Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Definicja i własności wartości bezwzględnej."

Transkrypt

1 Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności wartości bezwzględnej. Definicja. Wartością bezwzględną liczby nieujemnej nazywamy tę liczbę, a wartością bezwzględną liczby ujemnej nazywamy liczbę do niej przeciwną, to znaczy: x jeśli x 0 x := x jeśli x < 0 Stąd na przykład 5 = 5, 5 = 5, 0 = 0, π = π. Uwaga. ) Wartość bezwzględna nazywana jest też modułem. 2) Z geometrycznego punktu widzenia, x wyraża odległość na osi liczbowej pomiędzy punktem x a punktem 0, innymi słowy odległość x od 0. 3) Na x y można spojrzeć jak na odległość x y od 0, a ta jest równa odległości na osi liczbowej pomiędzy punktami x i y. 4) x 2 = x. 5) x 2 = x 2 = ( x) 2. Własności wartości bezwzględnej Twierdzenie. Niech x, y R i b R, b 0, wówczas x = x, () xy = x y, (2) x b b x b, (3) x b x b x b, (4) x + y x + y, (5) x y x + y, (6) x y x + y, (7) x y x y. (8) Dowód. Własności () i (2) wynikają wprost z definicji wartości bezwzględnej. Dowodząc każdą z tych własności należy rozważyć dwa przypadki: x 0 i x < 0. Pokażemy, że dla dowolnego x R x = x. Jeśli x 0, to x = x i jednocześnie x = ( x) = x, a zatem x = x. Jeśli x < 0, to x = x i jednocześnie x = x, więc x = x. Stąd dla dowolnego x R zachodzi równość (). Aby udowodnić własność (2) należy rozważyć trzy przypadki rozkładu znaków liczb x i y : o x 0 i y 0, 2 o x 0 i y < 0 i 3 o x < 0 i y < 0. Oczywiście przypadek 4 o x < 0 i y 0

2 możemy pominąć, bo jest on ujęty w 2 o. Mamy odpowiednio o x 0 y 0 xy = xy = x y, 2 o x 0 y < 0 xy = xy = x( y) = x y, 3 o x < 0 y < 0 xy = xy = ( x)( y) = x y. Własność (3), x b b x b. Pokażemy najpierw, że zachodzi implikacja b x b = x b. Załóżmy, że b x b, zatem dla x 0 mamy x = x b, a dla x < 0 mamy x = x b. Stąd dla dowolnych x rzeczywistych spełniających warunek b x b mamy x b. Teraz implikacja w przeciwną stronę x b = b x b. Jeśli x b i b 0, to ponieważ wartość bezwzgledna liczby x jest zawsze liczbą nieujemną, mamy b x b. Dla x 0 powyższa nierówność przyjmuje postać b x b, a dla x < 0 postać b x b. W tym ostatnim przypadku pomnożymy strony podwójnej nierówności przez - otrzymując b x b. Stąd dla dowolnego x R, x b zachodzi b x b. Własność (5), x b x b x b. Jeśli x b, to dla x mamy x = x b, a dla x < 0 otrzymujemy x = x b, czyli x b. Jeśli x b, to ponieważ b 0 mamy x 0. Stąd x = x b. Jeśli x b i b 0, to x 0, stąd x = x 0. Własność (6), x + y x + y. Z własności (3) zastosowanej dla b = x mamy x x x x x. Zatem x x x i y y y. Dodamy te dwie nierówności stronami, otrzymując Teraz z własności (3) x + y x + y. ( x + y ) x + y x + y. Własność (7), x y x + y, wynika z (5), jeśli za y podstawimy y: x + ( y) x + y x y x + y. Własność (8), x y x + y. Korzystając z własności (6) otrzymamy: x = x + y y x + y + y x y x + y, (9) y = y + x x y + x + x y x x + y x y y + x (0) Z (9) i (0) mamy x+y x y x+y, a więc na podstawie (3) mamy x y x+y. Własność (4), x y x y otrzymujemy z (8) przez podstawienie y := y. Przykład. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie x + x 5 = 4. Rozwiązanie. Zgodnie z Uwagą 3) zbiór rozwiązań równania jest zbiorem tych x R, dla których suma ich odległości (na osi liczbowej) od i od 5 jest równa 4. Ponieważ i 5 są odległe od siebie o 4 (jednostki osi) więc, na pewno, każda z tych liczb jest rozwiązaniem równania

3 x + x 5 = 4. Roziązań równania nie można się spodziewać wśród liczb leżących na lewo od czy też na prawo od 5, bo dla tych, które leżą na lewo od odległość od 5 jest większa od 4 i podobnie dla tych które leżą na prawo od 5, ich odległość od jest większa od 4. Natomiast każda liczba leżąca pomiędzy i 5, ma tę własność, że suma jej odległości od i od 5 jest równa 4. Zatem rozwiązaniem naszego równania są x [; 5]. Przykład 2. Zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej wyrażenie a 2. Rozwiązanie. Znak wartości bezwzględnej opuszczamy bez zmiany znaku wyrażenia znajdującego się pod wartościa bezwzględną, jeśli to wyrażenie jest nieujemne i ze zmianą znaku, jeśli to wyrażenie jest ujemne. Zatem musimy rozstrzygnąć dla jakich a R a 2 0 i dla jakich a a 2 < 0. a 2 0 a a, a 2 < 0 < a <. Stąd a 2 = a 2, jeżeli a a, a 2 +, jeżeli < a <. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Przy rozwiązywaniu równań nierówności z wartością bezwzględną stosujemy następujące warunki równoważne, pozwalające opuścić znak wartości bezwzględnej: oraz własności (3) i (4): x = b x = b x = b, () x = y x 2 = y 2. (2) x y x 2 y 2. (3) x b b x b, x b x b x b. W każdym z powyższych warunków x, b R i b 0. Przykład 3. Rozwiąż równania a) x 2 = 5, b) 2x = 3x, c) x + + 2x 4 = 9, d) x + 2 = 2x +. Rozwiązanie. a) x 2 = 5. Skorzystamy z (): x 2 = 5 x 2 = 5 x 2 = 5 x = 3 x = 7. b) 2x = 3x. Z definicji wartości bezwzględnej mamy 2x 5, jeżeli x 5 2x 5 = 2 2x + 5, jeżeli x < 5 2.

4 Zatem nasze równanie można zapisać w postaci alternatywy układów: 2x = 3x x 5 2 stąd po przekształceniach otrzymamy x = 5 x 5 2 2x = 3x x < 5 2, x = 3 x < 5 2, Drugi układ jest sprzeczny, zatem rozwiązaniem równania jest x = 5. c) x + + 2x 4 = 9. Ponieważ x = 0 x = i 2x 4 = 0 x = 2, więc należy rozważyć trzy przypadki: x <, x < 2, x 2. Przypadek I. Jeśli x <, to x < 0 i 2x 4 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = 2 i rozwiązanie to należy do rozważanego w tym przypadku przedziału: x ( ; ). Przypadek II. Jeśli x < 2, to x 0 i 2x 4 < 0. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x + 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = 4, ale 4 / [ ; 2), zatem tę odpowiedź odrzucamy. Przypadek III. Jeśli x 2, to x 0 i 2x 4 0. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x + + 2x 4 = 9. Rozwiązaniem tego równania jest x = 4 i 4 [2; ). Rozwiązaniem równania x+ + 2x 4 = 9 jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli x = 2 x = 4. d) x + 2 = 2x +. Sposób o. Postępujemy jak w podpunkcie c). Ponieważ x + 2 = 0 x = 2 i 2x + = 0 x = 2, więc rozważymy trzy przypadki: x < 2, 2 x < 2, x 2. Przypadek I. Jeśli x < 2, to x + 2 < 0 i 2x + < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie x + 2 = 2x + przyjmie postać x 2 = 2x. Jego rozwiązaniem jest x = ale / ( ; 2), zatem tę odpowiedź odrzucamy. Przypadek II. Jeśli 2 x < 2, to x i 2x + < 0, wówczas równanie x + 2 = 2x + [ ) przyjmie postać x + 2 = 2x. Jego rozwiązaniem jest x = i 2; 2, zatem x = jest jednym z rozwiązań równania d). Przypadek III. Jeśli x 2, to x i 2x + 0, wówczas równanie x + 2 = 2x + [ ) przyjmie postać x + 2 = 2x +. Jego rozwiązaniem jest x = i 2 ;.

5 Rozwiązaniem równania d) jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli x = x =. Sposób 2 o. Skorzystamy z (2). Jeśli moduły dwóch liczb są równe, to ich kwadraty też są sobie równe. Zatem x + 2 = 2x + (x + 2) 2 = (2x + ) 2 3x 2 3 = 0 3(x )(x + ) = 0 x = x =. Przykład 4. Rozwiąż nierówności a) 2x + 2 > 4, b) x 2 5 2, c) 2x x > 4, d) 4x+ 2x 3 2, e) x 3 x. Rozwiązanie. a) 2x + 2 > 4. Skorzystamy z własności (4), otrzymując alternatywę nierówności: 2x + 2 > 4 2x + 2 < 4 2x + 2 > 4 x < 3 x >. Rozwiązaniem nierówności a) są zatem x ( ; 3) (; ). b) x Skorzystamy z własności (3), otrzymując równoważną nierówność podwójną: x x x x 2 0 i x x 3 x 3 i 7 x 7 7 x 3 3 x 7. c) 2x x > 4. Nie możemy skorzystać z własności ( 4), bo w tym przypadku b = 4 3x może przyjmować zarówno wartości nieujemne jak i ujemne. Aby rozwiązać tę nierówność musimy opuścić wartość bezwzględną korzystając z jej definicji. Mamy zatem alternatywę układów równań: 2x 2 + 3x > 4 2x + 2 < 0 Rozwiązując nierówności w układach otrzymamy: x > 6 x < 2x x > 4 2x + 2 0, x > 2 5 x, Pierwszy z powyższych układów nierówności ma pusty zbiór rozwiązań, a rozwiązaniem drugiego układu są x > 2 5. Rozwiązaniem nierówności c) są x ( 2 5 ; ).

6 d) 4x+ 2x 3 2. Ponieważ zatem równanie d) jest równoważne równaniu Zastosujmy własność (5): x = x y y, 4x x 3 4x + 2 4x + 2x 3 2x 3 2 4x + 2x 3 2. Dziedziną tej podwójnej nierówności wymiernej jest zbiór R \ 3 2 }. Dalej mamy 4x + 2x 3 2 4x + 2x 3 2 8x 5 2x x 3 Rozwiążemy nierówności pomocnicze, w których zamiast badać znak ilorazu, zbadamy znak iloczynu czynników występujących w powyższych nierównościach: (8x 5)(2x 3) 0 2x 3 0 [ 5 x 8 ; 3 ( 3 ) x 2] 2 ; [ 5 ) x 8 ;, Ponieważ x = 3 2 nie należy do dziedziny nierówności d), więc rozwiązaniem nierówności są [ ( ) x 5 8 2) ; ;. e) x 3 x. Sposób o. Zastosujemy warunek (3), otrzymując Rozwiązaniem nierówności e) są x ( ; 2]. x 3 x (x 3) 2 (x ) 2 6x + 9 2x + x 2. Sposób 2 o. Możemy rozważyć trzy przypadki: x <, x < 3, x 3, postępując podobnie jak w punkcie c) Przykładu 3. Układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Niech dany będzie układ dwóch równań liniowych o niewiadomych x, y (A) a x + b y = c a 2 x + b 2 y = c 2, gdzie a, b, a 2, b 2 R. Definicja 2. Każdą parę liczb (x, y), która jest jednocześnie rozwiązaniem obu powyższych równań, nazywamy rozwiązaniem tego układu.

7 Na przykład rozwiązaniem układu (B) 2x y = 4 x + 2y = 3 jest para liczb (, 2), bo 2 ( 2) = 4 i + 2( 2) = 3. o Jeżeli dla każdej pary współczynników a i, b i, dla i =, 2, przynajmniej jeden z nich jest różny od zera tzn. a 0 b 0 i a 2 0 b 2 0, to wykresem każdego z równań układu (A) jest prosta. Oznaczmy pierwszą z nich przez l a drugą przez l 2, zatem l : a x + b y = c i l 2 : a 2 x + b 2 y = c 2. Uwaga. ) Jeśli proste l i l 2 nie są równoległe, to przecinaja się, zatem maja dokładnie jeden punkt wspólny. Mówimy wówczas, że układ (A) jest oznaczony, a o równaniach tego układu mówimy, że są niezależne. Taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para współrzędnych punktu przecięcia się prostych l i l 2. 2) Jeśli proste l i l 2 są różne i równoległe, to nie mają żadnego punktu wspólnego. Wtedy o układzie (A) mówimy że jest sprzeczny, a o równaniach, że są wzajemnie sprzeczne. Układ taki nie ma rozwiązań, żadna para liczb nie spełnia jednocześnie obu równań. 3) Jeśli proste l i l 2 pokrywają się, to układ (A) nazywamy nieoznaczonym. Układ taki ma nieskończenie wiele rozwiązań, każda para która spełnia równanie pierwsze spełnia też równanie drugie układu. 2 o Jeżeli, w którymś z równań układu (A), każdy ze współczynników a i, b i dla i =, 2 jest równy zero, to równanie takie jest postaci 0x + 0y = c i, zatem ma rozwiązanie, gdy c i = 0 (każda para liczb (x, y) jest rozwiązaniem tego równania) i nie ma rozwiązań, gdy c i 0. Stąd dla a = a 2 = b = b 2 = c = c 2 = 0 układ (A) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jego rozwiązaniem jest każda para (x, y), gdzie x, y R. Jeśli natomiast, a = a 2 = b = b 2 i c 0 c 2 0, to układ (A) nie ma rozwiązań. Układy równań liniowych rozwiązujemy algebraicznie graficznie. Wśród metod algebraicznych wyróżniamy metodę podstawiania, metodę przeciwnych współczynników i metodę wyznaczników. Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu niewiadomej z jednego z równań i podstawieniu jej do równania drugiego. Zilustrujemy to na przykładzie: 2x y = 4 x + 2y = 3 y = 2x 4 x + 2(2x 4) = 3. Stąd y = 2x 4 5x = 5 y = 2 x =. Zatem para (, 2) jest rozwiązaniem układu równań. Metoda przeciwnych współczynników polega na mnożeniu równań przez różne od zera stałe i dodawaniu tych równań stronami. Pokażemy to na przykładzie: 2x y = 4 x + 2y = 3 2x y = 4 x + 2y = 3 / ( 2) 2x y = 4 2x 4y = 6.

8 Dodajemy stronami równanie drugie do pierwszego, otrzymując: 5y = 0 2x 4y = 6. Dalej mamy y = 2 2x 4y = 6 y = 2 2x 4( 2) = 6. y = 2 2x = 2. Ostatecznie rozwiązaniem układu (B) jest para liczb (x, y) = (, 2). Metoda wyznaczników rozwiązywania układów równań liniowych. Wyznacznikiem W układu (A) nazywamy różnicę iloczynów a b 2 a 2 b, co zapisujemy tak: W = a b a 2 b 2 = a b 2 a 2 b. Dla układu (A) przez wyznaczniki charakterystyczne W x i W y rozumiemy odpowiednio: W x = W y = Na przykład dla układu (B) mamy W = 2 2 = 4 + = 5, W x = c b c 2 b 2 = c b 2 c 2 b, a c a 2 c 2 = a c 2 a 2 c = 8 3 = 5, W y = = 6 4 = 0. Twierdzenie. Układ (A) równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy W 0, przy czym x = W x W, y = W y W. Nie ma rozwiązań, gdy W = 0 i jednocześnie W 0 W 2 0, a także wówczas, gdy W = W x = W y = 0 oraz a = a 2 = b = b 2 = 0 i c 0 c 2 0. Ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru rzeczywistego, gdy W = W x = W y = 0 i co najmniej jedna z liczb a, a 2, b, b 2 jest różna od zera, albo od dwóch parametrów rzeczywistych, gdy a = a 2 = b = b 2 = c = c 2 = 0. Stąd układ (B) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x = Wx W 2. = 5 5 = i y = Wy W = 0 5 = Przykład 4. W wolne miejsce wpisz tak dobrane równanie liniowe zmiennych x i y, aby otrzymany układ równań, miał a) dokładnie jedno rozwiązanie, b) nieskończenie wiele rozwiązań, c) nie miał rozwiązań. Przedstaw interpretację graficzną tak zaproponowanych układów równań.... = Rozwiązanie. Oznaczmy przez ax + by = c ogólną postać poszukiwanego równania, które należy wstawić

9 w układzie równań w wolne miejsce. Przyjmijmy, że b 0. Zapiszmy równania prostych l : i l 2 : ax + by = c z danego układu równań w tzw. postaci kierunkowej: l : y = 3 2 x l 2 : y = a b + c b dla b 0. a) Aby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie, to prosta l powinna przecinać prostą l 2 dokładnie w jednym punkcie. To znaczy, że proste te nie mogą być równoległe, w szczególności nie mogą się pokrywać. Proste są równoległe, jeśli maja jednakowe współczynniki kierunkowe, czyli w naszym przypadku dla 3 2 = a b a = 3k i b = 2k dla pewnego k Z \ 0}. Jeżeli współczynniki a i b spełniają warunek: 3 2 a b to proste l i l 2 nie są równoległe i co za tym idzie przetną się w jednym punkcie. Zatem jeśli np. a = 3 i b = a = 5 i b = 2 a = 0 i b = 2, to dla dowolnego c, układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Proponowany układ będzie wtedy postaci: (4) 3x + y = 5x + 2 y = 7 2y = 4. Możemy oczywiście, podać wiele innych możliwych układów wartości współczynników a i b, dla których a b 3 2, a zatem dla których proste l i l 2, mają dokładnie jeden punkt wspólny, a układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zauważmy, że z warunku a b 3 2 wynika, że 2a 3b 0, tzn., że W 0. b) Układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli proste l i l 2 będą się pokrywały, to znaczy, gdy a = 3, b = 2 i c = 7, ale również gdy a = 3k i b = 2k i c = 7k dla pewnego k Z \ 0}. Proponowany układ równań będzie postaci 3kx + 2ky = 7k. Możemy zatem znów podać wiele takich układów wartości współczynników a, b, c, np. a = 2, b = 8 c = 28 (tu k = 4); a = 2, b = 8, c = 28 (tu k = 4), a = 3, b = 2 9, c = 7 9 (tu k = 9 ) itd. Charakterystyczne jest to, że a, b i c są proporcjonalne do odpowiednio 3, 2 i 7 z tym samym współczynnikiem proporcjonalności k Z \ 0}, tzn. k Z \ 0} Z warunku (5) wynika, że W = W x = W y = 0. a 3 = b 2 = c = k. (5) 7 c) Układ będzie sprzeczny, jeśli proste l i l 2 nie przetną się, to znaczy wtedy, gdy będą równoległe ale nie będą się pokrywały. Trzeba więc tak dobrać współczynniki a, b, c, aby współczynniki kierunkowe prostych były równe, a c 7, tzn. 3 2 = a b c 7,

10 co można też zapisać w postaci: k Z \ 0} a 3 = b 2 = k i c k. (6) 7 Warunek (6) zapisany za pomocą wyznaczników układu równań, oznacza, że W = 0 i W x 0 i W y 0. Weźmy a = 3, b = 2 i c = 5, a = 3 b = 2 c = 7 otrzymamy wtedy układ 3x + 2y = 5. 3x + 2y = 7. Przykład 5. Rozwiąż układy równań liniowych dwóch zmiennych metodą wyznaczników: (C) x + 2y = 3 2x 3y = (D) y + 2x = 3 4x 2y = 6 (E) 2x + 6y = 7 x + 3y =. Rozwiązanie. (C) W = = 7 0, W x = =, W y = 3 2 = 5. Ponieważ wyznacznik główny W 0, zatem układ (C) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x = W x W = y = W y 7 W = 5 7. (D) Uporządkujmy w tym układzie kolumny niewiadomych tak, aby niewiadoma x z pierwszego równania stała nad niewiadomą x z drugiego równania, to znaczy zapiszemy układ (D) w postaci: 2x y = 3 Obliczymy wyznaczniki układu: W = = 0, W x = 4x 2y = = 0, W y = = 0. Wszystkie wyznaczniki są równe zero, zatem korzystając z Twierdzenia () wnioskujemy, że układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Widać też, że ponieważ równania są proporcjonalne (równanie pierwsze wystarczy pomnożyć przez 2, a otrzymamy równanie drugie układu), to każda para (x, y), która spełnia jedno z równań spełnia jednocześnie równanie drugie. Wyznaczmy jedną z niewiadomych np. z równania pierwszego: 2x y = 3 y = 2x 3. Stąd rozwiązaniem równania 2x y = 3 jest każda para liczb postaci (x, y) = (x, 2x 3). Jednocześnie widać, że ta para spełnia również równanie drugie (dzieje się tak dzięki proporcjonalności tych dwóch równań): 4x 2(2x 3) = 6 6 = 6. Zatem rozwiązaniem układu (D) są pary liczb postaci (x, 2x 3), gdzie pod x możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą, stąd wynika nieskończona liczba rowiązań układu. (E) Obliczymy wyznaczniki układu (E): W = = 0, W x = 2 7 = 5 0

11 Nie ma potrzeby by obliczać wartość wyznacznika W y, bo W = 0, a W x 0, tzn., że co najmniej jeden z wyznaczników W x, W y jest różny od 0, zatem zgodnie z Twierdzeniem (), układ równań nie ma rozwiązań. Przykład 6. Rozwiąż układ równań (F ) x+y+ + 5 x y+ = 2 3 x+y 5 x y+ = 2. Rozwiązanie. Do dziedziny tego układu równań należą takie pary (x, y), x, y R, że y + x i y x, tzn. (x, y) (x, + x) i (x, y) (x, x), x R. Wprowadzimy pomocnicze niewiadome u i t. Niech u = x+y i t = x y+, zatem równoważny układ równań, o niewiadomych u i t przyjmie postać u + 5 t = 2 3 u 5 t = 2. Dodajmy stronami równanie drugie do pierwszego. Otrzymamy u t = 2 3 u 5 u = 4 u = 3 t = 2 u 5 3 t = 2 u 5 t = 2 u = t = 5. Para (x, y) jest rozwiązaniem układu (F ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony będzie następujący układu równań liniowych: x + y = x y + = 5. Dodając stronami równanie drugie do pierwszego w tym układzie, otrzymamy układ równoważny: 2x = 6 x = 3 x y + = 5. y =. Rozwiązaniem układu (F ) jest para liczb: x = 3 i y =. Przykład 7. Rozwiąż układ równań (G) x + y 5 = x y = 5. Rozwiązanie. Pomnóżmy równanie drugie przez i dodajmy je stronami do równania pierwszego. Otrzymamy x + y 5 = x y = 5 / ( ) y + y 5 = 6 x y = 5. Rozważmy dwa przypadki y 5, y < 5 i zapiszmy odpowiednie układy równoważne. o Dla y 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu y 5 opuszczamy bez zmiany znaku: y + y 5 = 6 x y = 5 2y = x y = 5 y = 2 x = Stąd y = 2 x = 2. y = 2 x = 2 y = 2 x = 2

12 Zatem y = 2 x = 3 2 y = 2 x = 2. Oczywiście para (x, y) = ( 2, 2 ) spełnia warunek y 5, zatem jest rozwiązaniem układu (G). Rozważmy drugi przypadek. 2 o Dla y < 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu y 5 opuszczamy ze zmianą znaku: y y + 5 = 6 x y = 5 5 = 6 x y = 5. Otrzymany układ jest sprzeczny, zatem dla y < 5 układ (G) nie ma rozwiązań. Podsumowując, układ (G) ma dwa rozwiązania: (x, y ) = ( 3 2, 2 ), (x 2, y 2 ) = ( 2, 2 ). Przykład 8. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b R. ax by = a 2 + b 2 x + y = 2a Rozwiązanie. Zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio: W = a b = a + b, W x = a2 + b 2 b 2a Korzystając z Twierdzena mamy: Dla a b układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = a + b y = a b. = (a + b) 2, W y = a a2 + b 2 2a = a 2 b 2. Jeżeli a + b = 0, to a = b, zatem W = 0, W x = 0 i W y = 0, czyli dla a = b układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. o Jeśli a = b = 0, to układ przyjmuje postać 0x 0y = 0 x + y = 0. 0 = 0 y = x. Jego rozwiązaniem jest każda para liczb (x, y) = (x, x), gdzie x R. 2 o Jeśli a = b, i b 0 (wtedy również a 0) to możemy pierwsze równanie podzielić przez a i dodać stronami do drugiego. Otrzymamy ax + ay = 2a 2 x + y = 2a x + y = 2a. 0 = 0 Rozwiązaniem tego układu są pary (x, y) = (x, 2a x), dla dowolnego x R. Ten układ równań dla żadnych wartości parametrów a, b nie jest sprzeczny, bo jeśli W = 0, to a = b i co za tym idzie W x = 0 i W y = 0. Podsumowując mamy: a b jedno rozwiązanie (x, y) = (a + b, a b); a = b nieskończenie wiele rozwiązań : a = b = 0 (x, y) = (x, x) a = b 0 (x, y) = (x, 2a x).

13 Przykład 9. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b R \ 0}. x a + y b = x b + y a = Rozwiązanie. Raz jeszcze zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio: W = a b b a = a 2 b 2, W x = b a = a b, W y = a b = a b. ( ) Jeśli a b i a b, to układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie postaci (x, y) = ab b+a, ab b+a. Jeśli a = b, to W = 0 i W x = 0 i W y = 0, zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci (x, y) = (x, a x), gdzie x R. Jeśli a = b, to W = 0 i W x = 2 a 0, zatem układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań. Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi. Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi rozwiązujemy metodą podstawiania przeciwnych znaków. Można też wprowadzić tu metodę wyznaczników. Jednakże my ograniczymy się do dwóch pierwszych metod. Przykład 0. Rozwiąż układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi x 8y + 2z = 8 (F ) 2y + 3z = 2x + 4y z = 9. Rozwiązanie. Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników. Drugie równanie pomnóżmy przez 4 i dodajmy stronami do równania pierwszego, następnie pomnóżmy je przez 2 i dodajmy do równania trzeciego. x 8y + 2z = 8 2y + 3z = 2x + 4y z = 9 x + 4z = 2 2y + 3z = 2x 7z = Teraz pomnóżmy pierwsze równanie przez 2 i dodajmy je stronami do równania trzeciego. Otrzymamy x + 4z = 2 2y + 3z = 35z = 35 x 4 = 2 2y 3 = z = x = 2 y = z = Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jest nim trójka liczb (x, y, z) = (2,, ). Zadania. Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej 2, (π 4) 2, x Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie x+2 = x Rozwiąż równania

14 a) x = x, b) 3 x 3 + x = 5, c) x + x + x + = Rozwiąż nierówności a) 4x+ 2x 3 > 2, b) x 2 2x 3 0, c) 3x 3 6 3x, d) x + x + 2 0, e) x + x + + x Rozwiąż równanie sin x = sin 2x. 6. Wykaż, że: a) sin x + cos dla x R, b) a sin x + b sin x a 2 + b 2 dla a, b, x R. 7. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = x + x + + x + 2, g(x) = x 3 x. 8. Rozwiąż układy równań metodą wyznaczników i metodą przeciwnych współczynników (H) x y = 2x 2y = 2, (I) 2x y = 3 + x x y = 6 (J) x y = 2 2x 2y = 9. Rozwiąż układ równań (K) x + y = 5 3 x 5 y = 9, 0. Bryła mosiądzu (stop miedzi i cynku) waży 67 kg. Ile waży miedź, a ile cynk znajdujące się w bryle, jeżeli po zanurzeniu w wodzie traci ona (pozornie) na ciężarze 8kg, a ciężary właściwe miedzi i cynku wynoszą odpowiednio 8, 9 kg / dm 3 i 6, 9 kg / dm 3? Wskazówka: dm 3 wody waży kg.. Statek płynie z prądem rzeki z prędkością 8 km/h, a pod prąd z prędkością 4 km/h. Obliczyć prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki. 2. Rozwiąż układy trzech równań z trzema niewiadomymi: (L) 2x 3y + 5z = x + 4y 7z = 2 3x + 2y + 8z = 3 (M) 5 x 2 y + 3 z = x + 3 y + z = 5 2 x + 4 y 2 z = Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametru m R. (m )x + 2y = x + my = 4. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu 2x + 8(m 2 + ) = 5 x + 5m 2 y = 2 jest para liczb dodatnich?

15 5. Dla jakich wartości parametru m każde rozwiązanie układu x + my = 3 mx + 4y = 6 spełnia warunek x > i y > 0? 6. Dla jakich wartości parametru m układ (m )x + 3y = 5 mx 2y = 4 nie ma rozwiązań? Podaj interpretację geometryczną tego układu. 7. Rozwiąż układ równań x + y = x 2 + (y ) 2 = 8. Podaj interpretację geometryczną tego układu. Oblicz pole i obwód figury, do której należy początek układu XOY i ograniczonej liniami określonymi równaniami tego układu. 8. Rozwiąż układy równań: (A) x 2 + xy = 0 y 2 + xy = 5 (B) x y = 2 x 4y = 0 (C) 4x 3 + 4xy 2 = 0 4y 3 + 4yx 2 = 0 9. Dla jakich wartości parametru m układ równań (x ) 2 + (y + ) 2 = (x 5) 2 + (y 2) 2 = m ma więcej niż jedno rozwiązanie? 20. Wyznacz wartości parametru m, dla których układ x 2 + y 2 = 9 my 2 x = 3 ma dokładnie jedno rozwiązanie. 2. Rozwiąż układy: x y 2 y + x 6 x + 3y 0, x + y 3x + y 3 y x =. Odpowiedzi. 2, 4 π, x 2 + ; 2. x = 3; 3. a) x 0, b) x = 2 x = 4 3, c) x = 0 ; ) [ ], e) x 4 3 ; 2 ; ( 4. a) x < 5 8, b) x R, c) x ( 2 ; ) 3 2 ), ; d) x (, x = π 3 + 2kπ x = 4 3π + 2kπ dla k Z; 8. (H)- układ nieoznaczony, rozwiązania postaci (x, y) = (x, x ), (I) - układ oznaczony, rozwiązanie (x, y) = ( 3, 9), (J)- układ sprzeczny, brak rozwiązań; 9. x = 2, y = 3 ; 0. 53, 4 kg, 3, 8 kg;

16 . 6 km/h; 2. (L) - (x, y, z) = (, 2, 3), (M)- (x, y, z) = ( 6, 3, 4); 3. dla m i m 2 jedno rozwiązanie (x, y) = ( ( dla m = 2 nieskończenie wiele rozwiązań postaci x, x 2 m+, ) m+ ; ), dla m = brak rozwiązań, 4. m ( 4 3 ; 4 3 ); 5. m ( 2; 2) m (2, 4); 6. m = 2 5 ; 7. (x, y) = ( 2, ) (x, y) = (2, ), P = 2π, L = (4 + π) 2; 8. (A)- (x, y) = ( 2, 3) (x, y) = (2, 3), (B)- (x, y) = (6, 4), (C)- (x, x) (x, x), gdzie x R; 9. t (6; 36); 20. m = 0 m = 6.

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny ocena dopuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan

Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje ułamki dziesiętne zna kolejność

Bardziej szczegółowo

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz Funkcja liniowa powtórzenie wiadomości Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że: a) miejscem zerowym funkcji jest liczba oraz f()=, b) miejscem zerowym funkcji jest liczba i i wykres funkcji przecina oś

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

KLASA I LICZBY dopuszczający dostateczny

KLASA I LICZBY dopuszczający dostateczny KLASA I LICZBY 1) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, 2) rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne, 3) umie porównywać liczby wymierne, 4) umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo