Matematyka licea ogólnokształcące, technika
|
|
- Jadwiga Grabowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem f(x) = ax+b, gdzie x R, a R i b R nazywamy funkcją liniową. Litery a i b oznaczają liczby dane: a współczynnik kierunkowy, b wyraz wolny Funkcja liniowa określona jest wzorem: f(x) = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi Wzory: y = ax + b i f(x) = ax + b - używane zamiennie. Zmienną x nazywamy zmienną niezależną, a y zmienną zależną. Wykresem funkcji liniowej f(x) = ax + b jest prosta o równaniu y = ax + b. Prosta ta przecina oś rzędnych y w punkcie (0, b) i nachylona jest do osi odciętych pod kątem a, takim, że tg α = a Współczynnik kierunkowy a we wzorze y = ax + b opisuje nachylenie prostej względem osi x.
2 Dziedziną każdej funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R, czyli przedział D f = (-, + ) Zbiorem wartości funkcji liniowej określonej wzorem y = ax+b jest: - zbiór liczb rzeczywistych, gdy a 0 - zbiór jednoelementowy {b}, gdy a = 0 Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest: rosnąca w R, jeśli współczynnik kierunkowy a >0 malejąca w R, jeśli a <0 stała, jeśli a = 0 Przykłady: y =-3x +4, gdzie a = -3, b = 4 f(x) = -x, a = -1, b = 0; y = 12, a = 0, b = 12 Ćw. 1 y=5x+3 funkcja liniowa, a=5, b=3 y = 2x -1 funkcja liniowa a = 2, b = -1 y = 7x 2, funkcja kwadratowa (to nie jest funkcja liniowa) y = -x + 1 funkcja liniowa, a=-1, b=1 y = x 1 funkcja wymierna (to nie jest funkcja liniowa) y = x 3-1 wielomian stopnia trzeciego (to nie jest funkcja liniowa) y = 2 funkcja liniowa, a=-0, b=2 Ćw. 2 Napisz wzór funkcji liniowej w postaci y = ax + b, jeśli: a) a=2 i b =-1 b) a = -1 i b = 0, c) a = 0 i b = 4 Ad a) y = 2x-1 Ad b) y = -x Ad c) y = 4 Przykład 1. Liczbie rzeczywistej x przyporządkowano liczbę y, która jest wielokrotnością liczby y, pomniejszoną o 4. a) Napisz wzór określający to przyporządkowanie. Czy jest ono funkcją liniową? Jeśli tak to podaj wartości współczynników liczbowych b) Sporządź częściową tabelę wartości funkcji c) Sporządź wykres funkcji. Rozwiązanie a) f(x) = 2x -4 lub y = 2x 4. Funkcja liniowa. a = 2, b = -4 b) Tabelka wartości funkcji
3 x y = 2x y(-1) = 2*(-1) -4 = -2-4 = -6 y(0) = 2*0 4 = -4 itd. Można tez podstawić za y wartość 0 i obliczyć wartość x: 0 = 2x-4 2x=4 x=2 miejsce zerowe funkcji liniowej y = 2x-4 c) Wykres funkcji y=2x-4 Metody sporządzenia wykresu 1) Nanosimy na wykresie punkty z tabelki (min. 3 dla kontroli) i łączymy prostą 2) Zaznaczamy na osi y wartość b = -4, czyli oznaczamy punkt (0, -4) oraz miejsce zerowe x=2, czyli punkt (2, 0) i łączymy te punkty prostą 3) Zaznaczamy punkt (0, -4) jak wyżej a następnie z tego punktu odkładamy wektor [1, 2], ponieważ a = 2 czyli 2/1 po osi x wartość Dx=1, a po osy y wartość Dy=2 Współrzędne początku wektora: x=0, y = b Współrzędne końca wektora: x = = 1, y = = -2. Ogólnie: x = 1, y = b+a Czyli współrzędne początku wektora: (0, b) a końca: (1, b+a). Tutaj odpowiednio: (0, -4) oraz (1, -2). Wektor ten określa prostą y=2x-4 Ćw.3 Liczbie rzeczywistej x przyporządkowano liczbę y, która jest połową liczby x powiększoną o 2. a) Napisz wzór funkcji liniowej określającej to przyporządkowanie b) Sporządź wykres tej funkcji. Ad a) y = 0,5x + 2 Ad b) y = = ½ x + 2 Przecięcie z osią y: (0, 2) b = 2, a = ½ Dx = 2. Dy=1 Wektor leżący na prostej [2, 1] Odkładamy z punktu (0, 2) i otrzymujemy punkt (0+2, 2+1), czyli punkt (2, 3) 0 = 0,5x +2 0,5x = -2 x = -4 Miejsce zerowe (-4, 0) Zaznaczamy punkty (-4, 0), (0,2), (2, 3) - te punkty wyznaczają prostą (jeden kontrolny) Tabela
4 x y Przykład 2 Sporządź wykres funkcji liniowej f i odczytaj z wykresu jej dziedzinę i zbiór wartości, gdy a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = -3x c) f(x) = -2 Rozwiązanie: Obliczamy współrzędne 2 punktów należących do wykresu funkcji. Ad a) x y = 2x Ad b) x y=-2x Ad c) x y = Punkty wykresu (0, 1) (1, 3) (0, 0) (1, -3) (0, -2) (1, -2) Do wykresu funkcji y = 2x+1 należą punkty: (0, 1) I (1, 3) Do wykresu y= 2x należą punkty: (0, 0) i (1,
5 Dziedziną każdej z tych funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R, czyli przedział D f = (-, + ) Zbiorem wartości jest: dla a) zbiór R czyli Z w = Y f = (-, + ) (a <>0) ; dla b) zbiór R czyli Zw = Y f = (-, + ) ( a <> 0 ) dla c) zbiór mający tylko jeden element: Zw = Y f = {-2} ( a = 0 ) Ćw. 4. Sporządź wykres funkcji określonej wzorem: a) y = -3x + 2 b) y = - ½ x c) y = 3 b) Ad a) x y = -3x Ad b) x y- ½ x Ad c) x y = ,5 1 3 Punkty wykresu (0, 2) (1, -1) (0, 0) (1, 0,5) (0, 3) (1, 3)
6 Przykład 3 Sprawdź, które spośród punktów o współrzędnych: (0, 0), (-1, 1), (100, 102) należą do wykresu funkcji f, określonej wzorem: f(x) = x + 2. Rozwiązanie: Punkt (x 0, y 0 ) należy do wykresu funkcji f gdy f(x 0 ) = y 0 f(0) = 0+2 =2 Punkt (0, 0) nie należy do wykresu funkcji f, bo f(0) = 2 i f(0) 0 f(x 0 ) y 0 f(-1) = = 1 Punkt (-1, 1) należy do wykresu funkcji f, bo f(-1) = 1 f(x 0 ) = y 0 f(100) = = 102 Punkt (100, 102) należy do wykresu funkcji f, bo f(100) = 102 f(x 0 ) = y 0 Ćw. 5 Sprawdź, które spośród punktów: (-8, 45), (-1, 8), (307, 619), (-3215, 6435) należą do wykresu funkcji f określonej wzorem f(x) = -2x+ 5 f(-8) = -2*(-8) + 5 = Punkt (-8, 45) nie należy do wykresu funkcji f, bo f(-8) y 0, gdzie y 0 = 45 f(307) = -2*(307) + 5 = = Punkt (307, 619), nie należy do wykresu funkcji f, f(-3215) = -2*(-3215) + 5 = = 6435 Punkt (-3215, 6435) należy do wykresu funkcji f, bo f(x 0 ) = y 0 Zadania utrwalające 14.1 Funkcje określone są wzorami: 1) y = 2x + 3 2) y = x, 3) y=1/x 4) y = -x 2 5) y = -x +1 6) y = ( 2x) y = 2 8) y = 3 x Wskaż, które z nich są wzorami funkcji liniowych. Odp. Funkcje liniowe: 1), 2), 5), 7), 8) 14.2 Podaj wartości współczynników liczbowych a i b funkcji liniowej określonej wzorem postaci y = ax + b, gdy: a) y = 3x - 2 b) y = ½ x + 1, c) y = x + 3, d) y = -x + 4 ½ e) y = 2 x 1 f) y = 4x g) y = 3 ½ h) 2x + y -3 = 0 Odp. a) a =3, b=-2 ; b) a=½, b=1, c) a=1, b=3, d) a=-1, b=4 ½ e) a= 2, b=-1 f) a = 4, b=0, g) a=0, b=3 ½ h) a= -2, b=3
7 14.3 Napisz wzór funkcji liniowej w postaci f(x) = ax+b, gdy: a) a = 2, b = 5 b) a = -1, b = 7, c) a = 0, b = -4, d) a = ½, b = 0 Odp. a) y =2x + 5, b) y = -x+ 7, c) y = -4 d) y = ½ x 14.4 Sporządź wykres funkcji funkcji liniowej określonej wzorem : a) y = -x + 3 b) y = 3x 1 c) y = 4x + 2 a) c)
8 14.5. Sprawdź czy do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A lub B, gdy: a) f(x) = - ¼ x + 20, A=(80, 0), B=(0, -80)
9 A: f(x A ) = f(80) = ¼ * = 0, f(x A ) = y A = 0 Punkt A należy do wykresu prostej f(x) B: f(x B ) = f(0) = ¼ * = 20, f(x B ) = f(0) y B Punkt B nie należy do wykresu prostej f(x) Podstawiamy współrzędną x danego punktu P do równania prostej i obliczamy współrzędną y punktu na prostej, odpowiadającemu współrzędnej x. Jeśli obliczona współrzędna pokrywa się ze współrzędną y punktu P, to ten punkt należy fo wykresu funkcji (lezy na prostej). Analogicznie rozwiązujemy inne przypadki. Ogólnie - sprawdzenie czy punkt o danych współrzędnych należy do prostej (leży na prostej) Dane równanie y = ax+b oraz punkt P(x P, y P ). Obliczamy y(x P ) = a* x P + b Jeśli x P = y P to punkt P leży na prostej. W przypadku równania prostej o innej postaci, np. ogólnej: Ax + By + C = 0, podstawiamy obie współrzędne punktu P (x P i y P ) do równania. Jeśli spełnione jest równanie, to punkt P leży na prostej Sprawdź, czy punkt T = (0, -1) należy do wykresu funkcji, gdy jest nim prosta określona równaniem: a) y = x -1 y(0) = 0 1 = -1-1 = -1 y(0) = y T Punkt T należy do wykresu funkcji b) x y = -1 0 (-1) = Punkt T nie należy do wykresu funkcji c) x = y -1 L = 0, P = -1 1 = -2 L P bo 0-2 Punkt T nie należy do wykresu funkcji (obliczamy wartość lewej i prawej strony równania) d) 2x + y + 1 = 0 2*0- + (-1) + 1 = 0 0 = 0 Punkt T należy do wykresu funkcji (podstawiamy współrzędne do równania) Interpretacja współczynników liczbowych funkcji liniowej Dla dowolnej funkcji liniowej f(x) = ax + b, dla argumentu x=0, f(0) = a*0 + b = b, czyli punkt (0, b) leży na prostej, będącej wykresem funkcji. Proste o tej samej wartości b, tworzą pęk prostych y = a 1 x + b, y = a 2 x + b, y = a 3 x + b, itd. Pęk prostych zbiór wszystkich prostych, przechodzących przez ustalony punkt, który nazywamy środkiem pęku,
10 Wykres funkcji liniowej y = ax + b, przechodzi przez punkt (0, b). Współczynnik b, to tzw. wartość funkcji dla argumentu zero. W praktyce może odpowiadać kapitałowi początkowemu, temperaturze na poziomie 0 nad poziomem morza, zapłacie za przejazd pierwszego kilometra itp. Jeżeli funkcja liniowa określona jest wzorem y = ax + b, to gdy zwiększamy wartość argumentu x o 1, to wartość funkcji zmienia się o a. Wykres funkcji liniowej y = ax + b przechodzi przez punkty (0, b) i (1, a+b) Funkcja linowa f(x) = ax + b jest: rosnąca, gdy a > 0, malejąca, gdy a < 0, stała, gdy a = 0
11 Jeżeli funkcja liniowa określona wzorem y = ax + b i jej wykres tworzy z osią x kąt α, to a = tg α oraz kat α jest ostry gdy a > 0 (I i III ćwiartka układu współrzędnych) kat α jest rozwarty gdy a > 0 (I i III ćwiartka układu współrzędnych) kat α = 0, gdy a =0 (prosta do osi x)
12 Proste równoległe i proste przecinające się Jeśli a 1 = a 2 proste równoległe jeśli a 1 a 2 proste się przecinają Funkcje liniowe f i g określone wzorami f(x) = a 1 x + b1 i g(x) = a 2 x + b2 Jeżeli: a 1 = a 2, to wykresy funkcji f i g są równoległe a 1 a 2, to wykresy funkcji f i g się przecinają
13 Miejsce zerowe funkcji liniowej Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = ax + b nazywamy taki argument x0, dla którego wartość funkcji f jest równa zero. x 0 miejsce zerowe, to f(x 0 ) = 0 Obliczyć miejsce zerowe funkcji y = f(x) to znaczy rozwiązać równanie f(x) = 0 Funkcja liniowa y = ax + b - ma miejsce zerowe x 0 = -b/a, gdy a 0, - nie ma miejsc zerowych, gdy a = 0 i b 0, - ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy a =0 i b = 0 Wyznaczenie wzoru funkcji liniowej Aby wyznaczyć wzór funkcji f(x) = ax + b, wystarczy znać współczynniki a i b. Jeśli jeden ze współczynników jest nieznany, to potrzebna jest jeszcze inna informacji, która pozwoli obliczyć drugi współczynnik. Przykłady:
14 1 Dana funkcja o znanym współczynniku a i znane miejsce zerowe x 0, szukane b Przykład: y = 2x + b i jej miejsce zerowe 6. I sposób: a = 2, b =? x 0 = 6, więc f(6) = 0, 2*6 + b = 0 b = -12 y = 2x 12 Ogólnie: a*x0 + b = 0 b = -a*x0 w tym przykładzie: b = -2*6 = -12 II sposób: x0 = -b/a, więc b/a = 6, -b/2 = 6, b = 12 Ogólnie b = -a*x0 2. Dana funkcja o znanym współczynniku b i znane miejsce zerowe x 0, szukane a y = a*x + b 0 = a*x 0 +b a = -b/x0 3. Dana jest funkcja o znanym b i wykres jest równoległy do prostej o znanym równaniu y = a 2 *x + b 2 Szukane a y = a 1 *x + b a1 = a2 (proste równoległe) y = a 2 *x + b Przykład: Dana funkcja określona wzorem y = ax -3, wykres równoległy do prostej y = -8x + 4 Rozwiązanie: a = -8 (proste równoległe, a2 = a1) y = -8x 3 4. Dana jest funkcja o znanym b i wykres przechodzi przez punkt o znanych współrzędnych P1=(x1, y1) Szukane a. y1 = a*x1 + b a = y1 b)/x1 Przykład: Funkcja liniowa jest określona wzorem y = ax - 3 Prosta przechodzi przez punkt P = (-2, 5) Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu P 5 = a*(-2) 3-2a = 8 a = -4 a = (5 +3)/(-2) = 8/(-2) = -4 y = -4x 3 5. Wykres funkcji przechodzi przez punkty P1=(x1, y1) i P2 = (x2, y2) Współrzędne punktów spełniają równanie y = f(x) = ax + b Układ równań: { y1 = x1 * a + b { y2 = x2* a + b
15 stąd y2 y1 = a(x2 x1) a = (y2 y1)/(x2-x1); b = y1 a*x1 lub b = y2 a*x2; Podstawiamy do równania obliczone współczynniki a i b: y = a*x + b Przykład: A = (3, 0), B = (-1, 8) Rozwiązanie: a = (8-0)/(-1-3) = 8/-4 = -2 b = 0 (-2)*3 = 6; b = 8 (-2)*(-1) = 8-2 = 6 y = -2*x + 6
FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Funkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
M10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz
Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
POWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA
POWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA I. Wykresy funkcji 1. Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y=ax+b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? A. a
? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
KURS FUNKCJE. LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS FUNKCJE LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Dana jest funkcja f przedstawiona
1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.
Zadanie: 1) Dana jest funkcja y=-+7.nie wykonując wykresu podaj a) miejsce zerowe b)czy funkcja jest rosnąca czy malejąca(uzasadnij) c)jaka jest rzędna punktu przecięcia wykresu z osią y. ) Wykres funkcji
FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY
ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..
4. Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym,
Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa
Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa 6 maja 2005 1 Pojęcia podstawowe. Definicja 1.1 (funkcja liniowa). Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję f : R R daną wzorem: f(x) = ax + b nazywamy
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie
Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP
Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3
ZADANIE 1 i największa wartość funkcji f (x) = (x )(x + 1) w przedziale 0; 4. ZADANIE Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania
. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
Przygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
CIEKAWOSTKI. Terminu funkcja użył po raz pierwszy Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach.
HISTORIA Pierwszy raz terminu funkcja użył Gottfried Wilhelm w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach opublikowanej w 1692.Następnie rozwijał to zagadnienie w kolejnych pracach i korespondencji
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=
Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0
Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy
. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz
Funkcja liniowa powtórzenie wiadomości Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że: a) miejscem zerowym funkcji jest liczba oraz f()=, b) miejscem zerowym funkcji jest liczba i i wykres funkcji przecina oś
AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Geometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania
========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP
Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP I Zadania zamknięte (pkt) Zadanie Liczba - jest miejscem zerowym funkcji liniowej = x + B. f ( x) = x C. f ( x) = x + D. f
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Repetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Skrypt 12. Funkcja kwadratowa:
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Funkcja kwadratowa: 8.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].
Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA
KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA Temat: Powtórzenie i utrwalenie wiadomości o funkcji liniowej Cel ogólny Przykłady funkcji; odczytywanie własności
ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym
S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2017/2018 klasa pierwsza Branżowa Szkoła
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2017/2018 klasa pierwsza Branżowa Szkoła Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego.
PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY
5 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY DATA: 30 MAJA 2017 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:000 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie
Z HISTORII MATEMATYKI
Luty 2014 Z HISTORII MATEMATYKI Prosta wykres funkcji liniowej - po raz pierwszy została zdefiniowana w III w p.n.e. przez Euklidesa (ok. 365 ok. 300 r. p. n. e.) w jego dziele Elementy. Definicja funkcji
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.
Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
1 S t r o n a ZDASZ MATURĘ! Cz.1. Do każdego zadania dodano film z rozwiązaniem
1 S t r o n a ZDASZ MATURĘ! Cz.1 Do każdego zadania dodano film z rozwiązaniem S t r o n a Autor: ADAM CZYŻ E-book Zdasz maturę! w całości napisał, przygotował i dokonał poprawek: Adam Czyż prywatny korepetytor
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych
1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5
Matematyka Liceum Klasa II Zakres podstawowy Pytania egzaminacyjne 07. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: 5 A. y = B. y = 5 C. y = D. y =.. Dana jest funkcja liniowa f() = + 4. Które
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Wykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
KLASA III LO Poziom podstawowy (wrzesień/październik)
KLASA III LO (wrzesień/październik) ZAKRES PODSTAWOWY. Funkcje. Uczeń: ) określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego; ) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje
PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba