Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas
|
|
- Juliusz Lis
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49
2 Równania różniczkowe Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rzad równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych. Równania różniczkowe str. 2/49
3 Równania różniczkowe Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rzad równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych. Równania różniczkowe zwyczajne cząstkowe jeżeli niewiadoma funkcja zależy tylko od jednego argumentu, np.y +x y=sinx. jeżeli niewiadoma funkcja zależy od kilku argumentów. Równania różniczkowe str. 2/49
4 Równania różniczkowe zwyczajne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędunnazywamy równanie postaci F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0, (1) w którym niewiadomą jest funkcjay=y(x) i w którym występuje pochodna rzęduntej funkcji wraz z pochodnymi niższych rzędów, tzn.y = dy dx,y = d2 y dx 2,...,y(n) = dn y dx n. Równania różniczkowe str. 3/49
5 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 Równania różniczkowe str. 4/49
6 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe str. 4/49
7 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 Równania różniczkowe str. 4/49
8 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego Równania różniczkowe str. 4/49
9 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 Równania różniczkowe str. 4/49
10 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego Równania różniczkowe str. 4/49
11 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego d5 y dt 5 t y3 =sint Równania różniczkowe str. 4/49
12 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego d5 y dt 5 t y3 =sint < równanie różniczkowe rzędu piątego Równania różniczkowe str. 4/49
13 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego d5 y dt 5 t y3 =sint < równanie różniczkowe rzędu piątego y (4) y =5xy Równania różniczkowe str. 4/49
14 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych y +3x y 2 =8 < równanie różniczkowe rzędu pierwszego y +3x y x 3 y 2 =0 < równanie różniczkowe rzędu drugiego d3 s 3 t s2 ds dt dt =5 < równanie różniczkowe rzędu trzeciego d5 y dt 5 t y3 =sint < równanie różniczkowe rzędu piątego y (4) y =5xy < równanie różniczkowe rzędu czwartego Równania różniczkowe str. 4/49
15 Całka (rozwiazanie) równania różniczkowego Rozwiazaniem lub całka równania różniczkowego F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcję zmiennejxwyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x) h(x,y)=0, która ma pochodne do rzędunwłącznie i spełnia równanie F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 5/49
16 Przykład. Funkcja y = 2x jest całką równania x 2 y 2xy +2y=0, gdyży =2 iy =0 orazx 2 0 2x 2+2 2x=0. Przykład. Funkcjax 2 +y 2 =4 jest całką równania x+yy =0, gdyż 2xdx + 2ydy = 0 i po podzieleniu przez 2dx otrzymujemy równaniex+y dy dx =0. Równania różniczkowe str. 6/49
17 Wykres całkiy=y(x) równania różniczkowego F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0. nazywamy krzywa całkowa tego równania Przykład. y < krzywe całkowe równaniay = y x Równania różniczkowe str. 7/49
18 Rozwiazaniem ogólnym lub całka ogólna równania F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 zależne odndowolnych stałychc 1,C 2,...C n wyrażone w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x,c 1,C 2,...,C n ) h(x,y,c 1,C 2,...,C n )=0, i takie, że podstawiajac dowolne wartości zac 1,C 2,...C n otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Równania różniczkowe str. 8/49
19 Podstawiając zac 1,C 2,...C n konkretne wartości otrzymamy tzw. lub całkę szczególna rozwiazanie szczególne równaniaf ( x,y,y,y,...,y (n)) =0. Równania różniczkowe str. 9/49
20 Przykład. Funkcja y= C 1 x +C 2 jest całką ogólną równaniaxy +2y =0, zaś funkcje y= 1 x,y= 3 x +5,y= 1, to całki szczególne równaniaxy +2y =0. Uwaga: Geometrycznie każdej całce szczególnej odpowiada pewna linia płaska (wykres całki), a całce ogólnej odpowiada zbiór (rodzina) wszystkich krzywych całkowych. Równania różniczkowe str. 10/49
21 Rozwiazanie osobliwe (lub całka osobliwa) jest to rozwiązanie równaniaf ( x,y,y,y,...,y (n)) =0, którego NIE można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie zac 1,C 2,...C n dowolnych wartości. Przykład. Funkcja y = 0 jest rozwiązaniem osobliwym równania y =2 y. Całką ogólną tego równania jest y=t+c, gdzie t+c 0. Równania różniczkowe str. 11/49
22 Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie poczatkowe) Zagadnieniem Cauchy ego równania F ( x,y,y,y,...,y (n)) =0 nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe: y(x 0 )=y 0, y (x 0 )=y 1,,...y (n 1) (x 0 )=y n 1 gdziex 0,y 0,y 1,...y n 1 nazywamy wartościami poczatkowymi. Równania różniczkowe str. 12/49
23 Przykład. Znajdziemy całkę szczególną równaniay =6x spełniająca warunek początkowy: y(0)=2 y (0)=3. y =6x y =3x 2 +C 1 y=x 3 +C 1 x+c 2 y(0)=2 C 2 =2 y (0)=3 C 1 =3 y=x3 +3x+2 jest rozwiązaniem szczególnym równaniay =6x. Równania różniczkowe str. 13/49
24 Równania różniczkowe rzędu pierwszego Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci F(x,y,y )=0, (2) gdziey=y(x) jest funkcją niewiadomą zmiennejx. Równania różniczkowe str. 14/49
25 Rozwiazaniem ogólnym lub całka ogólna równaniaf(x,y,y )=0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcję zależną od dowolnej stałejc i wyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x,c) h(x,y,c)=0, która ma pochodną rzędu pierwszego i spełnia równanief(x,y,y )=0 dla x (a, b). Wówczas podstawiajac dowolne wartości zac otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Równania różniczkowe str. 15/49
26 Całka szczególna lub rozwiazaniem szczególnym równania F(x,y,y )=0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcję wyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x) h(x,y)=0, która ma pochodną rzędu pierwszego i spełnia równanie F(x,y,y )=0 dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 16/49
27 Jeżeli z równaniaf(x,y,y )=0 można wyznaczyćy, to równanie to przyjmuje postać y =f(x,y). Będziemy posługiwali się również tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. Równania różniczkowe str. 17/49
28 Zagadnienie Cauchy ego Mając daną całkę ogólną y = y(x, C) równania (2)F(x,y,y )=0 można rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla tego równania, które polega na wyznaczeniu całki szczególnej równania (2) spełniającej warunek początkowy y(x 0 )=y 0. Wówczas z równania y 0 =y(x 0,C) wyznaczamy stałąc=c(x 0,y 0 ). Następnie po podstawieniu otrzymanej stałejc do rozwiązania ogólnego otrzymujemy szukaną całkę szczególną. Równania różniczkowe str. 18/49
29 Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy ego y 0 y W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy ego polega na wybraniu z rodziny krzywych całkowych jednej krzywej, która przechodzi przez z góry zadany punkt(x 0,y 0 ). Na przykład całką ogólną równania jest y = 2xy x 0 x a funkcja y=ce x2, y=y 0 e x2 +x 2 0 jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego odpowiadającego warunkowi początkowemu y(x 0 )=y 0. Równania różniczkowe str. 19/49
30 Równania o zmiennych rozdzielonych Niechf:(a,b) R,h:(c,d) R będą funkcjami ciągłymi, gdzie(a,b),(c,d) - są to skończone lub nieskończone przedziały oraz h(y) 0 dla wszystkich y (c, d). Równanie różniczkowe o funkcji niewiadomejy(x) nazywamy dy dx =f(x) h(y), (3) równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Równania różniczkowe str. 20/49
31 Równanie dy dx =f(x) h(y) można zapisać równoważnie w formie różniczkowej następująco: h(y)dy=f(x)dx. Równania różniczkowe str. 21/49
32 Stwierdzenie. NiechF - funkcja pierwotna funkcjif w(a,b),h - funkcja pierwotna funkcjihw(c,d). Wtedy zbiór rozwiązań równania dy dx =f(x) h(y) zbiór rozwiązań równania H(y(x))=F(x)+C, jest taki sam jak gdziec R C jest dowolną stałą dobraną do funkcjif,h,y. Równania różniczkowe str. 22/49
33 Uwaga: Równanie H(y(x)) = F(x) + C, zapisujemy w następujący sposób: h(y)dy = f(x)dx+c. Równania różniczkowe str. 23/49
34 Twierdzenie. Jeżelif:(a,b) Rih:(c,d) Rsą funkcjami ciągłymi ih(y) 0 dla wszystkichy (c,d), to wzór h(y)dy = równania y = f(x) h(y), f(x)dx + C przedstawia całkę ogólną przez każdy punkt(x 0,y 0 ), gdziex 0 (a,b) iy 0 (c,d), przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania y = f(x) h(y). Krzywa ta jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego y = f(x) h(y),y(x 0)=y 0. Równania różniczkowe str. 24/49
35 Przykład. Rozwiążmy równanie y = 2xy. Rozdzielamy zmienne dy = 2xdx i wyznaczamy całkę ogólna równania (mówimy, że y całkujemy równanie). dy y = 2 xdx ln y = x 2 +ln C, gdziec 0 Stąd dlac 0 funkcja y=ce x2 jest rozwiązaniem równania. GdyC=0 y=0 y =0; równanie jest spełnione, czyliy=0 jest krzywą całkową równania. Zatem rodzina y=ce x2, gdziec R jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania. Równania różniczkowe str. 25/49
36 Szczególne przypadki równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych Rozpatrzmy równanie y =f(x), gdzief jest ciągła na przedziale(a,b) R. Wówczas całkując obie strony względem zmiennejx otrzymujemy: y= f(x)dx y=f(x)+c, gdzief (x)=f(x), dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 26/49
37 Szczególne przypadki równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych Rozpatrzmy równanie y =g(y), gdzieg ma ciągłą pochodną na przedziale(c,d) R. Wówczas dy g(y) = gdzie G (y)= 1 g(y), dlay (c,g). dx G(y)=x+C, Równania różniczkowe str. 27/49
38 Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Równanie jednorodne Niechf będzie funkcją ciągła na przedziale(a,b) orazf(u) u. Równanie różniczkowe ) dy y dx =f( x, (4) o funkcji niewiadomejy(x) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym. Równania różniczkowe str. 28/49
39 Równanie jednorodne Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie u(x)= y x, Wtedy y=ux dy dx =du i otrzymujemy dx x+u następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych du du x+u=f(u) dx f(u) u =dx x Rozwiązanie równania du f(u) u =dx x wiąże ze sobą zmienneuix. Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u= y x. Równania różniczkowe str. 29/49
40 Przykład równania różniczkowego jednorodnego Rozważmy równaniey = x+y x. Wówczasy =1+ y x. Stosując podstawienieu(x)= y x, otrzymujemy i x u =1 du= dx x du= dx x u=ln x +C y=x ln x +Cx. Równania różniczkowe str. 30/49
41 Równanie różniczkowe postaciy =f(ax+by+c) Niecha,b,c Rib 0orazf będzie funkcją ciągłą. Równanie dy dx =f(ax+by+c) rozwiązujemy przez podst.: u=ax+by+c, gdzieu=u(x) jest nową funkcją niewiadomą zmiennejx. Wtedy du dx =a+bdy dx dy ( ) du dx =1 b dx a i otrzymujemy: du dx =b f(u)+a du a+bf(u) =dx du a+bf(u) = dx Równania różniczkowe str. 31/49
42 Równanie różniczkowe postaciy =f(ax+by+c) Niecha,b,c Rib 0orazf będzie funkcją ciągłą. Równanie dy dx =f(ax+by+c) rozwiązujemy przez podst.: u=ax+by+c, gdzieu=u(x) jest nową funkcją niewiadomą zmiennejx. Wtedy du dx =a+bdy dx dy ( ) du dx =1 b dx a i otrzymujemy: Rozwiązanie du dx =b f(u)+a {}}{ równania wiąże ze sobą zmienneuix. du a+bf(u) = Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u = ax + by + c. dx Równania różniczkowe str. 31/49
43 Przykład Rozważmy równanie y =cos(x y). Stosując podstawienie u(x) = x y, otrzymujemy u =1 cosu du 1 cosu =dx. Ponieważ1 cosu=2 sin 2u 2, więc du 2 sin 2u 2 = dx ctg u 2 =x+c. Zatem ctg x y =x+c, dlac R iy x 2kπ. Ponadto, jeśli 2 y=x 2kπ, toy =1 icos(x y)=cos2kπ=1. Zatem y = x 2kπ jest również całką rozważanego równania. Równania różniczkowe str. 32/49
44 Równania różniczkowe liniowe rzędu I-ego Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci: dy dx +p(x)y=q(x), (5) gdziep,q są danymi funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale (a,b). Jeśliq 0, to równanie (5) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśliq 0, to to równanie (5) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN Równania różniczkowe str. 33/49
45 Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego I-szego rzędu Aby wyznaczyć rozwiązanie RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: dy dx +p(x)y=0 (RJ) funkcjay 0jest rozwiązaniem RJ jeśliy 0, to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych dy dx = p(x)y Równania różniczkowe str. 34/49
46 Rozdzielając zmienne dy y = p(x)dx, Równania różniczkowe str. 35/49
47 Rozdzielając zmienne gdziec 0, dy y = dy y = p(x)dx, całkując p(x)dx ln y = p(x)dx+ln C, Równania różniczkowe str. 35/49
48 Rozdzielając zmienne dy y = dy y = p(x)dx, całkując p(x)dx ln y = gdziec 0, i przekształcając otrzymujemy kolejno y C =e p(x)dx p(x)dx+ln C, y = C e p(x)dx y=c e p(x)dx,c 0 Jednakże jeślic=0, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązaniey=0. Zatem Całką Ogólną Równania Jednorodnego (ozn. CORJ) jest y=c e p(x)dx, dlac R. Równania różniczkowe str. 35/49
49 Twierdzenie. Jeślipjest funkcją ciągła na przedziale(a,b) R, to y=c e p(x)dx, dlac R. jest całką ogólną RJ, ponadto przez każdy punkt obszaru D={(x,y):x (a,b),y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania. Uwaga: Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ. Równania różniczkowe str. 36/49
50 Aby wyznaczyć CORN (Całkę Ogólną Równania Niejednorodnego) stosujemy jedną z dwóch metod. 1 CORJ Metoda I Metoda II 2 CORN Równania różniczkowe str. 37/49
51 Metoda I: Metoda uzmienniania stałej StałąC zastępujemy taką funkcjąc(x), aby y=c(x) e p(x)dx ( ) było CORN. Wtedy stąd dy dx =C (x) e p(x)dx +C(x) e p(x)dx ( p(x)) y {}}{ C (x) e p(x)dx C(x) p(x) e p(x)dx +p(x) y {}}{ C(x) e p(x)dx =q(x) Równania różniczkowe str. 38/49
52 Metoda I: Metoda uzmienniania stałej StałąC zastępujemy taką funkcjąc(x), aby y=c(x) e p(x)dx ( ) było CORN. Wtedy stąd dy dx =C (x) e p(x)dx +C(x) e p(x)dx ( p(x)) y {}}{ y C (x) e {}}{ p(x)dx C(x) p(x) e p(x)dx +p(x) C(x) e p(x)dx =q(x) Równania różniczkowe str. 38/49
53 Metoda I: Metoda uzmienniania stałej Zatem C (x)=q(x) e p(x)dx i C(x)= q(x) e p(x)dx dx+c 1, gdziec 1 R. Po podstawieniuc(x) doy=c(x) e p(x)dx otrzymujemy CORN: y(x)= ( q(x) e p(x)dx dx+c 1 ) e p(x)dx y(x)=c 1 e p(x)dx +e p(x)dx ( q(x) e p(x)dx dx ). Równania różniczkowe str. 39/49
54 Twierdzenie. Jeślip,q są funkcjami ciągłymi na przedziale(a,b) R, to y(x)=c 1 e p(x)dx +e p(x)dx ( ) p(x)dx q(x) e dx, dlac 1 R, jest CORN, ponadto przez każdy punkt obszaru D={(x,y):x (a,b),y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania. Równania różniczkowe str. 40/49
55 Twierdzenie. Niech y(x) CORJ, y s (x) CSRN = Całka Szczególna RN. Wtedy CORN = CORJ+CSRN, tzn. CORN = y(x)+y s (x). Równania różniczkowe str. 41/49
56 Przykład Rozważmy równaniey +2xy=x e x2. Szukamy rozwiązań RJ: y +2xy=0 dy dx = 2xy rozdzielając zmienne gdziec 0. dy y = dy y = 2xdx, całkując 2xdx ln y = x 2 +ln C, Równania różniczkowe str. 42/49
57 Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) Przekształcajac otrzymujemy kolejno ln y =lne x2 +ln C y = C e x2 StałąC zastępujemy taką funkcjąc(x), aby y=c e x2. y=c(x) e x2 ( ) było CORN. Wtedy y =C (x) e x2 +C(x) e x2 ( 2x) Równania różniczkowe str. 43/49
58 Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) Ponieważ y =C (x) e x2 2xC(x) e x2, więc y {}}{ C (x) e x2 2x C(x) e x2 +2x y {}}{ C(x) e x2 =x e x2 Równania różniczkowe str. 44/49
59 Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) Ponieważ y =C (x) e x2 2xC(x) e x2, więc y {}}{ y {}}{ C (x) e x2 2x C(x) e x2 +2x C(x) e x2 =x e x2 Zatem C (x) e x2 =x e x2 C (x)=x i C(x)= xdx+c 1 = 1 2 x2 +C 1, gdziec 1 R. Równania różniczkowe str. 44/49
60 Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) PodstawiającC(x)= 1 2 x2 +C 1 doy=c(x) e x2 otrzymujemy CORN: y(x)= ( ) 1 2 x2 +C 1 e x2 y(x)=c 1 e x x2 e x2. Równania różniczkowe str. 45/49
61 Przykład y +2xy=x e x2 (RN) (c.d.) PodstawiającC(x)= 1 2 x2 +C 1 doy=c(x) e x2 otrzymujemy CORN: y(x)= ( ) 1 2 x2 +C 1 e x2 y(x)=c 1 e x2 }{{} CORJ + 1 x2 x2 e 2 }{{} CSRN. Równania różniczkowe str. 45/49
62 Metoda II: Metoda przewidywania Polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, gdy p(x)=const CORN = CORJ + CSRN. wielomian stopnian q(x)= asinωx+bcosωx ae λx, lubq(x) jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji. Równania różniczkowe str. 46/49
63 Metoda przewidywania Przewidywanie postaci całki szczególnejy s (x) równania (RN) y +py=q(x), p R Postaćq(x) Postać przewidywanay s (x) P n (x)= p 0 A n x n +...+A 1 x+a 0 =a n x n +...+a 1 x+a 0 p=0 x(a n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx λ p Ae λx λ= p Axe λx P n (x) e λx λ p (A n x n +...+A 0 )e λx λ= p x(a n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx Acosωx+Bsinωx P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm W n (x)cosωx+m n (x)sinωx P n (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm W n (x)e λx cosωx+m n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Równania różniczkowe str. 47/49
64 Przykłady y +3y=x 2 +8 Równania różniczkowe str. 48/49
65 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C Równania różniczkowe str. 48/49
66 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x Równania różniczkowe str. 48/49
67 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 48/49
68 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x Równania różniczkowe str. 48/49
69 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x Równania różniczkowe str. 48/49
70 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx Równania różniczkowe str. 48/49
71 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx Równania różniczkowe str. 48/49
72 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx Równania różniczkowe str. 48/49
73 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx y s (x)=ae 3 5 x sinx+be 3 5 x cosx Równania różniczkowe str. 48/49
74 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx y s (x)=ae 3 5 x sinx+be 3 5 x cosx y 2y=e 2x Równania różniczkowe str. 48/49
75 Przykłady y +3y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y +3y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +3y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 3 5 y=sinx = y s(x)=asinx+bcosx y 3 5 y=e 3 5 x sinx y s (x)=ae 3 5 x sinx+be 3 5 x cosx y 2y=e 2x = y s (x)=axe 2x Równania różniczkowe str. 48/49
76 Podsumowanie Całki ogólne i szczególne równań różniczkowych zwyczajnych. Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe). Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych i równania sprowadzane do tych równań. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego. Metody rozwiązywania równań różniczkowych rzędu pierwszego. Równania różniczkowe str. 49/49
Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Automatyka i robotyka studia stacjonarne sem. I, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk
Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego...
Skrypt powstał na bazie wykładów z przedmiotu Równania różniczkowe, które prowadzę dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd
Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoTemat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowo1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania
Równania różniczkowe zwyczajne analityczne meto rozwiazywania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8 Plan Określenia podstawowe 1 Wstęp Określenia podstawowe
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Równania różniczkowe 11.05.018 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Jeszcze o równaniach liniowych Rozważmy skalarne, jednorodne równanie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie
13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 1 / 45
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.
Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoMetody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy,żeP:D RiQ:D Rsąfunkcjamiciągłymiokreślonymina
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowo%*$*+ RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE I CZ STKOWE ZADANIA Z MATEMATYKI SU 1578. Janina Niedoba Wies aw Niedoba
SU 578 AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM.STANIS AWA STASZICA W KRAKOWIE Janina Niedoba Wies aw Niedoba RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE I CZ STKOWE ZADANIA Z MATEMATYKI Pod redakcj Bogdana Choczewskiego Wydanie
Bardziej szczegółowoPrzykład przedstawia rozwiązanie problemu brzegowego 7u +3xu=9x 2 +4 u ( 1)=3 u(2)= 2
Przykład przedstawia rozwiązanie problemu brzegowego 7u +3xu=9x 2 +4 u ()=3 u(2)= 2 (1) metodami residuów ważonych i MES. Metoda residuów ważonych Zanim zaczniemy obliczenia metodami wariacyjnymi zamienimy
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja
Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowo