Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II"

Transkrypt

1 Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane są następujące zastrzeżenia: 1 x x + x 5 1, 1) x + 5 > 0, ) log x + 5 ) 0. ) Zauważmy, że zastrzeżenie 1) jest równoważne koniunkcji x x + x 5 1 x x + x ) Rozwiążemy pierwszy czynnik koniunkcji 4). Jest on równoważny nierówności x x 4 x. Z własności modułu nierówność ta jest równoważna alternatywie x x 4 x x x x 4 x x 4 0 x 4x Rozwiązujemy pierwszy składnik tej alteratywy. Wyróżnik lewej strony wynosi = = 0, więc pierwiastkami lewej strony są liczby 5 = 1 5 oraz + 5 = Zatem rozwiązaniem pierwszego składnika powyższej alternatywy jest x ; ; + ). 5) Ponieważ x 4x + 4 = x ), więc rozwiązaniem drugiego składnika powyższej alternatywy jest x {}. 6) 1

2 Sumując rozwiązania 5) i 6), otrzymujemy rozwiązanie pierwszego czynnika koniunkcji 4) x ; ; + ) {}. 7) Rozwiążemy teraz drugi czynnik koniunkcji 4). Jest on równoważny nierówności x x 6 x. Z własności modułu nierówność ta jest równoważna koniunkcji x x x 6 x x 6 x x 4x x x 6 0. Wyróżnikiem trójmianu stojącego po lewej stronie pierwszego z powyższych nierówności jest = 16 4 < 0, więc rozwiązaniem pierwszej z powyższych nierówności jest x R. 8) Wyróżnikiem trójmianu z drugiego czynnika powyższej koniunkcji jest = 4+4 = 8. Zatem pierwiastkami tego trójmianu są liczby 7 = 1 7 oraz + 7 = W konsekwencji rozwiązaniem drugiego czynnika koniunkcji jest x 1 7; ) Biorąc część wspólną rozwiązań 8) i 9), otrzymujemy rozwiązanie drugiego czynnika koniunkcji 4) x 1 7; ) Biorąc część wspólną rozwiązań 7) i 10), otrzymujemy rozwiązanie zastrzeżenia 1) x 1 7; ; {}. 11) Z zastrzeżenia ) dostajemy natychmiast Z zastrzeżenia ) otrzymujemy kolejno x > 5. 1) x + 5 1, czyli x. 1) Dziedziną naturalną funkcji f jest część wspólna rozwiązań 11), 1) i 1): x 1 7; ) ; ; {}.

3 Zadanie. Dane są funkcje f x) = x + 1 ) i g x) = log 5 x 1) + 1. a) Wyznacz złożenia f g i g f oraz ich dziedziny naturalne. b) Zdefiniuj funkcje h i k tak, aby f = k h. c) Wyznacz funkcję odwrotną względem funkcji g. Rozwiązanie. Ponieważ x + 1 > 0, więc D f = R. Wyznaczając dziedzinę funkcji g, mamy x 1 > 0, więc D g = 1 ; + ). a) f g) x) = f g x)) = f log 5 x 1) + 1) = log 5 x 1) + 1) + 1 x g f) x) = g f x)) = g + 1 ) ) = log 5 x + 1 ) ) Łatwo widać, że D f g = 1 ; + ). Dla wyznaczenia dziedziny funkcji g f wykonujemy następujące rachunki x + 1 ) > 1 ), x + 1 ) > 1 x + 1 > 1 9 x > Zauważmy, że lewa strona tej nierówności jest nieujmna, zaś prawa jest ujemna. Zatem D g f = R. b) Zdefiniujmy h x) = x + 1 i k x) = x. Wówczas f = k h. Inne rozwiązanie otrzymamy, gdy h x) = x i k x) = x + 1). c) Weźmy dowolne x 1, x 1 ; + ) i załóżmy, że tzn. g x 1 ) = g x ), log 5 x 1 1) + 1 = log 5 x 1) + 1. Odejmując stronami 1 i dzieląc przez, otrzymujemy log 5 x 1 1) = log 5 x 1). Z różnowartościowośći funkcji logarytmicznej mamy x 1 1 = x 1. Dodając stronami 1 i dzielac przez, uzyskujemy x 1 = x. Na mocy definicji funkcja g jest różnowartościowa.

4 Dla wyznaczenia wzoru na funkcję odwrotną rozwiązujemy względem x następujące równanie y = log 5 x 1) + 1. Odejmujemy stronami 1 i dzielimy przez Z definicji logarytmu log 5 x 1) = y 1. x 1 = 5 y 1 i na koniec dodajemy stronami 1 i dzielimy przez Ostatecznie x = 5 y f 1 x) = 5 x 1 + 1, x R. Zadanie. Funkcję wymierną f rozłóż na ułamki proste, gdy f x) = 5x x + 4 x 4 x 1. Rozwiązanie. Rozkładamy mianownik funkcji f na czynniki. x 4 x 1 = x 4 x + x 4 1 = x x 1 ) + x + 1 ) x 1 ) Zatem rozkład na ułamki proste jest postaci = x 1 ) x + x + 1 ) = x + 1 ) x 1) x + 1). 5x x + 4 x + 1) x 1) x + 1) = Ax + B x C x 1 + Mnożąc stronami przez mianownik lewej strony, dostajemy 5x x + 4 = Ax + B) x 1 ) + C x + 1 ) x + 1) D x ) + D x + 1 ) x 1) 5x x + 4 = Ax + Bx Ax B + Cx + Cx + Cx + C + Dx Dx + Dx D 5x x + 4 = A + C + D) x + B + C D) x + A + C + D) x + B + C D). 4

5 Otrzymana równość wielomianów daje nam układ równań A +C +D = 0 B +C D = 5. 15) A +C +D = B +C D = 4 Dodając stronami równania pierwsze z trzecim i drugie z czwartym, otrzymujemy układ równań { C +D =. 16) C D = 9 Dodając otrzymane równania stronami, dostajemy 6C = 6, czyli C = 1. Zatem z pierwszego z równań 16) mamy D = 6, czyli D =. Z pierwszego równania układu 15) mamy A =, a z drugiegu równania tego układu B = 1. Wstawiając współczynniki A, B, C, D do równości 14), dostajemy ostatecznie f x) = x 1 x x 1 x + 1. Zadanie 4. Rozwiąż równanie cos x + sin 4 x = Rozwiązanie. Dziedziną równania jest D = R. Korzystając z tożsamości na kosinus argumentu podwojonego, dostajemy 1 sin x + sin 4 x = Z wzoru uproszczonego mnożenia jest teraz czyli z jedynki trygonometrycznej 1 sin x ) = 9 16, cos 4 x = Stąd cos x = cos x =. Otrzymujemy więc cztery serie rozwiązań x = π 6 + kπ x = π 6 + kπ x = 5π 6 + kπ x = 5π 6 + kπ. Zadanie 5. Rozwiąż nierówność x x + + x 9x 6 x 1 x + x. 5

6 Rozwiązanie. Ponieważ rozkładem prawej strony jest x + ) x 1), więc dziedziną nierówności jest D = R \ {, 1} i iloczyn ten jest wspólnym mianownikiem. Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: Rozkładamy licznik na czynniki x x 1) + x x + ) 9x + 6 x 1) x + ) x x + x + x 9x + 6 x 1) x + ) x 7x x 1) x + ) x 7x + 6 = x x + x x 6x = x x 1) + x x 6) 6 x 1) = x 1) x + x 6 ). Łatwo widać, że pierwiastkami ostatniego trójmianu są liczby i. Zatem ostatecznym rozkładem wielomianu x 7x + 6 jest x 7x + 6 = x 1) x ) x + ). Zakładając, że x D i przechodząc do iloczynu, otrzymujemy równoważną postać danej nierówności: x 1) x ) x + ) x + ) 0. Szkicujemy wykres lewej strony tej nierówności Z wykresu odczytujemy rozwiązanie uwzględniając dziedzinę x ; ) ; + ). 6

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Lista 1 liczby rzeczywiste.

Lista 1 liczby rzeczywiste. Lista 1 liczby rzeczywiste Zad 1 Przedstaw liczbę m w postaci W każdym ze składników tej sumy musimy wyłączyd czynnik przed znak pierwiastka Można to zrobid rozkładając liczby podpierwiastkowe na czynniki

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I.

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów Klasa I Treści nauczania I. Liczby 1. Liczby rzeczywiste, zapis dziesiętny liczby rzeczywistej, zamiana

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki Opis założonych osiągnięć ucznia W tabelach dla poszczególnych klas, przy treściach kształcenia podajemy przewidywane osiągnięcia uczniów w ramach zakresu rozszerzonego. Podzieliliśmy je na podstawowe

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI Poniżej prezentujemy przykładowe, które znalazły się na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą Klasa LO Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą ZBIÓR I PODZBIOR DZIAŁANIA NA ZBIORACH I W ZBIORACH Przykładowe zadania: potrafi określić rodzaj liczby (N, C, W, NW, R) ) Ze zbioru

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony. nowa podstawa programowa

Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony. nowa podstawa programowa Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony nowa podstawa programowa Nauczyciel matematyki: mgr Izabela Stachowiak Wilk Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory odróżnia zdanie logiczne od innych wypowiedzi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki

Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania został skonstruowany w oparciu o następujące dokumenty: 1. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 7 września 2004 roku

Bardziej szczegółowo

1. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad.1 Oblicz: d) + e) (0,15+(-1,15)) 3. g) 15 (45,2 : 12 30 : 6 )- 1 7 36.

1. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad.1 Oblicz: d) + e) (0,15+(-1,15)) 3. g) 15 (45,2 : 12 30 : 6 )- 1 7 36. Zestaw zadań na ocenę dopuszczającą z matematyki po klasie - ZSP w Żelechowie Opracowała A. Lasocka. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad. Oblicz: + - + - + e + 0 Zad. Oblicz: 9 + 0 : 9

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1.

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Wymagania podstawowe (zawierają wymagania konieczne); Wymagania dopełniające (zawierają wymagania rozszerzające); Wymagania wykraczające. KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Prace klasowe

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne do zajęć wyrównawczych z matematyki dla kierunku Inżynieria Materiałowa

Materiały dydaktyczne do zajęć wyrównawczych z matematyki dla kierunku Inżynieria Materiałowa Publikacja dystrybuowana bezpłatnie Materiały dydaktyczne do zajęć wyrównawczych z matematyki dla kierunku Inżynieria Materiałowa Autor: Marek Radwański Projekt Inżynieria materiałowa inżynieria przyszłości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

M A T E M A T Y K A LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE, TECHNIKUM, LICEUM UZUPEŁNIAJĄCE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

M A T E M A T Y K A LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE, TECHNIKUM, LICEUM UZUPEŁNIAJĄCE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY M A T E M A T Y K A LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE, TECHNIKUM, LICEUM UZUPEŁNIAJĄCE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Zakres podstawowy i rozszerzony Katalog wymagań na poszczególne oceny: Zakres wiedzy

Bardziej szczegółowo

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1. Cele kształcenia wymagania ogólne. NOWA ZAKRES PODSTAWOWY w postawie programowej obowiązującej począwszy od 01.09.2012 r. w klasach pierwszych

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej Kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym. cały cykl

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Procedury osiągania celów

Procedury osiągania celów Cele wychowawcze Istotną część procesu nauczania stanowi proces wychowywania. W nauczaniu matematyki szczególnie eksponowane są następujące cele wychowawcze: przygotowanie do życia we współczesnym świecie,

Bardziej szczegółowo

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń:

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń: 1. Funkcja liniowa Tematyka: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej. Własności funkcji liniowej Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ZESPÓŁ SZÓŁ OGÓLNOSZTAŁCĄCYCH ul. M.Curie-Skłodowskiej 58-400 amienna Góra tel.: (+48) 75-645-0-8 fax: (+48) 75-645-0-83 E-mail: zso@kamienna-gora.pl WWW: http://www.zso.kamienna-gora.pl PRZEDMIOTOWY SYSTEM

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I I. Liczby wymierne dodatnie. Ocena dopuszczająca: Uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej, rozumie pojęcie

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I I. Liczby wymierne dodatnie. Ocena dopuszczająca: Uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej, rozumie pojęcie Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I I. Liczby wymierne dodatnie. Ocena dopuszczająca: Uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej, rozumie pojęcie dziesiątkowego systemu liczenia, rozumie pojęcie pozycyjnego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Temat. Ilość godzin Podstawowe wiadomości o zbiorach. Opis wymagań

I. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Temat. Ilość godzin Podstawowe wiadomości o zbiorach. Opis wymagań PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym z obowiązkową maturą z matematyki) I. LICZBY RZECZYWISTE

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Informator o egzaminie eksternistycznym. od 2007 roku MATEMATYKA. Liceum ogólnokształcące

Informator o egzaminie eksternistycznym. od 2007 roku MATEMATYKA. Liceum ogólnokształcące Informator o egzaminie eksternistycznym od 007 roku MATEMATYKA Liceum ogólnokształcące Warszawa 007 Opracowano w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy z okręgowymi komisjami egzaminacyjnymi w

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole

WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA III etap edukacyjny I. Wykorzystanie

Bardziej szczegółowo

III. Wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności. Uczeń: 1) używa wzorów skróconego mnożenia na. b ;

III. Wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności. Uczeń: 1) używa wzorów skróconego mnożenia na. b ; Wymagania edukacyjne, kryteria oceniania oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów XV LO w Krakowie Matematyka Klasa pierwsza. Poziom podstawowy. Rok szkolny 2014/2015 Wymagania ogólne zdobywa

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania z matematyki

Przedmiotowy System Oceniania z matematyki Przedmiotowy System Oceniania z matematyki Opracowany zgodnie ze Statutem oraz z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania Liceum Ogólnokształcącego im. Janka Bytnara w Kolbuszowej. I. Kontrakt między nauczycielem

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CENTRUM KSZTAŁCENIA USTAWICZNEGO NR 1 ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CENTRUM KSZTAŁCENIA USTAWICZNEGO NR 1 ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CENTRUM KSZTAŁCENIA USTAWICZNEGO NR 1 ZAKRES PODSTAWOWY Rozkład materiału został opracowany zgodnie z wymaganiami nowej podstawy

Bardziej szczegółowo

Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III

Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III 249 - Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III Jesteś zalogowany(a) jako Recenzent (Wyloguj) Kreatywna szkoła ZP_249 Zmień rolę na... Włącz tryb edycji Osoby

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego MATEMATYKA Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego Internetowy kurs dla kandydatów na Politechnikę Łódzką Repetytorium dla studentów I roku Politechniki Łódzkiej Skrypt niniejszy zawiera wiadomości

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w I klasie gimnazjum Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Kryteria ocen z matematyki w I klasie gimnazjum Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej porównuje liczby wymierne zaznacza liczby wymierne na osi liczbowej zamienia ułamki zwykłe na dziesiętne i odwrotnie zna pojęcia:

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Program nauczania w Technikum Elektronicznym Nr 1. Zakres rozszerzony. Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda

Matematyka. Program nauczania w Technikum Elektronicznym Nr 1. Zakres rozszerzony. Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda Matematyka Program nauczania w Technikum Elektronicznym Nr 1 Zakres rozszerzony Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 2 Warszawa 2012 3 Spis treści I. Wstęp...

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 05 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE DO PROGRAMU MATEMATYKA 2001 GIMNAZJUM KL. IA, ID ROK SZK. 2010/2011. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

WYMAGANIA EDUKACYJNE DO PROGRAMU MATEMATYKA 2001 GIMNAZJUM KL. IA, ID ROK SZK. 2010/2011. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe WYMAGANIA EDUKACYJNE DO PROGRAMU MATEMATYKA 2001 GIMNAZJUM KL. IA, ID ROK SZK. 2010/2011 W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Bardziej szczegółowo

W zakresie TREŚCI PODSTAWOWYCH uczeń potrafi:

W zakresie TREŚCI PODSTAWOWYCH uczeń potrafi: PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (kształcenie ogólne w zakresie podstawowym z obowiązkową maturą z matematyki, wydawnictwo Nowa Era)

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: ocena dopuszczająca wymagania na poziomie (K)

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: ocena dopuszczająca wymagania na poziomie (K) - 1 - Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe, rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione poziomy wymagań odpowiadają

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym)

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym) PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym) I. LICZBY Temat Przykład i hipoteza. Dowód czy kontrprzykład?

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH ul. M.Curie-Skłodowskiej 58-400 Kamienna Góra tel.: (+48) 75-645-0-8 fax: (+48) 75-645-0-8 E-mail: zso@kamienna-gora.pl WWW: http://www.zso.kamienna-gora.pl PRZEDMIOTOWY

Bardziej szczegółowo

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W SPOŁECZNYM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM SPLOT IMIENIA JANA KARSKIEGO W NOWYM SĄCZU I. Cele edukacyjne: W zakresie rozwoju intelektualnego ucznia: wykształcenie

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2.

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. Wstęp Plan wynikowy kształcenia matematycznego jest dostosowany do programu nauczania matematyki w liceach i technikach zakres rozszerzony, autorstwa Marcina

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA Poziomy wymagań edukacyjnych : KONIECZNY (K) - OCENA DOPUSZCZAJĄCA, PODSTAWOWY( P) - OCENA DOSTATECZNA, ROZSZERZAJĄCY(R) - OCENA DOBRA, DOPEŁNIAJĄCY (D) - OCENA BARDZO DOBRA WYKRACZAJACY(W) OCENA CELUJĄCA.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania dla matematyki Kontrakt z uczniami: Ocena Waga

Przedmiotowy System Oceniania dla matematyki Kontrakt z uczniami: Ocena Waga Przedmiotowy System Oceniania dla matematyki Maria Wietrzykowska Kontrakt z uczniami: 1. Każdy uczeń jest oceniany zgodnie z prawe WSO i zasadami sprawiedliwości. 2. Ocenie podlega: Ocena Waga Wypowiedź

Bardziej szczegółowo

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać także Ci, co chcą się dowiedzieć np. jak rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki Ewa Kwaśniok

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki Ewa Kwaśniok Projekt Kompleksowy Trening Kompetencji - Program Rozwojowy dla Technikum nr w Zespole Szkół Łączności w Gliwicach, współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach

Bardziej szczegółowo