Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna"

Transkrypt

1 Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, gdy F jest funkcją różniczkowalną i F (x) = f(x) dla x P. Własność 9... Niech P będzie przedziałem oraz niech F : P R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wówczas funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy F F jest funkcją stałą (w P ). Dowód. Załóżmy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wówczas mamy, że F (x) = f(x) = F (x) dla x P. Zatem z wniosku 7.3. dostajemy, że F F jest funkcją stałą. Odwrotnie, jeśli F F iest funkcją stałą, to F (x) = F (x) = f(x) dla x P, czyli F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wniosek 9... Jeśli funkcja f ma w przedziale P funkcję pierwotną, to dla każdego x 0 P oraz y 0 R istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna F : P R funkcji f w przedziale P taka, że F (x 0 ) = y 0. Dowód. Weźmy dowolne x 0 P oraz y 0 R. Niech F : P R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Kładąc F (x) = F (x) + y 0 F (x 0 ), x P, w myśl własności 9.. mamy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P oraz F (x 0 ) = y 0. Pokażemy, że funkcją pierwotna F funkcji f w P taka, że F (x 0 ) = y 0 jest określona jednoznacznie. Istotnie, niech F : P R będzie funkcją pierwotną funkcji f w P taką, że F (x 0 ) = y 0. W myśl własności 9.. mamy, że istnieje C R, że F (x) F (x) = C dla x P. Ponieważ F (x 0 ) F (x 0 ) = 0, więc C = 0. To daje tezę. Z własności pochodnej funkcji dostajemy poniższe własności funkcji pierwotnej. Twierdzenie Niech P będzie przedziałem oraz α, β R. Jeśli F, F : P R są funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji f, f w przedziale P, to αf + βf jest funkcją pierwotną funkcji αf + βf w przedziale P. 07

2 08 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Dowód. Bezpośrednio z twierdzenia o działaniach na pochodnej funkcji (twierdzenie 7..) dostajemy (αf + βf ) = αf + βf = αf + βf w przedziale P. Uwaga Odpowiednik twierdzenia 9..3 dla iloczynu funkcji nie zachodzi. Mianowicie, w punkcie 9. pokażemy że, istnieją funkcje posiadające funkcje pierwotne w przedziale, których iloczyn nie ma funkcji pierwotnej. Twierdzenie Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale P. Jeśli F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f g w przedziale P, to fg F jest funkcją pierwotną funkcji f g w przedziale P. Dowód. Istotnie, bezpośrednio z twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji (twierdzenie 7..) dostajemy (fg) = f g + fg, więc (fg F ) = f g w przedziale P. Twierdzenie Niech P, Q będą przedziałami oraz niech ϕ : Q R będzie funkcją różniczkowalną taką, że ϕ(q) P. Jeśli F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, to F ϕ : Q R jest funkcją pierwotną funkcji f ϕ ϕ w przedziale Q. Dowód. Z twierdzenia 7..3, mamy (F ϕ) = (F ϕ) ϕ = (f ϕ) ϕ w P. Uwaga Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f(x) > 0 dla x P. Wprost z definicji funkcji pierwotnej mamy (a) Funkcja F (x) = ln f(x), x P jest funkcją pierwotnę funkcji f w przedziale P. f f (b) Funkcja F (x) = f(x), x P jest funkcją pierwotnę funkcji f w przedziale P. Uwaga Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f(x) < 0 dla x P. Wprost z definicji funkcji pierwotnej mamy (a) Funkcja F (x) = ln f(x), x P jest funkcją pierwotnę funkcji f w przedziale P. f (b) Funkcja F (x) = f(x), x P jest funkcją pierwotnę funkcji f w P. Twierdzenie Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale P, to f spełnia w P własność Darboux, to znaczy dla każdych x, x P, x < x oraz każdego c R, (a) jeśli f(x ) < c < f(x ), to istnieje x 0 (x, x ), że f(x 0 ) = c, (b) jeśli f(x ) > c > f(x ), to istnieje x 0 (x, x ), że f(x 0 ) = c. Dowód. Niech F : P R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wówczas F (x) = f(x) dla x P i z twierdzenia Darboux dostajemy, że f spełnia (a) i (b). Uwaga W myśl twierdzenia 9..9 mamy, że funkcja f(x) = [x], x R, gdzie [x] oznacza całość z liczby x, nie ma funkcji pierwotnej, bowiem funkcja ta nie spełnia warunków (a) i (b) w twierdzeniu Można rẃnież udowodnić, że istnieją funkcje spełniające powyższe warunki (a) i (b), które nie mają funkcji pierwotnych. f

3 9.. O FUNKCJI PIERWOTNEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ 09 Własność 9... Niech P będzie przedziałem, x 0 P będzie takim punktem, że zbiory P = {x P : x x 0 }, P = {x P : x x 0 } są przedziałami. Niech f : P R. Jeśli (i) F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, (ii) F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, (iii) F (x 0 ) = F (x 0 ), to funkcja F : P R określona wzorami F (x) = F (x) dla x P i F (x) = F (x) dla x P jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Dowód. Wobec (iii) mamy, że funkcja F jest poprawnie określona. Weźmy dowolny x P. Jeśli x < x 0, to z (i) mamy F (x) = F (x) = f(x). Jeśli x > x 0, to z (ii) mamy F (x) = F (x) = f(x). Jeśli x = x 0, to z określenia F i z (i) oraz (iii) mamy lim x x 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = lim x x 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = f(x 0 ) oraz z (ii) lim x x + 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = lim x x + 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = f(x 0 ). Zatem F (x 0 ) = f(x 0 ). Reasumując F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. 9. O funkcji pierwotnej funkcji ciągłej Twierdzenie 9... Jeśli ciąg funkcyjny f n : [a, b] R, n N, jest jednostajnie zbieżny do funkcji f : [a, b] R oraz każda funkcja f n, n N ma w przedziale [a, b] funkcję pierwotną F n : [a, b] R, to funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale [a, b]. Jeśli dodatkowo dla pewnego x 0 [a, b], ciąg (F n (x 0 )) n= jest zbieżny, to ciąg (F n ) n= jest jednostajnie zbieżny i jego granica jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b]. Dowód. Niech x 0 [a, b]. Przyjmując F n (x) = F n (x) F n (x 0 ), x [a, b], z wniosku 9.., mamy, że F n jest funkcją pierwotną funkcji f n dla n N. Zatem ciąg funkcji różniczkowalnych ( F n ) n= jest zbieżny w punkcie x 0 i ciąg jego pochodnych (f n ) n= jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a, b]. W myśl twierdzenia 8.5., ciąg ( F n ) n=k jest, więc jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej F : [a, b] R oraz F (x) = lim n F n (x) = lim n f n (x) = f(x) dla x [a, b]. W konsekwencji F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b] oraz Fn F. Jeśli dodatkowo ciąg (F n (x 0 )) n= jest zbieżny, to analogicznie jak powyżej, w myśl twierdzenia 8.5., ciąg (F n ) n=k jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej F : [a, b] R oraz F jest funkcją pierwotną funkcji f w [a, b]. To kończy dowód. Z twierdzenia 9.. dostajemy natychmiast

4 0 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Wniosek 9... Jeśli szereg funkcyjny n= f n, gdzie f n : [a, b] R, n N, jest jednostajnie zbieżny do funkcji f : [a, b] R oraz każda funkcja f n, n N ma w przedziale [a, b] funkcję pierwotną F n : [a, b] R, to funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale [a, b]. Jeśli dodatkowo dla pewnego x 0 [a, b], szereg n= [a, b]. n= F n (x 0 ) jest zbieżny, to szereg F n jest jednostajnie zbieżny i jego suma jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale W oparciu o twierdzenie 9.., pokażemy, że każda funkcja ciągła w przedziale ma funkcję pierwotną w tym przedziale. Udowodnimy najpierw lemat. Lemat Jeśli f : R R jest wielomianem postaci f(x) = n wielomian F (x) = n j=0 j=0 a j j+ xj+, x R jest funkcją pierwotną funkcji f w R. a j x j, x R, to Dowód. Przy oznaczeniach lematu dostajemy F = f w R. To daje tezę. Twierdzenie (o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej). Jeśli P jest przedziałem, to każda funkcja ciągła f : P R ma funkcję pierwotną w przedziale P. Dowód. Niech f : P R będzie funkcją ciągłą. Załóżmy najpierw, że P jest przedziałem domkniętym. Wówczas z twierdzenia Weierstrassa mamy, że istnieje ciąg wielomianów (W n ) n= zbieżny jednostajnie do funkcji f na przedziale P. W myśl lematu 9..3, każdy wielomian W n, n N ma funkcję pierwotną w P. Zatem z twierdzenia 9.. dostajemy tezę w tym przypadku. Niech teraz P będzie dowolnym przedziałem oraz niech a, b, a < b będą końcami przedziału P. Niech x 0 P będzie ustalonym punktem takim, że a < x 0 < b. Jeśli b P, to z przypadku rozważonego na początku dowodu, istnieje funkcja pierwotna F funkcji f w przedziale [x 0, b]. Ponadto, wobec wniosku 9.., można założyć, że F (x 0 ) = 0. Jeśli b P, to istnieje ciąg rosnący (x n ) n= P taki, że x 0 < x n dla n N oraz lim x n = b. W myśl poprzedniego, w każdym przedziale [x 0, x n ] istnieje funkcja n pierwotna F n : [x 0, x n ] R funkcji f. Ponadto można założyć, że F n (x 0 ) = 0. Wówczas, z własności 9.. mamy F n (x) = F m (x) dla n < m oraz x [x 0, x n ]. Ponieważ [x 0, x n ] = [x 0, b), n N więc funkcja F : [x 0, b) R określona wzorem F (x) = F n (x), jeśli x [x 0, x n ], jest poprawnie określona. Ponadto F (x 0 ) = 0 oraz F (x) = f(x) dla x [x 0, b), czyli dla x P, x x 0. Reasumując istnieje funkcja pierwotna F funkcji f w przedziale {x P : x x 0 } taka, że F (x 0 ) = 0.

5 9.. O FUNKCJI PIERWOTNEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ Analogicznie jak powyżej pokazujemy, że istnieje funkcja pierwotna F funkcji f w przedziale {x P : x x 0 } taka, że F (x0 ) = 0. Ponieważ F (x 0 ) = F (x0 ), więc biorąc funkcję F : P R określoną wzorami F (x) = F (x) dla x P, x x 0 oraz F (x) = F (x) dla x P, x x0, w myśl własności 9.. dostajemy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Uwaga Niech (f n ) n= będzie ciągiem funkcji określonych na przedziale P. Załóżmy, że każda funkcja f n ma w P funkcję pierwotną. W dowodzie twierdzenia 9..4 pokazaliśmy, że jeśli ciąg (f n ) n= jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale domkniętym zawartym w P, to granica ciągu (f n ) n= ma funkcję pierwotną. Uwaga Funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x sin x cos x dla x 0 oraz f(0) = 0 posiada funkcję pierwotnę F : R R określoną wzorami F (x) = x sin x dla x 0 oraz F (0) = 0. Funkcja f nie jest jednak funkcją ciągłą w punkcie 0. Uwaga Istnieją funkcje posiadające funkcje pierwotne w przedziale, których iloczyn nie ma funkcji pierwotnej w tym przedziale. Pokażemy, że funkcja f : R R określona wzorami f(x) = cos dla x 0 oraz f(0) = 0. x ma funkcję pierwotną w R lecz f nie ma w R funkcji pierwotnej. Niech F : R R, g : R R będą funkcjami określonymi wzorami F (x) = x sin x dla x 0 oraz F (0) = 0, g(x) = x sin dla x 0 oraz g(0) = 0. x Funkcja g, jako funkcja ciągła, ma funkcję pierwotną G : R R (twierdzenie 9..4). Wtedy F (x) = g(x) f(x) dla x R, więc F = G F jest funkcją pierwotną funkcji f w R. Przypuśćmy teraz, że funkcja f ma w R funkcję pierwotną F : R R. Pokażemy, że istnieje C R, że (9.) F (x) = F (x) + x + C dla x R. Istotnie, ponieważ cos α = cos α dla α R, więc (9.) f (x) = f(x) + dla x 0. Funkcja F (x) + x jest w R funkcją pierwotną funkcji f + oraz z twierdzenia 9..6 mamy, że funkcja F (x) jest w R funkcją pierwotną funkcji f (x). Stąd, z (9.) i własności 9.., istnieją C, C R, że F (x) = F (x) + x + C dla x (, 0) oraz F (x) = F (x) + x + C dla x (0, + ). Wobec ciągłości funkcji F, F, przechodząc do granicy przy x 0 dostajemy F (0) = F (0) + C oraz F (0) = F (0) + C. Stąd wynika, że C = C. Reasumując pokazaliśmy (9.). Z (9.) i określenia funkcji F, F mamy 0 = f (0) = F (0) = F (0) + = f(0) + =, co jest niemożliwe. Z otrzymanej sprzeczności wynika, że przypuszczenie o istnieniu w R funkcji pierwotnej funkcji f było fałszywe.

6 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA 9.3 Całka nieoznaczona Dla uproszczenia zapisu wprowadzimy pojęcie całki nieoznaczonej. Definicja całki nieoznaczonej. Niech P będzie przedziałem oraz f funkcją określoną na P. Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale P, to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale P nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale P i oznaczamy fdx lub f(x)dx. Jeśli funkcja f nie ma funkcji pierwotnej w przedziale P, to mówimy, że funkcja ta nie ma całki nieoznaczonej w tym przedziale. Uwaga Jeśli F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, to wobec własności 9.. mamy, że f(x)dx = {G : P R : istnieje stała C R, że G = F +C}. W związku z tym, w dalszym ciągu będziemy pisali f(x)dx = F (x) + C, gdzie C R jest dowolną stałą. Aby wyznaczyć całkę nieoznaczoną funkcji w przedziale wystarczy więc obliczyć jedną funkcję pierwotną tej funkcji w tym przedziale. Uwaga W literaturze wyznaczanie funkcji pierwotnej oraz całki nieoznaczonej nazywa się całkowaniem. Uwaga Oznaczenie f(x)dx, całki nieoznaczonej funkcji f w przedziale P, pochodzi od Leibniza. W oznaczeniu tym nie występuje oznaczenie przedziału P. Należy jednak pamiętać, że proces szukania całki nieoznaczonej jest ściśle związany z przedziałem. Symbol dx, w oznaczeniu całki, ma ułatwić rozróżnienie po której zmiennej całkujemy funkcję, jeśli funkcja zależy od wielu zmiennych. Podamy teraz twierdzenia o całce nieoznaczonej sumy dwóch funkcji. Zgodnie z definicją będziemy musieli dodawać rodziny funkcji. Przyjmijmy więc następujące oznaczenia. Definicja Dla zbiorów A, B R X, funkcji określonych na zbiorze X, przyjmujemy A + B = {f + g : f A g B}, aa = {af : f A}, gdzie a R. g + A = {g + f : f A}, gdzie g : X R. A ϕ = {f ϕ : f A}, gdzie ϕ : Y R, ϕ(y ) X. Bezpośrednio z twierdzenia 9..3 i powyższej definicji dostajemy Twierdzenie Jeśli funkcje f i g mają całki nieoznaczone w przedziale P, to funkcje f + g oraz αf, gdzie α R, mają całki nieoznaczone w przedziale P i (f + g)dx = fdx + gdx oraz αfdx = α fdx. Z twierdzenia 9..5 mamy Twierdzenie (o całkowaniu przez części). Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale P. Jeśli funkcja f g ma w przedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f g ma w przedziale P całkę nieoznaczoną oraz f gdx = fg f g dx.

7 9.3. CAŁKA NIEOZNACZONA 3 Z twierdzenia 9..6 mamy Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie). Niech P, Q będą przedziałami oraz niech ϕ : Q R będzie funkcją różniczkowalną taką, że ϕ(q) P. Jeśli funkcja f ma w przedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f ϕ ϕ ma w przedziale Q całkę nieoznaczoną oraz ( ) f ϕ(x) ϕ (x)dx = f(t)dt ϕ(x). Bepośrednio z twierdzeń 7.. oraz 7.. dostajemy Twierdzenie Niech α, a R. Wówczas w odpowiednim przedziale, mamy x α dx = xα+ α+ x α dx = xα+ α+ x α dx = xα+ α+ + C, w (0, + ), gdy α R \ { } + C, w R, gdy α N + C, w (, 0), gdy α Z \ { } x dx = ln x + C, w (0, + ), x dx = ln( x) + C, w (, 0), e x dx = e x + C, w R, a x dx = ax + C, w R, gdy a > 0, a, ln a sin xdx = cos x + C, w R, cos xdx = sin x + C, w R, cos x dx = tg x + C, w ( π + kπ, π + kπ), gdzie k Z, dx = ctg x + C, w (kπ, π + kπ), gdzie k Z, sin x +x dx = arctg x + C, w R x dx = arcsin x + C, w (, ). gdzie C R jest dowolną stałą. Przykład Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy, że ln xdx = x ln x x + C w przedziale (0, + ),

8 4 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA gdzie C R jest dowolną stałą. Z punktu widzenia obliczania całek nieoznaczonych ważny jest również sposób w jaki można taką całkę zgadnąć. Stosując mianowicie twierdzenie o całkowaniu przez części 9.3.5, dla funkcji f(x) = x, g(x) = ln x, x (0, + ), dostajemy ln xdx = x ln x dx = x ln x x + C w przedziale (0, + ), gdzie C R jest dowolną stałą. Przykład Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy łatwo, że (9.3) e x sin xdx = ex (sin x cos x) + C, w zbiorze R, gdzie C R jest dowolną stałą. Stosując zaś dwa razy twierdzenie o całkowaniu przez części 9.3.5, dostajemy e x sin xdx = e x sin x e x cos xdx = e x sin x e x cos x e x sin xdx w zbiorze R, przy czym całki w powyższym wzorze istnieją. Oznaczając przez F : R R dowolną funkcję pierwotną funkcji e x sin x dostajemy, że istnieje C 0 R, że Stąd dostajemy (9.3). F (x) = e x (sin x cos x) F (x) + C 0, x R. Przykład Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy łatwo, że (9.4) arcsin xdx = x arcsin x + x + C, w przedziale (, ), gdzie C R jest dowolną stałą. Stosując zaś twierdzenie o całkowaniu przez części mamy (9.5) arcsin xdx = x arcsin x x dx, w przedziale (, ). x Przyjmując ϕ(x) = x, x (, ) dostajemy ϕ(x) (0, ] oraz x x = ϕ(x) ϕ (x) dla x (, ). Ponadto t dt = t + C w przedziale (0, ], gdzie C R jest dowolną stałą. Zatem stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dostajemy x dx = x ϕ(x) ϕ (x)dx = ϕ(x) + C = x + C w przedziale (, ), gdzie C R jest dowolną stałą. Stąd i z (9.5) wynika (9.4).

9 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH Informacje o obliczaniu funkcji pierwotnych W punkcie 9. pokazaliśmy istnienie funkcji pierwotnych funkcji ciągłych w przedziale. W tym punkcie podamy metody efektywnego obliczania funkcji pierwotnych pewnych funkcji. Podamy najpierw metodę obliczania funkcji pierwotnych funkcji wymiernych a następnie pokażemy, jak sprowadzić pewne inne rodziny funkcji do tego przypadku. Wszystkie rozważane tutaj funkcje będą miały funkcje pierwotne, które można zapisać przy użyciu funkcji elementarnych. Na uwagę zasługuje fakt, że nie wszystkic funkcje elementarne mają funkcje pierwotne będące funkcjami elementarnymi. Można na przykład pokazać (lecz nie jest to łatwe), że funkcje określone wzorami f(x) = + x 3, x, g(x) = sin x x, x > 0, h(x) = ln x, x >, p(x) = e x, x R, mają funkcje pietrwotne, które jednak nie są funkcjami elementarnymi. Dla uproszczenia zapisu będziemy w tym punkcie stosowali całki nieoznaczone Całkowanie ułamków prostych Definicja ułamków prostych. Niech n N oraz a, b, c, d, p, q R. Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci (9.6) f(x) = a (x b) n, x b, (9.7) g(x) = cx + d (x + px + q) n, x R, gdzie p 4q < 0. Uwaga Funkcja g w powyższej definicji jest poprawnie określona, bowiem z warunku p 4q < 0 wynika, że x + px + q > 0 dla wszystkich x R. Pokażemy, że funkcje pierwotne ułamków prostych (w odpowiednich przedziałach) są funkcjami elementarnymi. Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej mamy dwie poniższe własności. Własność Niech a, b R, Wówczas gdzie C R jest dowolną stałą. a dx = a ln(b x) + C, w przedziale (, b), x b a dx = a ln(x b) + C, w przedziale (b, + ), x b

10 6 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Własność Niech n N, n > oraz a, b R. Wówczas a (x b) dx = a + C, w przedziale (, b), n ( n)(x b) n a (x b) dx = a + C, w przedziale (b, + ), n ( n)(x b) n gdzie C R jest dowolną stałą. Przejdźmy teraz do ułamków prostych postaci (9.7). Lemat Niech n N, c, d, p, q R oraz p 4q < 0 oraz niech g(x) = cx + d (x + px + q) n, x R. Wówczas przyjmując mamy, że b > 0 oraz a = p, 4q p b = 4 g(x + a) = c x (x + b) + ca + d n (x + b), x R. n Dowód. Ponieważ x + px + q = ( x + p ) 4q p +, 4 więc przyjmując a = p, b = 4q p 4, dostajemy g(x + a) = xc + ca + d = c x (x + b) n (x + b) + ca + d n (x + b), x R, n co daje tezę. Lemat Niech g : R R będzie funkcją ciągłą, a R oraz niech funkcja ϕ : R R będzie określona wzorem ϕ(x) = x a, x R. Wówczas ( g(x)dx = ) g(t + a)dt ϕ(x). Dowód. Ponieważ g(x)dx = g(ϕ(x) + a)ϕ (x)dx, więc z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy tezę. Z lematów i dostajemy

11 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 7 Własność Niech n N, c, d, p, q R oraz p 4q < 0. Wówczas oznaczając mamy a = p, 4q p b = 4 ( cx + d ) c (x + px + q) dx = t n (t + b) dt ϕ + n oraz ϕ(x) = x a, x R ( ) ca + d (t + b) dt ϕ, w R. n W świetle własności dla obliczania całek nieoznaczonych ułamków prostych wystarczy rozważyć ułamki proste postaci x (x + b) n oraz (x + b) n. Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej mamy Własność Niech b R, b > 0. Wówczas x x + b dx = ln(x + b) + C, w zbiorze R, x (x + b) dx = + C, w zbiorze R, gdzie α R \ {}, α ( α)(x + b) α gdzie C R jest dowolną stałą. Pozostaje rozważyć ułamki proste postaci (x +b) n. Własność Niech b R, b > 0 oraz niech ϕ : R R będzie funkcją określoną wzorem ϕ(x) = x b, x R. Wówczas (x + b) n dx = b b n ( ) (t + ) dt ϕ w zbiorze R. n Dowód. Ponieważ (x + b) n = b b n (( x b ) + ) n b = b b n ((ϕ(x)) + ) n ϕ (x), więc z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy tezę. W świetle powyższej własności pozostaje rozważyć ułamki proste postaci (x +) n. Całki nieoznaczone takich funkcji obliczamy przy pomocy następujących wzorów rekurencyjnych.

12 8 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Twierdzenie Oznaczmy Wówczas I n = dx, w zbiorze R, gdzie n N. (x + ) n (9.8) I = arctg x + C w zbiorze R, gdzie C R jest dowolną stałą oraz (9.9) I n+ = x n (x + ) + n n n I n dla n N. Dowód. Z twierdzenia dostajemy (9.8). Funkcje f n (x) =, x R, gdzie n N, (x + ) n jako funkcje ciągłe mają funkcje pierwotne w R. Niech więc F n : R R będzie funkcją pierwotną funkcji f n dla n N. Wtedy dla x R mamy oraz F n+(x) = f n+ (x) ( x n (x + ) + n ) ( ) n n F x n(x) = + n n (x + ) n n (x + ) = f n+(x). n Z powyższych dwóch równości dostajemy (9.9). Zbierając wyniki tego punktu dostajemy Wniosek Funkcje pierwotne ułamków prostych (w przedziałach, w których ułamki te są określone) są funkcjami elementarnymi Całkowanie funkcji wymiernych Pokażemy, że każda funkcja wymierna ma funkcję pierwotną w każdym przedziale w którym jest określona i funkcja pierwotna jest funkcją elementarną. W świetle wyników poprzedniego punktu wystarczy pokazać, że zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie Dla każdej funkcji wymiernej f istnieje wielomian W oraz skończony ciąg ułamków prostych g,..., g k, że w punktach, gdzie funkcja f jest określona. f = W + g + + g k,

13 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 9 Dowód powyższego twierdzenia jest czysto algebraiczny. Można więc go pominąć, odwołując się do algebray. Przyjmując za znane, że każdy niezerowy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów pierwszego i drugiego stopnia, podajemy jednak szkic dowodu twierdzenia Kluczowym w dowodzie twierdzenia 9.4. jest następujący fakt algebraiczny. Twierdzenia tego dowodzi się również w Analizie Zespolonej. Lemat Każdy wielomian dodadniego stopnia (o współczynnikach rzeczywistych) jest iloczynem skończonej ilości wielomianów stopnia pierwszego oraz wielomianów stopnia, które nie mają pierwiastków. Następnym ważnym twierdzeniem w dowodzie twierdzenia 9.4. jest poniższy Algorytmu Euklidesa. Lemat Niech P, Q będą wielomianami niezerowymi. Wówczas istnieją wielomiany W i R takie, że deg R < deg Q oraz (9.0) P = W Q + R. Dowód. Niech P = a m x m + a m x m + a 0, Q(x) = b k x k + b k x k + + b 0, a m 0, b k 0. Wtedy m = deg P, k = deg Q. Jeśli m < k, to kładąc W = 0, R = P dostajemy tezę. Załóżmy, że m k. Oznaczmy m = m 0, R 0 = P oraz α 0 = am b k. Wtedy wielomian R = R 0 α 0 x m k Q ma stopień mniejszy od m 0. Jeśli m = deg R < k, to dla W (x) = αx m k oraz R = R, dostajemy tezę. Jeśli m k, to analogicznie jak powyżej, istnieje α R, że R = R α x m k Q oraz m = deg R < m. Postępując tak dalej znajdziemy skończony ciąg liczb α i R oraz wielomianów R i, że R i = R i α i x mi k Q dla i = 0,..., n oraz m i = deg R i jest ciągiem malejącym, k m n, k > m n. Wtedy dla W = α 0 x m0 k + α x m=k + α n x mn k oraz R = R n dostajemy (9.0). Lemat Niech P, Q będą wielomianami oraz a R, k N. Jeśli Q(a) 0, to przyjmując A = P (a) Q(a), istnieje wielomian P taki, że (9.) P (x) (x a) k Q(x) = A (x a) k + P (x) (x a) k, gdzie x R, (x a)q(x) 0. Q(x) Dowód. Ponieważ P (a) AQ(a) = 0, więc z twierdzenia Bezouta istnieje wielomian P taki, że P (x) AQ(x) = (x a)p (x). Dzieląc tę ostatnią równość przez (x a) k Q(x) dostajemy (9.). Definicja. Niech P, Q będą wielomianami. Mówimy, że wielomian Q dzieli wielomian P, gdy istnieje wielomian W, że P = W Q. W przeciwnym razie mówimy, że wielomian Q nie dzieli wielomianu P. Lemat Niech P, Q będą wielomianami oraz p, q R, k N. Jeśli wielomian x +px+q nie dzieli żadnego z wielomianów P i Q oraz p 4q < 0, to istnieją B, C R oraz istnieje wielomian P taki, że (9.) P (x) (x + px + q) k Q(x) = Bx + C (x + px + q) k + P (x) (x + px + q) k, gdzie x R, Q(x) 0. Q(x) Dowód. Wystarczy pokazać, że istnieją B, C R oraz istnieje wielomian P taki, że (9.3) P (x) (Bx + C)Q(x) = (x + px + q)p (x) dla x R. Z lematu i założenia, że wielomiany P, Q nie dzielą się przez x + px + q wynika, że istnieją a, b, c, d R oraz wielomiany F, W takie, że a 0 lub b 0 oraz c 0 lub d 0 i dla x R mamy P (x) = (x + px + q)f (x) + (ax + b), Q(x) = (x + px + q)w (x) + (cx + d).

14 0 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Zatem dla dowolnych B, C R oraz x R mamy (9.4) P (x) (Bx + C)Q(x) = (x + px + q)(f (x) (Bx + C)W (x)) + (ax + b) (Bx + C)(cx + d), ponadto dzieląc (ax + b) (Bx + C)(cx + d) przez x + px + q dostajemy (9.5) (ax + b) (Bx + C)(cx + d) = (x + px + q)( Bc) + (a Bd Cc + Bcp)x + b Cd + Bcq. Zauważmy, że istnieją B, C R, że (9.6) a Bd Cc + Bcp = 0 i b Cd + Bcq = 0. Układ (9.6) jest układem równań liniowych zmiennych B, C o wyznaczniku głównym A równym d cpd + c q. Wyznacznik ten jest różny od zera. Istotnie, jeśli c = 0, to d 0 i wyznacznik A = d jest różny od zera. Jeśli zaś c 0, to A = c [( d c ) + p( d c ) + q] 0, gdyż d c nie może być pierwiastkiem wielomian x + px + q, bo p 4q < 0. Reasumując układ (9.6) ma rozwiącanie (B, C). Biorąc to rozwiązanie, z (9.5) i (9.4) dostajemy P (x) (Bx + C)Q(x) = (x + px + q)(f (x) (Bx + C)W (x)) + (x + px + q)( Bc). Oznaczając więc P = F (x) (Bx + C)W (x) Bc dostajemy (9.). Dowód twierdzenia Niech f = P Q, gdzie P, Q są wielomianami nie posiadającymi wspólnych dzielników (tzn. P i Q nie dzielą się przez ten sam wielomian dodatniego stopnia). Zgodnie, z lematem 9.4. istnieją wielomiany stopnia pierwszego L i (x) = x a i, liczby k i N, i =,..., r oraz wielomiany stopnia drugiego K i (x) = x + p i x + q i, nie posiadające pierwiastków, liczby l i N, i =,..., s oraz α R \ {0}, że Q(x) = α(x a ) k (x a r ) kr (x + p x + q ) l (x + p s x + q s ) ls, przy czym w powyższym wzorze czynniki pierwszego lub drugiego stopnia mogę nie występować, jeśli Q jest iloczynem czynników liniowych lub, gdy jest iloczynem czynników stopnia drugiego. Ponadto czynniki L i są różne między sobą i czynniki K i są różne między sobą. Można założyć, że α =. Stosując teraz k + k r razy lemat oraz l + + l s razy lemat dostajemy tezę twierdzenia Z twierdzenia 9.4., wniosku i faktu, że funkcja pierwotna wielomianu jest wielomianem, dostajemy Wniosek Funkcje pierwotne funkcji wymiernych (w przedziałach, w których są określone) są funkcjami elementarnymi. Uwaga Z twierdzenia 9.4. dostajemy algorytm wyliczania całki nieoznaczonej dowolnej funkcji wymiernej f = P. Należy mianowicie przedstawić funkcję f w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych, a następnie zastosować algorytmy wyliczania funkcji Q pierwotnych dowolnego ułamka prostego, podane w poprzednim podpunkcie. Główną trudnością w tym algorytmie jest rozłożenie wielomianu Q na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i drugiego. Nie mamy efektywnych metod uzyskiwania tego rozkładu. Metodę rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste przedstawimy na przykładzie. Przykład Niech (9.7) f(x) = x6 + 4x 4 3x 3 + 5x x +, x R \ {, }. (x + ) (x ) (x + )

15 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH Mianownik jest iloczynem wielomianów pierwszego i drugiego stopnia. Przy czym wielomian x + nie ma pierwiastków rzeczywistych. Przedstawimy funkcję f w postaci sumy ułamków prostych postaci (9.8) f(x) = Ax + B x + + Cx + D (x + ) + E x + H (x ) + T x +, gdzie A, B, C, D, E, H, T R. Sprowadzając prawą stronę (9.8) do wspólnego mianownika, przyjmuje ona postać (Ax + B)(x + )(x ) (x + ) + (Cx + D)(x ) (x + ) + E(x + ) (x )(x + ) (x + ) (x ) (x + ) + H(x + ) (x + ) + T (x + ) (x ). (x + ) (x ) (x + ) Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach liczników w powyższym i (9.7) otrzymujemy układ równań liniowych. Rozwiązując ten układ dostajemy A = 0, B =, C = 0, D =, E =, H =, T =. W konsekwencji z (9.8), (9.9) f(x) = x + + (x + ) + x + (x ) + x +, Przykład Obliczymy całkę nieoznaczoną funkcji wymiernej z przykładu w przedziale (, + ). Z twierdzenia mamy dx = arctg x + C x + oraz (x + ) dx = x x + + x + dx = x x + + arctg x + C, gdzie C R jest dowolną stałą. Ponadto dx = ln(x ) + C, x W konsekwencji z (9.9) mamy f(x)dx = x x + gdzie C R jest dowolną stałą. dx = (x ) x + C i dx = ln(x + ) + C. x + arctg x + ln(x ) + ln(x + ) + C, x Całkowanie funkcji trygonometrycznych Definicja funkcji wymiernej dwóch zmiennych. Funkcję f : R R R dwóch zmiennych x, y postaci f(x, y) = ax k y l, (x, y) R R, gdzie k, l Z, k, l 0 nazywamy jednomianem dwóch zmiennych. Funkcje W : R R R będące sumami skończonej ilości jednomianów dwóch zmiennych x, y nazywamy wielomianami dwóch zmiennych. Jeśli F, G są wielomianami dwóch zmiennych takimi, że G nie znika tożsamościowo, to funkcję W (x, y) = F (x,y) określoną w zbiorze {(x, y) R R : G(x, y) 0} nazywamy funkcją G(x,y) wymierną dwóch zmiennych.

16 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Uwaga Niech W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych oraz ϕ, ψ funkcjami wymiernymi jednej zmiennej. Niech P będzie przedziałem. Bezpośrednio z definicji (jednomianu, wielomianu dwóch zmiennych i funkcji wymiernej) dostajemy, że jeśli funkcje ϕ, ψ są określone w każdym punkcie x P, przy czym punkt (ϕ(x), ψ(x)) należy do dziedziny funkcji W, to funkcja f(x) = W (ϕ(x), ψ(x)), x P jest obcięciem funkcji wymiernej. Pokażemy, że każda funkcja postaci f(x) = W (sin x, cos x), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, ma w każdym przedziale w którym jest określona funkcję pierwotnę będącą funkcją elementarną. Lemat Niech ϕ : ( π, π) R będzie funkcją określoną wzorem ϕ(x) = tg x, x ( π, π). Wtedy dla x ( π, π) mamy (9.0) sin x = ( t +t ) ϕ(x), cos x = ( t +t ) ϕ(x), = ( +t ) ϕ(x) ϕ (x). Dowód. Ponieważ dla x ( π, π) zachodzi sin x = tg x + tg x oraz cos x = tg x + tg x, więc mamy pierwsze dwie części (9.0). Podobnie dostajemy ϕ (x) = + ϕ (x), więc mamy ostatnią część (9.0). Twierdzenie Niech (a, b) ( π, π) oraz niech f : (a, b) R będzie funkcją postaci f(x) = W (sin x, cos x), x (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych ( ). Jeśli ϕ : (a, b) R jest funkcją określoną wzorem ϕ(x) = tg x, x (a, b), to (9.) f(x) = ) +t W ( t, t +t + t ϕ(x) ϕ (x), x (a, b). W szczególności (9.) f(x)dx = W ( ) t, t +t +t dt ϕ(x) w przedziale (a, b). + t zakładamy oczywiście, że dla każdego x (a, b), punkt (sin x, cos x) należy do dziedziny funkcji W.

17 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 3 Dowód. Ponieważ dla każdego x (a, b), punkt (sin x, cos x) należy do dziedziny funkcji W, więc z lematu 9.4. dla każdego t ϕ((a, b)), punkt ( t, t ) należy do +t +t dziedziny funkcji W, zatem funkcja W ( t +t, t +t ) jest funkcją wymierną określoną na przedziale ϕ((a, b)). W konsekwencji z lematu 9.4. dostajemy (9.). Z (9.) i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.). Z twierdzenia 9.4. i wniosku dostajemy natychmiast Wniosek Niech (a, b) ( π, π) oraz niech f : (a, b) R będzie funkcją postaci f(x) = W (sin x, cos x), x (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas każda funkcja pierwotna funkcji f jest funkcją elementarną. Uwaga Niech (a, b) (0, π) oraz f : (a, b) R będzie funkcją postaci f(x) = W (sin x, cos x), x (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Jeśli ϕ : (a, b) R jest funkcją określoną wzorem ϕ(x) = ctg x, x (a, b), to analogicznie jak lematu 9.4. dowodzimy, że dla x (a, b) mamy sin x = ( ) t ϕ(x), cos x = + t ( ) + t ϕ(x), + t ( ) = ϕ(x) ϕ (x). + t Zatem, analogicznie jak w twierdzeniu 9.4., ) +t t W (, +t f(x) = +t + t ϕ(x) ϕ (x), x (a, b), w szczególności f(x)dx = W ( t, +t ) +t +t dt ϕ + t w przedziale (a, b). Uwaga Z uwagi na okresowość funkcji postaci f(x) = W (sin x, cos x), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, wystarczy umieć obliczać całki nieoznaczone takich funkcji w przedziałach (a, b) ( π, π) oraz przedziałach (a, b) (0, π). Przykład Pokażemy, że (9.3) ( ( x cos x dx = ln tg + π )) + C, w przedziale 4 ( π, π ), gdzie C R jest dowolną stałą. Można sprawdzić bezpośrednio, że (9.3) zachodzi. Można również zastosować twierdzenie Biorąc funkcję ϕ : ( π, π ) R określoną wzorem ϕ(x) = tg x, x ( π, π), mamy ϕ(x) (, ) dla x ( π, π ) oraz wobec twierdzenia 9.4., ( ) + t ( ) ( cos x = ϕ(x)ϕ (x) = ϕ(x)ϕ (x) dla x π t + t t, π ).

18 4 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Ponieważ w przedziale (, ) mamy t dt = t dt + gdzie C R jest dowolną stałą, więc cos x dx = ln + tg x tg x Podstawienia Eulera + t dt = ln( t) + ln( + t) + C = ln + t t + C, ( ( x + C = ln tg + π )) + C, w przedziale 4 ( π, π ). Niech w tym punkcie: W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych, niech a, b, c będą ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz niech P będzie przedziałem. Załóżmy, że dla każdego x P zachodzi ax + bx + c > 0 oraz punkt (x, ax + bx + c) należy do dziedziny funkcji W. Niech f : P R będzie funkcją postaci (9.4) f(x) = W ( x, ax + bx + c ), x P. Pokażemy, że każda funkcja pierwotna funkcji f w przedziale P jest funkcją elementarną. Twierdzenie Niech f będzie funkcją postaci (9.4). Jeśli a = 0 i b 0, to funkcja ϕ : P R określona wzorem ϕ(x) = bx + c, x P jest różniczkowalna, ( t ) c (9.5) x = ϕ(x), = b oraz (9.6) f(x)dx = [ W ( t c b ( ) t ϕ(x)ϕ (x) dla x P b ) ] t, t b dt ϕ, w przedziale P. Dowód. Ponieważ dla x P mamy bx + c > 0, więc ϕ(x) > 0 oraz ϕ jest funkcją różniczkowalną, jako złożenie funkcji różniczkowalnych. Ponadto dla x P mamy To daje pierwszą część (9.5). Ponadto ϕ (x) = ϕ (x) = bx + c i dalej x = ϕ (x) c. b b ϕ(x), więc = ϕ (x) dla x P. ϕ(x) b To daje drugą część (9.5). Ponieważ dla każdego x P, punkt (x, bx + c) należy do dziedziny funkcji W, więc dla każdego t ϕ(p ), punkt ( t c, t ) należy do dziedziny b funkcji W i w konsekwencji funkcja W ( t c, t ) t jest wymierna i określona w przedziale b b ϕ(p ). Z (9.5) i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.6).

19 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 5 Twierdzenie (I podstawienie Eulera). Niech f będzie funkcją postaci (9.4). Jeśli a > 0 i b 4ac 0, to funkcja ϕ : P R określona wzorem ϕ(x) = ax + bx + c + ax, x P jest różniczkowalna i dla x P mamy (9.7) x = ( t ) c ϕ(x), at + b ( at + bt + c ) a ax + bx + c = ϕ(x), at + b ( at + bt + c ) a (9.8) = ( ϕ(x)ϕ (x). at + b) W szczególności w przedziale P mamy (9.9) f(x)dx = [ W ( t c at + b, at + bt + c a at + b ) at + bt + c ] a ( dt ϕ. at + b) Dowód. Ponieważ funkcja f jest określoną wzorem (9.4), więc ax + bx + c > 0 dla x P. Stąd i z założenia a > 0 wynika, że funkcja ϕ jest różniczkowalna. Dla x P, z określenia funkcji ϕ, mamy zatem ϕ(x) ax = ax + bx + c, więc ϕ (x) axϕ(x) = bx + c, (9.30) x( aϕ(x) + b) = ϕ (x) c. Ponadto (9.3) aϕ(x) + b 0, gdyż w przeciwnym razie z określenia funkcji ϕ mielibyśmy a ax + bx + c = ax b i dalej 4a x + 4abx + 4ac = 4a x + 4abx + b, zatem b 4ac = 0, wbrew założeniu. Reasumując mamy (9.3). Z (9.3) i (9.30) wynika pierwsza część (9.7). Druga część (9.7) wynika z pierwszej i określenia funkcji ϕ. Różniczkując funkcję ϕ i stosując (9.7) dostajemy ϕ ax + b (x) = ax + bx + c + a = [( ) ( a t c at + b + b ) at + b at + bt + c + ] a ϕ(x), a więc po łatwych przekształceniach otrzymujemy (9.8). Podobnie jak w twierdzeniu pokazujemy, że funkcja podcałkowa po prawej stronie (9.9) jest określona w przedziale ϕ(p ) i z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.9).

20 6 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Uwaga Niech f będzie funkcją postaci (9.4). Jeśli a > 0 i b 4ac = 0, to istnieje x 0 R, że ax + bx + c = a(x x 0 ). Wówczas z założenia, że ax + bx + c > 0 dla x P mamy, że P (, x 0 ) lub P (x 0, + ). Jśli P (, x 0 ), to przyjmując ϕ(x) = a(x x 0 ), x P, mamy x = ϕ(x) a + x 0, ax + bx + c = ϕ(x) oraz ϕ (x) = a dla x P. Zatem z twierdzenia o całkowaniu przez podstawieniu, (9.3) f(x)dx = [ ( W t ) ] + x 0, t dt ϕ a a Jśli P (x 0, + ), to przyjmując ϕ(x) = a(x x 0 ), x P, mamy x = ϕ(x) a + x 0, ax + bx + c = ϕ(x) oraz ϕ (x) = a dla x P. Zatem (9.33) f(x)dx = [ ( ) ] t W + x 0, t dt ϕ a a Twierdzenie (III podstawienie Eulera). Niech f będzie funkcją postaci (9.4). Jeśli a < 0 i b 4ac > 0, to istnieją p, q R, p < q, że ax + bx + c = a(x p)(x q) dla x R. Wtedy P (p, q) oraz funkcja ϕ : P R określona wzorem ϕ(x) = ax + bx + c, x P x p jest różniczkowalna i dla x P mamy (9.34) x = ( pt ) aq ϕ(x), t a ( ) a(p q)t ax + bx + c = ϕ(x), t a ( ) a(q p)t (9.35) = ϕ(x)ϕ (x). (t a) W szczególności w przedziale P mamy (9.36) f(x)dx = [ W ( pt ) ] aq a(p q)t a(q p)t, t a t a (t a) dt ϕ. Dowód. Funkcja ϕ jest oczywiście różniczkowalna w przedziale P. Ponadto dla x P mamy ϕ(x)(x p) = a(x p)(x q), więc po podniesieniu do kwadratu, (9.37) x(ϕ (x) a) = ϕ (x)p aq. Ponadto ϕ (x) a, gdyż w przeciwnym razie, po podniesieniu do kwadratu mielibyśmy a(x q) = a(x p), co jest niemożliwe, bo p q. W konsekwencji z (9.37) mamy pierwszą

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Funkcje addytywne gorszego sortu

Funkcje addytywne gorszego sortu Rafał Filipów Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Definicja funkcji addytywnych Definicja Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne Cauchy ego tzn. gdy dla wszystkich x, y R.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Zbieżność ciągów i szeregów funkcji

Zbieżność ciągów i szeregów funkcji VI Zbieżność ciągów i szeregów funkcji [około 2 wykładu]. O różnych pojęciach zbieżności ciągu funkcji W II i III rozdziale zajmowaliśmy się zbieżnością ciągów i szeregów liczbowych. Ale czy można mówić

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą.

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą. 5 Funkcjewymierne. Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci w(x)= P(x) Q(x), () gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM Z MATEMATYKI

KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Metody obliczania całek ε = mc Michał Stukow Błażej Szepietowski Publikacja współfinansowana

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania http://www./86.htm Analiza matematyczna w zadaniach, t., W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części. 5. 5. 5. 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:

Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory: Wykład 6 Funkcje Różniczkowalne - cią dalszy Twierdzenie o arytmetycznyc własnościac pocodnej Załóżmy, że funkcje f i są różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f +, f, f, i, jeśli ( p) 0, to również

Bardziej szczegółowo