Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka"

Transkrypt

1 Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38

2 Równania różniczkowe zwyczajne II-ego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F(x,y,y,y )=0, (1) w którym niewiadomą jest funkcjay=y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzędu tej funkcji, tzn.y = dy dx,y = d2 y dx 2. Równania różniczkowe str. 2/38

3 Rozwiazanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego Rozwiazaniem lub całka równania różniczkowego F(x,y,y,y )=0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcje zmiennejxwyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x) h(x,y)=0, która ma pochodne do rzędunwłącznie i spełnia równanie F(x,y,y,y )=0 dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 3/38

4 Rozwiazaniem ogólnym lub całka ogólna równaniaf(x,y,y,y )=0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równaniaf(x,y,y,y )=0 zależne od dwóch dowolnych stałychc 1,C 2 wyrażone w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x,c 1,C 2 ) h(x,y,c 1,C 2 )=0, i takie, że podstawiajac dowolne wartości zac 1,C 2 otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Równania różniczkowe str. 4/38

5 Podstawiając zac 1,C 2 konkretne wartości otrzymamy tzw. lub równaniaf(x,y,y,y )=0. całkę szczególna rozwiazanie szczególne Równania różniczkowe str. 5/38

6 Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie poczatkowe) Zagadnienie Cauchy ego dla równaniaf(x,y,y,y )=0polega na znalezieniu całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki poczatkowe: (W) y(x 0 )=y 0, y (x 0 )=y 1 gdzie wartość poczatkowax 0 (a,b), zaś wartości poczatkowey 0 iy 1 są dowolnymi z góry wybranymi liczbami. Równania różniczkowe str. 6/38

7 Równania sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równanie postacif(x,y,y )=0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie y =u Wówczas y =u i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F(x,u,u )=0. Równania różniczkowe str. 7/38

8 Równania sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równanie postacif(y,y,y )=0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie Wówczas y =v(y) y = dy dx =dv dx =dv dy dy dx =v y =v v i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F(y,v,v v)=0. Równania różniczkowe str. 8/38

9 Przykład Rozważmy równaniey ( x 2 +1 ) =2xy. Stosując podstawienieu=y, otrzymujemy u ( x 2 +1 ) =2xu du u = 2x x 2 +1 dx du u = 2x x 2 +1 dx ln u =ln ( x 2 +1 ) +ln C 1 u=c 1 (x 2 +1 ). Równania różniczkowe str. 9/38

10 Przykłady ( x 2 +1 ) =2xy (c.d.) Ponieważu=y, więc otrzymujemy y =C 1 ( x 2 +1 ) ( 1 y=c 1 3 x3 +x Rozważmy zagadnienie Cauchy ego ) +C 2. y (x 2 +1)=2xy, y(0)=1,y (0)=3, WówczasC 2 =1 ic 1 =3. Zatem rozwiązaniem danego zagadnienia Cauchy ego jest całka y=x 3 +3x+1. Równania różniczkowe str. 10/38

11 Przykład Rozważmy równaniey y =(y ) 2. Stosując podstawieniey =v(y) y =v v, otrzymujemy yv v=v 2 v = v y dv v =dy y dv v = dy y ln v =ln y +ln C 1 v=c 1 y. Równania różniczkowe str. 11/38

12 Przykłady y =(y ) 2 (c.d.) Ponieważv=y, więc otrzymujemy y =C 1 y dy y =C 1 dx ln y =C 1 x+ln C 2 y=c 2 e C 1x. Równania różniczkowe str. 12/38

13 Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów Równaniem różniczkowym liniowym rzędunnazywamy równanie postaci: y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=f(x), (2) gdziea 1,a 2,...,a n if są danymi funkcjami ciągłymi na(a,b). Jeślif 0, to równanie (2) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeślif 0, to to równanie (2) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN Równania różniczkowe str. 13/38

14 Układ fundamentalny całek (rozwiazań) Rozwiązaniay 1,y 2,...,y n są liniowo niezależne na przedziale(a,b) dla każdegox (a,b) spełniony jest warunek y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x) y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y n (n 1) (x) 0 (3) Wyznacznik występujący w (3) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (lub wrońskianem) i ozn. symbolemw[y 1,y 2,...,y n ](x). Definicja: Układem fundamentalnym całek (rozwiazań) nazywamy układnliniowo niezależnych rozwiązań. Równania różniczkowe str. 14/38

15 Całka ogólna (rozwiazanie ogólne) równania liniowego jednorodnego RJ y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=0 Niech całkiy 1,y 2,...,y n będą fundamentalnym układem rozwiązań równania RJ y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=0, wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn. y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n, Równania różniczkowe str. 15/38

16 Całka ogólna (rozwiazanie ogólne) równania liniowego niejednorodnego RN y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=f(x) Twierdzenie. Niech y 1, y 2,...,y n liniowo niezależne rozwiązania równania RJ na przedziale(a, b) R y s całka szczególna RN. Wtedy całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n +y s, czyli CORN = CORJ + CSRN. Równania różniczkowe str. 16/38

17 Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y +py +qy=f(x), (4) gdziep,q R zaśf jest daną funkcją ciągłą na(a,b). Jeślif 0, to równanie (6) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeślif 0, to to równanie (6) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. Równania różniczkowe str. 17/38

18 Rozwiazanie równania liniowego II-ego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y +py +qy=f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: RJ y +py +qy=0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y=e rx Równania różniczkowe str. 18/38

19 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y +py +qy=0 Wtedy y=e rx y =re rx y =r 2 e rx i podstawiając funkcjęy do RJ otrzymujemy równanie r 2 +pr+q=0 zwane równaniem charakterystycznym. Równania różniczkowe str. 19/38

20 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y +py +qy=0 Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r 2 +pr+q=0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Pierwiastki ( ) Całki szczególne RJ Całka ogólna RJ >0 r 1 r 2 y 1 =e r1x,y 2 =e r 2x y=c 1 e r1x +C 2 e r 2x =0 r 0 y 1 =e r0x,y 2 =xe r 0x y=c 1 e r0x +C 2 xe r 0x <0 r 1,2 =α±βi y 1 =e αx sinβx y=c 1 e αx sinβx+c 2 e αx cosβx y 2 =e αx cosβx Równania różniczkowe str. 20/38

21 Równania różniczkowe liniowe y +py +qy=f(x),p,q R Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: CORN = CORJ + CSRN. Metodę stosujemy, gdy równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (p,q R) f(x)= wielomian stopnian asinωx+bcosωx ae λx, lubf(x) jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji. Równania różniczkowe str. 21/38

22 Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) Przewidywanie postaci całki szczególnejy s (x) równania RN y +py +qy=f(x),, p,q R Niechλ+ωi (λ,ω R) będziek-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznegor 2 +pr+q=0. Wówczas Postaćf(x) Postać przewidywanay s (x) P n (x)=a n x n +...+a 1 x+a 0 x k (A n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx x k (Acosωx+Bsinωx) P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm x k W n (x)cosωx+x k M n (x)sinωx P n (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm x k W n (x)e λx cosωx+x k M n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Równania różniczkowe str. 22/38

23 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 Równania różniczkowe str. 23/38

24 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C Równania różniczkowe str. 23/38

25 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x Równania różniczkowe str. 23/38

26 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 23/38

27 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x Równania różniczkowe str. 23/38

28 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x Równania różniczkowe str. 23/38

29 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x Równania różniczkowe str. 23/38

30 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 23/38

31 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x Równania różniczkowe str. 23/38

32 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x Równania różniczkowe str. 23/38

33 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x y +9y=sin3x Równania różniczkowe str. 23/38

34 Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x y +9y=sin3x = y s (x)=axsin3x+bxcos3x Równania różniczkowe str. 23/38

35 Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcjey 1 (x),y 2 (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y +py +qy=0,p,q R, to całka ogólna równania RN y +py +qy=f(x),p,q R, ma postać y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x), gdziec 1 (x),c 2 (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) C 1(x) C 2 (x) = 0 f(x). (5) Równania różniczkowe str. 24/38

36 Przykład Rozważmy równaniey y= 8 e 2x +1. Równanie jednorodney y=0 ma następujące równanie charakterystyczner 2 1=0, którego pierwiastkami sąr 1 =1 ir 2 = 1. Zatem CORJ ma postać y=c 1 e x +C 2 e x, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y=c 1 (x)e x +C 2 (x)e x, Równania różniczkowe str. 25/38

37 Przykład y y= 8 e 2x +1 (RN) (c.d.) W celu wyznaczenia funkcjic 1 (x),c 2 (x) rozwiązujemy układ: C 1(x)= 4e x e 2x +1 C 2(x)= 4ex e 2x +1 Wtedy e x C 1(x)+e x C 2(x)=0 e x C 1(x) e x C 2(x)= 8 e 2x +1 C 1 (x)= 4e x 4arctge x + C 1 C 2 (x)= 4arctge x + C 2 y(x)= C 1 e x + C 2 e x 4 4e x arctge x 4e x arctge x. Równania różniczkowe str. 26/38

38 Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów Równaniem różniczkowym liniowym rzędun o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), (6) gdziea 1,...,a n R zaśf jest daną funkcją ciągłą na przedziale (a,b). Równania różniczkowe str. 27/38

39 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowegon-tego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu: RJ y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y=e rx Równania różniczkowe str. 28/38

40 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Wtedy y=e rx y =re rx. y (n) =r n e rx i podstawiając funkcjęy do RJ otrzymujemy równanie r n +a 1 r n a n 1 r+a n =0 zwane równaniem charakterystycznym. Równania różniczkowe str. 29/38

41 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r n +a 1 r n a n 1 r+a n =0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Rozkład lewej strony równania ( ) na czynniki postaci : Rozwiązania szczególne równania jednorodnego RJ r a (r a) k,(k>1) p 2 4q<0 r 2 +pr+q y 1 =e ax y 1 =e ax,y 2 =xe ax,...y k =x k 1 e ax y 1 =e αx cosβx,y 2 =e αx sinβx (r 2 +pr+q) k,(k>1) y 1 =e αx cosβx,y 3 =xe αx cosβx,...,y 2k 1 =x k 1 e αx cosβx α= 1 2 p,β= 1 4q p 2 2 y 2 =e αx sinβx,y 4 =xe αx sinβx,...,y 2k =x k 1 e αx sinβx Rozwiązanie ogólne RJ: y=c 1 y 1 +C 2 y C n y n Równania różniczkowe str. 30/38

42 Równania różniczkowe liniowe y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x),a i R Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, gdy CORN = CORJ + CSRN. równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (a i R,i=1,2,...,n) f(x)= wielomian stopnian asinωx+bcosωx ae λx, lubf(x) jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji. Równania różniczkowe str. 31/38

43 Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) Przewidywanie postaci całki szczególnejy s (x) równania RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), gdziea i R,i=1,...,n Niechλ+ωi,λ,ω R, będziek-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r n +a 1 r n a n 1 r+a n =0. Wówczas Postaćf(x) Postać przewidywanay s (x) P n (x)=p n x n +...+p 1 x+p 0 x k (A n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx x k (Acosωx+Bsinωx) P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm x k W n (x)cosωx+x k M n (x)sinωx (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm x k W n (x)e λx cosωx+x k M n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Równania różniczkowe str. 32/38

44 Przykłady y y =x 2 +8 Równania różniczkowe str. 33/38

45 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) Równania różniczkowe str. 33/38

46 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x Równania różniczkowe str. 33/38

47 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 33/38

48 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x Równania różniczkowe str. 33/38

49 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x Równania różniczkowe str. 33/38

50 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x Równania różniczkowe str. 33/38

51 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 33/38

52 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x Równania różniczkowe str. 33/38

53 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x Równania różniczkowe str. 33/38

54 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x y (4) +18y +81y=cos3x Równania różniczkowe str. 33/38

55 Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x y (4) +18y +81y=cos3x y s (x)=ax 2 sin3x+bx 2 cos3x Równania różniczkowe str. 33/38

56 Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcjey 1 (x),y 2 (x),...y n (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0,a i R, to całka ogólna równania RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x),a i R, ma postać y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), Równania różniczkowe str. 34/38

57 Metoda uzmienniania stałych CORN y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), gdziec 1 (x),c 2 (x),...,c n (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x) y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y (n 1) n (x) C 1(x) C 2(x). C n(x) = 0 0. f(x). Równania różniczkowe str. 35/38

58 Przykład Rozważmy równaniey +y = sinx cos 2 x. Równanie jednorodney +y =0 ma następujące równanie charakterystyczner 3 +r=0, którego pierwiastkami sąr 1 =0 ir 2,3 =±i. Zatem CORJ ma postać y=c 1 +C 2 cosx+c 3 sinx, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y=c 1 (x)+c 2 (x)cosx+c 3 (x)sinx, Równania różniczkowe str. 36/38

59 Przykład y +y = sinx cos 2 x (RN) (c.d.) W celu wyznaczenia funkcjic 1 (x),c 2 (x),c 3 (x) rozwiązujemy układ: C 1(x)+cosxC 2(x)+sinxC 3(x)=0 sinxc 2(x)+cosxC 3(x)=0 cosxc 2(x) sinxc 3(x)= sinx cos 2 x C 1(x)= sinx C cos 2 1 (x)= 1 x cosx + C 1 C 2(x)= tgx C 2 (x)=ln cosx + C 2. C 3(x)= tg 2 x C 3 (x)= tgx+x+ C 2 Wtedy y(x)= C 1 + C 2 cosx+ C 3 sinx+ + 1 cosx +cosxln cosx sinxtgx+xsinx Równania różniczkowe str. 37/38

60 Podsumowanie Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego. Równania różniczkowe wyższych rzędów i ich rozwiązania. Równania liniowe rzędun 2ostałych współczynnikach i ich rozwiązania. Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach. Metoda uzmienniania stałych rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania różniczkowe str. 38/38

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Automatyka i robotyka studia stacjonarne sem. I, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe

Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania

Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania Równania różniczkowe zwyczajne analityczne meto rozwiazywania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8 Plan Określenia podstawowe 1 Wstęp Określenia podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q].

Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY I KOLOKIUM Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. Symbol p oznacza zaprzeczenie zdaniap.

Bardziej szczegółowo

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające pochodne funkcji y(x) względem

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego...

1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego... Skrypt powstał na bazie wykładów z przedmiotu Równania różniczkowe, które prowadzę dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej.

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA 1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III

Bardziej szczegółowo