)=axsin3x+bxcos3x Równania różniczkowe str. 23/38

35 Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcjey 1 (x),y 2 (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y +py +qy=0,p,q R, to całka ogólna równania RN y +py +qy=f(x),p,q R, ma postać y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x), gdziec 1 (x),c 2 (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) C 1(x) C 2 (x) = 0 f(x). (5) Równania różniczkowe str. 24/38

36 Przykład Rozważmy równaniey y= 8 e 2x +1. Równanie jednorodney y=0 ma następujące równanie charakterystyczner 2 1=0, którego pierwiastkami sąr 1 =1 ir 2 = 1. Zatem CORJ ma postać y=c 1 e x +C 2 e x, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y=c 1 (x)e x +C 2 (x)e x, Równania różniczkowe str. 25/38

37 Przykład y y= 8 e 2x +1 (RN) (c.d.) W celu wyznaczenia funkcjic 1 (x),c 2 (x) rozwiązujemy układ: C 1(x)= 4e x e 2x +1 C 2(x)= 4ex e 2x +1 Wtedy e x C 1(x)+e x C 2(x)=0 e x C 1(x) e x C 2(x)= 8 e 2x +1 C 1 (x)= 4e x 4arctge x + C 1 C 2 (x)= 4arctge x + C 2 y(x)= C 1 e x + C 2 e x 4 4e x arctge x 4e x arctge x. Równania różniczkowe str. 26/38

38 Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów Równaniem różniczkowym liniowym rzędun o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), (6) gdziea 1,...,a n R zaśf jest daną funkcją ciągłą na przedziale (a,b). Równania różniczkowe str. 27/38

39 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowegon-tego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu: RJ y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y=e rx Równania różniczkowe str. 28/38

40 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Wtedy y=e rx y =re rx. y (n) =r n e rx i podstawiając funkcjęy do RJ otrzymujemy równanie r n +a 1 r n a n 1 r+a n =0 zwane równaniem charakterystycznym. Równania różniczkowe str. 29/38

41 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r n +a 1 r n a n 1 r+a n =0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Rozkład lewej strony równania ( ) na czynniki postaci : Rozwiązania szczególne równania jednorodnego RJ r a (r a) k,(k>1) p 2 4q<0 r 2 +pr+q y 1 =e ax y 1 =e ax,y 2 =xe ax,...y k =x k 1 e ax y 1 =e αx cosβx,y 2 =e αx sinβx (r 2 +pr+q) k,(k>1) y 1 =e αx cosβx,y 3 =xe αx cosβx,...,y 2k 1 =x k 1 e αx cosβx α= 1 2 p,β= 1 4q p 2 2 y 2 =e αx sinβx,y 4 =xe αx sinβx,...,y 2k =x k 1 e αx sinβx Rozwiązanie ogólne RJ: y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n Równania różniczkowe str. 30/38

42 Równania różniczkowe liniowe y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x),a i R Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, gdy CORN = CORJ + CSRN. równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (a i R,i=1,2,...,n) f(x)= wielomian stopnian asinωx+bcosωx ae λx, lubf(x) jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji. Równania różniczkowe str. 31/38

43 Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) Przewidywanie postaci całki szczególnejy s (x) równania RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), gdziea i R,i=1,...,n Niechλ+ωi,λ,ω R, będziek-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r n +a 1 r n a n 1 r+a n =0. Wówczas Postaćf(x) Postać przewidywanay s (x) P n (x)=p n x n +...+p 1 x+p 0 x k (A n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx x k (Acosωx+Bsinωx) P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm x k W n (x)cosωx+x k M n (x)sinωx (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm x k W n (x)e λx cosωx+x k M n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Równania różniczkowe str. 32/38

44 Przykłady y y =x 2 +8 Równania różniczkowe str. 33/38

45 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) Równania różniczkowe str. 33/38

46 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x Równania różniczkowe str. 33/38

47 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 33/38

48 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x Równania różniczkowe str. 33/38

49 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x Równania różniczkowe str. 33/38

50 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x Równania różniczkowe str. 33/38

51 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 33/38

52 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x Równania różniczkowe str. 33/38

53 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x Równania różniczkowe str. 33/38

54 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x y (4) +18y +81y=cos3x Równania różniczkowe str. 33/38

55 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x y (4) +18y +81y=cos3x y s (x)=ax 2 sin3x+bx 2 cos3x Równania różniczkowe str. 33/38

56 Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcjey 1 (x),y 2 (x),...y n (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0,a i R, to całka ogólna równania RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x),a i R, ma postać y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), Równania różniczkowe str. 34/38

57 Metoda uzmienniania stałych CORN y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), gdziec 1 (x),c 2 (x),...,c n (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x) y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y (n 1) n (x) C 1(x) C 2(x). C n(x) = 0 0. f(x). Równania różniczkowe str. 35/38

58 Przykład Rozważmy równaniey +y = sinx cos 2 x. Równanie jednorodney +y =0 ma następujące równanie charakterystyczner 3 +r=0, którego pierwiastkami sąr 1 =0 ir 2,3 =±i. Zatem CORJ ma postać y=c 1 +C 2 cosx+c 3 sinx, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y=c 1 (x)+c 2 (x)cosx+c 3 (x)sinx, Równania różniczkowe str. 36/38

59 Przykład y +y = sinx cos 2 x (RN) (c.d.) W celu wyznaczenia funkcjic 1 (x),c 2 (x),c 3 (x) rozwiązujemy układ: C 1(x)+cosxC 2(x)+sinxC 3(x)=0 sinxc 2(x)+cosxC 3(x)=0 cosxc 2(x) sinxc 3(x)= sinx cos 2 x C 1(x)= sinx C cos 2 1 (x)= 1 x cosx + C 1 C 2(x)= tgx C 2 (x)=ln cosx + C 2. C 3(x)= tg 2 x C 3 (x)= tgx+x+ C 2 Wtedy y(x)= C 1 + C 2 cosx+ C 3 sinx+ + 1 cosx +cosxln cosx sinxtgx+xsinx Równania różniczkowe str. 37/38

60 Podsumowanie Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego. Równania różniczkowe wyższych rzędów i ich rozwiązania. Równania liniowe rzędun 2ostałych współczynnikach i ich rozwiązania. Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach. Metoda uzmienniania stałych rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania różniczkowe str. 38/38

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Automatyka i robotyka studia stacjonarne sem. I, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu

Równania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych

Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936

Bardziej szczegółowo

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania różniczkowe liniowe II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe

Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz

Bardziej szczegółowo

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe

Równania różniczkowe Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Równania różniczkowe 11.05.018 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Jeszcze o równaniach liniowych Rozważmy skalarne, jednorodne równanie

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania

Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania Równania różniczkowe zwyczajne analityczne meto rozwiazywania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8 Plan Określenia podstawowe 1 Wstęp Określenia podstawowe

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Wykład 10: Całka nieoznaczona

Wykład 10: Całka nieoznaczona Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

x y = 2z. + 2y, z 2y df

x y = 2z. + 2y, z 2y df . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań

Bardziej szczegółowo

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru. Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została

Bardziej szczegółowo

Temat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1

Temat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga! Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające pochodne funkcji y(x) względem

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo