Matematyczne metody opracowywania wyników

Transkrypt

1 Matematycze metody opracowywaa wyów Statystya rachue epewośc Paweł Ża Wydzał Odlewctwa AGH Katedra Iżyer Procesów Odlewczych Kraów, gruda 00

2 Opracowae rzywej stygęca Formuły a przyblżae pochodej w puce : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 4 ; 4 ; 4 ; ; d d d d d d d d d d d d

3 Opracowae rzywej stygęca d d ( ) d d ( ) d d ( )

4 Pomar zmay względej procetowej Jeżel chcemy porówać zmay dwóch wartośc, możemy wyzaczyć współczy zmay względej procetowej. Zaps: 00% A B A rozumemy: procetowa zmaa wartośc, gdze A jest wartoścą wcześejszą, B zmeoą. Powyższa formuła przyjmuje tylo wartośc o zau zgodym ze zaem A. Poższa formuła poazuje taże erue zma wartośc: 00% (A B) A

5 Elemety statysty Statystya jest auą tratującą o metodach loścowych badaa zjaws masowych. Staow oa podstawę wszelej dzałalośc badawczej. Zjawso masowe jest to tae zjawso, tóre badae w dużej grupe zdarzeń, wyazuje właścwą sobe prawdłowość, jaej e bylbyśmy w stae zaobserwować w pojedyczym przypadu. Cechy statystycze, to właścwośc, tórym odzaczają sę jedost tworzące badaą zborowość. W dalszej częśc ozaczae będą przez x. W przypadu, gdy wartośc są walfowae przedzałam x, ozacza środe przedzału.

6 Elemety statysty Dae statystycze mówą am o rozładze daej cechy w zborowośc. Rozład możemy przedstawć w postac: -hstogramów, -dagramów, -tabel, -wyresów w postac rzywych, Jeda e zawsze wystarczy to do porówaa dwóch zborowośc, lub do wycągęca jedozaczych wosów. Potrzebujemy scharateryzować badaą zborowość wartoścam lczbowym lub, jeżel jest to możlwe, opsać (estymować) rozład przy pomocy fucj matematyczych.

7 Klasyfacja daych pod względem lośc W pratyce pomarowej dyspoujemy jedye pewą sończoą, zwyle ewelą, loścą pomarów. ę grupę pomarów azywa sę ajczęścej próbą. Ze względu a welość próby lasyfujemy w astępujący sposób: a) Próba bardzo mała < 0 b) Próba mała 0 < < 30 c) Próba duża > 30

8 Często spotyae rozłady Rozład ormaly Gęstość rozładu ormalego jest postac: f ( x) exp σ π ( x µ ) σ ze względu a możlwość orzystaa ze specjalych tablc rozładu często stosuje sę rozład ormaly zestadaryzoway: ϕ u ( u) exp π

9 Często spotyae rozłady Rozład t-studeta

10 Często spotyae rozłady Rozład logoormaly Gęstość rozładu logarytmcze ormalego jest postac: f ( x) exp xσ π ( l( x) µ ) σ Rozład te obrazuje dobrze rozład cech, gdy teresujące są dla as relacje mędzy wartoścam. Dobrze adaje sę do przyblżea rozładu cząste w sal mro (zara pasu, modyfator, cząst zbrojące)

11 Często spotyae rozłady Rozład wyładczy Gęstość rozładu wyładczego ma postać: f ( x) x exp, c c x 0 f 0, x < 0 ( x) Jest to rozład terpretoway jao czas oczewaa a suces (m dłużej czeam a autobus tym mejsza jest szasa a to, że w cągu astępej seudy przyjedze)

12 Charaterysty lczbowe rozładu jedej cechy w zborowośc Mary położea wartość przecęta Mary zmeośc mara rozproszea, zróżcowaa dyspersj Mary asymetr lub sośośc Mary spłaszczea ocetracj

13 Mary położea: Średa arytmetycza Średa arytmetycza wzór prosty x x Średa arytmetycza wzór z wagam x f x f Średa arytmetycza formuje o przecętym pozome badaej cechy w całej zborowośc.

14 Mary położea: Średa geometrycza Średa geometrycza wzór prosty G x x... x x Średa geometrycza wzór z wagam G x f f x... x f x f f Średa geometrycza postac po zlogarytmowau l l ( G) l( x ) ( G) f l( x ) Średa geometrycza zajduje przede wszystm zastosowae przy badau średego tempa zma aalzowaych zjaws. Średa geometrycza reaguje zacze słabej a wartośc estremale ż średa arytmetycza.

15 Mary położea: Modala Modala (domata) to wartość cechy, tóra pojawa sę ajwęszą lość razy. W przypadu, gdy mamy do czyea z przedzałam moża ją wyzaczyć ze wzoru: fm fm Mo xm + f f + f + f ( ) ( ) h m x m dola graca przedzału ajbardzej lczego (modalej) f m lczebość przedzału modalej f m- lczebość przedzału poprzedzającego f m+ lczebość przedzału astępującego h terwał (rozpętość przedzału modalej) m+ Jest odpowedem średej odczytywaa z hstogramu. Jej terpretacja może być zacze zaburzoa ze względu a przesuęce merzoych wartośc m m

16 Mary zmeośc Oreślee przecętego pozomu badaej cechy e wystarcza do scharateryzowaa strutury zborowośc statystyczej. Koecze jest uzupełee wedzy a temat rozładu o formację mówącą o stopu zróżcowaa poszczególych jedoste statystyczych. Służą do tego mary zmeośc: -rozstęp -odchylee przecęte -waracja -odchylee stadardowe

17 Mary zmeośc Rozstęp Rozstęp jest różcą mędzy wartoścą ajwęszą ajmejszą obserwowaą w daej zborowośc: R max { x } m{ x } Rozstęp jest stosoway główe w sytuacjach, gdy oecze jest szybe oreślee obszaru zmeośc daej zborowośc, o ewelej lczbe jedoste Rozstęp mów am o rozproszeu wartośc. Im rozstęp jest mejszy, tym rozproszee mejsze, a wartośc bardzej supoe są woół średej.

18 Mary zmeośc Odchylee przecęte Odchylee przecęte jest rówe średej arytmetyczej bezwzględych wartośc odchyleń zmeej od jej średej: lub w postac z wagam: D x x D f x x f są wagam odpowadającym poszczególym waratom x Odchylee przecęte oreśla, o le wszyste jedost daej zborowośc różą sę średo ze względu a wartość od średej arytmetyczej tej zborowośc.

19 Mary zmeośc Waracja Waracja jest to średa arytmetycza z wadratów odchyleń poszczególych wartośc cechy od ch średej arytmetyczej: przypade z wagam: s ( x x) s f ( x x) Waracja jest wartoścą bardzo trudą do terpretacj. Jej wyzaczee jest jeda oecze do wyzaczea ajstotejszego parametru oreślającą dyspersję rozładu: odchylea stadardowego.

20 Mary zmeośc Korety wartośc waracj Jeżel waracja lczoa jest z małej próby przezaczoa jest do wosowaa statystyczego o populacj, z tórej próba ta pochodz, stosujemy tzw. poprawę Bessela: ( ) podobe dla postac prostej. s f ( x x) Waracja wyzaczoa ze średch wartośc przedzałów może być obarczoa błędem grupowaa. W szczególośc, gdy lczba przedzałów () jest eduża w stosuu do przecętej długośc przedzału (h). Stwarza to możlwość przeszacowaa waracj. W sytuacjach tach stosujemy poprawę Shepparda: h s f ( x x)

21 Mary zmeośc Odchylee stadardowe Odchylee stadardowe jest perwastem wadratowym z waracj: s s formuje as oo ja jest średa wartość odchyleń od wartośc średej wyzaczoej dla zborowośc. W przypadu aalzy polegającej a pomarze oretej welośc fzyczej, jest oo terpretowae jao błąd pomaru. W tej sytuacj jest oa zarazem parametrem sgma rozładu ormalego opsującego prawdopodobeństwo apotaa a oretą wartość podczas pomaru.

22 Mary zmeośc Współczy względej zmeośc Współczy względej zmeośc jest względą marą dyspersj. Podczas aalzy orzystamy z różych dotąd pozaych mar. Najczęścej spotyae są: V V s D s x 00% D 00% x Używamy go, gdy zasteje potrzeba dooaa porówań zborowośc pod względem cech o różych maach. Pozwala a uzysae dyspersj procetowej.

23 Mary asymetr W przypadu rozładów symetryczych średa arytmetycza oraz modala rówają sę sobe. Są oe położoe cetrale to woół ch supają sę pozostałe wartośc. Do aalzy asymetryczośc rozładu moża wyorzystać tę formację. Wprowadzamy tzw. współczy asymetr: A A s s x Mo s x Mo D Współczy te oreśla erue oraz słę asymetr. Jeżel As < 0 asymetra jest lewostroa, As 0 rozład jest symetryczy, As > 0 asymetra jest prawostroa.

24 Mary spłaszczea ocetracj Kocetracja zborowośc woół wartośc średej os azwę urtozy, aczej spłaszczea. Marą supea poszczególych obserwacj woół średej jest momet cetraly rzędu czwartego (wzór z wagą): 4 M 4 f ( x x) względą marą ocetracj otrzymamy ze wzoru: M 4 K ( s) 4 K dla rozładu ormalego N(0,) wyos 3, zatem by zdefować urtozę, w sposób opsujący ształt rzywej w sposób bardzej przemawający do wyobraź (ze względu a odesee do rozładu ormalego) wprowadzoo astępującą formę współczya ocetracj: Dla Ku < 0 rozład jest mej smuły ż rozład M Ku 4 ormaly 3 4 ( s ) Ku 0, opsuje ształt rozładu ormalego Ku > 0 ształt rozładu będze bardzej smuły ż w przypadu rozładu ormalego

25 Kotyuujemy w przyszłym semestrze