Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Transkrypt

1 Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane są następujące zastrzeżenia: 1 x x + x 5 1, 1) x + 5 > 0, ) log x + 5 ) 0. ) Zauważmy, że zastrzeżenie 1) jest równoważne koniunkcji x x + x 5 1 x x + x ) Rozwiążemy pierwszy czynnik koniunkcji 4). Jest on równoważny nierówności x x 4 x. Z własności modułu nierówność ta jest równoważna alternatywie x x 4 x x x x 4 x x 4 0 x 4x Rozwiązujemy pierwszy składnik tej alteratywy. Wyróżnik lewej strony wynosi = = 0, więc pierwiastkami lewej strony są liczby 5 = 1 5 oraz + 5 = Zatem rozwiązaniem pierwszego składnika powyższej alternatywy jest x ; ; + ). 5) Ponieważ x 4x + 4 = x ), więc rozwiązaniem drugiego składnika powyższej alternatywy jest x {}. 6) 1

2 Sumując rozwiązania 5) i 6), otrzymujemy rozwiązanie pierwszego czynnika koniunkcji 4) x ; ; + ) {}. 7) Rozwiążemy teraz drugi czynnik koniunkcji 4). Jest on równoważny nierówności x x 6 x. Z własności modułu nierówność ta jest równoważna koniunkcji x x x 6 x x 6 x x 4x x x 6 0. Wyróżnikiem trójmianu stojącego po lewej stronie pierwszego z powyższych nierówności jest = 16 4 < 0, więc rozwiązaniem pierwszej z powyższych nierówności jest x R. 8) Wyróżnikiem trójmianu z drugiego czynnika powyższej koniunkcji jest = 4+4 = 8. Zatem pierwiastkami tego trójmianu są liczby 7 = 1 7 oraz + 7 = W konsekwencji rozwiązaniem drugiego czynnika koniunkcji jest x 1 7; ) Biorąc część wspólną rozwiązań 8) i 9), otrzymujemy rozwiązanie drugiego czynnika koniunkcji 4) x 1 7; ) Biorąc część wspólną rozwiązań 7) i 10), otrzymujemy rozwiązanie zastrzeżenia 1) x 1 7; ; {}. 11) Z zastrzeżenia ) dostajemy natychmiast Z zastrzeżenia ) otrzymujemy kolejno x > 5. 1) x + 5 1, czyli x. 1) Dziedziną naturalną funkcji f jest część wspólna rozwiązań 11), 1) i 1): x 1 7; ) ; ; {}.

3 Zadanie. Dane są funkcje f x) = x + 1 ) i g x) = log 5 x 1) + 1. a) Wyznacz złożenia f g i g f oraz ich dziedziny naturalne. b) Zdefiniuj funkcje h i k tak, aby f = k h. c) Wyznacz funkcję odwrotną względem funkcji g. Rozwiązanie. Ponieważ x + 1 > 0, więc D f = R. Wyznaczając dziedzinę funkcji g, mamy x 1 > 0, więc D g = 1 ; + ). a) f g) x) = f g x)) = f log 5 x 1) + 1) = log 5 x 1) + 1) + 1 x g f) x) = g f x)) = g + 1 ) ) = log 5 x + 1 ) ) Łatwo widać, że D f g = 1 ; + ). Dla wyznaczenia dziedziny funkcji g f wykonujemy następujące rachunki x + 1 ) > 1 ), x + 1 ) > 1 x + 1 > 1 9 x > Zauważmy, że lewa strona tej nierówności jest nieujmna, zaś prawa jest ujemna. Zatem D g f = R. b) Zdefiniujmy h x) = x + 1 i k x) = x. Wówczas f = k h. Inne rozwiązanie otrzymamy, gdy h x) = x i k x) = x + 1). c) Weźmy dowolne x 1, x 1 ; + ) i załóżmy, że tzn. g x 1 ) = g x ), log 5 x 1 1) + 1 = log 5 x 1) + 1. Odejmując stronami 1 i dzieląc przez, otrzymujemy log 5 x 1 1) = log 5 x 1). Z różnowartościowośći funkcji logarytmicznej mamy x 1 1 = x 1. Dodając stronami 1 i dzielac przez, uzyskujemy x 1 = x. Na mocy definicji funkcja g jest różnowartościowa.

4 Dla wyznaczenia wzoru na funkcję odwrotną rozwiązujemy względem x następujące równanie y = log 5 x 1) + 1. Odejmujemy stronami 1 i dzielimy przez Z definicji logarytmu log 5 x 1) = y 1. x 1 = 5 y 1 i na koniec dodajemy stronami 1 i dzielimy przez Ostatecznie x = 5 y f 1 x) = 5 x 1 + 1, x R. Zadanie. Funkcję wymierną f rozłóż na ułamki proste, gdy f x) = 5x x + 4 x 4 x 1. Rozwiązanie. Rozkładamy mianownik funkcji f na czynniki. x 4 x 1 = x 4 x + x 4 1 = x x 1 ) + x + 1 ) x 1 ) Zatem rozkład na ułamki proste jest postaci = x 1 ) x + x + 1 ) = x + 1 ) x 1) x + 1). 5x x + 4 x + 1) x 1) x + 1) = Ax + B x C x 1 + Mnożąc stronami przez mianownik lewej strony, dostajemy 5x x + 4 = Ax + B) x 1 ) + C x + 1 ) x + 1) D x ) + D x + 1 ) x 1) 5x x + 4 = Ax + Bx Ax B + Cx + Cx + Cx + C + Dx Dx + Dx D 5x x + 4 = A + C + D) x + B + C D) x + A + C + D) x + B + C D). 4

5 Otrzymana równość wielomianów daje nam układ równań A +C +D = 0 B +C D = 5. 15) A +C +D = B +C D = 4 Dodając stronami równania pierwsze z trzecim i drugie z czwartym, otrzymujemy układ równań { C +D =. 16) C D = 9 Dodając otrzymane równania stronami, dostajemy 6C = 6, czyli C = 1. Zatem z pierwszego z równań 16) mamy D = 6, czyli D =. Z pierwszego równania układu 15) mamy A =, a z drugiegu równania tego układu B = 1. Wstawiając współczynniki A, B, C, D do równości 14), dostajemy ostatecznie f x) = x 1 x x 1 x + 1. Zadanie 4. Rozwiąż równanie cos x + sin 4 x = Rozwiązanie. Dziedziną równania jest D = R. Korzystając z tożsamości na kosinus argumentu podwojonego, dostajemy 1 sin x + sin 4 x = Z wzoru uproszczonego mnożenia jest teraz czyli z jedynki trygonometrycznej 1 sin x ) = 9 16, cos 4 x = Stąd cos x = cos x =. Otrzymujemy więc cztery serie rozwiązań x = π 6 + kπ x = π 6 + kπ x = 5π 6 + kπ x = 5π 6 + kπ. Zadanie 5. Rozwiąż nierówność x x + + x 9x 6 x 1 x + x. 5

6 Rozwiązanie. Ponieważ rozkładem prawej strony jest x + ) x 1), więc dziedziną nierówności jest D = R \ {, 1} i iloczyn ten jest wspólnym mianownikiem. Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: Rozkładamy licznik na czynniki x x 1) + x x + ) 9x + 6 x 1) x + ) x x + x + x 9x + 6 x 1) x + ) x 7x x 1) x + ) x 7x + 6 = x x + x x 6x = x x 1) + x x 6) 6 x 1) = x 1) x + x 6 ). Łatwo widać, że pierwiastkami ostatniego trójmianu są liczby i. Zatem ostatecznym rozkładem wielomianu x 7x + 6 jest x 7x + 6 = x 1) x ) x + ). Zakładając, że x D i przechodząc do iloczynu, otrzymujemy równoważną postać danej nierówności: x 1) x ) x + ) x + ) 0. Szkicujemy wykres lewej strony tej nierówności Z wykresu odczytujemy rozwiązanie uwzględniając dziedzinę x ; ) ; + ). 6