CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

Transkrypt

1 CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos x 100. Twierdzenie 1 (podstawowe o funkcjach pierwotnych) Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy 1. funkcja G(x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I dla dowolnej stałej C R.. każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F (x) + D, gdzie D R. Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale. Definicja Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji {f(x) + C : C R}. Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez f(x). Jeżeli istnieje całka funkcji f(x), to funkcję nazywamy całkowalną. W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jako pojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będą działaniami na funkcjach reprezentujących te całki. Na przykład zauważmy własności: [ f(x) ] = f(x), f (x) = f(x) + C. 1

2 Wzory podstawowe Ponadto mamy wzór x n = xn+1 + C, n 1 n = ln x + C x sin x = cos x + C cos = sin x + C cos x = tg x + C sin x = ctg x + C a x = ax ln a + C e x = e x + C = arc tg x + C 1 + x = arc sin x + C 1 x sinh x = cosh x + C cosh x = sinh x + C cosh x = tgh x + C sinh x = ctgh x + C f (x) f(x) = ln f(x) + C. Wszystkie powyższe wzory można sprawdzić obliczając pochodną prawej strony równości.

3 Również następne twierdzenie jest konsekwencją własności pochodnych funkcji. Twierdzenie 3 Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to 1. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x),. (f(x) g(x)) = f(x) g(x), 3. (cf(x)) = c f(x), Twierdzenie 4 (o całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli funkcja f(t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcja t = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dla x (α, β), to f (ϕ(x)) ϕ (x) = f(t) dt. Twierdzenie 5 (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne, to u(x)v (x) = u(x)v(x) v(x)u (x). Przypomnijmy, że v (x) = dv, u (x) = du (różniczki). Zatem wzór na całkowanie przez części można zapisać krócej u dv = uv v du. 3

4 Wzory rekurencyjne 1.. sin n x = 1 n cos x sin x + n 1 n cos n x = 1 n sin x cos x + n 1 n sin n x, n, cos n x, n, 3. x n a x = xn a x ln a n ln a x a x, n 1, 4. (1 + x ) = x n 3 + n (n 1)(1 + x ) n, n, (1 + x ) 5. (a + x ) = x n 3 + n (n 1)a (a + x ) (n )a, n, (a + x ) Wzory dodatkowe 1. x + a = 1 a arc tg x a + C. 3. x a = 1 a ln x a x + a + C a x = 1 a ln a + x + C a x 4. a x = arc sin x a + C 5. a x = a arc sin x a + x a x a + C 6. x + a = ln x + x + a + C 7. x + a = a ln x + x + a + x x + a + C 4

5 Całkowanie funkcji wymiernych Definicja 3 Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcję postaci P (x), gdzie P (x), Q(x) są wielomianami. Jeżeli deg P < deg Q, to funkcję wymierną Q(x) nazywamy właściwą (lub ułamkiem właściwym). Jeżeli deg P deg Q, to można wykonać dzielenie. Otrzymamy iloraz S(x) i resztę R(x), tj.: P (x) Q(x) = S(x) + R(x) Q(x). Zatem funkcje wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamka właściwego. Definicja 4 Funkcję wymierną postaci A, n N, a, A R (x + a) n nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję Bx + C (x + px + q) n, n N, p, q, B, C R, = p 4q < 0 nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. Twierdzenie 6 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste) Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych. Jeżeli mianownik funkcji jest postaci Q(x) = a(x x 1 ) k 1 (x x ) k... (x x r ) kr (x +p 1 x+q 1 ) l 1 (x +p x+q ) l... (x +p s x+q s ) ls, to czynnikowi (x x i ) k i odpowiada suma k i ułamków prostych postaci A 1 A + x x i (x x i ) + A ki (x x i ), k i a czynnikowi (x + p j x + q j ) l j odpowiada suma l j ułamków prostych postaci B 1 x + C 1 B x + C + x + p j x + q j (x + p j x + q j ) + + B lj x + C lj (x + p j x + q j ). l j Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowanie funkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamków prostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu: 1. dla n = 1: A x + a = A ln(x + a) + C;. dla n > 1: A (x + a) = A 1 + C; n (1 n)(x + a) 1 n 5

6 Ułamki drugiego rodzaju są trudniejsze. Dla n = 1 należy: 1. wydzielić w liczniku pochodną mianownika: Bx + C = B Bp (x + p) + (C );. rozłożyć na sumę ułamków: Bx + C x + px + q = B (x + p) x + px + q + 3. do pierwszego ułamka zastosować wzór f (x) f(x) C Bp x + px + q ; = ln f(x) + C; 4. w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej: (x + p ) 4 a następnie skorzystać ze wzoru (x + p ) + a = 1 a arc tg x + p a + C, gdzie a = Przykład 3x 1. x x+5 Ułamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie: 1. wydzielamy w liczniku pochodną mianownika: Bx + C = B Bp (x + p) + (C );. rozkładamy na sumę ułamków: B Bx + C (x + px + q) = (x + p) n (x + px + q) + C Bp n (x + px + q) ; n 3. pierwszy ułamek całkujemy przez podstawienie x + px + q = t; 4. w drugim ułamku licznik sprowadzamy do postaci kanonicznej: (x + p ) 4 a następnie korzystamy ze wzoru rekurencyjnego (a + x ) = x n 3 + n (n 1)a (a + x ) (n )a 4, gdzie a = (a + x ) 4 6