4. OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA

Transkrypt

1 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna 4. OPTYMLIZCJ WIELORYTERIL Decyzje nwestycyjne mają często charakter złożony. Zdarza sę, że przy wyborze decyzj decydent (nwestor) posługuje sę ne jednym, ale weloma kryteram. Tak jest na przykład w przypadku nwestora gełdowego, który chce optymalzować budowany przez sebe portfel akcj w ten sposób, że nteresuje go jak najwększa stopa zysku z portfela, przy jednoczesnej mnmalzacj ryzyka tego portfela. Wówczas mamy do czynena z zadanem optymalzacj welokryteralnej. Przedstawmy obecne najbardzej elementarne spojrzene na problemy tego typu, z uwzględnenem: porządkowana elementów zborów skończonych dokonywana wyboru najlepszego elementu; wyznaczana decyzj optymalnych w zadanach welokryteralnych. 4. Porządkowane elementów zborów skończonych Idea metod tej grupy polega na: uporządkowanu zboru elementów według przyjętej reguły klasyfkacyjnej; wyróżnenu (w całym zborze klasyfkowanych elementów) możlwe najmnejszego podzboru stanowącego podstawę przy dokonywanu wyborów. Do najczęścej wykorzystywanych przy ocene welokryteralnej należą: dagram Hassego, metody progowe, tzw. podejśce paretowske, herarchzacja kryterów, nne.

2 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Defncja 6. Dagramem Hassego nazywamy graf zorentowany G=(W,R), gdze W oznacza zbór porównywanych elementów (zbór werzchołków grafu) natomast R jest relacją częścowego porządku, R W W mającą nterpretację następującą: (6.) (, y) R y "jest lepsze od" Termn "lepsze" może być defnowany na wele sposobów. Ponżej podamy klka z nch. Jeżel elementy zboru W ocenane są za pomocą kryterów j ( j =, ), dla których najlepszym są ch wartośc maksymalne, to element y W jest lepszy od elementu W wtedy tylko wtedy, gdy : ). stneje kryterum o takm numerze r {,...,}, że: (6.) r ( y) > r a dla każdego nnego kryterum o numerze p {,..,}\{r} zachodz: (6.3) p ( y) p ; ). suma wartośc wszystkch kryterów dla elementu y jest wększa nż dla elementu, tzn.: (6.4) ( y) > ; = = 3). średna ważona 3 wszystkch kryterów dla elementu y jest wększa nż dla elementu, tzn.: (6.5) w ( y) > w = = gdze w - waga przypsana -temu kryterum, =,. w = =, w [0, ], Przypomnamy, że relacja częścowego porządku (naczej: quas-porządku) jest zwrotna przechodna (ne jest antysymetryczna). W tym przypadku welokryteralność zostaje zastąpona jednym kryterum (tzw. metakryterum) łączącym wszystke krytera. 3 Uwaga jak w przypse poprzednm.

3 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Sposoby porównywana elementów zboru W według relacj (6.4) lub (6.5) mogą być stosowane tylko wówczas, gdy wszystke krytera mają te same mary, co w praktycznych problemach raczej rzadko występuje. Wady tej pozbawona jest metoda polegająca na tzw. normalzacj kryterów. Głównym jej celem jest pozbyce sę mar, gdyż wartośc wszystkch kryterów po normalzacj będą sę meścć w przedzale [0,] (dla warunków (6.6)) będą to wartośc nemanowane. Przedstawmy jeden z najbardzej ogólnych sposobów. W tym przypadku ne zakładamy, tak jak poprzedno, że zależy nam na maksymalzacj wszystkch kryterów, gdyż dokonana normalzacja zapewn nam, że krytera znormalzowane będą podlegały zawsze maksymalzacj (bez względu na rodzaj ekstremalzacj kryterów perwotnych). ryterum -te ( ()), =, po normalzacj będze mało następującą postać ( () ): jeśl mn mn, < +, >, to (6.6), mn =, mn przy czym (6.7) = mn W (6.8) = mn W = mn jeśl ±, to jeżel kryterum jeżel kryterum podlegalo maksymalzacj podlegalo mnmalzacj (6.9) = 3

4 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna mn =, +, to (6.0), jeśl kryterum =, jeśl kryterum 0, jeśl kryterum podlegalo mnmalzacj podlegalo maksymalzacj podlegalo maksymalzacj > 0 < 0 mn = +,, to (6.), jeśl kryterum podlegalo mnmalzacj mn mn =, jeśl kryterum podlegalo mnmalzacj 0, jeśl kryterum podlegalo maksymalzacj mn mn < 0 > 0 Dla kryterów znormalzowanych możemy teraz zastosować podejśce opsane przez (6.4) (6.5) poprzez zamanę w tych wzorach kryterum na, bez względu na to, czy krytera perwotne mają być maksymalzowane, czy mnmalzowane oraz czy mają take same jednostk mar, czy też ne. Sposób budowy dagramu (grafu) Hassego, przy różnych sposobach defnowana relacj R przedstawmy w Przykładze 6.. 4

5 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Przykład 6. (porządkowane zboru elementów ocenanych weloma wskaźnkam) Rozpatrujemy 6 warantów nwestycj o podanych w Tabel 6. wartoścach wskaźnków. Uporządkować waranty nwestycj zgodne z dagramem Hassego przyjmując różne defncje relacj R. Tabela 6. Dane do Przykładu 6. Warant Oczekwana stopa zwrotu (w %) Odchylene standardowe stopy zwrotu (w %) PV (w tys. zł) C 6 3 D 6 5 E F ajperw zajmemy sę defncją relacj R opsaną za pomocą wzorów (6.), (6.3). Zauważmy, że w defncj relacj R zakładamy, że wszystke krytera są maksymalzowane. Z nterpretacj wskaźnków ocenających nwestycje w Tabel 6. wynka, że dwa z nch muszą być maksymalzowane (oczekwana stopa zwrotu ( ) PV ( 3 )), a odchylene stopy zwrotu - mnmalzowane. by móc skorzystać z defncj relacj R wystarczy wartoścom zwązanym z odchylenem standardowym zmenć znak na przecwny, gdyż m wększa wartość tak zmodyfkowanego kryterum ( ) - tym lepej. Wartośc zmodyfkowanych kryterów przedstawono w Tabel 6.. 5

6 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Tabela 6. Wartośc zmodyfkowanych kryterów (na baze Tabel 6.) Warant ryterum C 6-3 D 6-5 E F Zgodne z tym, do relacj R typu (6.3) (6.4) należą następujące pary elementów zboru W={,, C, D, E, F} warantów nwestycyjnych: (D, ), (D, ), (D, C), (D, E), (C, ), (F, ). Dla przykładu, para (D, ) należy do relacj R (warant jest lepszy w sense tej relacj nż warant D), gdyż zachodz (patrz Tabela 6.): ) > ( ) oraz ) ( ) ) ( ) 3( 3 D ( D ( D czyl spełnone są warunk (6.3) (6.4). Podobne można uzasadnć przynależność pozostałych par do tej relacj. Dagram Hassego zwązany z rozpatrywanym problemem ma postać jak na Rysunku 6.. C E D Rysunek 6. Dagram Hassego z relacją R opsaną przez (6.3)-(6.4) F 6

7 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Zgodne z nterpretacją dagramu Hassego oraz relacj R najlepszym są waranty, E poneważ ne ma od nch lepszych. W tym ujęcu warant D jest najgorszy, poneważ są od nego lepsze aż cztery waranty (,, C, E) 4. W ogólnym przypadku, najlepszym są te elementy zboru W (werzchołk grafu), które ne mają następnków 5. Zauważmy, że dagram Hassego ma tzw. postać warstwową: w najnższej warstwe znajdują sę elementy najgorsze, a w najwyższej - elementy najlepsze. Jak wcześnej zaznaczono, sposobów defnowana termnu lepszy typu (6.4) (6.5) ne można użyć do naszego przykładu, gdyż mamy różne jednostk wskaźnków ocenających waranty nwestycyjne (tzn. % zł ). Dlatego też dokonamy normalzacj kryterów, a następne skorzystamy ze sposobów ) ) porządkowana elementów w zborze W. W Tabel 6.3 przedstawono znormalzowane wartośc kryterów wylczone zgodne z (6.6) (6.8). Dagram Hassego odpowadający znormalzowanym kryterom przy sposobe ) porządkowana kryterów przedstawono na Rysunku 6.a. Jeżel uporządkujemy krytera według sposobu ), to otrzymamy uporządkowane przedstawone na Rysunku 6.b. 4 Zauważmy, że warant jest lepszy od warantu C, a ten jest lepszy od warantu D, wobec tego jest lepszy od D (własność przechodnośc relacj R; jest to przeceż relacja częścowego porządku). e ma zatem potrzeby rysowana łuku od D do w grafe z Rysunku 6., choć formalne pownen zostać narysowany (borąc pod uwagę defncję relacj R). Jednakże w grafe Hassego celowo pomja sę te zwązk wynkające z przechodnośc relacj R, aby nepotrzebne ne komplkować grafu. 5 Przypomnamy, że następnkam (bezpośrednm) jakegoś werzchołka w grafe są te werzchołk, do których stneje bezpośredne przejśce (zgodne z kerunkem łuku) z rozpatrywanego werzchołka (tzn. dla pary (,y) R werzchołek y jest następnkem werzchołka ). 7

8 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Tabela 6.3 Znormalzowane wartośc kryterów (na baze Tabel 6.) Warant mn = 5 = 7 ryterum mn = = 5 mn 3 = 3 = ( ) 3( ) 5 Suma kryterów 0,33,33 0,5 0,33,83 C 0,5 0,33,83 D 0, ,50 E 0,66 0,67,33 F 0 0,33,33 E C a) F D E C F b) Rysunek 6. Dagram Hassego dla znormalzowanych kryterów z relacją R typu ) oraz ) D 8

9 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna W optymalzacj welokryteralnej często używa sę pojęca domnowane na określene relacj typu lepszy-gorszy. Relację tą nazywa sę relacją domnowana, a o elemence, który jest lepszy od elementu y mów sę, że domnuje y. Jeżel jakś element domnuje w zborze wszystke pozostałe elementy w sense przyjętej relacj domnowana, to nazywa sę go domnującym (najlepszym z najlepszych). Jeśl z kole element ne jest domnowany przez żaden nny w zborze, to nazywa sę go nezdomnowanym (albo naczej tzw. optymalnym w sense Pareto). Weźmy dla przykładu sytuację z Rysunku 6.. Warant domnuje wszystke waranty z wyjątkem D. Gdyby domnował równeż D byłby domnującym w sense przyjętej relacj R. Poneważ ne jest domnowany przez żaden nny warant, a jednocześne sam ne domnuje wszystkch pozostałych, węc jest warantem nezdomnowanym. Warantem nezdomnowanym jest równeż warant D. Pozostałe waranty są zdomnowanym, węc ne opłaca sę ch stosować (w sense przyjętej relacj R). Ponżej omówmy krótko pozostałe metody porządkowana elementów zborów skończonych. Metody progowe wyboru elementu spośród zboru elementów ocenanych na podstawe welu kryterów polegają na wyborze takego elementu, który charakteryzuje sę tym, że wartośc wszystkch kryterów z nm zwązanych są ne mnejsze (ne wększe) nż pewne dopuszczalne wartośc progowe. Podstawową wadą tej grupy metod jest koneczność ustalana dopuszczalnych progów wartośc poszczególnych kryterów, co jest czynnoścą mało obektywną. Przykładem zastosowana metody progowej jest sposób zdefnowana zadana (4.9)-(4.) oraz zadana (4.3)-(4.6). 9

10 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna 4. Zadana optymalzacj welokryteralnej Sposób formułowana zadań optymalzacj welokryteralnej może być różny. Przyjmemy jeden z najprostszych sposobów zblżony do formułowana zadana PL, z tym, że zamast jednej funkcj kryterum, przyjmemy wektor -wymarowy funkcj kryterów = (,,..., ). ażda z tych funkcj może podlegać mnmalzacj bądź maksymalzacj natomast ogranczena (w lnowym zadanu welokryteralnym) mogą być defnowane podobne jak w zadanu PL. Przedstawmy powszechne stosowaną metodę rozwązywana tego typu zadań, a manowce metodę opartą o tzw. funkcję metakryterum. Metoda ta polega na zastąpenu welu kryterów jednym tzw. metakryterum, a następne rozwązywanu jednego z wcześnej rozpatrywanych typów zadań optymalzacj jednokryteralnej, będącym w pewnym sense ekwwalentem zadana welokryteralnego. Przedstawmy dwe propozycje funkcj metakryterum: średną ważoną kryterów znormalzowanych oraz mnmalzację odchyleń funkcj kryterów. Metakryterum będące średną ważoną kryterów znormalzowanych ma następującą postać: (6.) w = przy ogranczenach jak w zadanu PL, gdze () oznacza znormalzowaną postać -tej funkcj kryterum ustalaną według wzoru (6.9), a w jest wagą przypsaną -temu kryterum, w [0, ], =,. w = =, 0

11 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Metakryterum będące mnmalzacją odchyleń funkcj kryterów polega na tym, że do ogranczeń perwotnych w zadanu wyjścowym dodajemy ogranczeń postac: (6.0) ( ) u, =, oraz określamy nową funkcję celu: (6.) u mn a następne rozwązujemy to zadane jednokryteralne. Jak łatwo sę zorentować, to nowe zadane ma o jedną zmenną decyzyjną węcej (u) nż zadane perwotne oraz dodatkowe ogranczeń postac (6.0). Sposób formułowana obu typów zadań pokazano w Przykładze 6.. Przykład 6. (wykorzystane metakryterum w zadanach welokryteralnych) Chcemy zbudować optymalny portfel składający sę z akcj dwóch spółek, które charakteryzują sę następującym parametram: oczekwane stopy zwrotu dla obu spółek wynoszą odpowedno: R =0.009, R =0.0095; odchylena standardowe stopy zwrotu dla obu spółek wynoszą odpowedno: s =0.0547, s =0.036; współczynnk korelacj mędzy akcjam spółk wynos: ρ =0.5. Zadane optymalzacj welokryteralnej, które można zdefnować przy doborze optymalnego portfela akcj dwóch spółek ma postać następującą: (6.) ( ) = 0, ,0095 (6.3) ( ) 0, , ,0547 0,036 0,5 mn przy ogranczenach: =

12 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna (6.4) = + (6.5), 0 gdze =, ). ( W celu zastosowana funkcj metakryterum musmy najperw znormalzować obe funkcje kryterum zgodne z (6.6). Musmy w tym celu wyznaczyć mnmalne maksymalne wartośc obu funkcj kryterów. Dokonamy tego rozwązując następujące zadana: aby wyznaczyć (zgodne z (6.7)): mn 0, ,0095 mn przy ogranczenach (6.4), (6.5); aby wyznaczyć (zgodne z (6.8)): 0, ,0095 przy ogranczenach (6.4), (6.5); aby wyznaczyć (zgodne z (6.7)): mn 0, , ,0547 0,036 mn przy ogranczenach (6.4), (6.5); aby wyznaczyć (zgodne z (6.8)): 0, , ,0547 przy ogranczenach (6.4), (6.5); 0,036 Rozwązując te zadana otrzymujemy następujące wartośc: mn mn = , = , = , = Funkcja metakryterum będąca średną ważoną funkcj kryterów (przy założenu jednakowych wag równych w =w =0.5) będze mała postać:

13 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna (6.6) , , ( ) + ( 0, , ,0547 0,036) co po uproszczenu daje funkcję: (6.7) ( 0, , ,0547 0,036) ( 0, ,0095) + 0, przy ogranczenach (6.4), (6.5). Rozwązując to zadane otrzymujemy następujące rozwązane: * = 0.509, * = oraz wartość funkcj metakryterum równą Zadane z funkcją metakryterum będącą mnmalzacją odchyleń funkcj kryterów będze mało następującą postać: (6.8) u mn przy ogranczenach: (6.9) , , (6.0) (6.) = ( ) u ( 0, , ,0547 0,036) u + (6.), Rozwązując z kole to zadane otrzymujemy następujące rozwązane: * = 0.648, * = oraz wartość funkcj metakryterum równą g + 3

14 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Innym sposobem rozwązywana zadań z weloma kryteram jest tzw. metoda rozwązań kompromsowych. ajczęścej stosuje sę tzw. normę z parametrem p jako marę kompromsu. Funkcja kompromsu ma postać: p * p mn = przy ogranczenach jak w zadanu PL, gdze, jezel kryterum podlega o maksymalzacj * l = mn, jezel kryterum podlegalo mnmalzacj Jeżel weźmemy pod uwagę znormalzowane postace funkcj kryterów, to funkcja celu ma postać: p ( ) mn = Dla parametru p= otrzymamy: = * p mn lub dla kryterów znormalzowanych = mn Dla parametru p= otrzymamy: = * mn lub dla kryterów znormalzowanych = mn Dla parametru p= otrzymamy: * mn {,..., } lub dla kryterów znormalzowanych mn {,..., } 4

15 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna 4.3 Herarchzacja funkcj kryterów Oprócz stosowana systemu wag stneją równeż nne sposoby wyrażana swoch preferencj. Jednym z nch jest lnowe (całkowte ) uporządkowane funkcj kryterów według ch ważnośc dla decydenta. Weźmy pod uwagę zadane: (6.3) +, (6.4) + 3, przy ogr. (6.5) (6.6 ) (6.7) + 0 0, Załóżmy, że uporządkowane kryterów zgodne jest z wartoścą ndeksu kryterum, tzn. najważnejsze jest kryterum, następne td., a najmnej ważne kryterum k. Można wyróżnć na ogół dwe sytuacje:. ależy przede wszystkm osągnąć maksymalną wartość perwszego (najważnejszego) kryterum, następne drugego td., a w końcu kryterum k. Take zadana nazywać będzemy welokryteralnym zadanam programowana matematycznego z herarchzacją ostrą.. ależy dążyć do osągnęca wartośc maksymalnej kryterum, kolejno najważnejszego, następnego, td., przy czym dopuszczalne jest to, że osągane wartośc poszczególnych funkcj celu różną sę o zadaną welkość od ch możlwych wartośc najwększych (otrzymywanych w wynku procedury rozwązywana zadań z herarchzacją ostrą). Istotne jest tu spełnene kryterum w stopnu dostateczne wysokm. Mów sę wtedy o zadanach welokryteralnych z relaksacją herarchzacj celów. W obu przypadkach zaproponujemy odpowedne algorytmy. 5

16 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna LGORYTM. Herarchzacja ostra. Przyjmj =. ech G { } oznacza zbór warunków ogranczających G {} = { : 0}.. Utwórz zadane Z optymalzacj jednokryteralnej: T c, b, (6.8 ) G {}. 3. Rozwąż zadane (6.8) z funkcją kryterum. 4. Sprawdź, czy zbór rozwązań optymalnych jest weloelementowy. Jeżel tak, to przejdź do kroku 5. jeżel ne (zbór jest jednoelementowy), to przejdź do kroku Utwórz: (6.9) G + * { = }, {} = G * gdze = uzupełnając w ten sposób zbór warunków ogranczających zadana Z +. Sprawdź, czy + k (lczba kryterów). Jeżel tak, to przyjmj =+ przejdź do kroku 3. Jeżel ne, to przejdź do kroku onec procedury przyjmj otrzymane rozwązane za rozwązane optymalne zadana welokryteralnego. Reasumując, można powedzeć, że w przedstawonej procedurze herarchzacja celów mplkuje rozwązywane cągu (co najwyżej k) zadań jednokryteralnych o wzrastającym stopnu złożonośc przez dodawane za każdym razem warunku ogranczającego. Dla zlustrowana tej procedury można sę posłużyć zadanem (6.3)- (6.7) przyjmując, że funkcja (6.3) jest najważnejsza, a następne funkcja (6.4). 6

17 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Zastosowane algorytmu prowadz na początku do rozwązana zadane: +, przy ogr , E D C 7

18 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Wobec faktu, że wartość maksymalna funkcj celu wynos 5 zbór rozwązań optymalnych ne jest jednoelementowy (odcnek CD), w następnym kroku algorytmu rozwązywać będzemy zadane: przy ogr , , , 4. + = 5, 0, + 3, Tym razem rozwązanem optymalnym zadana jest punkt (,3) jest to jedyne rozwązane optymalne. Zatem zgodne z krokem 6 algorytmu ten punkt przyjmujemy jako rozwązane optymalne zadana welokryteralnego z herarchzacją ostrą. 8

19 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Zauważmy, że jeżel zmenmy kolejność kryterów, to ulegne zmane rozwązane (najczęścej). W naszym przykładze najperw rozwązywalbyśmy zadane: przy ogr , 6 6 0, Rozwązanem optymalnym tego zadana jest punkt (0,4) o wartośc funkcj celu. astępne rozwązujemy zadane z drugą funkcją kryterów (co do ważnośc) dodając ogranczene w postac wartośc funkcj celu równej wartośc optymalnej, czyl. 9

20 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Zadane ma postać: +, przy ogr , 4 + 6, + 0, + 3 =, 0, Rozwązanem optymalnym tego zadana jest punkt (0,4) o wartośc funkcj celu (czyl otrzymalśmy to samo rozwązane co dla perwszej funkcj kryterum). 0

21 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna LGORYTM. Relaksacja herarchzacj celów lgorytm rozwązywana zadań z relaksacją herarchzacj celów jest bardzo podobny do poprzednego, z tym, że zamast dodawana nowych warunków w postac równośc, będzemy uzupełnać zbór warunków w postac nerównośc. Podobne jak poprzedno, algorytm przedstawmy w postac kolejnych kroków:. Przyjmj =. ech G { } oznacza zbór warunków ogranczających G { } = { : 0}.. Utwórz zadane Z optymalzacj jednokryteralnej: T c, b, (6.30) G {}. 3. Rozwąż zadane (6.8) z funkcją kryterum c T nech będze jego wartoścą maksymalną. 4. Ustal - akceptowalną wartość progową kryterum {}. ** 5. Utwórz: {} ( ) T G = G c ( ) { ** + }, 6. Sprawdź, czy + k (lczba kryterów).jeżel tak, to przyjmj =+ przejdź do kroku. Jeżel ne, to przejdź do kroku onec procedury przyjmujemy otrzymane rozwązane za rozwązane optymalne zadana welokryteralnego z relaksacją herarchzacj celów. *

22 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Zastosowane tego z kole algorytmu prowadz na początku do rozwązana zadana: +, przy ogr , E D C

23 Wybrane zagadnena badań operacyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata Wykład nr 4: Optymalzacja welokryteralna Wobec faktu, że wartość maksymalna funkcj celu wynos 5 zbór rozwązań optymalnych ne jest jednoelementowy (odcnek CD), w następnym kroku algorytmu rozwązywać będzemy zadane ** * (przyjmując, że = 0.8 = ): przy ogr , , , , 0, + 3 =, Tym razem rozwązanem optymalnym zadana jest punkt (0,4) jest to jedyne rozwązane optymalne. Zatem zgodne z krokem 6 algorytmu ten punkt przyjmujemy jako rozwązane optymalne zadana welokryteralnego z relaksacją herarchzacj celów. 3