Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Analiza Matematyczna p. 1

2 Równania różniczkowe Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Analiza Matematyczna p. 2

3 Wiadomości wstępne Definicja Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanief(x,y,y,y,...,y (n) ) = 0, w którym występuje niewiadoma funkcjay = y(x) oraz jej pochodne do rzędun. 2. Liczbannazywa się rzędem równania. 3. Rozwiazaniem albo całka równania różniczkowego nazywa się funkcja y(x) zmiennej niezależnejx, która manpochodnych i po podstawieniu do równania spełnia to równanie tożsamościowo. 4. Całka ogólna równania różniczkowego rzędunnazywa się takie jego rozwiazanie, które zależy odnniezależnych dowolnych stałych. 5. Funkcje, otrzymane z całki ogólnej dla różnych konkretnych wartości liczbowych stałych dowolnych nosza nazwę całek szczególnychcałki szczególne równania różniczkowego równania. Analiza Matematyczna p. 3

4 Przykłady równań różniczkowych Przykład y = x+1jest równaniem pierwszego stopnia, y(x) = 1 2 x2 +xjest rozwiazaniem (całka szczególna) tego równania, y(x) = 1 2 x2 +x+c jest całka ogólna. 2. y = y +1jest równaniem drugiego stopnia,y(x) = 1 jest rozwiazaniem (całka szczególna) tego równania, y(x) = C 1 e x +C 2 e x 1jest całka ogólna. Analiza Matematyczna p. 4

5 Zagadnienie Cauchy ego Definicja 3. Zagadnieniem Cauchy ego dla równania różniczkowegon-tego rzędu jest poszukiwanie całki tego równania, spełniajacej n warunków poczatkowych o postaciy(x 0 ) = y 0,y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1, gdziey 0,...,y n 1 dane z góry wartości funkcjiy(x) i jej pochodnych w ustalonym punkciex 0. Zagadnienie Cauchy ego dla bardzo szerokiej klasy równań różniczkowych ma jednoznaczne rozwiazanie. Analiza Matematyczna p. 5

6 Przykład Zagadnienia Cauchy ego Przykład 4. y = y +1, y(0) = 0, y (0) = 1. (1) Rozwiazanie. Rozwiazanie polega na ustaleniu stałychc 1 ic 2 w całce ogólnej tego równania (v. przykład 2, punkt 2): { C 1 +C 2 1 = 0, C 1 C 2 = 1. Z ostatniego układu wynika, żec 1 = 1,C 2 = 0. Więc rozwiazaniem zagadnienia 1 będziey(x) = e x 1. Analiza Matematyczna p. 6

7 Równania o zmiennych rozdzielonych Definicja 5. Równanie różniczkowe pierwszego rzęduy = ψ(x)ϕ(y), zapisywane także w postaci M(x)N(y) dx + P(x)Q(y) dy = 0 nazywa się równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Żeby rozwiazać równanie o zmiennych rozdzielonych, doprowadzamy go do postaci f(x)dx = h(y)dy i całkujemy obie strony. Uwaga 6. Przy dzieleniu równania przez wyrażenie, które zależy odxi/luby można zgubić rozwiazania, na których to wyrażenie jest równe zeru. Analiza Matematyczna p. 7

8 Przykład równania o zmiennych rozdzielonych Przykład 7. x 2 y 2 y +1 = y. Rozwiazanie. x 2 y 2 dy dx 1. Rozdzielamy zmienne: = y 1 y2 y 1 2. Całkujemy obie strony: y 2 y 1 dy = dx x 2 dy = dx x 2. y2 2 +y +ln y 1 = 1 x +C. 3. Przy rozdzieleniu zmiennych dzieliliśmy przez(y 1)x 2, więc mogły się zgubić rozwiazaniay = 1 orazx = 0. Oczywiście, pierwsze z nich jest rozwiazaniem, drugie nie. Analiza Matematyczna p. 8

9 Proces powielania Przykład 8. y = λy. Analiza Matematyczna p. 9

10 Równania jednorodne Definicja 9. Równanie postaciy = f( y x ) nazywa się równaniem jednorodnym. Uwaga 10. Równanie jednorodne może być zapisane również w postaci M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0, gdzie funkcjem(x,y) in(x,y) sa jednorodne tego samego stopnia a. Żeby rozwiazać jednorodne równanie, wykonuje się podstawienie u(x) = y x, po czym równanie zostanie równaniem o zmiennych rozdzielonych. a Funkcja F(x,y) nazywa się jednorodna stopnia α, jeżeli t R spełnia się tożsamośćf(tx,ty) = t α F(x,y) Analiza Matematyczna p. 10

11 Przykład równania jednorodnego Przykład 11. xdy = (x + y)dx. Rozwiazanie. 1. Równanie jest jednorodnym. 2. Zróbmy podstawieniey = ux, więc dy dx = du dx x+u. 3. W taki sposób,xdy = (x+y)dx xdu = dx u = ln x +C y = x(ln x +C). 4. Poza tym jest rozwiazaniex = 0, które zostało zagubiono przy dzieleniu przezx. Analiza Matematyczna p. 11

12 Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Definicja 12. Równaniey +a(x)y +b(x) = 0 nazywa się równaniem liniowym rzędu pierwszego. Żeby rozwiazać równanie liniowe rzędu pierwszego, należy najpierw rozwiazać równanie y +a(x)y = 0, w otrzymanej całce ogólnej zamienić dowolna stała C przez niewiadoma funkcję C(x), po tym, z równania istotnego, znaleźć C(x). Analiza Matematyczna p. 12

13 Przykład równania liniowego rzędu pierwszego Przykład 13. y yctgx = sinx. Rozwiazanie. 1. y yctgx = 0 dy y = ctgxdx ln y = cosx sinx dx = t = sinx dt = cosxdx = dt t = ln sinx +lnc y = Csinx. 2. y = C(x)sinx y = C (x)sinx+c(x)cosx, yctgx = C(x)cosx C (x)sinx = sinx C(x) = dx = x+c. 3. y(x) = (x+c)sinx. Analiza Matematyczna p. 13

14 Równanie liniowe o współczynnikach stałych y (n) +a n 1 y (n 1) +a n 2 y (n 2) + +a 1 y +a 0 y = f(x) Rownanie jednorodne: y (n) +a n 1 y (n 1) +a n 2 y (n 2) + +a 1 y +a 0 y = 0 Rownanie charakterystyczne: λ n +a n 1 λ n 1 +a n 2 λ n 2 + +a 1 λ+a 0 y = 0 Rozwiazanie ogólne równania jednorodnego: y 0 (x) = C 1 e λ1x +C 2 e λ2x + +C n e λnx, gdzie λ 1,...,λ n sa rózne pierwiastki równania charakterystycznego e (u+iv)x = e ux (cosvx+isinvx) w przypadku piperwiastków zespolonych zamiast C 1 e (u+iv)x +C 2 e (u iv)x można przyjać C 1 e ux cosvx+c 2 e ux sinvx Rozwiazanie ogólne równania niejednorodnego: y(x) = y 0 (x)+y 1 (x), gdzie y 1 (x) rozwiazanie szczególne równania niejednorodnego Analiza Matematyczna p. 14

15 Przykład: drgania y = k 2 y drgania wymuszone i rezonans: y = k 2 y +sin(αx) Analiza Matematyczna p. 15