Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna"

Transkrypt

1 Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, gdy F jest funkcją różniczkowalną i F (x) = f(x) dla x P. Własność 9... Niech P będzie przedziałem oraz niech F : P R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wówczas funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy F F jest funkcją stałą (w P ). Dowód. Załóżmy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wówczas mamy, że F (x) = f(x) = F (x) dla x P. Zatem z wniosku 7.3. dostajemy, że F F jest funkcją stałą. Odwrotnie, jeśli F F iest funkcją stałą, to F (x) = F (x) = f(x) dla x P, czyli F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wniosek 9... Jeśli funkcja f ma w przedziale P funkcję pierwotną, to dla każdego x 0 P oraz y 0 R istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna F : P R funkcji f w przedziale P taka, że F (x 0 ) = y 0. Dowód. Weźmy dowolne x 0 P oraz y 0 R. Niech F : P R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Kładąc F (x) = F (x) + y 0 F (x 0 ), x P, w myśl własności 9.. mamy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P oraz F (x 0 ) = y 0. Pokażemy, że funkcją pierwotna F funkcji f w P taka, że F (x 0 ) = y 0 jest określona jednoznacznie. Istotnie, niech F : P R będzie funkcją pierwotną funkcji f w P taką, że F (x 0 ) = y 0. W myśl własności 9.. mamy, że istnieje C R, że F (x) F (x) = C dla x P. Ponieważ F (x 0 ) F (x 0 ) = 0, więc C = 0. To daje tezę. Z własności pochodnej funkcji dostajemy poniższe własności funkcji pierwotnej. Twierdzenie Niech P będzie przedziałem oraz α, β R. Jeśli F, F : P R są funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji f, f w przedziale P, to αf + βf jest funkcją pierwotną funkcji αf + βf w przedziale P. 07

2 08 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Dowód. Bezpośrednio z twierdzenia o działaniach na pochodnej funkcji (twierdzenie 7..) dostajemy (αf + βf ) = αf + βf = αf + βf w przedziale P. Uwaga Odpowiednik twierdzenia 9..3 dla iloczynu funkcji nie zachodzi. Mianowicie, w punkcie 9. pokażemy że, istnieją funkcje posiadające funkcje pierwotne w przedziale, których iloczyn nie ma funkcji pierwotnej. Twierdzenie Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale P. Jeśli F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f g w przedziale P, to fg F jest funkcją pierwotną funkcji f g w przedziale P. Dowód. Istotnie, bezpośrednio z twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji (twierdzenie 7..) dostajemy (fg) = f g + fg, więc (fg F ) = f g w przedziale P. Twierdzenie Niech P, Q będą przedziałami oraz niech ϕ : Q R będzie funkcją różniczkowalną taką, że ϕ(q) P. Jeśli F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, to F ϕ : Q R jest funkcją pierwotną funkcji f ϕ ϕ w przedziale Q. Dowód. Z twierdzenia 7..3, mamy (F ϕ) = (F ϕ) ϕ = (f ϕ) ϕ w P. Uwaga Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f(x) > 0 dla x P. Wprost z definicji funkcji pierwotnej mamy (a) Funkcja F (x) = ln f(x), x P jest funkcją pierwotnę funkcji f w przedziale P. f f (b) Funkcja F (x) = f(x), x P jest funkcją pierwotnę funkcji f w przedziale P. Uwaga Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f(x) < 0 dla x P. Wprost z definicji funkcji pierwotnej mamy (a) Funkcja F (x) = ln f(x), x P jest funkcją pierwotnę funkcji f w przedziale P. f (b) Funkcja F (x) = f(x), x P jest funkcją pierwotnę funkcji f w P. Twierdzenie Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale P, to f spełnia w P własność Darboux, to znaczy dla każdych x, x P, x < x oraz każdego c R, (a) jeśli f(x ) < c < f(x ), to istnieje x 0 (x, x ), że f(x 0 ) = c, (b) jeśli f(x ) > c > f(x ), to istnieje x 0 (x, x ), że f(x 0 ) = c. Dowód. Niech F : P R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Wówczas F (x) = f(x) dla x P i z twierdzenia Darboux dostajemy, że f spełnia (a) i (b). Uwaga W myśl twierdzenia 9..9 mamy, że funkcja f(x) = [x], x R, gdzie [x] oznacza całość z liczby x, nie ma funkcji pierwotnej, bowiem funkcja ta nie spełnia warunków (a) i (b) w twierdzeniu Można rẃnież udowodnić, że istnieją funkcje spełniające powyższe warunki (a) i (b), które nie mają funkcji pierwotnych. f

3 9.. O FUNKCJI PIERWOTNEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ 09 Własność 9... Niech P będzie przedziałem, x 0 P będzie takim punktem, że zbiory P = {x P : x x 0 }, P = {x P : x x 0 } są przedziałami. Niech f : P R. Jeśli (i) F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, (ii) F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, (iii) F (x 0 ) = F (x 0 ), to funkcja F : P R określona wzorami F (x) = F (x) dla x P i F (x) = F (x) dla x P jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Dowód. Wobec (iii) mamy, że funkcja F jest poprawnie określona. Weźmy dowolny x P. Jeśli x < x 0, to z (i) mamy F (x) = F (x) = f(x). Jeśli x > x 0, to z (ii) mamy F (x) = F (x) = f(x). Jeśli x = x 0, to z określenia F i z (i) oraz (iii) mamy lim x x 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = lim x x 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = f(x 0 ) oraz z (ii) lim x x + 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = lim x x + 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = f(x 0 ). Zatem F (x 0 ) = f(x 0 ). Reasumując F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. 9. O funkcji pierwotnej funkcji ciągłej Twierdzenie 9... Jeśli ciąg funkcyjny f n : [a, b] R, n N, jest jednostajnie zbieżny do funkcji f : [a, b] R oraz każda funkcja f n, n N ma w przedziale [a, b] funkcję pierwotną F n : [a, b] R, to funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale [a, b]. Jeśli dodatkowo dla pewnego x 0 [a, b], ciąg (F n (x 0 )) n= jest zbieżny, to ciąg (F n ) n= jest jednostajnie zbieżny i jego granica jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b]. Dowód. Niech x 0 [a, b]. Przyjmując F n (x) = F n (x) F n (x 0 ), x [a, b], z wniosku 9.., mamy, że F n jest funkcją pierwotną funkcji f n dla n N. Zatem ciąg funkcji różniczkowalnych ( F n ) n= jest zbieżny w punkcie x 0 i ciąg jego pochodnych (f n ) n= jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a, b]. W myśl twierdzenia 8.5., ciąg ( F n ) n=k jest, więc jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej F : [a, b] R oraz F (x) = lim n F n (x) = lim n f n (x) = f(x) dla x [a, b]. W konsekwencji F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b] oraz Fn F. Jeśli dodatkowo ciąg (F n (x 0 )) n= jest zbieżny, to analogicznie jak powyżej, w myśl twierdzenia 8.5., ciąg (F n ) n=k jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej F : [a, b] R oraz F jest funkcją pierwotną funkcji f w [a, b]. To kończy dowód. Z twierdzenia 9.. dostajemy natychmiast

4 0 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Wniosek 9... Jeśli szereg funkcyjny n= f n, gdzie f n : [a, b] R, n N, jest jednostajnie zbieżny do funkcji f : [a, b] R oraz każda funkcja f n, n N ma w przedziale [a, b] funkcję pierwotną F n : [a, b] R, to funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale [a, b]. Jeśli dodatkowo dla pewnego x 0 [a, b], szereg n= [a, b]. n= F n (x 0 ) jest zbieżny, to szereg F n jest jednostajnie zbieżny i jego suma jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale W oparciu o twierdzenie 9.., pokażemy, że każda funkcja ciągła w przedziale ma funkcję pierwotną w tym przedziale. Udowodnimy najpierw lemat. Lemat Jeśli f : R R jest wielomianem postaci f(x) = n wielomian F (x) = n j=0 j=0 a j j+ xj+, x R jest funkcją pierwotną funkcji f w R. a j x j, x R, to Dowód. Przy oznaczeniach lematu dostajemy F = f w R. To daje tezę. Twierdzenie (o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej). Jeśli P jest przedziałem, to każda funkcja ciągła f : P R ma funkcję pierwotną w przedziale P. Dowód. Niech f : P R będzie funkcją ciągłą. Załóżmy najpierw, że P jest przedziałem domkniętym. Wówczas z twierdzenia Weierstrassa mamy, że istnieje ciąg wielomianów (W n ) n= zbieżny jednostajnie do funkcji f na przedziale P. W myśl lematu 9..3, każdy wielomian W n, n N ma funkcję pierwotną w P. Zatem z twierdzenia 9.. dostajemy tezę w tym przypadku. Niech teraz P będzie dowolnym przedziałem oraz niech a, b, a < b będą końcami przedziału P. Niech x 0 P będzie ustalonym punktem takim, że a < x 0 < b. Jeśli b P, to z przypadku rozważonego na początku dowodu, istnieje funkcja pierwotna F funkcji f w przedziale [x 0, b]. Ponadto, wobec wniosku 9.., można założyć, że F (x 0 ) = 0. Jeśli b P, to istnieje ciąg rosnący (x n ) n= P taki, że x 0 < x n dla n N oraz lim x n = b. W myśl poprzedniego, w każdym przedziale [x 0, x n ] istnieje funkcja n pierwotna F n : [x 0, x n ] R funkcji f. Ponadto można założyć, że F n (x 0 ) = 0. Wówczas, z własności 9.. mamy F n (x) = F m (x) dla n < m oraz x [x 0, x n ]. Ponieważ [x 0, x n ] = [x 0, b), n N więc funkcja F : [x 0, b) R określona wzorem F (x) = F n (x), jeśli x [x 0, x n ], jest poprawnie określona. Ponadto F (x 0 ) = 0 oraz F (x) = f(x) dla x [x 0, b), czyli dla x P, x x 0. Reasumując istnieje funkcja pierwotna F funkcji f w przedziale {x P : x x 0 } taka, że F (x 0 ) = 0.

5 9.. O FUNKCJI PIERWOTNEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ Analogicznie jak powyżej pokazujemy, że istnieje funkcja pierwotna F funkcji f w przedziale {x P : x x 0 } taka, że F (x0 ) = 0. Ponieważ F (x 0 ) = F (x0 ), więc biorąc funkcję F : P R określoną wzorami F (x) = F (x) dla x P, x x 0 oraz F (x) = F (x) dla x P, x x0, w myśl własności 9.. dostajemy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P. Uwaga Niech (f n ) n= będzie ciągiem funkcji określonych na przedziale P. Załóżmy, że każda funkcja f n ma w P funkcję pierwotną. W dowodzie twierdzenia 9..4 pokazaliśmy, że jeśli ciąg (f n ) n= jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale domkniętym zawartym w P, to granica ciągu (f n ) n= ma funkcję pierwotną. Uwaga Funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x sin x cos x dla x 0 oraz f(0) = 0 posiada funkcję pierwotnę F : R R określoną wzorami F (x) = x sin x dla x 0 oraz F (0) = 0. Funkcja f nie jest jednak funkcją ciągłą w punkcie 0. Uwaga Istnieją funkcje posiadające funkcje pierwotne w przedziale, których iloczyn nie ma funkcji pierwotnej w tym przedziale. Pokażemy, że funkcja f : R R określona wzorami f(x) = cos dla x 0 oraz f(0) = 0. x ma funkcję pierwotną w R lecz f nie ma w R funkcji pierwotnej. Niech F : R R, g : R R będą funkcjami określonymi wzorami F (x) = x sin x dla x 0 oraz F (0) = 0, g(x) = x sin dla x 0 oraz g(0) = 0. x Funkcja g, jako funkcja ciągła, ma funkcję pierwotną G : R R (twierdzenie 9..4). Wtedy F (x) = g(x) f(x) dla x R, więc F = G F jest funkcją pierwotną funkcji f w R. Przypuśćmy teraz, że funkcja f ma w R funkcję pierwotną F : R R. Pokażemy, że istnieje C R, że (9.) F (x) = F (x) + x + C dla x R. Istotnie, ponieważ cos α = cos α dla α R, więc (9.) f (x) = f(x) + dla x 0. Funkcja F (x) + x jest w R funkcją pierwotną funkcji f + oraz z twierdzenia 9..6 mamy, że funkcja F (x) jest w R funkcją pierwotną funkcji f (x). Stąd, z (9.) i własności 9.., istnieją C, C R, że F (x) = F (x) + x + C dla x (, 0) oraz F (x) = F (x) + x + C dla x (0, + ). Wobec ciągłości funkcji F, F, przechodząc do granicy przy x 0 dostajemy F (0) = F (0) + C oraz F (0) = F (0) + C. Stąd wynika, że C = C. Reasumując pokazaliśmy (9.). Z (9.) i określenia funkcji F, F mamy 0 = f (0) = F (0) = F (0) + = f(0) + =, co jest niemożliwe. Z otrzymanej sprzeczności wynika, że przypuszczenie o istnieniu w R funkcji pierwotnej funkcji f było fałszywe.

6 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA 9.3 Całka nieoznaczona Dla uproszczenia zapisu wprowadzimy pojęcie całki nieoznaczonej. Definicja całki nieoznaczonej. Niech P będzie przedziałem oraz f funkcją określoną na P. Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale P, to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale P nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale P i oznaczamy fdx lub f(x)dx. Jeśli funkcja f nie ma funkcji pierwotnej w przedziale P, to mówimy, że funkcja ta nie ma całki nieoznaczonej w tym przedziale. Uwaga Jeśli F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, to wobec własności 9.. mamy, że f(x)dx = {G : P R : istnieje stała C R, że G = F +C}. W związku z tym, w dalszym ciągu będziemy pisali f(x)dx = F (x) + C, gdzie C R jest dowolną stałą. Aby wyznaczyć całkę nieoznaczoną funkcji w przedziale wystarczy więc obliczyć jedną funkcję pierwotną tej funkcji w tym przedziale. Uwaga W literaturze wyznaczanie funkcji pierwotnej oraz całki nieoznaczonej nazywa się całkowaniem. Uwaga Oznaczenie f(x)dx, całki nieoznaczonej funkcji f w przedziale P, pochodzi od Leibniza. W oznaczeniu tym nie występuje oznaczenie przedziału P. Należy jednak pamiętać, że proces szukania całki nieoznaczonej jest ściśle związany z przedziałem. Symbol dx, w oznaczeniu całki, ma ułatwić rozróżnienie po której zmiennej całkujemy funkcję, jeśli funkcja zależy od wielu zmiennych. Podamy teraz twierdzenia o całce nieoznaczonej sumy dwóch funkcji. Zgodnie z definicją będziemy musieli dodawać rodziny funkcji. Przyjmijmy więc następujące oznaczenia. Definicja Dla zbiorów A, B R X, funkcji określonych na zbiorze X, przyjmujemy A + B = {f + g : f A g B}, aa = {af : f A}, gdzie a R. g + A = {g + f : f A}, gdzie g : X R. A ϕ = {f ϕ : f A}, gdzie ϕ : Y R, ϕ(y ) X. Bezpośrednio z twierdzenia 9..3 i powyższej definicji dostajemy Twierdzenie Jeśli funkcje f i g mają całki nieoznaczone w przedziale P, to funkcje f + g oraz αf, gdzie α R, mają całki nieoznaczone w przedziale P i (f + g)dx = fdx + gdx oraz αfdx = α fdx. Z twierdzenia 9..5 mamy Twierdzenie (o całkowaniu przez części). Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale P. Jeśli funkcja f g ma w przedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f g ma w przedziale P całkę nieoznaczoną oraz f gdx = fg f g dx.

7 9.3. CAŁKA NIEOZNACZONA 3 Z twierdzenia 9..6 mamy Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie). Niech P, Q będą przedziałami oraz niech ϕ : Q R będzie funkcją różniczkowalną taką, że ϕ(q) P. Jeśli funkcja f ma w przedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f ϕ ϕ ma w przedziale Q całkę nieoznaczoną oraz ( ) f ϕ(x) ϕ (x)dx = f(t)dt ϕ(x). Bepośrednio z twierdzeń 7.. oraz 7.. dostajemy Twierdzenie Niech α, a R. Wówczas w odpowiednim przedziale, mamy x α dx = xα+ α+ x α dx = xα+ α+ x α dx = xα+ α+ + C, w (0, + ), gdy α R \ { } + C, w R, gdy α N + C, w (, 0), gdy α Z \ { } x dx = ln x + C, w (0, + ), x dx = ln( x) + C, w (, 0), e x dx = e x + C, w R, a x dx = ax + C, w R, gdy a > 0, a, ln a sin xdx = cos x + C, w R, cos xdx = sin x + C, w R, cos x dx = tg x + C, w ( π + kπ, π + kπ), gdzie k Z, dx = ctg x + C, w (kπ, π + kπ), gdzie k Z, sin x +x dx = arctg x + C, w R x dx = arcsin x + C, w (, ). gdzie C R jest dowolną stałą. Przykład Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy, że ln xdx = x ln x x + C w przedziale (0, + ),

8 4 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA gdzie C R jest dowolną stałą. Z punktu widzenia obliczania całek nieoznaczonych ważny jest również sposób w jaki można taką całkę zgadnąć. Stosując mianowicie twierdzenie o całkowaniu przez części 9.3.5, dla funkcji f(x) = x, g(x) = ln x, x (0, + ), dostajemy ln xdx = x ln x dx = x ln x x + C w przedziale (0, + ), gdzie C R jest dowolną stałą. Przykład Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy łatwo, że (9.3) e x sin xdx = ex (sin x cos x) + C, w zbiorze R, gdzie C R jest dowolną stałą. Stosując zaś dwa razy twierdzenie o całkowaniu przez części 9.3.5, dostajemy e x sin xdx = e x sin x e x cos xdx = e x sin x e x cos x e x sin xdx w zbiorze R, przy czym całki w powyższym wzorze istnieją. Oznaczając przez F : R R dowolną funkcję pierwotną funkcji e x sin x dostajemy, że istnieje C 0 R, że Stąd dostajemy (9.3). F (x) = e x (sin x cos x) F (x) + C 0, x R. Przykład Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy łatwo, że (9.4) arcsin xdx = x arcsin x + x + C, w przedziale (, ), gdzie C R jest dowolną stałą. Stosując zaś twierdzenie o całkowaniu przez części mamy (9.5) arcsin xdx = x arcsin x x dx, w przedziale (, ). x Przyjmując ϕ(x) = x, x (, ) dostajemy ϕ(x) (0, ] oraz x x = ϕ(x) ϕ (x) dla x (, ). Ponadto t dt = t + C w przedziale (0, ], gdzie C R jest dowolną stałą. Zatem stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dostajemy x dx = x ϕ(x) ϕ (x)dx = ϕ(x) + C = x + C w przedziale (, ), gdzie C R jest dowolną stałą. Stąd i z (9.5) wynika (9.4).

9 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH Informacje o obliczaniu funkcji pierwotnych W punkcie 9. pokazaliśmy istnienie funkcji pierwotnych funkcji ciągłych w przedziale. W tym punkcie podamy metody efektywnego obliczania funkcji pierwotnych pewnych funkcji. Podamy najpierw metodę obliczania funkcji pierwotnych funkcji wymiernych a następnie pokażemy, jak sprowadzić pewne inne rodziny funkcji do tego przypadku. Wszystkie rozważane tutaj funkcje będą miały funkcje pierwotne, które można zapisać przy użyciu funkcji elementarnych. Na uwagę zasługuje fakt, że nie wszystkic funkcje elementarne mają funkcje pierwotne będące funkcjami elementarnymi. Można na przykład pokazać (lecz nie jest to łatwe), że funkcje określone wzorami f(x) = + x 3, x, g(x) = sin x x, x > 0, h(x) = ln x, x >, p(x) = e x, x R, mają funkcje pietrwotne, które jednak nie są funkcjami elementarnymi. Dla uproszczenia zapisu będziemy w tym punkcie stosowali całki nieoznaczone Całkowanie ułamków prostych Definicja ułamków prostych. Niech n N oraz a, b, c, d, p, q R. Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci (9.6) f(x) = a (x b) n, x b, (9.7) g(x) = cx + d (x + px + q) n, x R, gdzie p 4q < 0. Uwaga Funkcja g w powyższej definicji jest poprawnie określona, bowiem z warunku p 4q < 0 wynika, że x + px + q > 0 dla wszystkich x R. Pokażemy, że funkcje pierwotne ułamków prostych (w odpowiednich przedziałach) są funkcjami elementarnymi. Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej mamy dwie poniższe własności. Własność Niech a, b R, Wówczas gdzie C R jest dowolną stałą. a dx = a ln(b x) + C, w przedziale (, b), x b a dx = a ln(x b) + C, w przedziale (b, + ), x b

10 6 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Własność Niech n N, n > oraz a, b R. Wówczas a (x b) dx = a + C, w przedziale (, b), n ( n)(x b) n a (x b) dx = a + C, w przedziale (b, + ), n ( n)(x b) n gdzie C R jest dowolną stałą. Przejdźmy teraz do ułamków prostych postaci (9.7). Lemat Niech n N, c, d, p, q R oraz p 4q < 0 oraz niech g(x) = cx + d (x + px + q) n, x R. Wówczas przyjmując mamy, że b > 0 oraz a = p, 4q p b = 4 g(x + a) = c x (x + b) + ca + d n (x + b), x R. n Dowód. Ponieważ x + px + q = ( x + p ) 4q p +, 4 więc przyjmując a = p, b = 4q p 4, dostajemy g(x + a) = xc + ca + d = c x (x + b) n (x + b) + ca + d n (x + b), x R, n co daje tezę. Lemat Niech g : R R będzie funkcją ciągłą, a R oraz niech funkcja ϕ : R R będzie określona wzorem ϕ(x) = x a, x R. Wówczas ( g(x)dx = ) g(t + a)dt ϕ(x). Dowód. Ponieważ g(x)dx = g(ϕ(x) + a)ϕ (x)dx, więc z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy tezę. Z lematów i dostajemy

11 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 7 Własność Niech n N, c, d, p, q R oraz p 4q < 0. Wówczas oznaczając mamy a = p, 4q p b = 4 ( cx + d ) c (x + px + q) dx = t n (t + b) dt ϕ + n oraz ϕ(x) = x a, x R ( ) ca + d (t + b) dt ϕ, w R. n W świetle własności dla obliczania całek nieoznaczonych ułamków prostych wystarczy rozważyć ułamki proste postaci x (x + b) n oraz (x + b) n. Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej mamy Własność Niech b R, b > 0. Wówczas x x + b dx = ln(x + b) + C, w zbiorze R, x (x + b) dx = + C, w zbiorze R, gdzie α R \ {}, α ( α)(x + b) α gdzie C R jest dowolną stałą. Pozostaje rozważyć ułamki proste postaci (x +b) n. Własność Niech b R, b > 0 oraz niech ϕ : R R będzie funkcją określoną wzorem ϕ(x) = x b, x R. Wówczas (x + b) n dx = b b n ( ) (t + ) dt ϕ w zbiorze R. n Dowód. Ponieważ (x + b) n = b b n (( x b ) + ) n b = b b n ((ϕ(x)) + ) n ϕ (x), więc z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy tezę. W świetle powyższej własności pozostaje rozważyć ułamki proste postaci (x +) n. Całki nieoznaczone takich funkcji obliczamy przy pomocy następujących wzorów rekurencyjnych.

12 8 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Twierdzenie Oznaczmy Wówczas I n = dx, w zbiorze R, gdzie n N. (x + ) n (9.8) I = arctg x + C w zbiorze R, gdzie C R jest dowolną stałą oraz (9.9) I n+ = x n (x + ) + n n n I n dla n N. Dowód. Z twierdzenia dostajemy (9.8). Funkcje f n (x) =, x R, gdzie n N, (x + ) n jako funkcje ciągłe mają funkcje pierwotne w R. Niech więc F n : R R będzie funkcją pierwotną funkcji f n dla n N. Wtedy dla x R mamy oraz F n+(x) = f n+ (x) ( x n (x + ) + n ) ( ) n n F x n(x) = + n n (x + ) n n (x + ) = f n+(x). n Z powyższych dwóch równości dostajemy (9.9). Zbierając wyniki tego punktu dostajemy Wniosek Funkcje pierwotne ułamków prostych (w przedziałach, w których ułamki te są określone) są funkcjami elementarnymi Całkowanie funkcji wymiernych Pokażemy, że każda funkcja wymierna ma funkcję pierwotną w każdym przedziale w którym jest określona i funkcja pierwotna jest funkcją elementarną. W świetle wyników poprzedniego punktu wystarczy pokazać, że zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie Dla każdej funkcji wymiernej f istnieje wielomian W oraz skończony ciąg ułamków prostych g,..., g k, że w punktach, gdzie funkcja f jest określona. f = W + g + + g k,

13 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 9 Dowód powyższego twierdzenia jest czysto algebraiczny. Można więc go pominąć, odwołując się do algebray. Przyjmując za znane, że każdy niezerowy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów pierwszego i drugiego stopnia, podajemy jednak szkic dowodu twierdzenia Kluczowym w dowodzie twierdzenia 9.4. jest następujący fakt algebraiczny. Twierdzenia tego dowodzi się również w Analizie Zespolonej. Lemat Każdy wielomian dodadniego stopnia (o współczynnikach rzeczywistych) jest iloczynem skończonej ilości wielomianów stopnia pierwszego oraz wielomianów stopnia, które nie mają pierwiastków. Następnym ważnym twierdzeniem w dowodzie twierdzenia 9.4. jest poniższy Algorytmu Euklidesa. Lemat Niech P, Q będą wielomianami niezerowymi. Wówczas istnieją wielomiany W i R takie, że deg R < deg Q oraz (9.0) P = W Q + R. Dowód. Niech P = a m x m + a m x m + a 0, Q(x) = b k x k + b k x k + + b 0, a m 0, b k 0. Wtedy m = deg P, k = deg Q. Jeśli m < k, to kładąc W = 0, R = P dostajemy tezę. Załóżmy, że m k. Oznaczmy m = m 0, R 0 = P oraz α 0 = am b k. Wtedy wielomian R = R 0 α 0 x m k Q ma stopień mniejszy od m 0. Jeśli m = deg R < k, to dla W (x) = αx m k oraz R = R, dostajemy tezę. Jeśli m k, to analogicznie jak powyżej, istnieje α R, że R = R α x m k Q oraz m = deg R < m. Postępując tak dalej znajdziemy skończony ciąg liczb α i R oraz wielomianów R i, że R i = R i α i x mi k Q dla i = 0,..., n oraz m i = deg R i jest ciągiem malejącym, k m n, k > m n. Wtedy dla W = α 0 x m0 k + α x m=k + α n x mn k oraz R = R n dostajemy (9.0). Lemat Niech P, Q będą wielomianami oraz a R, k N. Jeśli Q(a) 0, to przyjmując A = P (a) Q(a), istnieje wielomian P taki, że (9.) P (x) (x a) k Q(x) = A (x a) k + P (x) (x a) k, gdzie x R, (x a)q(x) 0. Q(x) Dowód. Ponieważ P (a) AQ(a) = 0, więc z twierdzenia Bezouta istnieje wielomian P taki, że P (x) AQ(x) = (x a)p (x). Dzieląc tę ostatnią równość przez (x a) k Q(x) dostajemy (9.). Definicja. Niech P, Q będą wielomianami. Mówimy, że wielomian Q dzieli wielomian P, gdy istnieje wielomian W, że P = W Q. W przeciwnym razie mówimy, że wielomian Q nie dzieli wielomianu P. Lemat Niech P, Q będą wielomianami oraz p, q R, k N. Jeśli wielomian x +px+q nie dzieli żadnego z wielomianów P i Q oraz p 4q < 0, to istnieją B, C R oraz istnieje wielomian P taki, że (9.) P (x) (x + px + q) k Q(x) = Bx + C (x + px + q) k + P (x) (x + px + q) k, gdzie x R, Q(x) 0. Q(x) Dowód. Wystarczy pokazać, że istnieją B, C R oraz istnieje wielomian P taki, że (9.3) P (x) (Bx + C)Q(x) = (x + px + q)p (x) dla x R. Z lematu i założenia, że wielomiany P, Q nie dzielą się przez x + px + q wynika, że istnieją a, b, c, d R oraz wielomiany F, W takie, że a 0 lub b 0 oraz c 0 lub d 0 i dla x R mamy P (x) = (x + px + q)f (x) + (ax + b), Q(x) = (x + px + q)w (x) + (cx + d).

14 0 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Zatem dla dowolnych B, C R oraz x R mamy (9.4) P (x) (Bx + C)Q(x) = (x + px + q)(f (x) (Bx + C)W (x)) + (ax + b) (Bx + C)(cx + d), ponadto dzieląc (ax + b) (Bx + C)(cx + d) przez x + px + q dostajemy (9.5) (ax + b) (Bx + C)(cx + d) = (x + px + q)( Bc) + (a Bd Cc + Bcp)x + b Cd + Bcq. Zauważmy, że istnieją B, C R, że (9.6) a Bd Cc + Bcp = 0 i b Cd + Bcq = 0. Układ (9.6) jest układem równań liniowych zmiennych B, C o wyznaczniku głównym A równym d cpd + c q. Wyznacznik ten jest różny od zera. Istotnie, jeśli c = 0, to d 0 i wyznacznik A = d jest różny od zera. Jeśli zaś c 0, to A = c [( d c ) + p( d c ) + q] 0, gdyż d c nie może być pierwiastkiem wielomian x + px + q, bo p 4q < 0. Reasumując układ (9.6) ma rozwiącanie (B, C). Biorąc to rozwiązanie, z (9.5) i (9.4) dostajemy P (x) (Bx + C)Q(x) = (x + px + q)(f (x) (Bx + C)W (x)) + (x + px + q)( Bc). Oznaczając więc P = F (x) (Bx + C)W (x) Bc dostajemy (9.). Dowód twierdzenia Niech f = P Q, gdzie P, Q są wielomianami nie posiadającymi wspólnych dzielników (tzn. P i Q nie dzielą się przez ten sam wielomian dodatniego stopnia). Zgodnie, z lematem 9.4. istnieją wielomiany stopnia pierwszego L i (x) = x a i, liczby k i N, i =,..., r oraz wielomiany stopnia drugiego K i (x) = x + p i x + q i, nie posiadające pierwiastków, liczby l i N, i =,..., s oraz α R \ {0}, że Q(x) = α(x a ) k (x a r ) kr (x + p x + q ) l (x + p s x + q s ) ls, przy czym w powyższym wzorze czynniki pierwszego lub drugiego stopnia mogę nie występować, jeśli Q jest iloczynem czynników liniowych lub, gdy jest iloczynem czynników stopnia drugiego. Ponadto czynniki L i są różne między sobą i czynniki K i są różne między sobą. Można założyć, że α =. Stosując teraz k + k r razy lemat oraz l + + l s razy lemat dostajemy tezę twierdzenia Z twierdzenia 9.4., wniosku i faktu, że funkcja pierwotna wielomianu jest wielomianem, dostajemy Wniosek Funkcje pierwotne funkcji wymiernych (w przedziałach, w których są określone) są funkcjami elementarnymi. Uwaga Z twierdzenia 9.4. dostajemy algorytm wyliczania całki nieoznaczonej dowolnej funkcji wymiernej f = P. Należy mianowicie przedstawić funkcję f w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych, a następnie zastosować algorytmy wyliczania funkcji Q pierwotnych dowolnego ułamka prostego, podane w poprzednim podpunkcie. Główną trudnością w tym algorytmie jest rozłożenie wielomianu Q na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i drugiego. Nie mamy efektywnych metod uzyskiwania tego rozkładu. Metodę rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste przedstawimy na przykładzie. Przykład Niech (9.7) f(x) = x6 + 4x 4 3x 3 + 5x x +, x R \ {, }. (x + ) (x ) (x + )

15 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH Mianownik jest iloczynem wielomianów pierwszego i drugiego stopnia. Przy czym wielomian x + nie ma pierwiastków rzeczywistych. Przedstawimy funkcję f w postaci sumy ułamków prostych postaci (9.8) f(x) = Ax + B x + + Cx + D (x + ) + E x + H (x ) + T x +, gdzie A, B, C, D, E, H, T R. Sprowadzając prawą stronę (9.8) do wspólnego mianownika, przyjmuje ona postać (Ax + B)(x + )(x ) (x + ) + (Cx + D)(x ) (x + ) + E(x + ) (x )(x + ) (x + ) (x ) (x + ) + H(x + ) (x + ) + T (x + ) (x ). (x + ) (x ) (x + ) Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach liczników w powyższym i (9.7) otrzymujemy układ równań liniowych. Rozwiązując ten układ dostajemy A = 0, B =, C = 0, D =, E =, H =, T =. W konsekwencji z (9.8), (9.9) f(x) = x + + (x + ) + x + (x ) + x +, Przykład Obliczymy całkę nieoznaczoną funkcji wymiernej z przykładu w przedziale (, + ). Z twierdzenia mamy dx = arctg x + C x + oraz (x + ) dx = x x + + x + dx = x x + + arctg x + C, gdzie C R jest dowolną stałą. Ponadto dx = ln(x ) + C, x W konsekwencji z (9.9) mamy f(x)dx = x x + gdzie C R jest dowolną stałą. dx = (x ) x + C i dx = ln(x + ) + C. x + arctg x + ln(x ) + ln(x + ) + C, x Całkowanie funkcji trygonometrycznych Definicja funkcji wymiernej dwóch zmiennych. Funkcję f : R R R dwóch zmiennych x, y postaci f(x, y) = ax k y l, (x, y) R R, gdzie k, l Z, k, l 0 nazywamy jednomianem dwóch zmiennych. Funkcje W : R R R będące sumami skończonej ilości jednomianów dwóch zmiennych x, y nazywamy wielomianami dwóch zmiennych. Jeśli F, G są wielomianami dwóch zmiennych takimi, że G nie znika tożsamościowo, to funkcję W (x, y) = F (x,y) określoną w zbiorze {(x, y) R R : G(x, y) 0} nazywamy funkcją G(x,y) wymierną dwóch zmiennych.

16 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Uwaga Niech W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych oraz ϕ, ψ funkcjami wymiernymi jednej zmiennej. Niech P będzie przedziałem. Bezpośrednio z definicji (jednomianu, wielomianu dwóch zmiennych i funkcji wymiernej) dostajemy, że jeśli funkcje ϕ, ψ są określone w każdym punkcie x P, przy czym punkt (ϕ(x), ψ(x)) należy do dziedziny funkcji W, to funkcja f(x) = W (ϕ(x), ψ(x)), x P jest obcięciem funkcji wymiernej. Pokażemy, że każda funkcja postaci f(x) = W (sin x, cos x), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, ma w każdym przedziale w którym jest określona funkcję pierwotnę będącą funkcją elementarną. Lemat Niech ϕ : ( π, π) R będzie funkcją określoną wzorem ϕ(x) = tg x, x ( π, π). Wtedy dla x ( π, π) mamy (9.0) sin x = ( t +t ) ϕ(x), cos x = ( t +t ) ϕ(x), = ( +t ) ϕ(x) ϕ (x). Dowód. Ponieważ dla x ( π, π) zachodzi sin x = tg x + tg x oraz cos x = tg x + tg x, więc mamy pierwsze dwie części (9.0). Podobnie dostajemy ϕ (x) = + ϕ (x), więc mamy ostatnią część (9.0). Twierdzenie Niech (a, b) ( π, π) oraz niech f : (a, b) R będzie funkcją postaci f(x) = W (sin x, cos x), x (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych ( ). Jeśli ϕ : (a, b) R jest funkcją określoną wzorem ϕ(x) = tg x, x (a, b), to (9.) f(x) = ) +t W ( t, t +t + t ϕ(x) ϕ (x), x (a, b). W szczególności (9.) f(x)dx = W ( ) t, t +t +t dt ϕ(x) w przedziale (a, b). + t zakładamy oczywiście, że dla każdego x (a, b), punkt (sin x, cos x) należy do dziedziny funkcji W.

17 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 3 Dowód. Ponieważ dla każdego x (a, b), punkt (sin x, cos x) należy do dziedziny funkcji W, więc z lematu 9.4. dla każdego t ϕ((a, b)), punkt ( t, t ) należy do +t +t dziedziny funkcji W, zatem funkcja W ( t +t, t +t ) jest funkcją wymierną określoną na przedziale ϕ((a, b)). W konsekwencji z lematu 9.4. dostajemy (9.). Z (9.) i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.). Z twierdzenia 9.4. i wniosku dostajemy natychmiast Wniosek Niech (a, b) ( π, π) oraz niech f : (a, b) R będzie funkcją postaci f(x) = W (sin x, cos x), x (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas każda funkcja pierwotna funkcji f jest funkcją elementarną. Uwaga Niech (a, b) (0, π) oraz f : (a, b) R będzie funkcją postaci f(x) = W (sin x, cos x), x (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Jeśli ϕ : (a, b) R jest funkcją określoną wzorem ϕ(x) = ctg x, x (a, b), to analogicznie jak lematu 9.4. dowodzimy, że dla x (a, b) mamy sin x = ( ) t ϕ(x), cos x = + t ( ) + t ϕ(x), + t ( ) = ϕ(x) ϕ (x). + t Zatem, analogicznie jak w twierdzeniu 9.4., ) +t t W (, +t f(x) = +t + t ϕ(x) ϕ (x), x (a, b), w szczególności f(x)dx = W ( t, +t ) +t +t dt ϕ + t w przedziale (a, b). Uwaga Z uwagi na okresowość funkcji postaci f(x) = W (sin x, cos x), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, wystarczy umieć obliczać całki nieoznaczone takich funkcji w przedziałach (a, b) ( π, π) oraz przedziałach (a, b) (0, π). Przykład Pokażemy, że (9.3) ( ( x cos x dx = ln tg + π )) + C, w przedziale 4 ( π, π ), gdzie C R jest dowolną stałą. Można sprawdzić bezpośrednio, że (9.3) zachodzi. Można również zastosować twierdzenie Biorąc funkcję ϕ : ( π, π ) R określoną wzorem ϕ(x) = tg x, x ( π, π), mamy ϕ(x) (, ) dla x ( π, π ) oraz wobec twierdzenia 9.4., ( ) + t ( ) ( cos x = ϕ(x)ϕ (x) = ϕ(x)ϕ (x) dla x π t + t t, π ).

18 4 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Ponieważ w przedziale (, ) mamy t dt = t dt + gdzie C R jest dowolną stałą, więc cos x dx = ln + tg x tg x Podstawienia Eulera + t dt = ln( t) + ln( + t) + C = ln + t t + C, ( ( x + C = ln tg + π )) + C, w przedziale 4 ( π, π ). Niech w tym punkcie: W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych, niech a, b, c będą ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz niech P będzie przedziałem. Załóżmy, że dla każdego x P zachodzi ax + bx + c > 0 oraz punkt (x, ax + bx + c) należy do dziedziny funkcji W. Niech f : P R będzie funkcją postaci (9.4) f(x) = W ( x, ax + bx + c ), x P. Pokażemy, że każda funkcja pierwotna funkcji f w przedziale P jest funkcją elementarną. Twierdzenie Niech f będzie funkcją postaci (9.4). Jeśli a = 0 i b 0, to funkcja ϕ : P R określona wzorem ϕ(x) = bx + c, x P jest różniczkowalna, ( t ) c (9.5) x = ϕ(x), = b oraz (9.6) f(x)dx = [ W ( t c b ( ) t ϕ(x)ϕ (x) dla x P b ) ] t, t b dt ϕ, w przedziale P. Dowód. Ponieważ dla x P mamy bx + c > 0, więc ϕ(x) > 0 oraz ϕ jest funkcją różniczkowalną, jako złożenie funkcji różniczkowalnych. Ponadto dla x P mamy To daje pierwszą część (9.5). Ponadto ϕ (x) = ϕ (x) = bx + c i dalej x = ϕ (x) c. b b ϕ(x), więc = ϕ (x) dla x P. ϕ(x) b To daje drugą część (9.5). Ponieważ dla każdego x P, punkt (x, bx + c) należy do dziedziny funkcji W, więc dla każdego t ϕ(p ), punkt ( t c, t ) należy do dziedziny b funkcji W i w konsekwencji funkcja W ( t c, t ) t jest wymierna i określona w przedziale b b ϕ(p ). Z (9.5) i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.6).

19 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 5 Twierdzenie (I podstawienie Eulera). Niech f będzie funkcją postaci (9.4). Jeśli a > 0 i b 4ac 0, to funkcja ϕ : P R określona wzorem ϕ(x) = ax + bx + c + ax, x P jest różniczkowalna i dla x P mamy (9.7) x = ( t ) c ϕ(x), at + b ( at + bt + c ) a ax + bx + c = ϕ(x), at + b ( at + bt + c ) a (9.8) = ( ϕ(x)ϕ (x). at + b) W szczególności w przedziale P mamy (9.9) f(x)dx = [ W ( t c at + b, at + bt + c a at + b ) at + bt + c ] a ( dt ϕ. at + b) Dowód. Ponieważ funkcja f jest określoną wzorem (9.4), więc ax + bx + c > 0 dla x P. Stąd i z założenia a > 0 wynika, że funkcja ϕ jest różniczkowalna. Dla x P, z określenia funkcji ϕ, mamy zatem ϕ(x) ax = ax + bx + c, więc ϕ (x) axϕ(x) = bx + c, (9.30) x( aϕ(x) + b) = ϕ (x) c. Ponadto (9.3) aϕ(x) + b 0, gdyż w przeciwnym razie z określenia funkcji ϕ mielibyśmy a ax + bx + c = ax b i dalej 4a x + 4abx + 4ac = 4a x + 4abx + b, zatem b 4ac = 0, wbrew założeniu. Reasumując mamy (9.3). Z (9.3) i (9.30) wynika pierwsza część (9.7). Druga część (9.7) wynika z pierwszej i określenia funkcji ϕ. Różniczkując funkcję ϕ i stosując (9.7) dostajemy ϕ ax + b (x) = ax + bx + c + a = [( ) ( a t c at + b + b ) at + b at + bt + c + ] a ϕ(x), a więc po łatwych przekształceniach otrzymujemy (9.8). Podobnie jak w twierdzeniu pokazujemy, że funkcja podcałkowa po prawej stronie (9.9) jest określona w przedziale ϕ(p ) i z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.9).

20 6 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA Uwaga Niech f będzie funkcją postaci (9.4). Jeśli a > 0 i b 4ac = 0, to istnieje x 0 R, że ax + bx + c = a(x x 0 ). Wówczas z założenia, że ax + bx + c > 0 dla x P mamy, że P (, x 0 ) lub P (x 0, + ). Jśli P (, x 0 ), to przyjmując ϕ(x) = a(x x 0 ), x P, mamy x = ϕ(x) a + x 0, ax + bx + c = ϕ(x) oraz ϕ (x) = a dla x P. Zatem z twierdzenia o całkowaniu przez podstawieniu, (9.3) f(x)dx = [ ( W t ) ] + x 0, t dt ϕ a a Jśli P (x 0, + ), to przyjmując ϕ(x) = a(x x 0 ), x P, mamy x = ϕ(x) a + x 0, ax + bx + c = ϕ(x) oraz ϕ (x) = a dla x P. Zatem (9.33) f(x)dx = [ ( ) ] t W + x 0, t dt ϕ a a Twierdzenie (III podstawienie Eulera). Niech f będzie funkcją postaci (9.4). Jeśli a < 0 i b 4ac > 0, to istnieją p, q R, p < q, że ax + bx + c = a(x p)(x q) dla x R. Wtedy P (p, q) oraz funkcja ϕ : P R określona wzorem ϕ(x) = ax + bx + c, x P x p jest różniczkowalna i dla x P mamy (9.34) x = ( pt ) aq ϕ(x), t a ( ) a(p q)t ax + bx + c = ϕ(x), t a ( ) a(q p)t (9.35) = ϕ(x)ϕ (x). (t a) W szczególności w przedziale P mamy (9.36) f(x)dx = [ W ( pt ) ] aq a(p q)t a(q p)t, t a t a (t a) dt ϕ. Dowód. Funkcja ϕ jest oczywiście różniczkowalna w przedziale P. Ponadto dla x P mamy ϕ(x)(x p) = a(x p)(x q), więc po podniesieniu do kwadratu, (9.37) x(ϕ (x) a) = ϕ (x)p aq. Ponadto ϕ (x) a, gdyż w przeciwnym razie, po podniesieniu do kwadratu mielibyśmy a(x q) = a(x p), co jest niemożliwe, bo p q. W konsekwencji z (9.37) mamy pierwszą

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1). Rozdział 8 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z 0 C i współczynnikach a n C nazywamy szereg a n z z 0 ) n, 8.1) gdzie z C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

LVII Olimpiada Matematyczna

LVII Olimpiada Matematyczna LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (12 września 2005 r 5 grudnia 2005 r) Zadanie 1 Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite n, dla których liczba

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I ( X 2002) Zadanie. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że suma + 4 + 4 2 + 4 3 +...

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Czworościany ortocentryczne zadania

Czworościany ortocentryczne zadania Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

1. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad.1 Oblicz: d) + e) (0,15+(-1,15)) 3. g) 15 (45,2 : 12 30 : 6 )- 1 7 36.

1. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad.1 Oblicz: d) + e) (0,15+(-1,15)) 3. g) 15 (45,2 : 12 30 : 6 )- 1 7 36. Zestaw zadań na ocenę dopuszczającą z matematyki po klasie - ZSP w Żelechowie Opracowała A. Lasocka. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad. Oblicz: + - + - + e + 0 Zad. Oblicz: 9 + 0 : 9

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami.

1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami. Polecam korzystanie również z poniższych podręczników. 1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami. 2. Izydor Dziubiński, Lucjan Siewierski Matematyka dla wyższych

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2.

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. Wstęp Plan wynikowy kształcenia matematycznego jest dostosowany do programu nauczania matematyki w liceach i technikach zakres rozszerzony, autorstwa Marcina

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczający (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) Projekt nr WND-POKL.09.01.02-10-104/09 tytuł Z dysleksją bez barier PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo