Prawdopodobieństwo geometryczne

Transkrypt

1

2 Prawdopodobeństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźne wypełna wnętrze kwadratu [0 x ; 0 y ]. Znajdź p-stwo, że dowolny punkt wewnątrz kwadratu znajduje sę w odległośc mnejszej nż r od wybranego rogu kwadratu. Szukane p-two wyraża sę stosunkem pola powerzchn częśc wspólnej okręgu o promenu r kwadratu do pola powerzchn kwadratu (równego ): r x πr r < P r x dx x r x + r arcsn r 2 4 r > 0 0 r r π r π r 2 2 P r x dx 2 r x dx 2 r r arcsn r r + r arcsn r πr 4 Wdać, że dla r 2, p-two osąga wartość równą. 2 M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-2 r 2

3 Wzór Strlnga Funkcja gamma Eulera zdefnowana jest przez: z x Γ ( z + ) x e d x Ze zwązku tego wynka, że: Γ(z+) zγ(z) a stąd dla wartośc całkowtych z n mamy: Γ(n+) n! Postać całkowa dopuszcza uogólnene funkcj slna na dowolne lczby rzeczywste, różne od ujemnych całkowtych. W szczególnośc (dla n, 2, ): n Γ π Γ n + π n Wzór Strlnga pozwala na przyblżone oblczane funkcj slna: x ( x ) x! x + exp Γ + 2 π x x 360 x Przykład: dla!,.92 dla 2!, 8.02 dla 5!20, 0.08% błąd dla 00! M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-3 0

4 Prawdopodobeństwo warunkowe Przykład: Wydajemy ksążkę. Po złożenu przez zecera wydrukowanu tzw. szczotk oddajemy po jednej kop dwóm korektorom, których zadanem jest sprawdzene tekstu. A, A C, C A lczba błędów znalezona przez korektora A B lczba błędów znalezona przez korektora B C lczba błędów znalezona jednocześne przez obu korektorów. B, B P( A) P( B) A B C A C P A P B A P A A A C P C P A B C B C P B P A B P B B B P-twem warunkowym P(A B) zdarzena A pod warunkem B nazywamy p-two zajśca zdarzena A oblczone przy założenu, że zaszło zdarzene B (przy czym zakładamy, że P(B)>0). M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-4

5 Prawdopodobeństwo warunkowe Defncja: Prawdopodobeństwem warunkowym nazywamy lczbę określoną przez (P(B) > 0): P( A B) Twerdzene: P-two loczynu n zdarzeń można przedstawć w postac: P( A B) P( B) P(A A 2 A n ) P(A A 2 A 3 A n ) P(A 2 A 3 A 4 A n ) P(A n ) Przykład: Załóżmy, że w populacj złożonej z osób jest K kobet, D osób obu płc obcążonych wadą wzroku zwaną daltonzmem oraz KD kobet daltonstek. P-two, że losowo wybrana osoba jest kobetą wynos: K P K P-two, że losowo wybrana osoba jest daltonstą wynos: D P D P-two, że losowo wybrana osoba jest kobetą daltonstką: K D P K D P-two, że losowo wybrana KD KD/ P D K P( D K) kobeta ne rozróżna kolorów: / P( K) K K P-two, że losowo wybrana osoba, która ne rozróżna kolorów jest kobetą: KD KD/ P D K P K D / P( D) D D M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-5

6 Prawdopodobeństwo warunkowe Przykład: Jake jest p-two, że dn urodzn dwóch losowo wybranych osób są różne (B 2 )? P B 2 Jake jest p-stwo, że dn urodzn trzech losowo wybranych osób są różne (B 3 )? A 3 dzeń urodzn trzecej osoby jest różny od dn urodzn dwóch perwszych osób 365 ( ) P B P A B P A B P B P( A 3 B2) P( B3) P( A 3 B2) P( B 2) W przypadku n osób mamy: P B P A B P A B P B P A B P A B P B n n n n n- n- n n- n- n-2 n-2 n n 2 2 P( A n B n-)... P( A 3 B2) P( B 2) Uwaga: W rozwązywanu problemów ważne jest które zdarzene jest warunkem: P A B P A B P B albo P A B P B A P A M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-6

7 ezależność zdarzeń Defncja: Zdarzena A B nazywamy statystyczne nezależnym gdy spełnona jest relacja P(A B) P(A) P(B). Korzystając z defncj p-twa warunkowego, p-two loczynu zdarzeń A B możemy zapsać w postac: P(A B)P(A) P(B A) gdy P(A)>0 oraz P(A B)P(B) P(A B) gdy P(B)>0. Jeśl P(A)>0 P(B)>0 to warunkem konecznym wystarczającym na to aby zdarzena były nezależne jest aby P(A B) P(A) lub P(B A) P(B). Przykład: Rozważmy dwa zdarzena określone na zborze lczb całkowtych od do 00: A lczba wylosowana z tego zboru jest podzelna przez 3, B wylosowana lczba jest podzelna przez 7. Czy zdarzena A B są statystyczne nezależne? P(A) 33/00, P(B) 4/00, P(A B) 4/00 P(A) P(B) P(A B) Gdy jednak rozszerzymy zbór o lczby 0, 02, 03, to wówczas mamy: P(A) 35/05, P(B) 5/05, P(A B) 5/05 P(A) P(B) P(A B) M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-7

8 ezależność zdarzeń Twerdzene: A jest nezależne od B A jest nezależne od B D: nezależne od nezależne od P A B P A B A B P A P A P A B P A B A B P A P A Defncja: Mówmy, że zdarzena A, A 2,, A n są wzajemne nezależne, jeśl p-two łącznego zajśca dowolnych m n różnych zdarzeń spośród nch jest równe loczynow p-stw tych zdarzeń, czyl naturalnych, 2,, m n. Defncja: Zdarzena A, A 2,, A n są nezależne param gdy każde dwa różne spośród nch są nezależne, czyl P(A A j ) P(A ) P(A j ) dla j (gdze, j, 2,, n). P(A A 2 A m ) P(A ) P(A 2 ) P(A m ) dla każdego m n każdego m-wyrazowego rosnącego cągu, 2,, m lczb Uwaga: Zdarzena wzajemne nezależne są nezależne param. M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-8

9 ezależność zdarzeń - przykłady Przykład: W eksperymence polegającym na dwukrotnym rzuce monetą określamy: A orzeł w perwszym rzuce, B orzeł w drugm rzuce, C to samo w obu rzutach P A P B oraz P C P A B + P A B P C A P B A P B P( C) oraz P( C B) P( C) 2 P A B C P A B ale P A P B P C 4 8 Wnosek: Zdarzena A, B C są param nezależne, ale ne są wzajemne nezależne. Przykład: P-two wystąpena przynajmnej jednego z n nezależnych zdarzeń. Dla n 3: P( A B C) P( A) + P( B) + P( C) P( B C) P( A B) P( A C) + P( A B C) P( A) + P( B) + P( C) P( B) P( C) P( A) P( B) P( A) P( C) + P( A) P( B) P( C) Proścej dochodzmy do tego wynku, korzystając z p-twa zdarzena przecwnego. Dla n nezależnych zdarzeń mamy: ( 2 n) ( 2 n) ( 2 n) P( A) P( A2) P( A n) ( P( A) )( P( A2) ) ( P( A n) ) P A A A P A A A P A A A M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-9

10 Efektywność detektora Przykład: Efektywność (wydajność) detektora A to lczba p A określająca p-two rejestracj pojedynczej cząstk, która wpadła do jego wnętrza. Rozwązane teoretyczne: kerujemy na detektor znaną lczbę cząstek, znajdujemy lczbę cząstek A, które zostały zarejestrowane oblczamy p A A /. W praktyce jednak lczba cząstek padających ne jest znana! Rozwązane praktyczne: ustawamy na wązce drug detektor B, który rejestruje B cząstek, podczas gdy detektor A zarejestrował A cząstek. Gdybyśmy znal efektywność detektora B wówczas oczywśce p A ( A / B ) p B Zakładamy, że detektory dzałają nezależne od sebe fakt rejestracj cząstk przez jeden z nch ne wpływa w żaden sposób na rejestrację cząstk w drugm detektorze. Z nezależnego, P(A B) P(A) P(B), dzałana obu detektorów mamy: p A p p p p p p p p p A B A B C A B A B C B B B B A A A Ocena lczby cząstek: p A C / B A / f A B / C M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-0

11 Prawdopodobeństwo całkowte Przykład: Test na chorobę szalonych krów BSE. Defnujemy zdarzena: T wynk testu pozytywny, B krowa jest chora na BSE. Wadomo, że P T B oraz P T B 0. 0 a także, że P(B) 0.02 Szukamy p-twa, że test wykonany dla losowo wybranej krowy, da wynk pozytywny. T T B T B P T P T B + P T B Wykorzystując dane p-twa warunkowe możemy napsać: P T P T B P B + P T B P B 0. 2 { } Defncja: Zbór zdarzeń H H,H 2,... nazywamy podzałem przestrzen zdarzeń elementarnych jeśl spełnone są warunk H H j, dla j oraz H Ω Defncja: Dysponując dwoma podzałam H { H,H 2,... } oraz K { K,K 2,... } mówmy, że podzał H jest bardzej szczegółowy nż K jeśl dla każdego zdarzena H H stneje zdarzene K j K take, że H K. j Przykład: Dysponując dowolnym zdarzenem A można utworzyć podzał K { A, A} Przykład: Para zdarzeń A B pozwala zdefnować zbory, które tworzą podzał H (będący podzałem bardzej szczegółowym nż podzał K z poprzednego przykładu): H A B, H A B, H A B, H A B, M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-

12 Prawdopodobeństwo całkowte Twerdzene (o prawdopodobeństwe całkowtym): Jeśl B jest dowolnym zdarzenem, zaś zdarzena A, A 2,, A n (P(A ) > 0 dla, 2,, n), są param rozłączne (A A j gdy j) oraz ch suma jest zdarzenem pewnym (A A 2 A n Ω) to p-two zdarzena B jest równe: P B P B A P A P B A P A... P B A P A Dowód: 2 2 n n ( ) ( 2) ( n) P( B A) P( B A 2)... P( B An) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A )... P( B A ) P( A ) P B P B A B A... B A Uwaga: W przypadku kedy podzał przestrzen zdarzeń elementarnych jest neskończony, ale przelczalny, to twerdzene o p-twe całkowtym zapsujemy w postac: P B P B A P A + P B A P A M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-2 n n

13 Prawdopodobeństwo całkowte Przykład: Dane jest n+ urn z bałym oraz czarnym kulam, przy czym stosunek lczby bałych kul do wszystkch dla -tej urny wynos /n (0,, 2,, n). Z losowo wybranej urny poberamy jedną kulę. Ile wynos p-two, że wybrana kula jest bała? P-two wyboru każdej z urn wynos: P-two (warunkowe) wylosowana kul bałej z -tej urny jest równe: Zakładając, że wynk testu jest pozytywny, jake jest p-two, że dana krowa ma BSE? Welkośc dane: P T B 0. 70, P T B 0. 0, P B Szukamy p-twa warunkowego: Otrzymujemy: P B T P( 0) P P( 2) P( n) P( B T) P T B P B P( T) P T B P B + P T B P B oraz P B T P B T P B Szukane p-two wylosowana kul bałej wyznaczamy z formuły p-twa całkowtego: n k P( B) P( B ) P + P( B ) P + + P( B n) P( n) 0 0 n+ k 0 n 2 Przykład: Test na chorobę szalonych krów BSE. M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-3 n + n

14 Prawdopodobeństwo całkowte Twerdzene: ech zdarzena H, H 2,, H n spełnają warunk twerdzena o p-twe całkowtym, oraz A B będą zdarzenam takm, że P( B ) >0, wówczas zachodz Dowód: ( ) ( ) P A B P A B H P H B ( ) ( ) ( ) P A B H P H B P( A B H) P( H B) P B H P( B) P( A B) P( A B H) P A B H P A B P( B) P B P( B) Twerdzene: ech będą dane dwa podzały H H, przy czym podzał H jest bardzej szczegółowy nż podzał H. Jeśl H H... H k to dla dowolnego zdarzena A, p-twa warunkowe względem podzałów H H spełnają relację: k ( j) ( j ) P A H P A H P H H Dowód: j k k k P( A H H j ) P A H P A H H P A H H P( A H H j j j ) P H k P( A H k ) P( A H ) P( H k ) P( H H k j j j j ) P H P H P H M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-4 j j P A H P A H P H H j j j j j j j

15 Twerdzene Bayes a Twerdzene Bayes a: Jeżel B jest dowolnym zdarzenem o dodatnm p-twe, zaś zdarzena A, A 2,, A n spełnają warunk twerdzena o p-twe całkowtym, to p-two warunkowe P(A k B) zdarzena A k (k,, n) przy warunku B dane jest przez: ( B) P A p-two a posteror, tzn. po zaobserwowanu danych p-two zaobserwowana danych przy założenu prawdzwośc hpotezy k P( B A ) P( A ) P B A P A P B A P A n P( B) k k k k M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-5 p-two a pror, tzn. przed zaobserwowanem danych normalzacja suma po wszystkch hpotezach Przykład: Studentow zadano pytane przedstawono n możlwych odpowedz, z których tylko jedna jest poprawna. Jeśl student zna tę odpowedź to na pewno ją wyberze, ale jeśl jej ne zna to wybera jedną na chybł-trafł. Wykładowca zakłada, że z p-twem P(Z)0.5 student zna poprawną odpowedź. Jake jest p-two, że student stotne zna poprawną odpowedź, jeśl taką wybrał? P ( W Z) P( Z) n P W Z, P Z, P W + P( Z W) 2 2 n 2 P( W) n +

16 Twerdzene Bayes a - przykład Przykład: Detektor cząstek ustawony jest na wązce składającej sę w 90% z ponów w 0% z protonów. Detektor ma wydajność detekcj protonu 95%, ale w 2% przypadków błędne dentyfkuje pon jako proton. Jake jest p-two, że przez detektor faktyczne przeszedł proton? A zdarzene polegające na rejestracj cząstk przez detektor p cząstką padającą był proton; π cząstką padającą był pon P(p) 0.0 P(π) 0.90 P(A p) 0.95 P(A π) 0.02 P(A) P(A Ω) P(A (p π)) P((A p) (A π)) P(A p) + P(A π) P(A p) P(p) + P(A π) P(π) P-twa że przez detektor faktyczne przeszedł proton lub pon wyznaczamy z twerdzena Bayes a: P A p P p P( p A ) 84. % P( A) 0. 3 ( π ) ( π ) P A P P ( π A ) 5. 9% P( A) 0. 3 Gdyby P(A p)0. to wówczas P(p A) 5.4% oraz P(π A) 48.6% M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-6

17 Twerdzene Bayes a w Idź na całość W programe telewzyjnym Idź na całość prezentowano uczestnkow troje drzw: za jednym z nch jest ukryty samochód, a za pozostałym dwoma znajduje sę zonk. Uczestnk programu wygrywa to co znajduje sę za wybranym przez nego drzwam. m jednak otworzone zostają wskazane przez uczestnka drzw, prowadzący program, który we co znajduje sę za wszystkm drzwam, otwera te drzw z dwóch pozostałych za którym znajduje sę zonk. astępne zezwala grającemu zmenć decyzję co do wybranych przez sebe drzw. Co pownen zrobć uczestnk programu? Możlwe są trzy (I, II, III) układy drzw (A, B, C) przedmotów (S, Z): Przed otwarcem jednych z drzw, p-two każdego z układów jest take samo wynos P(I) P(II) P(III) /3 (a pror ). Załóżmy, że wyberamy początkowo drzw A, natomast prowadzący program, który we gdze jest samochód, otwera drzw B. Interesuje nas, które p-two warunkowe (a posteror) jest wększe: P(I B) p-two, że wystąpł układ I jeśl prowadzący otwarł drzw B P(III B) p-two, że wystąpł układ III jeśl prowadzący otwarł drzw B A B C I S Z Z II Z S Z III Z Z S M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-7

18 Twerdzene Bayes a w Idź na całość P-two, że prowadzący otworzył drzw B wynos: P( B) P( B I) P( I) + P( B II) P( II) + P( B III) P( III) Oblczamy oba p-twa warunkowe: P( B I) P( I) P( I B) 2 3 P( B III) P( III) P( III B) 3 2 P( B) 3 P( B) Wnosek: ależy zmenć perwotny wybór! Uwaga: Jeśl prowadzący ne we za którym drzwam jest samochód otworzył drzw B (za którym okazało sę, że ne ma samochodu) to ne ma znaczena czy zmenmy nasz perwotny wybór czy ne: P( B) P( B I) P( I) + P( B II) P( II) + P( B III) P( III) P( B I) P( I) P( I B) 3 2 P( B III) P( III) P( III B) 3 2 P( B) 2 P( B) M. Przybyceń Rachunek prawdopodobeństwa statystyka Wykład 2-8