Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Transkrypt

1 Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem f(x) = ax+b, gdzie x R, a R i b R nazywamy funkcją liniową. Litery a i b oznaczają liczby dane: a współczynnik kierunkowy, b wyraz wolny Funkcja liniowa określona jest wzorem: f(x) = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi Wzory: y = ax + b i f(x) = ax + b - używane zamiennie. Zmienną x nazywamy zmienną niezależną, a y zmienną zależną. Wykresem funkcji liniowej f(x) = ax + b jest prosta o równaniu y = ax + b. Prosta ta przecina oś rzędnych y w punkcie (0, b) i nachylona jest do osi odciętych pod kątem a, takim, że tg α = a Współczynnik kierunkowy a we wzorze y = ax + b opisuje nachylenie prostej względem osi x.

2 Dziedziną każdej funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R, czyli przedział D f = (-, + ) Zbiorem wartości funkcji liniowej określonej wzorem y = ax+b jest: - zbiór liczb rzeczywistych, gdy a 0 - zbiór jednoelementowy {b}, gdy a = 0 Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest: rosnąca w R, jeśli współczynnik kierunkowy a >0 malejąca w R, jeśli a <0 stała, jeśli a = 0 Przykłady: y =-3x +4, gdzie a = -3, b = 4 f(x) = -x, a = -1, b = 0; y = 12, a = 0, b = 12 Ćw. 1 y=5x+3 funkcja liniowa, a=5, b=3 y = 2x -1 funkcja liniowa a = 2, b = -1 y = 7x 2, funkcja kwadratowa (to nie jest funkcja liniowa) y = -x + 1 funkcja liniowa, a=-1, b=1 y = x 1 funkcja wymierna (to nie jest funkcja liniowa) y = x 3-1 wielomian stopnia trzeciego (to nie jest funkcja liniowa) y = 2 funkcja liniowa, a=-0, b=2 Ćw. 2 Napisz wzór funkcji liniowej w postaci y = ax + b, jeśli: a) a=2 i b =-1 b) a = -1 i b = 0, c) a = 0 i b = 4 Ad a) y = 2x-1 Ad b) y = -x Ad c) y = 4 Przykład 1. Liczbie rzeczywistej x przyporządkowano liczbę y, która jest wielokrotnością liczby y, pomniejszoną o 4. a) Napisz wzór określający to przyporządkowanie. Czy jest ono funkcją liniową? Jeśli tak to podaj wartości współczynników liczbowych b) Sporządź częściową tabelę wartości funkcji c) Sporządź wykres funkcji. Rozwiązanie a) f(x) = 2x -4 lub y = 2x 4. Funkcja liniowa. a = 2, b = -4 b) Tabelka wartości funkcji

3 x y = 2x y(-1) = 2*(-1) -4 = -2-4 = -6 y(0) = 2*0 4 = -4 itd. Można tez podstawić za y wartość 0 i obliczyć wartość x: 0 = 2x-4 2x=4 x=2 miejsce zerowe funkcji liniowej y = 2x-4 c) Wykres funkcji y=2x-4 Metody sporządzenia wykresu 1) Nanosimy na wykresie punkty z tabelki (min. 3 dla kontroli) i łączymy prostą 2) Zaznaczamy na osi y wartość b = -4, czyli oznaczamy punkt (0, -4) oraz miejsce zerowe x=2, czyli punkt (2, 0) i łączymy te punkty prostą 3) Zaznaczamy punkt (0, -4) jak wyżej a następnie z tego punktu odkładamy wektor [1, 2], ponieważ a = 2 czyli 2/1 po osi x wartość Dx=1, a po osy y wartość Dy=2 Współrzędne początku wektora: x=0, y = b Współrzędne końca wektora: x = = 1, y = = -2. Ogólnie: x = 1, y = b+a Czyli współrzędne początku wektora: (0, b) a końca: (1, b+a). Tutaj odpowiednio: (0, -4) oraz (1, -2). Wektor ten określa prostą y=2x-4 Ćw.3 Liczbie rzeczywistej x przyporządkowano liczbę y, która jest połową liczby x powiększoną o 2. a) Napisz wzór funkcji liniowej określającej to przyporządkowanie b) Sporządź wykres tej funkcji. Ad a) y = 0,5x + 2 Ad b) y = = ½ x + 2 Przecięcie z osią y: (0, 2) b = 2, a = ½ Dx = 2. Dy=1 Wektor leżący na prostej [2, 1] Odkładamy z punktu (0, 2) i otrzymujemy punkt (0+2, 2+1), czyli punkt (2, 3) 0 = 0,5x +2 0,5x = -2 x = -4 Miejsce zerowe (-4, 0) Zaznaczamy punkty (-4, 0), (0,2), (2, 3) - te punkty wyznaczają prostą (jeden kontrolny) Tabela

4 x y Przykład 2 Sporządź wykres funkcji liniowej f i odczytaj z wykresu jej dziedzinę i zbiór wartości, gdy a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = -3x c) f(x) = -2 Rozwiązanie: Obliczamy współrzędne 2 punktów należących do wykresu funkcji. Ad a) x y = 2x Ad b) x y=-2x Ad c) x y = Punkty wykresu (0, 1) (1, 3) (0, 0) (1, -3) (0, -2) (1, -2) Do wykresu funkcji y = 2x+1 należą punkty: (0, 1) I (1, 3) Do wykresu y= 2x należą punkty: (0, 0) i (1,

5 Dziedziną każdej z tych funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R, czyli przedział D f = (-, + ) Zbiorem wartości jest: dla a) zbiór R czyli Z w = Y f = (-, + ) (a <>0) ; dla b) zbiór R czyli Zw = Y f = (-, + ) ( a <> 0 ) dla c) zbiór mający tylko jeden element: Zw = Y f = {-2} ( a = 0 ) Ćw. 4. Sporządź wykres funkcji określonej wzorem: a) y = -3x + 2 b) y = - ½ x c) y = 3 b) Ad a) x y = -3x Ad b) x y- ½ x Ad c) x y = ,5 1 3 Punkty wykresu (0, 2) (1, -1) (0, 0) (1, 0,5) (0, 3) (1, 3)

6 Przykład 3 Sprawdź, które spośród punktów o współrzędnych: (0, 0), (-1, 1), (100, 102) należą do wykresu funkcji f, określonej wzorem: f(x) = x + 2. Rozwiązanie: Punkt (x 0, y 0 ) należy do wykresu funkcji f gdy f(x 0 ) = y 0 f(0) = 0+2 =2 Punkt (0, 0) nie należy do wykresu funkcji f, bo f(0) = 2 i f(0) 0 f(x 0 ) y 0 f(-1) = = 1 Punkt (-1, 1) należy do wykresu funkcji f, bo f(-1) = 1 f(x 0 ) = y 0 f(100) = = 102 Punkt (100, 102) należy do wykresu funkcji f, bo f(100) = 102 f(x 0 ) = y 0 Ćw. 5 Sprawdź, które spośród punktów: (-8, 45), (-1, 8), (307, 619), (-3215, 6435) należą do wykresu funkcji f określonej wzorem f(x) = -2x+ 5 f(-8) = -2*(-8) + 5 = Punkt (-8, 45) nie należy do wykresu funkcji f, bo f(-8) y 0, gdzie y 0 = 45 f(307) = -2*(307) + 5 = = Punkt (307, 619), nie należy do wykresu funkcji f, f(-3215) = -2*(-3215) + 5 = = 6435 Punkt (-3215, 6435) należy do wykresu funkcji f, bo f(x 0 ) = y 0 Zadania utrwalające 14.1 Funkcje określone są wzorami: 1) y = 2x + 3 2) y = x, 3) y=1/x 4) y = -x 2 5) y = -x +1 6) y = ( 2x) y = 2 8) y = 3 x Wskaż, które z nich są wzorami funkcji liniowych. Odp. Funkcje liniowe: 1), 2), 5), 7), 8) 14.2 Podaj wartości współczynników liczbowych a i b funkcji liniowej określonej wzorem postaci y = ax + b, gdy: a) y = 3x - 2 b) y = ½ x + 1, c) y = x + 3, d) y = -x + 4 ½ e) y = 2 x 1 f) y = 4x g) y = 3 ½ h) 2x + y -3 = 0 Odp. a) a =3, b=-2 ; b) a=½, b=1, c) a=1, b=3, d) a=-1, b=4 ½ e) a= 2, b=-1 f) a = 4, b=0, g) a=0, b=3 ½ h) a= -2, b=3

7 14.3 Napisz wzór funkcji liniowej w postaci f(x) = ax+b, gdy: a) a = 2, b = 5 b) a = -1, b = 7, c) a = 0, b = -4, d) a = ½, b = 0 Odp. a) y =2x + 5, b) y = -x+ 7, c) y = -4 d) y = ½ x 14.4 Sporządź wykres funkcji funkcji liniowej określonej wzorem : a) y = -x + 3 b) y = 3x 1 c) y = 4x + 2 a) c)

8 14.5. Sprawdź czy do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A lub B, gdy: a) f(x) = - ¼ x + 20, A=(80, 0), B=(0, -80)

9 A: f(x A ) = f(80) = ¼ * = 0, f(x A ) = y A = 0 Punkt A należy do wykresu prostej f(x) B: f(x B ) = f(0) = ¼ * = 20, f(x B ) = f(0) y B Punkt B nie należy do wykresu prostej f(x) Podstawiamy współrzędną x danego punktu P do równania prostej i obliczamy współrzędną y punktu na prostej, odpowiadającemu współrzędnej x. Jeśli obliczona współrzędna pokrywa się ze współrzędną y punktu P, to ten punkt należy fo wykresu funkcji (lezy na prostej). Analogicznie rozwiązujemy inne przypadki. Ogólnie - sprawdzenie czy punkt o danych współrzędnych należy do prostej (leży na prostej) Dane równanie y = ax+b oraz punkt P(x P, y P ). Obliczamy y(x P ) = a* x P + b Jeśli x P = y P to punkt P leży na prostej. W przypadku równania prostej o innej postaci, np. ogólnej: Ax + By + C = 0, podstawiamy obie współrzędne punktu P (x P i y P ) do równania. Jeśli spełnione jest równanie, to punkt P leży na prostej Sprawdź, czy punkt T = (0, -1) należy do wykresu funkcji, gdy jest nim prosta określona równaniem: a) y = x -1 y(0) = 0 1 = -1-1 = -1 y(0) = y T Punkt T należy do wykresu funkcji b) x y = -1 0 (-1) = Punkt T nie należy do wykresu funkcji c) x = y -1 L = 0, P = -1 1 = -2 L P bo 0-2 Punkt T nie należy do wykresu funkcji (obliczamy wartość lewej i prawej strony równania) d) 2x + y + 1 = 0 2*0- + (-1) + 1 = 0 0 = 0 Punkt T należy do wykresu funkcji (podstawiamy współrzędne do równania) Interpretacja współczynników liczbowych funkcji liniowej Dla dowolnej funkcji liniowej f(x) = ax + b, dla argumentu x=0, f(0) = a*0 + b = b, czyli punkt (0, b) leży na prostej, będącej wykresem funkcji. Proste o tej samej wartości b, tworzą pęk prostych y = a 1 x + b, y = a 2 x + b, y = a 3 x + b, itd. Pęk prostych zbiór wszystkich prostych, przechodzących przez ustalony punkt, który nazywamy środkiem pęku,

10 Wykres funkcji liniowej y = ax + b, przechodzi przez punkt (0, b). Współczynnik b, to tzw. wartość funkcji dla argumentu zero. W praktyce może odpowiadać kapitałowi początkowemu, temperaturze na poziomie 0 nad poziomem morza, zapłacie za przejazd pierwszego kilometra itp. Jeżeli funkcja liniowa określona jest wzorem y = ax + b, to gdy zwiększamy wartość argumentu x o 1, to wartość funkcji zmienia się o a. Wykres funkcji liniowej y = ax + b przechodzi przez punkty (0, b) i (1, a+b) Funkcja linowa f(x) = ax + b jest: rosnąca, gdy a > 0, malejąca, gdy a < 0, stała, gdy a = 0

11 Jeżeli funkcja liniowa określona wzorem y = ax + b i jej wykres tworzy z osią x kąt α, to a = tg α oraz kat α jest ostry gdy a > 0 (I i III ćwiartka układu współrzędnych) kat α jest rozwarty gdy a > 0 (I i III ćwiartka układu współrzędnych) kat α = 0, gdy a =0 (prosta do osi x)

12 Proste równoległe i proste przecinające się Jeśli a 1 = a 2 proste równoległe jeśli a 1 a 2 proste się przecinają Funkcje liniowe f i g określone wzorami f(x) = a 1 x + b1 i g(x) = a 2 x + b2 Jeżeli: a 1 = a 2, to wykresy funkcji f i g są równoległe a 1 a 2, to wykresy funkcji f i g się przecinają

13 Miejsce zerowe funkcji liniowej Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = ax + b nazywamy taki argument x0, dla którego wartość funkcji f jest równa zero. x 0 miejsce zerowe, to f(x 0 ) = 0 Obliczyć miejsce zerowe funkcji y = f(x) to znaczy rozwiązać równanie f(x) = 0 Funkcja liniowa y = ax + b - ma miejsce zerowe x 0 = -b/a, gdy a 0, - nie ma miejsc zerowych, gdy a = 0 i b 0, - ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy a =0 i b = 0 Wyznaczenie wzoru funkcji liniowej Aby wyznaczyć wzór funkcji f(x) = ax + b, wystarczy znać współczynniki a i b. Jeśli jeden ze współczynników jest nieznany, to potrzebna jest jeszcze inna informacji, która pozwoli obliczyć drugi współczynnik. Przykłady:

14 1 Dana funkcja o znanym współczynniku a i znane miejsce zerowe x 0, szukane b Przykład: y = 2x + b i jej miejsce zerowe 6. I sposób: a = 2, b =? x 0 = 6, więc f(6) = 0, 2*6 + b = 0 b = -12 y = 2x 12 Ogólnie: a*x0 + b = 0 b = -a*x0 w tym przykładzie: b = -2*6 = -12 II sposób: x0 = -b/a, więc b/a = 6, -b/2 = 6, b = 12 Ogólnie b = -a*x0 2. Dana funkcja o znanym współczynniku b i znane miejsce zerowe x 0, szukane a y = a*x + b 0 = a*x 0 +b a = -b/x0 3. Dana jest funkcja o znanym b i wykres jest równoległy do prostej o znanym równaniu y = a 2 *x + b 2 Szukane a y = a 1 *x + b a1 = a2 (proste równoległe) y = a 2 *x + b Przykład: Dana funkcja określona wzorem y = ax -3, wykres równoległy do prostej y = -8x + 4 Rozwiązanie: a = -8 (proste równoległe, a2 = a1) y = -8x 3 4. Dana jest funkcja o znanym b i wykres przechodzi przez punkt o znanych współrzędnych P1=(x1, y1) Szukane a. y1 = a*x1 + b a = y1 b)/x1 Przykład: Funkcja liniowa jest określona wzorem y = ax - 3 Prosta przechodzi przez punkt P = (-2, 5) Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu P 5 = a*(-2) 3-2a = 8 a = -4 a = (5 +3)/(-2) = 8/(-2) = -4 y = -4x 3 5. Wykres funkcji przechodzi przez punkty P1=(x1, y1) i P2 = (x2, y2) Współrzędne punktów spełniają równanie y = f(x) = ax + b Układ równań: { y1 = x1 * a + b { y2 = x2* a + b

15 stąd y2 y1 = a(x2 x1) a = (y2 y1)/(x2-x1); b = y1 a*x1 lub b = y2 a*x2; Podstawiamy do równania obliczone współczynniki a i b: y = a*x + b Przykład: A = (3, 0), B = (-1, 8) Rozwiązanie: a = (8-0)/(-1-3) = 8/-4 = -2 b = 0 (-2)*3 = 6; b = 8 (-2)*(-1) = 8-2 = 6 y = -2*x + 6