SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

Transkrypt

1 SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Opsowa analza struktury zjawsk masowych Demografa statystyka PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY W LUBLINIE WYŻSZA SZKOŁA ZARZĄDZANIA I ADMINISTRACJI W ZAMOŚCIU POLSKIE TOWARZYSTWO STATYSTYCZNE

2 Rozkład empryczny zmennej Rozkładem emprycznym zmennej nazywamy przyporządkowane kolejnym wartoścom zmennej odpowadających m lczebnośc. Rozkłady empryczne ustalane są na podstawe konkretnych danych statystycznych

3 Rodzaje rozkładów emprycznych jednowymarowej zmennej Cecha Skokowa Cągła Domnanta Jednomodalne Welomodalne Jednomodalne Welomodalne Symetra Symetryczne Asymetryczne (prawo lewoskośne) Symetryczne Asymetryczne (prawo lewoskośne) Spłaszczene Normalne Normalne Leptokurtyczne Platokurtyczne Leptokurtyczne Platokurtyczne

4 Opsowe parametry struktury rozkładów emprycznych Parametry klasyczne pozycyjne Do sumarycznej charakterystyk struktury rozkładów emprycznych służą parametry opsowe. Wyróżna sę parametry klasyczne (oblczane na podstawe wszystkch obserwacj) oraz pozycyjne (przy ch wyznaczanu brane są pod uwagę tylko nektóre wartośc zmennej, stojące na określonej pozycj). Parametry klasyczne stosuje sę przede wszystkm do analzy rozkładów symetrycznych lub umarkowane asymetrycznych. Parametry pozycyjne są wykorzystywane do badań każdego typu rozkładu, ale zazwyczaj stosowane są w analze rozkładów slne asymetrycznych oraz takch, w których występują otwarte przedzały klasowe. Parametry opsowe rozkładu mogą być welkoścam absolutnym (wyrażonym w takch jednostkach, jak badana zmenna, np. w kg, godznach, latach) lub meć postać lczb względnych (ułamkowych lub procentowych). Parametry względne są szczególne przydatne przy porównywanu dwóch lub węcej struktur.

5 Najczęścej wykorzystywane parametry w opse struktury zborowośc masowych mary przecętne (zwane też maram pozomu wartośc zmennej, położena lub średnm). Służą one do określana tej wartośc zmennej opsanej przez rozkład, wokół której skupają sę wszystke wartośc zmennej; mary rozproszena (zmennośc, zróżncowana, dyspersj), służące do badana stopna zróżncowana wartośc zmennej; mary asymetr (skośnośc), nformujące o kerunku zróżncowana wartośc zmennej; mary koncentracj spłaszczena. Mary koncentracj służą do ba dana stopna nerównomernośc rozkładu ogólnej sumy wartośc zmennej mędzy poszczególne jednostk badanej zborowośc. Mary spłaszczena nformują natomast o tym, czy skupene wartośc badanej zmennej wokół średnej w danym rozkładze jest mnejsze czy wększe nż w zborowośc o rozkładze normalnym.

6 Mary średne Najczęścej wykorzystywanym w analze średnm są: Mary klasyczne: średna arytmetyczna średna harmonczna średna geometryczna Mary pozycyjne: domnanta (modalna, wartość najczęstsza) kwantyle (kwartale dzelące zborowość na cztery częśc, kwntale dzelące zborowość na pęć częśc, decyle dzelące zborowość na dzesęć częśc oraz percentyle dzelące zborowość na sto częśc) Obydwe grupy mar ne tylko ne wykluczają sę ale uzupełnają. Każdy z nch opsuje bowem pozom wartośc cechy z nnego punktu wdzena.

7 Prosta (zwykła) średna arytmetyczna Jest lorazem sumy wartośc zmennej lczebnośc badanej zborowośc: N n n 1 N gdze: N symbol średnej arytmetycznej warant cech merzalnej lub wartość przyjęta przez tą obserwację (jednostkę, obekt) lczebność badanej zborowośc

8 Ważona średna arytmetyczna Ważona średna arytmetyczna oblczana jest na podstawe szeregów rozdzelczych punktowych przedzałowych. Wagam są lczebnośc (częstośc) odpowadające poszczególnym warantom zmennej: n gdze: n 1,2,..., 1 n1 2n2... N k k n k 1 lczebnośc jednostek odpowadających poszczególnym wartoścom zmennej N n k N n n... n 1 2 k ogólna lczebność badanej zborowośc

9 Ważona średna arytmetyczna w szeregach rozdzelczych przedzałowych W szeregach rozdzelczych przedzałowych wartośc zmennej w każdej klase ne są jednoznaczne określone, ale zawarte w przedzale od do. Dolną grancę przedzału klasowego będzemy oznaczać 0, górną zaś. W celu oblczena średnej arytmetycznej z szeregu 1 rozdzelczego przedzałowego należy uprzedno wyznaczyć środk przedzałów klasowych, które oznaczymy symbolem ze wzoru: ~ 0 1 Wzór na średną arytmetyczną z szeregu rozdzelczego przedzałowego jest węc następujący: ~ 1 n 1 ~ 2 n 2 N 2... ~ k n k n ~ 1 N n k ~ oblczamy

10 Rozkład czasu trwana obsług w banku Oblczena pomocncze 0-1 n ~ ~ n od 0 do 5 9 2,5 22,5 od 5 do ,5 75 od 10 do ,5 200 od 15 do ,5 87,5 Ogółem 40 X ,625

11 Średna średnch Jeżel znane są średne arytmetyczne dla pewnych grup na tej podstawe chcemy polczyć średną arytmetyczną dla wszystkch grup łączne to korzystamy z formuły: gdze: k 1 N n n N n n... n 1 2 k średna arytmetyczna -tej grupy lczebność -tej grupy ogólna lczebność badanej zborowośc

12 Najważnejsze własnośc średnej arytmetycznej (1) Jako mara klasyczna jest wypadkową dzałana wszystkch wartośc badanej cechy spełna nerówność: mn ma Suma odchyleń poszczególnych wartośc zmennej od średnej arytmetycznej wynos 0 k 1 k 1 k 1 0 n 0 ~ n 0 w przypadku szeregu wylczającego w przypadku szeregu rozdzelczego punktowego w przypadku szeregu rozdzelczego przedzałowego

13 Najważnejsze własnośc średnej arytmetycznej (2) Jeśl pomnożymy średną przez ogólną lczebność badanej zborowośc to otrzymamy sumę wartośc wszystkch jednostek: N N Średna arytmetyczna sumy (różncy) 1 zmennych równa sę sume (różncy) zmennych 1 N ( c) N 1 Jeżel wszystke wartośc zmennej powększymy (pomnejszymy, podzelmy lub pomnożymy) o pewną stałą c, to średna arytmetyczna będze równa sume (różncy, lorazow lub loczynow) średnej arytmetycznej stałej c: c

14 Najważnejsze własnośc średnej arytmetycznej (3) Na pozom średnej arytmetycznej slny wpływ wywerają wartośc ekstremalne (skrajne), przy czym wpływ ten jest slnejszy w przypadku wysokch wartośc zmennej. Średna arytmetyczna jako wypadkowa wszystkch zaobserwowanych wartośc cechy jest welkoścą abstrakcyjną. Oznacza to, że w nektórych przypadkach może przyjmować wartośc w ogóle ne występujące w zborowośc, np. pół samochodu. Średna arytmetyczna jest marą prawdłową tylko do zborowośc jednorodnych, o newelkm zróżncowanu wartośc zmennej u poszczególnych jednostek. W marę wzrostu zróżncowana wartośc zmennych (asymetr dyspersj rozkładu), a także w rozkładach B welomodalnych należy do opsu stosować przecętne pozycyjne.

15 Średna harmonczna Jest odwrotnoścą średnej arytmetycznej z odwrotnośc wartośc zmennych: H N N 1 Średną harmonczną stosuje sę wówczas, gdy wartośc zmennej podane są w jednostkach względnych ( łamanych ), np. km/godz, kg/osobę. Przykładowo można tutaj wymenć: prędkość pojazdu gęstość zaludnena spożyce artykułu X na głowę ludnośc. Na przykład jeżel turysta jechał rowerem przez 2 godzny z prędkoścą 15 km/godz., a przez następne 4 godzny z prędkoścą 9 km/godz. to średną prędkość jazdy oblczamy za pomocą średnej harmoncznej następująco: H N N km/godz.

16 Średna geometryczna Jest perwastkem k tego stopna z loczynu k wartośc zmennej, czyl: G k k k k 1 Średna geometryczna znajduje zastosowane przy badanu średnego tempa zman zjawsk, których rozwój przedstawony jest w postac szeregów dynamcznych.

17 Domnanta Domnanta jest to najczęścej powtarzająca sę wartość zmennej w szeregu statystycznym. Określa ona najbardzej typową wartość zmennej w badanej zborowośc. Charakterystyczną cechą domnanty jest możlwość jej wyznaczena zarówno z szeregów dotyczących cechy merzalnej, jak ne merzalnej. Wartość domnanty można jedyne ustalć z rozkładów jednomodalnych. W szeregach wylczających rozdzelczych punktowych domnanta jest tą wartoścą cech, której odpowada najwększa lczebność. W szeregach rozdzelczych przedzałowych bezpośredno można określć tylko przedzał, w którym znajduje sę domnanta. Jest to przedzał o najwększej lczebnośc. Konkretną wartość oblcza sę za pomocą wzoru nterpolacyjnego.

18 Kwantyle Do oblczana kwantyl zborowość wnna zostać uporządkowana nemalejąco. Kwartyle mary dzelące zborowość na cztery częśc. Kwartyl perwszy (dolny) dzel zborowość na dwe częśc w ten sposób, że 25% jednostek zborowośc ma wartośc zmennej mnejsze lub równe kwartylow perwszemu, a 75% - równe lub wększe od tego kwartyla Medana (kwartl drug) dzel zborowość na dwe częśc w ten sposób, że 50% jednostek ma wartośc mnejsze lub równe medane a 50% - równe lub wększe od medany Kwartyl trzec (górny) dzel zborowość na dwe częśc w ten sposób, że 75% jednostek zborowośc ma wartośc zmennej mnejsze lub równe kwartylow trzecemu, a 25% - równe lub wększe od tego kwartyla Z szeregów wylczających (składających sę zazwyczaj z newelkej lczby jednostek) najczęścej wyznacza sę medanę. W przypadku gdy lczba obserwacj jest neparzysta, medana jest środkową. Jeśl natomast lczba jednostek zborowośc jest parzysta medana jest średną arytmetyczną

19 Kwantyle Neparzysta lczba obserwacj Wynagrodzene I kwntyl I kwartyl Medana III kwartyl IV kwntyl Lczebność kwartyl = 9*0,25 = 2,25 Lczebność kwntyl = 9*0,2 = 1,8 Parzysta lczba obserwacj Wynagrodzene I kwntyl I kwartyl = Medana = 1387, III kwartyl IV kwntyl = 3750 Lczebność kwartyl = 10*0,25 = 2,5 Lczebność kwntyl = 10*0,2 = 2

20 Mary zmennośc Wartośc średne ne wystarczają do scharakteryzowana struktury zborowośc. Badana zborowość może charakteryzować sę różnym stopnem zmennośc (rozproszena, dyspersj). Dyspersją nazywamy zróżncowane jednostek zborowośc ze względu na wartość badanej cechy. Podzał ze względu na lczbę obserwacj potrzebną do oblczeń: Klasyczne mary zmennośc oblcza sę na podstawe wszystkch wartośc badanej cechy: odchylene standardowe warancja współczynnk zmennośc

21 Mary zmennośc (2) Pozycyjne mary zmennośc oblczane są na podstawe nektórych (stojących w określonej pozycj) wartośc: empryczny obszar zmennośc (zwany też rozstępem) odchylene ćwartkowe pozycyjny współczynnk zmennośc Podzał ze względu na mano: Bezwzględne mary zmennośc rozstęp, odchylene ćwartkowe, warancja, odchylene standardowe Względne mary zmennośc współczynnk zmennośc wyrażony w procentach

22 Rozstęp Jest to różnca pomędzy najwększą a najmnejszą wartoścą cechy: Rozstęp kwartylny: R R kw ma mn Q3 Q1 Rozstęp jest marą pozycyjną zależy tylko od dwóch wartośc. Brakuje zatem nformacj o zróżncowanu pozostałych jednostek zborowośc pod względem badanej cechy. Dlatego też rozstęp stosowany jest główne, gdy potrzebna jest wstępna orentacja o obszarze zmennośc cechy.

23 Odchylene ćwartkowe Oblcza sę na podstawe różncy pomędzy trzecm perwszym kwartylem: Q3 Q1 Q 2 Merzy pozom zróżncowana jedyne połowy jednostek, pozostałych po odrzucenu 25% jednostek o wartoścach mnejszych od perwszego kwartyla wększych od trzecego kwartyla. Mara ta ne jest węc wrażlwa na skrajne wartośc zboru.

24 Odchylene ćwartkowe (2) Jeżel w danej zborowośc do opsu tendencj centralnej użyto medany, a do opsu zmennośc odchylena ćwartkowego to możlwe jest określene typowego obszaru zmennośc badanej cechy: Me Q typ Me Q Netypowe w danej zborowośc są jednostk o wartośc nższej od różncy Me Q oraz wyższe od sumy Me Q Odchylene ćwartkowe jest szczególne przydatne w analze statystycznej szeregów rozdzelczych przedzałowych o klasach otwartych. Interpretuje sę je jako przecętne zróżncowane badanych jednostek wokół medany.

25 Warancja Warancja to średna arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartośc cechy od ch średnej arytmetycznej. s 2 1 N N 1 2 dla szeregów wylczających, s 2 1 N k 1 2 n dla szeregów rozdzelczych punktowych, s 1 k 2 ~ 2 n N 1 dla szeregów rozdzelczych przedzałowych

26 Cechy warancj Jest różncą mędzy średną arytmetyczną kwadratów wartośc zmennej kwadratem jej średnej arytmetycznej czyl: s Jeżel badaną zborowość podzelmy na k grup, to warancja ogólna (całej zborowośc) jest sumą dwóch składnków: warancj wewnątrzgrupowej mędzygrupowej. Własność ta jest nazywana równoścą warancyjną Warancja jest welkoścą neujemną ( s 2 0) manowaną. Jej manem jest kwadrat jednostk fzycznej w jakej merzona jest badana cecha. Stąd też warancja jest trudna do merytorycznej nterpretacj.

27 Odchylene standardowe W celu otrzymana mary zmennośc o mane zgodnym z manem badanej cechy, oblcza sę dodatn perwastek z warancj. Otrzymana w ten sposób mara nazywa sę odchylenem standardowym: s s 2 Odchylene standardowe określa, o le średno borąc jednostk zborowośc różną sę od średnej arytmetycznej badanej zmennej. Im zborowość jest bardzej zróżncowana, tym warancja (a węc odchylene standardowe) jest wększe.

28 Typowy obszar zmennośc Odchylene standardowe można wykorzystać do budowy typowego obszaru zmennośc badanej cechy: s typ Z odchylenem standardowym wąże sę tzw. reguła trzech sgm. Zgodne z ną. Wystąpene obserwacj o wartośc cechy spoza przedzału: ( 3s; 3s) jest mało prawdopodobne. W przypadku rozkładów o małej asymetr tylko 0,3% obserwacj wykracza poza ten przedzał. W rozkładach regularnych (symetrycznych, jednomodalnych) ok. 68% obserwacj odchyla sę od średnej arytmetycznej o mnej nż jeno odchylene standardowe, ok. 95% obserwacj odchyla sę od średnej arytmetycznej o mnej nż dwa odchylena standardowe nemal wszystke o mnej nż trzy odchylena standardowe. s

29 Standaryzacja wartośc cechy Jest to przekształcene perwotnych wartośc cechy w wartośc według wzoru: z Wartośc standaryzowane nformują o tym, o le odchyleń standardowych perwotna wartość cechy jest wększa lub mnejsza od średnej arytmetycznej. Wartośc cechy wększe od średnej odpowada dodatna wartość zmennej standaryzowanej, a wartoścom nższym ujemna wartość standaryzowana. Średna arytmetyczna zboru danych standaryzowanych wynos zero a odchylene standardowe jeden. Dane standaryzowane pochodzące z różnych rozkładów mogą być ze sobą porównywalne. s

30 Współczynnk zmennośc Pozwala porównywać zmenność tej samej cechy w różnych zborowoścach. Jest lorazem absolutnej mary zróżncowana przecętnego pozomu wartośc cechy. Z uwag, że przy analze rozkładu posługujemy sę różnym wartoścam dyspersj przecętnym, współczynnk zmennośc można lczyć: Klasyczny współczynnk zmennośc: V s s 100 Pozycyjne współczynnk zmennośc: Q Q3 Q1 V Q 100 V Q 100 Me Q Q Jeżel współczynnk zmennośc przyjmuje wysoke wartośc lczbowe, to fakt ten śwadczy o nejednorodnośc badanej zborowośc. Umowne przyjmuje sę, że jeżel to zborowość ne wykazuje dużego V s 10% zróżncowana uznaje sę ją za jednorodną. 3 1

31 Mary asymetr Badane asymetr polega na odpowedz na pytane czy przeważająca lczba jednostek tworzących badaną zborowość ma wartośc cechy wyższe czy nższe od przecętnego pozomu. Problem ten wążę sę z oceną kerunku asymetr (skośnośc) rozkładu. Asymetrę rozkładu najłatwej jest określć przez porównane takch charakterystyk jak, średna arytmetyczna, medana oraz domnanta. W rozkładach symetrycznych średne te są sobe równe. Jeśl spełnona jest nerówność: Me D to rozkład charakteryzuje sę asymetrą prawostronną (dodatną) Me D to rozkład charakteryzuje sę asymetrą lewostronną (ujemną)

32 Wskaźnk asymetr Służy do określena kerunku asymetr a węc stwerdzena czy jest prawostronna czy lewostronna: W s D Jeśl jest dodatna, mamy do czynena z asymetrą W s prawostronną. W przecwnym przypadku jest to asymetra lewostronna. W rozkładze symetrycznym zachodz:, W s 0 a węc: D

33 Moment standaryzowany trzecego rzędu Marą określającą kerunek, jak słę asymetr jest współczynnk defnowany za pomocą momentu standaryzowanego trzecego rzędu: Lcznk wyraża przecętną welkość trzecch potęg odchyleń od średnej arytmetycznej: 3 3 s m A s N N m k n N m k n N m ~ 1 dla szeregu wylczającego dla szeregu rozdzelczego punktowego dla szeregu rozdzelczego przedzałowego

34 Moment standaryzowany trzecego rzędu (2) Manownk jest trzecą potęgą odchylena standardowego W przypadku rozkładów o asymetr prawostronnej A s 0, a A 0 lewostronnej. W rozkładach symetrycznych 0. s Im wększa jest wartość bezwzględna współczynnka tym slnejsza jest asymetra rozkładu. A s Jeżel asymetra ne jest zbyt slna, to wartość standaryzowanego momentu trzecego rzędu zawera sę w grancach: 1 A 1 s Jedyne przy ekstremalne slnej asymetr, bezwzględna wartość współczynnka asymetr przekracza 2.

35 Mary spłaszczena koncentracj Zborowość statystyczną analzuje sę równeż ze względu na stopeń skupena poszczególnych wartośc cechy wokół średnej arytmetycznej. Skupene to jest - w dużym stopnu - uzależnone od pozomu dyspersj. Im wększe jest zróżncowane, tym mnejsze skupene odwrotne. Marą skupena poszczególnych wartośc cechy wokół jej średnej arytmetycznej jest współczynnk skupena (kurtoza).

36 Kurtoza Współczynnk skupena (kurtoza) jest standaryzowanym momentem centralnym czwartego rzędu, czyl: 4 4 s m K gdze: 4 m moment centralny czwartego rzędu, określający przecętną welkość czwartych potęg odchyleń wartośc cechy od średnej arytmetycznej: N N m k n N m k n N m ~ 1 dla szeregu wylczającego dla szeregu rozdzelczego punktowego dla szeregu rozdzelczego przedzałowego

37 Kurtoza Im wyższa wartość współczynnka skupena, tym krzywa lczebnośc jest bardzej wysmukła. Oznacza to wększe skupene wartośc cechy wokół średnej. Małe wartośc współczynnka skupena wskazują na spłaszczene rozkładu, a węc mnejsze skupene wartośc cechy wokół średnej arytmetycznej. Przyjmuje sę, że jeśl zborowość ma rozkład normalny, to K = 3. Jeśl natomast K < 3, to rozkład jest bardzej spłaszczony nż normalny. Tak rozkład nos nazwę platokurtycznego. W przypadku, gdy K > 3, rozkład empryczny badanej cechy jest bardzej wysmukły, a skupe ne jest slnejsze od normalnego. Mówmy wówczas o rozkładach leptokurtycznych.

38 Pojęce koncentracj W przypadku cech o charakterze zasobów (powerzchna zem, dochody, kaptał, produkcja tp.) ważne znaczene ma analza rozkładu ogólnej sumy wartośc badanej cechy (łącznego funduszu cechy) pomędzy poszczególne jednostk zborowośc statystycznej. Mówmy wówczas o koncentracj badanego zjawska. Koncentracja jest bezpośredno zwązana z asymetrą dyspersją badanej cechy. Im slnejsza asymetra wększe zróżncowane wartośc zmennej - tym koncentracja jest wększa. Zupełna (całkowta) koncentracja występuje wtedy, gdy łączny fundusz cechy przypada na jedną jednostkę zborowośc (np. łączny areał powerzchn zem w województwe pozostaje w posadanu jednego gospodarstwa rolnego). Z brakem koncentracj mamy do czynena wówczas, gdy na każdą jednostkę zborowośc przypada taka sama część ogólnej sumy wartośc cechy (np. każdy pracownk w przedsęborstwe otrzymuje taką samą część łącznego funduszu płac). W badanach statystycznych zjawska braku koncentracj koncentracj zupełnej raczej ne występują. Najczęścej mamy do czynena z różnym natężenem koncentracj.

39 Ocena koncentracj metodą grafczną Metoda grafczna polega na wykreślenu weloboku koncentracj Lorenza. W tym celu na os odcętych odmerza sę skumulowane częśc względne lczebnośc (w %), natomast na os rzędnych procentowe skumulowane częstośc względne łącznego funduszu cechy. Łącząc punkty o tych współrzędnych otrzymujemy krzywą koncentracj (nazywaną też krzywą Lorenza). W przypadku nerównomernego rozdzału łącznego funduszu cechy pomędzy jednostk zborowośc wszystke punkty leżałyby na przekątnej kwadratu o boku 100. Przekątna tego kwadratu nos nazwę ln równomernego rozdzału. Powerzchna zawarta mędzy lną równomernego rozdzału a krzywą koncentracj Lorenza jest powerzchną koncentracj. Im wększy jest stopeń koncentracj, tym bardzej krzywa Lorenza odchyla sę od ln równomernego rozdzału, a tym samym wększa jest powerzchna koncentracj.

40 Różne przypadk koncentracj A. Koncentracja całkowta B. Koncentracja duża C. Koncentracja słaba D. Brak koncentracj Źródło: A. Zelaś, Metody statystyczne, PWE, Warszawa 2000, s. 73.

41 Współczynnka koncentracj Lorenza Maksymalna wartość powerzchn koncentracj pozostaje równa połowe kwadratu, tj. 5000, gdyż dwa bok prostokątnego trójkąta równoramennego mają długość 100, stąd jego pole jest równe Stosunek pola zawartego mędzy lną równomernego rozdzału a krzywą koncentracj do pola połowy kwadratu (pola trójkąta) nos nazwę współczynnka koncentracj Lorenza. Współczynnk ten ma następującą postać: k a 5000 Współczynnk jest marą nemanowaną, przyjmującą wartośc lczbowe z przedzału: 0 < k < 1. Przy braku koncentracj k = 0, natomast przy k = 1 występuje koncentracja zupełna (całkowta).

42 Przykład Osoba Wynagrodzene Statystyk podstawowe Wynagrodzena N 14 Średna 1928,57 Medana 1750 Domnanta (moda) 1600 Lczność mody 3 Mnmum 1200 Maksmum 2800 Dolny 1600 Górny 2500 Rozstęp 1600 Rozstęp kwartylny 900 Odch.Std. 563,54 Skośność 0,54 Kurtoza -1,20

43 Wykres Ramka wąsy 3000 Wykres ramka-wąsy Zmn1 Wynagrodzena Średna = 1766,6667 ±Odch.std = (1243,8538, 2289,4796) ±1,96*Odch.std = (741,9534, 2791,38)