Laboratorium komputerowe oraz Ćwiczenia rachunkowe z przedmiotu Metody obliczeniowe Prowadzący: L. Bieniasz

Transkrypt

1 Laboraorum kompuerowe oraz Ćwczena rachunkowe z przedmou Meody oblczenowe Prowadzący: L. Benasz Zagadnena do opanowana przed zajęcam pomocncze zadana rachunkowe do rozwązana na ćwczenach rachunkowych oraz emay programów do realzacj na zajęcach laboraoryjnych. Zajęca nr : Rodzaje błędów w oblczenach numerycznych reprezenacja zmennoprzecnkowa lczb rzeczywsych sandard IEEE 754. ) Oszacuj welkość błędu obcęca przy wyznaczanu przyblżonej warośc lnz) poprzez sumowane n wyrazów rozwnęca w szereg Taylora wokół z 0 =. Ile wyrazów należy zsumować aby orzymać błąd bezwzględny logarymu ne wększy nż 0 8 dla z =? ) Rozważ prosy sysem reprezenacj zmennoprzecnkowej rd) = ) e m zb lczb rzeczywsych w kórym na manysę oraz na cechę przeznaczono po dwa by zaem jedno słowo maszynowe zajmuje 5 bów. Wyznacz zbór wszyskch możlwych lczb rzeczywsych reprezenowalnych w ym syseme przy założenu że b =. Uwzględnj możlwość lczb znormalzowanych zakładając m [ ) oraz zdenormalzowanych określ jake słowa maszynowe należałoby zarezerwować na INF INF oraz reprezenacje NaN. Napsz program w języku C/C++ umożlwający dośwadczalne wyznaczene lczby bów manysy oraz zw. epsylona maszynowego dla zmennych ypu floa double j. najmnejszej lczby akej że fl + ) >. Jak jes zwązek z precyzją arymeyk?

2 Zajęca nr : Własnośc zadań: uwarunkowane zadań. Meody oceny błędów maszynowych. Zjawsko uray cyfr znaczących przy odejmowanu. Własnośc algorymów: numeryczna poprawność numeryczna sablność. ) Zbadaj uwarunkowane względne) zadana oblczena loczynu p = y oraz lorazu d = /y dwóch lczb rzeczywsych y oraz oszacuj welkość względnych błędów maszynowych wynków w przypadku numerycznych oblczeń zmennoprzecnkowych p d. ) Oceń błąd względny oblczena a b w arymeyce fl przy zasosowanu algorymów: Aab) = a a b b Aab) = a b) a + b) zakładając że rda) = a rdb) = b. 3) Zbadaj uwarunkowane względne) zadana oblczena warośc funkcj y = f) = ). Zamplemenuj w języku C/C++ algorym oblczający przyblżone warośc funkcj f) = ep) dla [30 30] poprzez sumowane N wyrazów rozwnęca ej funkcj w szereg Taylora wokół = 0. Zbadaj jak zmenają sę błędy względne przyblżena funkcj w ym algoryme przy wzrasającej lczbe N [ 000]. Wyjaśnj przyczyny obserwowanych błędów ch zman ze wzrosem N. Nasępne dokonaj akej modyfkacj algorymu wyberz ake N aby uzyskać dokładność maszynową dla dowolnego [30 30]. W oblczenach zasosuj zmenne podwójnej precyzj.

3 Zajęca nr 3: Meody rozwązywana nelnowych równań algebracznych: Pcarda bsekcj regula fals Newona secznych. Zbeżność meod eracyjnych. ) Oceń zbeżność meody eracyjnej Pcarda w zasosowanu do równań nelnowych: a) cos /4) = 0 b) ep) ep) + = 0 ) Pokaż że zw. algorym Herona służący do oblczana perwaska kwadraowego z lczby rzeczywsej a w oparcu o wzory: a = lm n n gdze n = n- + a/ n- )/ może być nerpreowany jako algorym Newona zasosowany do pewnego równana nelnowego. Napsz program w języku C/C++ realzujący meody: a) Pcarda b) bsekcj c) Newona d) secznych rozwązywana pojedynczych algebracznych równań nelnowych. Zasosuj program do przykładów z zadana. Zasosuj rzy nezależne kryera zakończena eracj. Zadbaj o o aby wyprowadzać na konsolę wynk pośredne oblczeń dla każdej eracj ak aby możlwe było obserwowane zbeżnośc kolejnych przyblżeń perwasków porównane lczby eracj nezbędnych do uzyskana rozwązana o zadanej dokładnośc przez każdą z meod.

4 Zajęca nr 4: Rozwązywane układów nelnowych równań algebracznych. Uogólnona meoda Newona. ) Napsz równana meody Newona w zasosowanu do układu równań nelnowych: y = y/ = sn/4 z) + y + z = 4 Napsz program w języku C/C++ realzujący meodę Newona rozwązywana układu rzech algebracznych równań nelnowych zasosuj en program do przykładu z zadana. Przyjmj ake przyblżene począkowe aby uzyskać zbeżność meody. Zasosuj rzy nezależne kryera zakończena eracj. Zadbaj o o aby wyprowadzać na konsolę wynk pośredne oblczeń dla każdej eracj ak aby możlwe było obserwowane zbeżnośc kolejnych przyblżeń perwasków porównane lczby eracj nezbędnych do uzyskana rozwązana o zadanej dokładnośc. Oblcz jak zmena sę resduum układu w rakce eracj.

5 Zajęca nr 5: Oblczane norm wekorów macerzy. Wskaźnk uwarunkowana macerzy. Elmnacja Gaussa. Dekompozycja LU macerzy pełnej. Meody bezpośredne rozwązywana układów lnowych równań algebracznych z macerzą pełną. ) Oblcz normę perwszą normę drugą normę maksmum wekora 3 oraz macerzy A ) Oblcz wskaźnk uwarunkowana dla macerzy A oraz B 0 posługując sę normą maksmum. Przyjmj 0 < <<. Kóra macerz zapewna lepsze uwarunkowane rozwązana układu równań A = b lub B = b)? Dana jes macerz A oraz wekor b Napsz program w języku C/C++ realzujący dekompozycję LU macerzy A przy zasosowanu elmnacj Gaussa z częścowym wyborem elemenu podsawowego a nasępne rozwązujący układ równań A = b. Uwaga: należy zrealzować waran dekompozycj omawany na wykładze. Dodakowe ćwczene dla chęnych; prawdłowe rozwązane będze premowane dodakową oceną 5.0. Dany jes układ równań z macerzą e 6 e e A oraz wekorem 6 e b. Znajdź najperw rozwązane e 6 e e 6 e analyczne a nasępne numeryczne przyjmując coraz mnejsze warośc e = d. Porównaj rozwązana numeryczne z analycznym wyjaśnj ewenualne obserwowane zmany błędu rozwązań numerycznych.

6 Zajęca nr 6: Meody bezpośredne rozwązywana układów lnowych równań algebracznych z macerzam rzadkm. Algorym Thomasa. Meody rozwązywana nad-określonych układów lnowych równań algebracznych. ) Znajdź pseudorozwązane nad-określonego układu równań: y 3 4y 5 6y 3 posługując sę meodą najmnejszych kwadraów poprzez bezpośredne rozwązane układu równań normalnych. Napsz program w języku C/C++ realzujący algorym Thomasa dla macerzy rój-dagonalnej o dowolnych rozmarach N N a nasępne zasosuj en program do rozwązana układu równań A = b w kórym 0 / / 3 0 / 4 / 5 30 / 6 A / 7 30 / 8 / 9 0 /0 / / 4 97 / 30 b 85/ / / Program należy zrealzować w posac dwóch oddzelnych funkcj: jednej kóra korzysa wyłączne z danych doyczących macerzy A oraz drugej kóra korzysa z wekora b oraz wynków dzałana perwszej funkcj dla macerzy A.

7 Zajęca nr 7: Meody eracyjne rozwązywana układów lnowych równań algebracznych. Meody Jacobego Gaussa-Sedela SOR. Kryera zbeżnośc meod eracyjnych. ) Dany jes układ równań lnowych A = b gdze 5 49 A b 4 0. Oceń zbeżność meody eracyjnej Jacobego dla ego układu posługując 30 sę werdzenem Banacha o konrakcj. Napsz program w języku C/C++ rozwązujący układ czerech równań lnowych meodam eracyjnym: a) Jacobego b) Gaussa-Sedela c) SOR z paramerem = / a nasępne zasosuj en program do rozwązana układu równań lnowych A = b gdze A b Przyjmj przyblżene począkowe 0. Zasosuj rzy nezależne kryera zakończena eracj. Zadbaj o o aby wyprowadzać na konsolę wynk pośredne oblczeń dla każdej eracj ak aby możlwe było obserwowane zbeżnośc kolejnych przyblżeń perwasków porównane lczby eracj nezbędnych do uzyskana rozwązana o zadanej dokładnośc bezwzględnej. Oblcz jak zmena sę resduum układu w rakce kolejnych eracj.

8 Zajęca nr 8: Podsawy przyblżeń różncowych dla pochodnych funkcj. Wyznaczane błędów obcęca przyblżeń. ) Udowodnj że jednosronne przyblżena rzypunkowe na perwszą pochodną w począkowym końcowym węźle sec jednorodnej 0 n o kroku h dane wzoram: 3 3 f f f df 0 f f f 0) df n n n n) mają dokładność drugego rzędu. d h d h ) Udowodnj że pęcopunkowe przyblżena różncowe na perwszą drugą pochodną w wewnęrznym węźle sec jednorodnej 0 n o kroku h dane wzoram: f f f f f df 0 ) 3 3 d h f f f f f d f ) 3 3 d h mają dokładność czwarego rzędu. Napsz program w języku C/C++ oblczający przyblżone warośc perwszych pochodnych funkcj f) = cos) w punkach końcowych środkowym przedzału [0 /] zmennej. Zasosuj wszyske omawane na wykładze na ćwczenach przyblżena różncowe dwupunkowe rzypunkowe jednosronne bądź cenralne w zależnośc od położena punku w przedzale) na sec jednorodnej o kroku h. Wykonaj na jednym rysunku) wykresy przedsawające zależnośc błędów bezwzględnych przyblżeń różncowych od kroku sec posługując sę skalą logarymczną zn. wykresy zależnośc log 0 błędu od log 0 h ). Na podsawe wykresów wyznacz dośwadczalne rzędy dokładnośc przyblżeń różncowych. Sprawdź czy ak wyznaczone rzędy dokładnośc pokrywają sę z rzędam eoreycznym wyjaśnj ewenualne rozbeżnośc. Ponado zdenyfkuj warośc kroku sec ponżej kórych pojawa sę wpływ błędów maszynowych. Oblczena powórz dla dwóch ypów zmennych rzeczywsych floa double) porównaj wynk. Uwaga: najwygodnej jes zasosować wzorzec funkcj funcon emplae) z ypem zmennych jako paramerem wzorca.

9 Zajęca nr 9: Meody różncowe rozwązywana zagadneń z warunkam brzegowym dla równań różnczkowych zwyczajnych -go rzędu. ) Dyfuzyjny san usalony w geomer sferycznej opsany jes przez zagadnene z warunkam brzegowym obejmujące lnowe równane różnczkowe zwyczajne: d U ) du ) 0 oraz warunk brzegowe U) = U) = 0. d d Przedsaw układ algebracznych równań lnowych powsający w wynku zasosowana do ego zagadnena rzypunkowych cenralnych przyblżeń różncowych na pochodne na sec ze sałym krokem h. ) Dane jes częścowo nelnowe równane różnczkowe zwyczajne drugego rzędu o posac: d U ) F U )) 0. Udowodnj że konwencjonalny schema różncowy: d u u u F ) 0 u aproksymuje o równane z dokładnoścą drugego rzędu na sec h jednorodnej o kroku h naomas schema różncowy B. Numerowa: u u u 0 ) ) ) 0 F u F u F u h aproksymuje o równane z dokładnoścą czwarego rzędu mmo że korzysa z ej samej lczby rzech) węzłów sec. Wyjaśnene: Numerow o nazwsko rosyjskego asronoma). Napsz program w języku C/C++ rozwązujący równane różnczkowe zwyczajne drugego rzędu: d U ) U ) an ) 0 określone na przedzale 0 / d z warunkam brzegowym U0) = U/) =. Zasosuj yp double oraz rzypunkową dyskreyzację konwencjonalną oraz dyskreyzację Numerowa na sec jednorodnej. Do rozwązana układu lnowych równań algebracznych zasosuj algorym Thomasa parz zajęca nr 6). Wykonaj rusynek przedsawający porównane uzyskanych wynków numerycznych z rozwązanem analycznym U ) sn ) cos ) arcanhan / )) cos ). Pokaż że rząd dokładnośc rozwązań numerycznych jes zgodny z przewdywanam eoreycznym wynkającym z zadana. W ym celu wykonaj na jednym rysunku) wykresy przedsawające zależnośc maksymalnego błędu bezwzględnego rozwązań od kroku sec h posługując sę skalą logarymczną zn. wykresy zależnośc log 0 błędu od log 0 h ). Na podsawe wykresów wyznacz dośwadczalne rzędy dokładnośc rozwązań uzyskanych za pomocą różnych meod porównaj je z rzędam eoreycznym. Ponado zdenyfkuj warośc kroku sec ponżej kórych pojawa sę wpływ błędów maszynowych.

10 Zajęca nr 0: Meody różncowe rozwązywana zagadneń z warunkem począkowym dla równań różnczkowych zwyczajnych perwszego rzędu. Meody bezpośredne pośredne a kwesa sablnośc numerycznej. Meody: bezpośredna Eulera pośredna Eulera reguła rapezów. dy ) ) Dane jes równane różnczkowe zwyczajne f y )). d Wykaż że zw. ulepszona meoda bezpośredna Eulera zdefnowana wzorem: yk yk f k / yk / ) w kórym k / k / a y k/ wynka z równana yk / yk f k yk ) posada lokalny błąd obcęca O ) a węc jes bardzej dokładna od neulepszonej) meody Eulera kóra ma błąd obcęca / ) O). Napsz program w języku C/C++ rozwązujący równane różnczkowe zwyczajne perwszego rzędu: dy ) 0 0 y ) 0 określone dla zmennej 0 d z warunkem począkowym y0) = 0 za pomocą meod: a) bezpośrednej Eulera b) pośrednej Eulera c) meody rapezów. Dla meod b) c) wykonaj oddzelne rysunk przedsawające po dwa wykresy: wykres przykładowego rozwązana numerycznego oraz dla porównana) wykres rozwązana analycznego: y) = ep{0[ + arcg)]}. Oba wykresy wnny przedsawać zależność y od zmennej nezależnej. Rozwązana analyczne zaznacz lną cągłą a numeryczne punkam. W przypadku meody a) wykonaj dwa ake rysunk: jeden uzyskany w warunkach numerycznej sablnośc meody a drug w warunkach numerycznej nesablnośc. Wyjaśnj różnce pomędzy uzyskanym wykresam. Pokaż że rząd dokładnośc uzyskanych sablnych rozwązań numerycznych jes zgodny z przewdywanam eoreycznym. W ym celu wykonaj na jednym rysunku) wykresy przedsawające zależnośc maksymalnych błędów bezwzględnych rozwązań uzyskanych rzema meodam od kroku sec czasowej posługując sę skalą logarymczną zn. wykresy zależnośc log 0 błędu od log 0 ). Na podsawe wykresów wyznacz dośwadczalne rzędy dokładnośc rozwązań uzyskanych za pomocą różnych meod porównaj je z rzędam eoreycznym. O le o możlwe zdenyfkuj eż warośc kroku sec ponżej kórych pojawa sę wpływ błędów maszynowych.

11 Zajęca nr Meody rozwązywana zagadneń z warunkem począkowym brzegowym dla równań różnczkowych cząskowych w przesrzen jednowymarowej. ) Do rozwązana nesacjonarnego równana dyfuzj we współrzędnych cylndrycznych: U U D U ) ) ) zaproponowano dyskreyzację czasowo-przesrzenną na secach jednorodnych kóra w punkce k ) = h k ) wyraża sę wzorem: h u u h u u u D u u k k k k k k k. Określ jake przyblżena różncowe na pochodne czasowe przesrzenne zosały uaj zasosowane oraz jak charaker ma uzyskana meoda różncowa dla równań różnczkowych cząskowych bezpośredna czy eż pośredna). ) Zaproponuj uogólnena pośrednch meod różncowych: a) Laasonen b) Cranka-Ncolson dla jednowymarowego równana dyfuzj we współrzędnych Karezjańskch zależnego od czasu na lnowe równane cząskowe ypu reakcj-dyfuzj: ) ) ) r U U D U gdze r jes sałą szybkośc reakcj) przy założenu jednorodnych sec czasowo-przesrzennych. Wyprowadź sosowne układy algebracznych równań lnowych przy założenu warunków brzegowych Drchlea: U0) = ) UL) = ). W ramach zajęć konsulacja ćwczeń zalczenowych zwązanych z rozwązywanem równań różnczkowych cząskowych

12 Zajęca nr : Inerpolacja welomanowa Lagrange a funkcj jednej zmennej. Bazy: poęgowa Lagrange a Newona welomanów nerpolacyjnych. Algorym Hornera. Algorym Nevlle a. Zjawsko Rungego w nerpolacj welomanowej Lagrange a funkcj jednej zmennej. Inerpolacja welomanowa Herme a funkcj jednej zmennej. ) Wyznacz weloman nerpolacyjny Lagrange a przechodzący przez punky: f )) = 4 ) 6 8) 5 4) 0) sosując a) bazę Lagrange a b) bazę Newona. ) Sosując algorym Nevlle a oblcz warość welomanu nerpolacyjnego Lagrange a przechodzącego przez punky: f )) = ) ) 3 3) dla warośc zmennej nezależnej =. 3) Posługując sę bazą Newona wyznacz weloman nerpolacyjny Herme a p) spełnający warunk: p0) = 0 p 0) = p 0) = p) = 3 p ) = 4 ) Napsz program w języku C/C++ demonsrujący zjawsko Rungego w nerpolacj welomanowej Lagrange a na przykładze nerpolacj funkcj f) = /+5 3 ) określonej w przedzale [ ]. Porównaj wynk nerpolacj na węzłach równoodległych z wynkam nerpolacj na węzłach Czebyszewa.

13 Zajęca nr 3: Inerpolacja funkcjam sklejanym. Inerpolacja blnowa funkcj dwóch zmennych. Numeryczne oblczane całek oznaczonych. Kwadraury. ) Określ warośc współczynnków a b c d ak aby orzymać nauralną funkcję sklejaną sopna rzecego z węzłam 0 : [0 ] S ) 3 a b ) c ) d ) [ ] ) Dane są węzły warośc funkcj dwóch zmennych: y j f y j )) = 0 0 ) 0 ) 0 4 3) 4 4). Sosując nerpolację blnową wyznacz przyblżoną warość funkcj f y) w punkce y) = ). 3) Funkcja f) przyjmuje warośc: odpowedno dla = Oblcz 6 przyblżoną warość całk f ) d posługując sę złożonym kwadrauram: 0 a) prosokąów waran z węzłem nerpolacj po lewej srone przedzału) b) prosokąów waran z węzłem nerpolacj po prawej srone przedzału) c) prosokąów waran z węzłem nerpolacj w środku przedzału) d) rapezów e) parabol W przypadkach c) e) zasosuj wzory kwadraur prosych do dwóch pod-przedzałów [0] [6] a w pozosałych przypadkach do czerech pod-przedzałów. 4) Przedzał [08] podzelono na 8 równoodległych pod-przedzałów. W węzłach orzymanej w en sposób sak funkcja f) przyjmuje odpowedno warośc: Sosując meodę Romberga oblcz możlwe najdokładnej przyblżoną warość całk 8 0 f ) d. 4 5) Oblcz przyblżoną warość całk ) d za pomocą kwadraury Gaussa z dwoma punkam węzłowym. Porównaj wyznaczoną warość z waroścą dokładną. Napsz program w języku C/C++ oblczający numeryczne warośc funkcj: erf ) ep y ) dy / dla = Zasosuj złożone kwadraury: a) prosokąów waran z węzłem nerpolacj po lewej srone przedzału) b) prosokąów waran z węzłem nerpolacj po prawej srone przedzału) c) prosokąów waran z węzłem nerpolacj w środku przedzału) d) rapezów e) parabol

14 na sec o sałym kroku h. Oblcz błąd względny wynku dla = 3.0 w funkcj kroku h pokaż że rzędy dokładnośc zasosowanych kwadraur są zgodne z przewdywanam eoreycznym. W ym celu wykonaj na jednym rysunku) wykresy zależnośc log 0 błędu od log 0 h. Na podsawe wykresów wyznacz dośwadczalne rzędy dokładnośc kwadraur. Do oblczena ścsłych warośc funkcj erf) z dokładnoścą zblżoną do maszynowej) zasosuj pake CALERF udosępnony przez prowadzącego zajęca.