Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa jest postaci

Transkrypt

1 Zadane. Macerz radoodobeńst rzejśca ojedynczym kroku dla łańcucha Markoa o trzech stanach { } jest ostac 0 n 0 0 (oczyśce element stojący -tym erszu j -tej kolumne tej macerzy oznacza P( = j. Wtedy j n + n = lm Cov( n n+ n + (A jest róna

2 Zadane. Nech K nk będą nezależnym zmennym losoym o tym samym rozkładze jednostajnym na rzedzale [ ]. Nech N będze zmenną losoa o rozkładze ujemnym dumanoym n + ( n P N = n = ( n dla n = 0 nezależną od zmennych losoych K nk. Nech max( N gdy N > 0 M N = 0 gdy N = 0 Oblczyć E. ( M N (A + +

3 Zadane. Zakładamy że Y Y Y są nezależnym zmennym losoym o K n K n = rozkładach normalnych rzy czym E EY = μ Var = σ Var = 4σ dla = n. Parametry μ σ są neznane. Nech σˆ będze estymatorem najększej arogodnośc arametru σ tym modelu. Wyznaczyć stałą a tak aby ~ σ = aσˆ był estymatorem neobcążonym arametru σ. Y A 8n a = 8 n 4 a = 8n a = 8 n 8n a = 8 n 8 8n a = 8 n

4 Zadane 4. W urne znajduje sę razem 76 kul: bałych czarnych. Wylosoano 0 kul śród których było 6 kul bałych. Wyznaczyć artość estymatora najększej arogodnośc lczby kul bałych urne. (A

5 Zadane 5. Nech Y będą nezależnym zmennym losoym o rozkładach ykładnczych rzy czym E = 4 E Y = 6. Rozażamy zmenną losoą Z =. + Y Wtedy (A E Z = 0 4 funkcja gęstośc zmennej losoej Z yraża sę zorem dla z (0 g ( z = 504z ( z 5 medana rozkładu zmennej losoej Z jest róna 04 funkcja gęstośc zmennej losoej Z yraża sę zorem dla z (0 g ( z = 40z ( z medana rozkładu zmennej losoej Z jest róna 05 5

6 Zadane 6. Nech 0 będą nezależnym zmennym losoym o tym samym rozkładze cągłym o ścśle rosnącej dystrybuance F. Hotezę H 0 : F jest dystrybuantą rozkładu symetrycznego tzn. takego że dla każdego x F( x = F( x odrzucamy gdy sełnona jest neróność K > 7 lub K < gdze K jest lczbą elementó róbe losoej 0 o artoścach ększych od 0. Wyznaczyć rozmar testu. (A

7 Zadane 7. Zmenne losoe 0 0 = 5 są nezależne o jednakoym rozkładze normalnym 5 S 5 ( S 0 S5 N( m σ. Nech S = =. Wtedy E jest róna = (A 5σ + 04S5 6σ + 04S5 04S 5 6σ + 06S5 5σ + 06S5 7

8 Zadane 8. Poberamy róbkę nezależnych realzacj zmennych losoych o rozkładze Possona z artoścą oczekaną λ > 0. Nestety sosób obseracj unemożla odnotoane realzacj o artośc 0. Poberane róbk kończymy momence gdy lczebność odnotoanych realzacj ynos n. Tak ęc każda z naszych kolejnych odnotoanych realzacj K K n ynos co najmnej nc ne emy o tym le mędzyczase ojało sę obseracj o artośc 0. Estymujemy arametr λ za omocą estymatora ostac ˆ + λ = N n = gdze N jest lczbą obseracj o artośc. Oblczyć arancję estymatora λˆ. λ λ (A [ λ λe ( + λe λ] n λ n λ λ + λ e λ n( e λ + λ λe λ n( e λ λ + λe λ n( e λ λ λ 8

9 Zadane 9. Obserujemy 4 nezależnych zmennych losoych o tym samym rozkładze Pareto o gęstośc θ θ gdy x > 0 f ( x = θ + θ ( + x 0 gdy x 0 Y Y K. Y5 nezależnych zmennych losoych o tym samym rozkładze Pareto o gęstośc θ θ gdy x > 0 f ( x = θ + θ ( + x 0 gdy x 0 gdze θ θ są neznanym arametram dodatnm. θ Wszystke zmenne losoe są nezależne. Testujemy hotezę H 0 : = rzy θ θ alternatye H : > za omocą testu o obszarze krytycznym θ ˆ θ K = > t ˆ θ gdze ˆ θ θˆ są estymatoram najększej arogodnośc odoedno arametró θ θ yznaczonym na odstae rób losoych 4 Y Y K. Y5. Dobrać stałą t tak aby otrzymać test o rozmarze 005. (A t = 6 56 t = 47 t = 07 t = 5 9 t =

10 Zadane 0. Zakładamy że normalnych rzy czym E = μ neznane. Budujemy rzedzał ufnośc [ ] 09. są nezależnym zmennym losoym o rozkładach σ Var = gdze arametry μ R σ > 0 są ˆ σ σ dla arametru σ na ozome ufnośc ˆ = Nech = = =. 78 Dla którego z onższych rzedzałó zachodz ( ˆ σ > σ = P( ˆ σ < σ 0 05 P? = (A ( ( = 9675 = ( ( = 9675 = ( ( = = = ( ( = ( ( = 9675 =

11 Egzamn dla Aktuaruszy z 9 aźdzernka 006 r. Pradoodobeństo statystyka Arkusz odoedz * Imę nazsko :... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadane nr Odoedź Punktacja B D A 4 D 5 C 6 C 7 D 8 E 9 B 0 C * Ocenane są yłączne odoedz umeszczone Arkuszu odoedz. Wyełna Komsja Egzamnacyjna.