Statystyka opisowa. Stawia się pytania: pytanie co? poprzedza pytanie jak?. Najpierw potrzebna jest miara, potem można badać zmiany tej miary.

Transkrypt

1 Statystyka opsowa Roma Syak Statystyka opsowa Stawa sę pytaa: pytae co? poprzedza pytae jak?. Najperw potrzeba jest mara, potem moża badać zmay tej mary. Potrzebe są mary zborcze, charakteryzujące zborowośc (populacje). Marą zborczą może być hstogram albo wykres słupkowy, czyl rozkład częstośc, ale bardzej przydate są mary lczbowe (umerycze). Są dwa podstawowe rodzaje mar statystyk opsowej: statystyk położea oraz statystyk rozrzutu. Statystyka położea opsuje mejsce próby a os lczbowej, a skal. Statystyka taka mus być reprezetatem dla węcej ż jedej obserwacj. Ne opsuje oa rozkładu częstośc a jego achylea. Rozkład opsyway przez taką statystykę może być U-kształty, może być rozcągęty lub bardzo ostry (zależy to także od przyjętej skal), może posadać dwa lub węcej szczytów, może być awet bardzo esymetryczy. Potrzebe są zatem także mary rozproszea wyków.

2 Statystyka opsowa Roma Syak Średa arytmetycza Najbardzej populara mara statystyk położea zaa jest wszystkm. Nazywaa jest wartoścą średą, średą lub wartoścą przecętą. Oblczaa jest przez sumowae poszczególych obserwacj w próbe podzelee tej sumy przez lość wyków. Notacja:, 2,..., poszczególe wyk pomarów. Suma wyków pomarów: Duża ltera grecka (sgma) ozacza sumę wszystkch wskazaych welkośc; ależy ją czytać jako suma. Wyrażee = ozacza, że sumowae ma rozpocząć sę od wartośc perwszej; sumowae ma zakończyć sę a lczbe ostatej - =. Ideksy doly góry wskazują grace sumowaa, przy czym często zamast = psze sę. Róże otacje sumowaa, od ajbardzej złożoej do ajbardzej prostej:. Symbol wartośc średej arytmetyczej to przykładowo, ale stosowae są róweż e, p. x, Y czy y. Zatem: lub. N Czyta sę: sumę wszystkch () wartośc podzelć przez ch lość (). Wartość średa dla próby reprezetuje środek obserwacj w próbe.

3 Statystyka opsowa Roma Syak Często koecze jest uśredae średch lub ych statystyk, które mogą różć sę pewoścą; statystyk take mogą reprezetować próby o różej welkośc lub mogą być zróżcowae w y sposób. W takch przypadkach ależy oblczać średe ważoe. Ogóly wzór oblczeowy średej ważoej dla zboru wartośc moża przedstawć jako w, w w gdze uśreda sę lczb, każda ważoa przez współczyk w. Średe ważoa eważoa e muszą dawać tych samych wartośc. Nekedy zmee są trasformowae terpretowae są logarytmy lub odwrotośc wartośc merzoych. Jeżel oblcza sę wartość średą dla wartośc trasformowaych a powrót zmea sę skalę a orygalą, to otrzymaa lczba e będze taka sama jak wartość średa oblczoa z wyków wyjścowych. Odwrote trasformowaa średa oblczoa dla wartośc trasformowaych logarytmcze azywa sę średą geometryczą. Oblcza sę ją jako G aty log log, średa geometrycza jest węc atylogarytmem średej wartośc oblczoej z logarytmów wartośc. Poeważ dodawae logarytmów jest rówoważe możeu ch atylogarytmów, węc ą metodą oblczaa tej welkośc jest G.... Podobe jak w przypadku oblczaa średej arytmetyczej według zapsu symbolczego dzałae take moża zapsać ( - p duża ltera w alfabece greckm) jako 2 G.

4 Statystyka opsowa Roma Syak Odwrotość średej arytmetyczej oblczoej dla odwrotośc wyków pomarów azywaa jest średą harmoczą: H. Dla tego samego zboru wartośc lczbowych oblczoa średa geometrycza jest zawsze mejsza od średej arytmetyczej, a średa harmocza jest zawsze mejsza od średej geometryczej. Zastosowae tych mar położea albo tedecj cetralych zwązae jest z przedstawaem wyków w postac grafczej w różych układach współrzędych: odpowedo lowym, logarytmczym lub odwrotoścowym. Medaa Medaa jest statystyką położea przydatą w przedstawau ektórych wyków badań bologczych. Jest oa defowaa jako wartość zmeej w szeregu uporządkowaym, która posada taką samą lość lczb w obu kerukach. W te sposób medaa dzel rozkład częstośc a dwe połowy. Welkość tę łatwo wyzacza sę w przypadku eparzystej lośc pomarów; jeżel lość wyków jest parzysta, to zwyczajowo oblcza sę ją jako wartość środkową pomędzy dwema: 2 -ą oraz (/2+)-ą. Ogóle moża ją oblczyć jako Me ( )/ 2. Jeżel wyk pomarów zae są jedye w postac rozkładu częstośc (szeregu rozdzelczego), oblczee meday jest eco bardzej złożoe, ale także jedozacze.

5 Statystyka opsowa Roma Syak Wartość modala Wartość modala (moda) jest wartoścą o ajwyższej frekwecj w rozkładze częstośc - maksmum częstośc. Rozkłady o dwóch pkach (maksmach) o takej samej lub o różej wysokośc azywae są rozkładam dwumodalym; jeżel występuje węcej pków, rozkład jest multmodaly. Preferowaą wartoścą charakteryzującą położee lczb jest średa arytmetycza, poeważ charakteryzuje sę oa mejszą wartoścą błędu stadardowego. Wartość średa ma także dodatkową korzystą cechę: ma tedecję do zblżaa sę do rozkładu ormalego w sytuacj, gdy wyjścowe wyk e mają rozkładu ormalego. Na średą w zacze wpływają wartośc odstające, a a medaę modę e. Średa jest z reguły bardzej wrażlwa a kształt rozkładu częstośc. Dla symetryczego rozkładu jedomodalego średa, medaa moda są detycze.

6 Statystyka opsowa Roma Syak Proste statystyk rozproszea Idetyczym wartoścam średej arytmetyczej mogą charakteryzować sę skraje zróżcowae rozkłady (w przedstaweu grafczym bardzo zróżcowae hstogramy). Średo eźle, ale po co? Prostą marą rozrzutu jest rozstęp. Jest to różca pomędzy wykem ajwększym a ajmejszym. Rozstęp wyrażoy jest w takej samej jedostce, jak pomary wyjścowe. Na rozstęp ma oczywśce zaczący wpływ awet pojedycza wartość odstająca z tego powodu jest o jedye zgrubym oszacowaem wszystkch wyków w próbe. Rozstęp zależy jest także od welkośc próby; m wększa próba, tym wększy rozstęp. Odchylee stadardowe berze pod uwagę wszystke pomary, a do każdego przykłada wagę, którą jest jego odległość od środka rozkładu. Poszczególe odległośc, czyl odchylea, oblcza sę raczej jako, a e jako. Suma takch odchyleń dla dowolych zborów lczb jest zawsze rówa zero. Aby ukąć tego rodzaju ewygodych zależośc, zamast odchyleń dodaje sę ch kwadraty. W te sposób otrzymuje sę ważą welkość - sumę kwadratów odchyleń lub krócej sumę kwadratów. Po podzeleu tej sumy przez lość wyków otrzymuje sę ą ważą welkość warację (s 2 ), która jest kwadratem średego odchylea wyków od średej wyraża sę ją w jedostkach kwadratowych. Dodat perwastek kwadratowy z waracj os azwę odchylea stadardowego (s); jest oo wyrażae w jedostkach orygalych jest marą średego odchylea wyków od wartośc średej.

7 Statystyka opsowa Roma Syak Statystyk z próby a parametry. Prawdłowo oblczoe wartośc średej arytmetyczej odchylea stadardowego są zawsze prawdzwym maram położea rozrzutu dla prób, z których są oblczae. Jedak dla badacza rzadko jest teresujące oblczae statystyk charakteryzujących próby, atomast teresujące są welkośc charakteryzujące populacje, z których próby zostały pobrae. Ne jest teresująca wartość średa oblczoa z (przykładowo) bardzej czy mej przypadkowych wyków czterech pomarów, lecz prawdzwa, rzeczywsta wartość - średa dla populacj. Statystyk charakteryzujące populacje są ezae ajczęścej awet epozawale. Zatem statystyk oblczoe dla prób są oszacowaam parametrów, czyl statystyk charakteryzujących populacje. Umowe ltery grecke używae są jako symbole parametrów populacj, a ltery alfabetu łacńskego jako symbole statystyk prób. Tak węc jest oszacowaem (ltera alfabetu greckego m) - wartośc średej charakteryzującej populację, a waracja (s 2 ) oszacowaem 2 (ltera alfabetu greckego sgma) waracj charakteryzującej populację. Take estymatory powy być eobcążoe, czyl próby (bez względu a ch welkość) pobrae z populacj o zaym parametrze powy dawać statystyk prób, które po uśredeu będą dawać wartość parametru. Estymator, który tego e daje, azyway jest obcążoym. Średa próby jest eobcążoym estymatorem średej dla populacj. Jedakże waracja dla próby e jest eobcążoa, lecz średo edoszacowuje welkość waracj dla populacj 2. Wykazao, że jeżel sumę kwadratów podzel sę przez -, to otrzymaa w efekce wartość waracj z próby jest eobcążoym estymatorem waracj dla populacj. Zatem przyjmuje sę, że warację dla próby oblcza sę dzeląc sumę kwadratów przez -. Im wększa jest próba, tym różca pomędzy estymatoram obcążoym eobcążoym jest mejsza. Welkość z maowka, -, azywaa jest loścą stop swobody. Jeżel badacz zateresoway jest tylko terpretacją swoch wyków lub bada całą populację, wtedy - tylko wtedy - w maowku wyrażea a warację podaje sę.

8 Statystyka opsowa Roma Syak Nekedy teresujące jest zalezee odpowedz a pytae, czy populacje są tak samo zmee. Jedak w przypadku, gdy wartośc średe są moco zróżcowae, porówae waracj lub odchyleń stadardowych jest mało przydate, poeważ wększe orgazmy są z reguły bardzej zmee ż mejsze. W celu porówaa względych welkośc zmeośc populacj oblcza sę współczyk zmeośc, czyl loraz odchylea stadardowego wartośc średej arytmetyczej. Wartość współczyka zmeośc jest ezależa od jedostek pomarowych. Oblczay ze wzoru s 00 jest estymatorem obcążoym. Estymator eobcążoy * moża oblczyć stosując wzór 4 ; dla prób o ewelu wykach poprawka może być zacząca.